【人教A版】高中数学重点难点突破：导数的概念 同步讲义

【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的概念 同步讲义

（学生版）

【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率

一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：

2121

()()

f x f x x x --

3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-

②作商：对所求得的差作商，即

2121

()()f x f x y x x x -∆=∆-。 二、导数的概念

定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim

lim

，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0

x x y ='()()()x

x f x x f x y

x f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim

lim

＝ 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤：

① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；

② 求平均变化率：

00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=

∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()lim

lim

x x f x x f x y

f x x x

∆→∆→+∆-∆==∆∆。 也可称为三步法求导数。

【重难点题型突破】： 一、平均变化率与瞬时变化率

函数(x)f 在某点()00x ,(x )f 处的导数()()00'

000(x )lim lim x x f x x f x y f x x →→+-⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

例1．（1）设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x +Δx 时，函数的增量Δy 为（ ）

A ．0()f x x +∆

B ．0()f x x +∆

C ．0()f x x ⋅∆

D ．00()()f x x f x +∆-

（2）若函数f （x ）=2x 2

－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则

x

y

∆∆等于 A.4 B.4x

C.4+2Δx

D.4+2Δx 2

例2.函数()y f x

==

在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。

例3.求函数y=2x 2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当1

2

x ∆=时，平均变化率的值。

例4.已知函数f (x )=x x +-2

的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆x

y

．

二、利用定义求导数的值

例5.（1）设函数()f x 在1x =处存在导数，则0

(1)(1)

lim

3x f x f x

∆→+∆-=∆（ ）

A ．

1

(1)3

f ' B ．(1)f ' C ．3(1)f '

D ．(3)f '

（2）设函数f (x )在x =1处存在导数为2,则()()

113x f x f lim

x

∆→+∆-∆= _______________．

例6.

用导数的定义，求函数()y f x ==

在x=1处的导数。

例7.（1）求函数2

()3f x x =在x =1处的导数.

（2）求函数f (x )=x x +-2

在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

例8.

已知函数1

y x

=x=4处的导数.

例9.

已知()f x =，求'()f x ，'(2)f

三、导数的几何意义

例10.已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是

A ．()()A

B f x f x >''

B ．()()A B f x f x =''

C ．()()A B f x f x <''

D ．()A f x '与()B f x '大小不能确定

例11.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]f f =；

(1)(1)

lim

x f x f x

∆→+∆-∆=.

例12.已知曲线31433

C y x =

+：． （1）求曲线C 上横坐标为2的点处的切线方程；

（2）第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？

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（教师版）

【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；