(新课改省份专用)202x版高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十四)三角恒等变换(含解析)

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高三数学一轮复习课时跟踪训练：第四章三角函数解三角形课时跟踪训练24

课时跟踪训练(二十四)
[基础巩固]
一、选择题
1．已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()
A．a B.3a
C.2a D．2a
[解析]如图所示，由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2得AB＝3a.故选B.
[答案] B
2．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()
A ．50 2 m
B ．50 3 m
C ．25 2 m
D.2522 m
[解析] 由题意得∠B ＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B
，
∴AB ＝AC ·sin ∠ACB
sin B
＝50×22
12＝502(m)． [答案] A
3．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东10°
D ．南偏西10°。

2024年新教材高考数学一轮复习课时过关检测二十四三角函数的图象与性质一含解析

课时过关检测(二十四) 三角函数的图象与性质(一)A 级——基础达标1．函数y ＝lg(tan 2x )的定义域是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，12k π＋π2(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，12k π＋π4(k ∈Z )解析：D 由函数y ＝lg(tan 2x )有意义得tan 2x >0，所以k π<2x <k π＋π2，k ∈Z ，所以k π2<x <k π2＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝lg(tan 2x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，k π2＋π4(k ∈Z )．故选D ．2．(2024·蚌埠月考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的值域是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 解析：B 由0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，∴－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的性质知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1．故选B ． 3．(2024·黑龙江模拟)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：D y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，结合选项知，D 正确．4．已知α＝π4，a ＝sin α，b ＝log 2sin α，c ＝(sin α)－1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：D ∵α＝π4，∴0<sin α<1，∴0<a <1，b ＝log 2sin α<log 21＝0，c ＝(sin α)－1>1，∴b <a <c ．故选D ．5．(2024·衡水模拟)函数f (x )＝sin 2x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为( )A ．1B ．54C ．32D ．2解析：B 因为f (x )＝sin 2x ＋cos x ＝－cos 2x ＋cos x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋54，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得cos x ∈[0,1]，所以当cos x ＝12时，f (x )max＝54．故选B ．6．(多选)(2024·临沂月考)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 C ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0对称 D ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增解析：AD A 项，函数的最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π，所以－2π是函数f (x )的一个周期，故本结论是正确的；B 项，当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝0，该函数值不是函数的最值，故本结论是错误的；C 项，当x ＝－π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－π4＝－1≠0，故本结论是错误的； D 项，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，故本结论是正确的．故选A 、D ．7．(多选)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的可能值是( )A ．π4B ．π2C ．3π8D ．π解析：AC 由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8．故选A 、C ．8．(2024·潍坊一中质检)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴g (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋342＋178．又函数g (t )的图象的对称轴为直线t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，g (t )有最小值－4．即f (x )有最小值－4．答案：－49．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间是________．解析：因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，即2πω＝π，解得ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，即函数f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π210．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R ． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)f (x )的最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π．令2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z ．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2，则2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈[－1， 2 ]，∴f (x )max ＝2，此时cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝1，即2x －π4＝0，即x ＝π8；f (x )min ＝－1，此时cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝－22，即2x －π4＝3π4，即x ＝π2． B 级——综合应用11．(2024·中山月考)已知函数f (x )＝cos x ，若A ，B 是锐角三角形的两个内角，则肯定有( )A ．f (sin A )>f (sinB ) B ．f (cos A )>f (cos B )C ．f (sin A )>f (cos B )D ．f (cos A )>f (sin B )解析：D ∵A ，B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，∴0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B <sin A <1，又函数f (x )＝cos x 是定义在[0,1]上的减函数，∴f (cos B )>f (sin A )，同理f (cos A )>f (sin B )，所以C 错，D 对，因为角A ，B 的大小关系不确定，所以A 、B 项不正确．故选D ．12．(多选)(2024·金陵月考)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3与g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4都在区间(a ，b )(0<a <b <π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12解析：AB 当x ∈(0，π)时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3，所以当2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，即x∈⎝⎛⎭⎪⎫5π12，11π12时，f (x )单调递减；当x ∈(0，π)时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，所以当x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4时，g (x )单调递减，因为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，11π12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，3π4，所以5π12≤a <b ≤3π4，所以b －a ≤3π4－5π12＝π3，结合选项，所以b －a 可能为π6或π3．故选A 、B ．13．“快乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如图，假如以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，假如这些点恰好在函数y ＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象上，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，2，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则函数的单调递增区间的是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π24C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π24，3π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，3π4解析：B ∵相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，∴12T ＝π2，则T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，即y ＝4sin(2x ＋φ)，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋φ＝12，∵|φ|<π2，∴φ＋π12＝π6，∴φ＝π12，即y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，令－π2＋2k π≤2x ＋π12≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－7π24＋k π≤x ≤5π24＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π24＋k π，5π24＋k π，k∈Z ，∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π24⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π24＋k π，5π24＋k π，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π24是函数的单调递增区间．故选B ． 14．(2024·潍坊模拟)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 对随意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 对随意的实数x 都成立，∴当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝1，∴π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，∴ω＝8k ＋23，k ∈Z ．∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23．答案：2315．设函数f (x )＝sin x ，x ∈R ．(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以对随意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0．又θ∈[0,2π)，所以θ＝π2或3π2． (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．因此函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32．。

2022版高考数学一轮复习练案(24理+23文)第三章三角函数、解三角形第四讲三角函数的图

第四讲三角函数的图象与性质A组基础巩固一、选择题1．（理）函数y＝|2sin x｜的最小正周期为(A）A．πB．2πC。

错误!D．错误!（文）(2020·海淀区模拟)已知函数f（x)＝sin 错误!的最小正周期为π，则ω＝(D）A．1B．±1C．2D．±2［解析］（理）由图象（图象略）知T＝π。

(文）因为T＝错误!，所以｜ω｜＝错误!＝2，故ω＝±2。

2．已知直线y＝m(0〈m<2）与函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）(ω〉0）的图象相邻的三个交点依次为A(1，m）,B（5,m)，C（7，m),则ω＝(A）A．错误!B．错误!C.错误!D．错误!［解析]由题意，得函数f（x）的相邻的两条对称轴分别为x＝错误!＝3,x＝错误!＝6，故函数的周期为2×（6－3）＝错误!，得ω＝错误!，故选A．3．(2020·山东省实验中学高三第一次诊断）设函数f（x)＝sin错误!(x∈R）,则f(x)是（B)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为错误!的奇函数D．最小正周期为错误!的偶函数[解析]∵f（x）＝sin错误!＝－sin错误!＝－cos 2x，∴f(x）的最小正周期T＝错误!＝π,且为偶函数．故选B。

4．已知函数y＝2cos x的定义域为错误!，值域为[a，b］，则b－a的值是(B）A．2B．3C。

3＋2D．2－错误![解析]因为x∈错误!，所以cos x∈错误!，故y＝2cos x的值域为［－2，1]，所以b －a＝3。

5．(2021·河北邢台模拟）函数f(x）＝tan错误!的单调递增区间是（B)A．错误!(k∈Z）B.错误!（k∈Z）C。

错误!(k∈Z)D。

错误!(k∈Z）［解析]由kπ－错误!<2x－错误!<kπ＋错误!（k∈Z）,得错误!－错误!〈x<错误!＋错误!（k∈Z），所以函数f(x）＝tan错误!的单调递增区间为错误!（k∈Z)．故选B.6．(2020·福建六校联考）若函数f(x）＝2sin（ωx＋φ）对任意x都有f错误!＝f（－x），则f错误!＝(D）A．2或0B．0C．－2或0D．－2或2［解析］因为f错误!＝f（－x)对任意x∈R都成立，所以函数f(x)的图象的一个对称轴是直线x＝错误!,所以f错误!＝±2.7．(理）(2020·河南南阳四校联考改编)已知函数f（x)＝错误!cos错误!（x∈R），下列结论错误的是（C)A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x)的图象关于点错误!对称C．函数f(x）在区间错误!上是减函数D．函数f（x)的图象关于直线x＝错误!对称（文）关于函数f(x)＝x＋sin x，下列说法不正确的是(B)A．f(x）是奇函数B．f(x）是周期函数C．f（x）有零点D．f（x）在错误!上单调递增［解析］（理）由题意可得函数f(x)的最小正周期T＝错误!＝π，故A正确；当x＝错误!时,f错误!＝错误!cos错误!＝0，所以函数f（x)的图象关于点错误!对称，故B正确；当0≤x≤错误!时，－错误!≤2x－错误!≤错误!，函数f(x）不单调,故C不正确;当x＝错误!时,f错误!＝错误!cos错误!＝错误!，所以函数f(x)的图象关于直线x＝错误!对称,故D 正确．综上选C。

高考数学一轮复习课时跟踪检测二十四三角恒等变换含解析

课时跟踪检测（二十四）三角恒等变换[A 级基础题——基稳才能楼高]1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．(2019·贵阳高三监测考试)sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos 30°＝－32.故选D. 3．(2018·成都七中一模)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( ) A ．－6或1 B ．－1或6 C ．6D ．1解析：选A ∵tan α＝m 3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3＋m 3－m .∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，∴2m ＝3＋m3－m.解得m ＝－6或m ＝1.故选A. 4．若2cos ( θ－π3 )＝3cos θ，则tan θ＝( )A.23B.32 C ．－33D.233解析：选D 由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3cos θ可得cos θ＋3sin θ＝3cos θ，故tan θ＝233.故选D.5．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7 B.17 C ．－7D ．－17解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2018·襄阳四校联考)下列各式中，值为32的是( ) A ．sin 15°cos 15° B ．cos 2π12－sin 2π12C.1＋tan 15°1－tan 15°D.1＋cos 30°2解析：选 B A ．sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.B.cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.C.1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 60°＝ 3.D. 1＋cos 30°2＝cos 15°＝6＋24.故选B. 2．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( )A ．5B ．－1C ．6D.16解析：选A 由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以sin αcos βcos αsin β＝5，即tan αtan β＝5，故选A.3．对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝( )A.2425B.38C.28 D ．－2425解析：选D 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425，故选D. 4．(2019·吉林百校联盟高三联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝( )A ．4－2 3B ．23－4C ．4－4 3D ．43－4解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，sin ( α＋π12 )·cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cosπ12＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12，整理可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－2×tan π4－tanπ61＋tan π4tanπ6＝23－4.故选B.5．(2018·四川联考)已知角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos 2α＋cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3－2 2B ．－1C ．3－2 2D ．3＋2 2解析：选A 由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63，∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3－22，故选A.6．(2019·沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin 2(α＋β)＝( )2C.14D ．0解析：选A 由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3.两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1.7．(2018·永州二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.725 B.925 C.1625D.2425解析：选B ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B.8．(2018·河北武邑中学二调)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝( ) A.255B.55 C ．－255D ．－55解析：选C 利用辅助角公式可得f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中cos φ＝55，sin φ＝255.当函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值时，θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)，则cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋φ＝－sin φ＝－255(k ∈Z)，故选C.9．(2018·濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( )1020C ．－110D ．－220解析：选B 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－35<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝12sin(30°＋2α)＝12sin[(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝12×( －35×22＋45×22 )＝220，故选B.10．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°＝________.解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝－12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.答案：411．(2018·宝清一中月考)已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α的值为________．解析：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2.∵sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513.∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)·sin β＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.∵cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝3130130.答案：313013012．(2018·南京一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝3π4.答案：3π413．(2018·大庆实验中学期中)A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－45，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos2A ＋B ＝725，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝35.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A ＋B －⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－2425×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋725×35＝117125. 答案：11712514．(2019·六安第一中学月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 求：(1)sin 2α； (2)tan α－1tan α.解：(1)由题知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ( π6＋α )·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)得cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝cos ( 2α＋π3 )·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.15．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.。

2020版高考数学一轮复习课时作业24《正弦定理、余弦定理》(含解析)

二、填空题
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝ .
解析：因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sinA＝，因为0°<A<180°，所以A＝30°，此时C＝90°，所以S△ABC＝ ab＝ .
11.(2019·重庆市质量调研)
(1)求cosB的值；
(2)若b2－a2＝ ac，求的值.
解：(1)将sin －cos ＝两边同时平方得，1－sinB＝，得sinB＝，
故cosB＝± ，又sin －cos ＝ >0，
所以sin >cos ，
所以 ∈( ， )，所以B∈( ，π)，故cosB＝－ .
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋ ac，
所以 a＝c－2acosB＝c＋ a，
所以c＝ a，故＝ .
12.(2018·北京卷)若△ABC的面积为 (a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝60°；的取值范围是(2，＋∞).
三、解答题
10.(2019·惠州市调研考试)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝2，c＝2 ，求△ABC的面积.
解：(1)∵2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0，
∴由正弦定理可得
2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0，
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，且sinB＋sin(C－A)＝2sin2A，求△ABC的面积.
A. B.
C. D.
解析：由正弦定理，得sinA＝ sinB，又A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所以cosB＝ .

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十六简单的三角恒等变

课时跟踪检测(二十六) 简单的三角恒等变换一、题点全面练1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1 C.12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．(2019·成都模拟)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意知，tan α＝m3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，∴m ＝－6或1，故选A.3．已知2tan αsin α＝3，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.22C ．1D.12解析：选A 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0， ∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2＜α＜0，∴α＝－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0.4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4B.π4或3π4C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝π4.5．已知sin α＝－45⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，若α＋βcos β＝2，则tan(α＋β)＝( )A.613B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，∴cos α＝35. 由α＋βcos β＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝613. 6．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．解析：由3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.答案：－17187．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________.解析：∵2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0， ∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α＞0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋2α－sin 2α＝24cos α＝268.答案：2688．设α是第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝__________.解析：sin 3αsin α＝α＋2αsin α＝sin αcos 2α＋cos αsin 2αsin α＝cos 2α＋2cos 2α＝4cos 2α－1＝135，解得cos 2α＝910.因为α是第四象限角，所以cos α＝31010，sin α＝－1010，∴tan α＝－13，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 答案：－349．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45＝10＋32－4620.10．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·武汉八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 1＋cos θ2＋1－cos θ2＝62，则θ＝( )A.10π3或11π3 B.37π12或47π12 C.13π4或15π4D.19π6或23π6解析：选D ∵3π≤θ≤4π，∴3π2≤θ2≤2π，∴cos θ2≥0，sin θ2≤0，则1＋cos θ2＋1－cos θ2＝ cos2θ2＋ sin2θ2＝cos θ2－sin θ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝62，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝32，∴θ2＋π4＝π6＋2k π，k ∈Z 或θ2＋π4＝－π6＋2k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋4k π，k ∈Z 或θ＝－5π6＋4k π，k ∈Z.∵3π≤θ≤4π，∴θ＝19π6或23π6，故选D.2．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( ) A ．－35B.335 C.319D.37解析：选D 由tan(α＋80°)＝4si n 420°＝4sin 60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝α＋－tan 60°1＋α＋＝23－31＋23×3＝37. 3．若sin αcos β＝34，则cos αsin β的取值范围为________．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝34＋cos αsin β，且－1≤sin(α＋β)≤1，所以－74≤cos αsin β≤14.同理sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝34－cos αsin β，且－1≤sin(α－β)≤1，所以－14≤cos αsin β≤74.综上可得－14≤cos αsin β≤14.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14 (二)交汇专练——融会巧迁移4．[与不等式交汇]已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos x sin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsinπ4＝－255，故选A.5．[与向量交汇]设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：∵a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a ⊥b ，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan α·tanπ4＝2－11＋2×1＝13.答案：136．[与三角形交汇]在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为_______________________________________________．解析：由题意知cos A ，cos B ，cos C 均不为0，由sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cosB cosC ，得tan A ＝tan B tan C ．又因为cos A ＝13cos B cos C ，且cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ，所以sin B sin C ＝14cos B cos C ，所以tan B tan C ＝14.又tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B tan C )＝－tan A (1－tan B tan C )，所以tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝196.答案：1967．[与函数零点交汇]函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．解析：因为f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cos x )sin x －2sin x－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|图象的交点的个数，作出函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：2(三)素养专练——学会更学通8．[数学建模]如图，在矩形OABC 中，AB ＝1，OA ＝2，以B 为圆心，BA 为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM ⊥OA ，垂足为M ，PN ⊥OC ，垂足为N ，求四边形OMPN 的周长的最小值．解：如图，连接BP ，设∠CBP ＝α，其中0≤α＜π2，则PM ＝1－sin α，PN ＝2－cos α，则周长C ＝6－2(sin α＋cos α)＝6－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，因为0≤α＜π2，所以π4≤α＋π4＜3π4，故当α＋π4＝π2，即α＝π4时，周长C 有最小值6－2 2.9．[数学运算]已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解：(1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十四三角恒等变换含解析

课时跟踪检测（二十四）三角恒等变换[A 级　基础题——基稳才能楼高]1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1 B.12C.D ．－3212解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.122．(2019·贵阳高三监测考试)sin 415°－cos 415°＝( )A. B ．－1212C.D ．－3232解析：选D sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos 30°＝－.故选D.323．(2018·成都七中一模)已知tan α＝，tan ＝，则m ＝( )m3(α＋π4)2mA ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A ∵tan α＝，∴tan ＝＝.∵tan ＝，∴＝m 3(α＋π4)tan α＋11－tan α3＋m 3－m (α＋π4)2m 2m.解得m ＝－6或m ＝1.故选A.3＋m3－m4．若2cos Error!θ－Error!＝3cos θ，则tan θ＝( )π3A. B.2332C ．－D.33233解析：选D 由2cos ＝3cos θ可得cos θ＋sin θ＝3cos θ，故tan θ＝.(θ－π3)3233故选D.5．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α为第二象限角，则tan45＝( )(α＋π4)A ．7 B.17C ．－7D ．－17解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，即－cos(α－β＋β)＝－45cos α＝，∴cos α＝－.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－，∴tan ＝454534(α＋π4)＝.1＋tan α1－tan α17[B 级　保分题——准做快做达标]1．(2018·襄阳四校联考)下列各式中，值为的是( )32A ．sin 15°cos 15°B ．cos 2－sin 2π12π12C.D.1＋tan 15°1－tan 15°1＋cos 30°2解析：选B A ．sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.B.cos 2 －sin 2＝cos ＝.C.1214π12π12π632＝tan 60°＝.D. ＝cos 15°＝.故选B.1＋tan 15°1－tan 15°31＋cos 30°26＋242．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为( )1213tan αtan βA ．5 B ．－1C ．6D.16解析：选A 由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，1213所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，即＝5，故选A.512112sin αcos βcos αsin βtan αtan β3．对于锐角α，若sin ＝，则cos ＝( )(α－π12)35(2α＋π3)A. B.242538C.D ．－282425解析：选D 由α为锐角，且sin ＝，可得cos ＝，则cos ＝cos (α－π12)35(α－π12)45(α＋π6)＝cos cos －sin sin ＝×－×＝，于是cos [(α－π12)＋π4](α－π12)π4(α－π12)π445223522210＝2cos 2－1＝2×2－1＝－，故选D.(2α＋π3)(α＋π6)(210)24254．(2019·吉林百校联盟高三联考)已知cos ＝3sin ，则tan ＝(π2＋α)(α＋7π6)(π12＋α)( )A ．4－2B ．2－433C ．4－4D ．4－433解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin ，即sin ＝3sin(α＋π6)[(α＋π12)－π12]，sin Error!α＋Error!·cos －cos sin ＝3sin cos [(α＋π12)＋π12]π12π12(α＋π12)π12(α＋π12)π12＋3cos sin ，整理可得tan ＝－2tan ＝－2tan ＝－2×(α＋π12)π12(α＋π12)π12(π4－π6)＝2－4.故选B.tanπ4－tan π61＋tan π4tanπ635．(2018·四川联考)已知角α∈，且cos 2α＋cos 2α＝0，则tan ＝(0，π2)(α＋π4)( )A ．－3－2B ．－12C ．3－2D ．3＋222解析：选A 由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝.∵α∈13，∴cos α＝，∴sin α＝＝，∴tan α＝＝，tan ＝(0，π2)331－cos 2α63sin αcos α2(α＋π4)＝＝－3－2，故选A.tan α＋tanπ41－tan αtanπ42＋11－226．(2019·沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β＝，sin α＝2sin β－，则23sin 2(α＋β)＝( )A ．1 B.12C. D ．014解析：选A 由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3.两式相加，得1＋4＋4(cosαcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1.7．(2018·永州二模)已知tan ＝，则cos 2＝( )(α＋π4)34(π4－α)A. B.725925C. D.16252425解析：选B ∵tan ＝，∴cos 2＝sin 2＝(α＋π4)34(π4－α)(α＋π4)sin 2(α＋π4)sin 2(α＋π4)＋cos 2(α＋π4)＝＝＝.故选B.tan 2(α＋π4)tan 2(α＋π4)＋1916916＋19258．(2018·河北武邑中学二调)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝( )A. B.25555C ．－D ．－25555解析：选C 利用辅助角公式可得f (x )＝sin x －2cos x ＝sin(x －φ)，其中cos φ＝5，s in φ＝.当函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值时，θ－φ＝2k π＋(k ∈Z)，∴θ55255π2＝2k π＋＋φ(k ∈Z)，则cos θ＝cos ＝－sin φ＝－(k ∈Z)，故选C.π2(2k π＋π2＋φ)2559．(2018·濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋35α)·sin(75°－α)＝( )A. B.110220C ．－D ．－110220解析：选B 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－35.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)4512＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝1212×Error!－×＋×Error!＝，故选B.123522452222010．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：－＝________.1cos 80°3sin 80°解析：－＝＝＝1cos 80°3sin 80°sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°2sin 80°－60° 12sin 160°＝4.2sin 20°12sin 20°答案：411．(2018·宝清一中月考)已知sin(2α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈351213(π2，π)，则sin α的值为________．(－π2，0)解析：∵<α<π，∴π<2α<2π.π2∵－<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<.π2π25π2∵sin(2α－β)＝>0，∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.355π245∵－<β<0且sin β＝－，∴cos β＝.π21213513∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)·sin β＝×45－×＝.51335(－1213)5665∵cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝.9130∵α∈，∴sin α＝.(π2，π)3130130答案：313013012．(2018·南京一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以tan(α＋β)＝＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.tan α＋tan β1－tan αtan β3π4答案：3π413．(2018·大庆实验中学期中)A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－，cos ＝－，2425(B ＋π3)45则cos ＝________.(A －π3)解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－，cos ＝－，所以<A ＋B <π，<B ＋2425(B ＋π3)45π2π2<π，所以sin(A ＋B )＝＝，sin ＝＝.所以π31－cos 2 A ＋B 725(B ＋π3)1－cos 2(B ＋π3)35cos ＝cos ＝－×＋×＝.(A －π3)[ A ＋B －(B ＋π3)]2425(－45)72535117125答案：11712514．(2019·六安第一中学月考)已知cos ·cos ＝－，α∈.(π6＋α)(π3－α)14(π3，π2)求：(1)sin 2α；(2)tan α－.1tan α解：(1)由题知cos·cos ＝cos Error!＋αError!·sin ＝sin (π6＋α)(π3－α)π6(π6＋α)12＝－，(2α＋π3)14∴sin ＝－.(2α＋π3)12∵α∈，∴2α＋∈，(π3，π2)π3(π，4π3)∴cos ＝－，(2α＋π3)32∴sin 2α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝.[(2α＋π3)－π3](2α＋π3)π3(2α＋π3)π312(2)由(1)得cos 2α＝cos ＝cos Error!2α＋Error!·cos ＋sin[(2α＋π3)－π3]π3π3sin ＝－，(2α＋π3)π332∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝21tan αsin αcos αcos αsin αsin 2α－cos 2αsin αcos α－2cos 2αsin 2α－32123.15．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2，x ∈R.(x －π6)(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间上的最大值和最小值．[－π3，π4]解：(1)由已知，有f (x )＝－1－cos 2x21－cos (2x －π3)2＝－cos 2x 12(12cos 2x ＋32sin 2x )12＝sin 2x －cos 2x ＝sin .341412(2x －π6)所以f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π2(2)因为f (x )在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f [－π3，－π6][－π6，π4](－π3)＝－，f ＝－，f ＝，所以f (x )在区间上的最大值为，最小值为－14(－π6)12(π4)34[－π3，π4]34.12。

2022届高考一轮复习第4章三角函数解三角形第3节简单的三角恒等变换课时跟踪检测理含解

第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届贵阳模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C ．2．(2020届贵阳摸底)在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( )A ．5665 B ．－3365C ．5665或－1665D ．－1665解析：选D 因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为sin A ＝513，所以cos A ＝±1213.因为sin B ＝45>sinA ＝513，所以B>A ，所以角A 为锐角，所以cos A ＝1213.则cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B ＝513×45－1213×35＝－1665.故选D ．3．(2019届山东三校联考)已知sin 2α＝13，则cos 2α－π4＝( )A ．13 B ．16 C ．23D ．89解析：选C sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝23，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.故选C ． 4．(2019届福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15B ．－15C ．725D ．－725解析：选C 解法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，因为cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法三：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，即sin 2α＝725.故选C ．5．(2019届河北六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A ．25－35B ．5－35C ．5＋35D ．25＋35解析：选B ∵α∈(0，π)，tan α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，∴α在第一象限，且cos α＝15.∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B ．6．(2019届佛山模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．π3B ．π3或－23πC ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得，tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π<α＋β<0.又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.7．(2019届牛栏山中学模拟)已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin (α＋β)sin (α－β)等于( ) A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a解析：选C sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos α·sin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a.故选C ．8．(2019年全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝55(负值舍去)．故选B ． 9．(2020届大同调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得θ－π6＝π6，所以θ＝π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝1. 答案：110．已知tan (α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．解析：易知tan (2α－β)＝tan [2(α－β)＋β]．因为tan (α－β)＝12，所以tan 2(α－β)＝2tan （α－β）1－tan 2（α－β）＝43，故tan (2α－β)＝tan 2（α－β）＋tan β1－tan 2（α－β）tan β＝1.由tan β＝－17∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，知5π6<β<π，由tan α＝tan [(α－β)＋β]＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，知0<α<π6，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，故2α－β＝－3π4.答案：－3π411．(2019届宜昌联考)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x∈R，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ的值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝Asin 2π3＝32A ＝32，可得A ＝ 3.(2)因为f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32，即⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝32，所以cos θ＝64. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 12．(2018年江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos (α＋β)＝－55，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，所以tan (α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.B 级·素养提升 |练能力|13.在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos Bcos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的大小为( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A ∵在斜△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝－2cos Bcos C ，两边同时除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝－ 2.又∵tan Btan C ＝1－2，∴tan(B ＋C)＝tan B ＋tan C1－tan Btan C ＝－1.又∵B＋C∈(0，π)， ∴B ＋C ＝34π，∴A ＝π4.14.(2019届湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos (α－β)的值为( )A ．59B ．49C ．23D ．0解析：选A 由题可设大、小正方形边长分别为3，2，可得cos α－sin α＝23，① sin β－cos β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得，49＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin 2β＋cos 2β－cos (α－β)＝1－cos (α－β)，解得cos (α－β)＝59.故选A ．15．(2019届唐山市高三摸底考试)已知函数f(x)＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C f(x)＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x)－sin(2x ＋x)＝－2cos 2xsin x ，令f(x)＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得，2x ＝π2或2x ＝3π2或2x＝5π2或2x ＝7π2，∴x＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∴π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C ． 16．(2019届广东六校第一次联考)已知A 是函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 026解析：选B f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f(x)max ＝2，f(x)的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，所以f(x 2)＝f(x)max ，f(x 1)＝f(x)min ，故A|x 1－x 2|的最小值为A×12T ＝π1 009，故选B ．17．(2019届湖南重点高中联考)已知向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(cos θ，－1)，若a⊥b，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：由已知得a·b＝2cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝12cos 2θ＝12(cos 2 θ－sin 2θ)＝12×cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝12×1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－310. 答案：－310第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第二课时简单的三角恒等变换A 级·基础过关 |固根基|1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．(2019届成都模拟)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意知，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，∴m＝－6或1，故选A ．3．已知2tan αsin α＝3，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B ．22C ．1D ．12解析：选A 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴α＝－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0. 4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A ．3π4B ．π4或3π4C ．π4D ．2k π＋π4(k∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.5．(2019届福州市高三期末)若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C ．79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.故选C ．6．若α是第二象限角，且sin α＝35，则1－2sin π＋α2·sin π－α2＝( )A ．－65B ．－45C ．45D ．65解析：选C 因为1－2sin π＋α2sin π－α2＝1－2cos 2α2＝－cos α，又sin α＝35，且α是第二象限角，所以cos α＝－45，所以1－2sin π＋α2sin π－α2＝45.故选C ．7．(2019届兰州模拟)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.8．设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解析：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.答案：439．(2019届三湘名校联考)函数f(x)＝sin 2x ＋2cos x 在区间[0，π]上的值域为____________．解析：f′(x)＝2cos 2x －2sin x ＝－2(2sin 2x ＋sin x －1)＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π时，f′(x)>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6时，f′(x)<0，∴x ＝π6是f(x)的极大值点，x ＝5π6是f(x)的极小值点．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－332，f(0)＝2，f(π)＝－2，∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 10．(2019届四省八校联考)f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)的最小正周期为________．解析：f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)＝sin 2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin x cos x ＝2sin xcos x sin x ×cos x ＋3sin x cos x ＝2(cos x ＋3sin x)＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f(x)的最小正周期T ＝2π. 答案：2π11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2，1]． 12．(2019届河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝43cos 2ωx ＋2sin 2ωx －3(ω>0)的部分图象如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y ＝3的交点，且EH →·EF →＝EH →2.(1)求ω的值及函数的值域；(2)若f(x 0)＝335，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，求f(x 0＋2)－3的值．解：(1)函数化简得f(x)＝23cos 2ωx ＋2sin 2ωx ＋3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋ 3.由题意可知|EF|＝T2.因为EH →·EF →＝EH →2，所以EH →·(EH →＋HF →)＝EH →2，所以EH →·HF →＝0，所以HF⊥HE，所以△EFH 是等腰直角三角形．又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以|EF|＝8，所以函数f(x)的周期T ＝16.所以2ω＝2π16，即ω＝π16，函数f(x)的值域是[－4＋3，4＋ 3 ]．(2)由(1)，知f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π3＋3，因为f(x 0)＝335，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝－310. 因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，所以π8x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝9710，所以f(x 0＋2)－3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π4＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3cos π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3sin π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－310×22＋4×9710×22＝194－65.B 级·素养提升|练能力|13.(2019届长春市高三第一次质量监测)函数f(x)＝3sin x ＋3cos x 的最大值为() A ． 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选C 由题意，可知f(x)＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数的最大值为23，故选C ．14．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)sin 2x (x∈R)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选 D ∵f(x)＝14(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝14(1－cos 22x)＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x)，∴f(－x)＝18[1－cos (－4x)]＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，故选D ． 15．已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f(x)≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，∴tan α＝－3，∴sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A ． 16．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：∵a＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2×1＝13. 答案：13。

新课改瘦专用版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十四函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用含解

课时跟踪检测(二十四) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、题点全面练1．(2019·益阳、湘潭调研)要得到函数f (x )＝sin 2x ，x ∈R 的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的图象( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：选 D 由于把函数y ＝sin 2x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位，可得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故为了得到函数f (x )＝sin 2x ，x ∈R 的图象，只需把g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的图象向右平移π6个单位即可，故选D.2.(2018·济宁期末)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析：选B 由题中图象知A ＝1，记函数f (x )的最小正周期为T ，则34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|＜π2得π3＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选B. 3.(2019·赣州质检)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π＜φ＜π)的图象向左平移π3个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝2π3B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝1，φ＝－π3D ．ω＝1，φ＝2π3解析：选A 函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π＜φ＜π)的图象向左平移π3个单位后可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋πω3＋φ.由函数的图象可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，∴T ＝π.根据周期公式可得ω＝2，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3.由图知当y ＝－1时，x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝π12，∴函数的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，－1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝－1.∵－π＜φ＜π，∴φ＝2π3.故选A.4．(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，f (α)＝－1，f (β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，且f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析：选B 由题意可知f (x )的最小正周期T ＝4|α－β|min ＝4×3π4＝3π，则2πω＝3π，ω＝23，因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×π4＋φ＋1＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0. 因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋1.令2k π－π2≤23x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得3k π－π2≤x ≤3k π＋π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z. 5.(2018·福州三校联考)如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，对任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝1，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 从题图可得A ＝2，x 1，x 2关于函数f (x )图象的对称轴是对称的，即直线x ＝x 1＋x 22是f (x )图象的一条对称轴，且f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2，可得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋φ＝2，可得ω⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，①∵f (x 1＋x 2)＝1，∴2sin[ω(x 1＋x 2)＋φ]＝1，可得ω(x 1＋x 2)＋φ＝π6＋2k π或5π6＋2k π，k ∈Z ，②令k ＝0，由①②得φ＝π6或5π6，∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.6．(2019·湖北天门、仙桃、潜江联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)的值等于________．解析：由题图知A ＝2，T2＝6－2＝4，∴T ＝8，则ω＝2π8＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ. 又∵函数图象过点(2,2)， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×2＋φ＝2，∴π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，则φ＝2k π(k ∈Z)， ∴f (x )＝2sin π4x .∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)＝2f (1)＋2f (2)＋…＋2f (8)＋f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (2)＝2＋2.答案：2＋27．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则φ＝________.解析：由f (x )的最小正周期大于2π，得T 4＞π2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得T 4＝11π8－5π8＝3π4，所以T ＝3π，则2πω＝3π⇒ω＝23，所以f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋φ＝1，所以5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，取k ＝0，得φ＝π12.答案：π128.(2019·武汉调研)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 上是减函数； ④f (x )的最大值为A .则正确的结论为________(填序号)．解析：由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z)，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T 4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z)，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z)时，f (x )是减函数，故③正确；若A ＞0，则最大值是A ，若A ＜0，则最大值是－A ，故④不正确．答案：①③9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．10．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z.故ω＝6k ＋2，k ∈Z. 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.二、专项培优练(一)交汇专练——融会巧迁移1．[与新定义交汇]定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值为( )A.π3B.7π6C.π6D.5π6解析：选D f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x ＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，向左平移φ个单位得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ，由题意知y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ是偶函数，所以π6＋φ＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π6(k ∈Z)．因为φ＞0，所以当k ＝1时，φ的最小值为5π6.2．[与立体几何交汇]如图，将绘有函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若A ，B 之间的空间距离为10，则f (－1)＝( )A ．－1B ．1C ．－32D.32解析：选D 由题设并结合图形可知AB ＝32＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 222＝ 6＋T 24＝6＋π2ω2＝10，得π2ω2＝4，则ω＝π2，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋5π6，所以f (－1)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋5π6＝3sin π3＝32. 3.[与导数交汇]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，由题图可知ω＝2，则f ′(x )＝2cos(2x ＋φ)．又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝－1，且|φ|＜π2，所以φ＝π3.答案：2π3(二)素养专练——学会更学通4.[数学运算]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＝a 有实数解，求a 的取值范围．解：(1)由图可得A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝2，可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)，所以函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z)．(2)设g (x )＝f (x )＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，t ∈[－1,1]，记h (t )＝－4t 2＋2t ＋2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋94，因为t ∈[－1,1]，所以h (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，94，即g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，94，故a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，94. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，94.5．[数学建模、数学运算]已知某海滨浴场的海浪高度y (m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：根据以上数据，(1)求函数f (t )的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25 m 的时间．解：(1)由表格得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，b ＝1，又因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝f (t )＝12cos π6t ＋1.(2)由题意，令12cos π6t ＋1＞1.25，即cos π6t ＞12，又因为t ∈[0,24]，所以π6t ∈[0,4π]，故0≤π6t ＜π3或5π3＜π6t ＜7π3或11π3＜π6t ≤4π，即0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25 m 的时间为8小时．。

2020届高考总复习数学(文科)课时跟踪练(二十四)

课时跟踪练（二十四）A组基础巩固n n1. （2019 沈阳质检）已知△ ABC 中，A=6，B = 4，a= 1,贝S b 等于（）A. 2B. 1C. 3D. 2解析：由正弦定理 .A= . 口，得= ,sin A sin B' . n . nsin ：sin ；6 4所以1=；，所以b=2/2・2 2答案：D2. (2016全国卷I )△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b,2c,已知a= 5, c= 2, cosA=3,贝S b=( )A. 2B. 3C. 2D. 32解析：由余弦定理得5= b2+ 4- 2X b x 2X 3,解得b= 3或b= —1（舍去），故选D.答案：DB a c3. （2019石家庄检测）在厶ABC中，coS{ = £（a, b, c分别为角A, B, C的对边），则△ ABC的形状为（）A .等边三角形B.直角三角形a + cac -1,所以 cosB =c ,所以△ABC 为直角三角形. 答案：B4. （20佃开封模拟）在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , 3sn (C = 2sin Asin B ,且 b = 6,贝U c =()B . 3所以 a 2= b 2 + c 2 — 2bccosA ,f 3sin 2 C又 cosC = 2sin 人血 B , 3c 2所以 cosC = 2a b3c 2a 2+ b 2— c 2即 cosC = 2ab = 2ab ,由①②解得c = 4或c = — 6（不合题意，舍去），因此c = 4. 答案：Cc B a + c解析：因为 coW 2 = 2c ,a 2 + c 2—b 2所以2ac =g ，所以 c 2 = a 2 + b 2.b , c.右 A = 3,解析：在△ABC 中，A =b = 6, 即 a = 36 +c — 6c ,①所以 a 2+ 36= 4c 2，②C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形所以 2coS B -15. （2019石家庄一模）在厶ABC 中，AB = 2, C = g ，则AC +护BC的最大值为()A. 7B . 2 7C . 3 7D . 4 7n解析：在△ABC 中，AB = 2, C =6，AB BC AC 则 sin C =sin A =sin B = 4,则 AC + 3BC =4sin B + 4 3sin A |5n . =4si^T — A 6=2cosA + 6 3sin A = 4 7sin(A + E), 所以AC + 3BC 的最大值为4 7. 答案：D6. （2018浙江卷）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ・若 a =羽，b = 2, A = 60° 贝S sin B= ____ , c= _______ .ahKO解析：⑴如图，由正弦定理sirTB ,得sin B =a sin A =（7 3 21 2 = 7・(2)由余弦定理 a 2= b 2 + c 2 — 2bc cosA,得 7 = 4 + c 2 — 4c x cos 60,即 c 2— 2c — 3= 0,解得 c = 3 或 c = — 1(舍去).+4 3sin A答案： 734 7. △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,若cosA =5,所以 sin B = sin[ r (A + C)] = sin(A + C) 63=sinAcosC + sin CcosA = §5, asin B 21根据正弦疋理得 b = si n A = 13. 答案：£8. （2019荆州一模）△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ・已知a = 2 2, cos A = 3, sin B = 2sin 6则厶ABC 的面积是3解析：由 sin B = 2sin C , cosA =4, 可得 b = 2c , sin A = 1 — co^ A =:,所以由 a 2 = b 2+ c 2— 2bccosA ，可得 8 = 4c 2 + c 2— 3c 2, 解得c = 2(舍负)，则b = 4.11、7cosC = 13,a = 1,则b = .解析：由 cosC = 13, 0<C< n 得 sin C = 13・由 cosA =0<A< n 得 sin A =5.45,所以S^BC = 2bcsin A= $ 2X4X 4= 7.答案：719. (2018 北京卷)在厶 ABC 中，a = 7, b = 8, cosB =- 7. (1) 求/ A ;(2) 求AC 边上的高.1解：⑴在AABC 中，因为cosB =- 7,所以 sin B = p 1 - coSB =nn 由题设知2< /B<n,所以0V ZA<2・n所以Z A =3.(2)在MBC 中,所以AC 边上的高为asin C = 7X 穿?=^^3.10.已知△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , a 2- ab - 2b 2=0.(1)若 B = 6 求 A , C ; 2 n⑵若 C = 3, c = 14,求 S A ABC .解：（1）由已知B = 6, a 2- ab -2b 2= 0结合正弦定理化简整理得 2sin 2 A -sin A -1 = 0,由正弦定理得sin A = asin B 3 b =2 . 因为 sin C = sin(A + B)= sinAcosB + cosAsin B =3 3 14，1解得 sin A = 1 或 sin A = — ?(舍)•因为0VAV n,所以 n A= 2’又 A + B + C = n,n n 所以 C = n — 2 — 6 = n 3.⑵由题意及余弦定理可知a 2 + b 2 + ab =佃6,① 由 a 2-ab — 2b 2 = 0得(a + b)(a — 2b)= 0, 因为a + b>0,所以a — 2b = 0,即a = 2b ,② 联立①②解得b = 2 7, a = 4 7. 所以 S^BC = ；absin C = 14 3.B 组素养提升11 .在△ ABC 中，角A , B , C 所对的边长分别为a , b , A , sin B , sin C 成等比数列，且c = 2a ,则cosB 的值为（c , sin )C 迄C.4B3D 壘 3解因为sin A , sin B , sin C 成等比数列,所以sin 2 B = sin Asin C ,由正弦定理得 b 2 = ac , a 2 + c 2— b 2 a 2 + 4a 2— 2a 2 3又 c = 2a ,故 cosB = 2ac = 4a 2 = 4・4a 2答案：B12. (2019合肥质检)△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,若cos C = ^^2, bcos A + acos B = 2,则厶ABC 的外接圆面积为 ( )A . 4 nB . 8 nC . 9 nD . 36 n解析：在A ABC 中，由 cosC =可得 sin C = £,又 bcosA + acos B = c = 2,设A ABC 的外接圆的半径为R,则由正弦定理可得2R = 2=2 = 6, R = 3,则外接圆的面积为TI R 2= 9 n 故选C. 3答案：C13. (2017全国卷I 改编)△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知 sin B + sin A(sin C — cosC)= 0, a = 2, c = 2,贝S C =解析：因为a = 2, c = 2,2 (2所以由正弦定理可知，snA =sinC , 故 sin A = 2sin C. 又 B = n — (A + C),故 sin B + sin A(sin C — cosC) =sin(A + C) + sin Asin C — sin AcosCcsin C=sinAcosC + cosAsin C + sin Asin C —sin AcosC=(sin A + cosA)sin C=0.又C为AABC的内角，故sin CT,贝卩sin A+ cosA = 0,即卩tan A= — 1.3 n又 A € (0, n)所以A=4 .1 辽返1从而sin C= 2sin A= 2x 2= 2.由A=冷C为锐角，故c=n答案：n14. (2019潍坊一模)△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b, c,已知(a + 2c)cosB + bcosA= 0.(1) 求B;(2) 若b= 3,A ABC的周长为3+ 2 3，求△ ABC的面积.解：(1)由已知及正弦定理得(sin A+ 2sin C)cosB + sin BcosA= 0,即(sin AcosB + sin BcosA) + 2sin CcosB = 0,即sin(A + B) + 2sin CcosB= 0,1又sin(A + B) = sin C,所以cosB= —?,2n因为0VBV n,所以B= y.⑵由余弦定理，得9= a2+ c2—2accosB・所以a2+ c2+ ac= 9,则（a+ c）2—ac= 9. 因为a+b+ c= 3+ 2\/3,所以a+ c= 2\J3,所以ac= 3,所以S MBC = 1acsin B = *x 3x^=豎3。

高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十三)简单的三角恒等变换理新人教A版

课时跟踪检测(二十三) 简单的三角恒等变换1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π62.sin180°＋2α1＋cos 2α·cos 2αcos 90°＋α等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．14．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.345．(2012·广东命题研究专家原创卷)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C ．－12或32D.52或326．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π37．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 9．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.10．(2012·深圳调研)已知向量a ＝(cos ωx ，3sin(π－ωx ))，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx ，ω>0，函数f (x )＝2a·b ＋1的最小正周期为2. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的取值范围．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．12．(2012·东莞质检)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．1．(2012·梅州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P u u u u r|等于( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π2.3－sin 70°2－cos 210°等于( ) A.12B.22 C ．2D.323．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．答案课时跟踪检测(二十三)A 级1．选A tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－－2＋131－－2×13＝1.故A ＝π4.2．选D 原式＝－sin 2α·cos 2α1＋cos 2α·－sin α＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 3．选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．选C f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos 2ax 2－32sin 2ax ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π6＋12，由题意得，m 为函数f (x )的最大值或最小值，所以m ＝－12或m ＝32. 6．选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．解析：∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．解：(1)f (x )＝2a·b ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2ωx ＋3sin π－ωx ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx ＋1 ＝2cos 2ωx ＋23sin(π－ωx )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx ＋1＝cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋2 ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋2. 因为函数f (x )的最小正周期为2，且ω>0，所以2π2ω＝2，解得ω＝π2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＋2，因为0≤x ≤12，所以π6≤πx ＋π6≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≤1，因此3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＋2≤4，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的取值范围为[3,4]． 11．解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2β－α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝7210，于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4. 12．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ， ∴y ＝x1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x2.B 级1．选B 注意到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P u u u u r|＝2π.2．选C 3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－2cos 210°－12－cos 210°＝22－cos 210°2－cos 210°＝2.3．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。

高三数学(文科)高考一轮总复习课时跟踪检测3-5三角恒等变换含解析

高三数学（文科）一轮总复习课时跟踪检测［课时跟踪检测］［基础达标］n1.（2017届南宁质量检测）已知2< a< n, 3sin2 a= 2cos a,则cos（a— n等于（）2A. 3/ 1 n解析：由3sin2 a= 2cos a,得sin a= 3•因为2< a< n,所以cos( a— n ^ —cos a= 1-答案：C2.已知sin a+COS a=1 r2 n3,贝U sin2 4— a=(解析：I Sin 6— a = cos 6 + a ,• 1 1 .--qCOS a—2 sin a= 2 cos a—?Sin a,A'18C-9 D¥解析:1 、由sin a+ cos a= 3两边平方得 1 + sin21 8%= 9，解得sin2尸一9，所以sin2 4- a =1 —COS^ —2 a 1+<2 丿1 —sin2a ___ 17=18.答案：Bi n3. （2018届东北四市联考）已知sin61；na |= cos^ + a,贝U COS2oc=( )丿 6B.—17.①答案：D2C .—后• •• cos2a=cos 2 .2o — Sin a= . 2 sin2 • 2 , 丄2cos a — sin a 1 — tan a广=2 = 0. a+ cos a tan a+ 14.已知sin23 a 5a <n ,1tan (a — ® = 2，贝 U tan (a+ 3 等于()B .— 1解析：由题意，可得cos2 a= — 4 5,则 tan2 a= — 34, tan(a+ 3 = tan[2 a — (a — 3] tan2a —tan a — 3 = =—21 + tan2otan a — 3 答案：A 5.在斜三角形 ABC 中，sinA =— 2cosBcosC , 且 tanB tanC = 1 -{2，则角 A 的值为（）n A ・4 nB.3 nC .2 3nD .3T解析：由题意知，sinA =— ,2cosBcosC = sin(B + C) = sinBcosC + cosBsinC , 在等式— 2cosBcosC = sinBcosC + cosBsinC 两边同除以 coSBcosC 得 tanB + tanC tanB + tanC ,A 阳_ 2,又 tan(B + C)二 1-tanBtanC_ 1 = —ta 叭即ntag J 所以Ap答案：A6.已知sinn 7 ,2 c 7a — 4 = 10, cos2 a=—，贝U sin a=(4A ・4B .3 C.5 解析：由sinn 7 - 2 . a —4 二而得sin a — cos a=亠7 /口 2 27由 cos 2汗 25得cos a — sin a 252 D.石所以(cos a — sin a (cos a+ sin o) = 25.② 1由①②可得 cos a+ sin a= —2.③53由①③可得sin a = 5. 答案：C7.若 tan a=3,则 sin 2a+ 4 的值为(C ^2 C.10解析：I sin2a= 2sin a cos a= -2^n ^cos ^ = 2t an a = 3 c°s2a= cos 2a — sin 2asin a+ cos a tan a+ 1 52 . 2 2cos a- sin a 1 — tan a— 2 2 — 2 —cos a+ sin a 1 + tan a.(n x/2 -J 2 42 3 …sin 2 a+ 4 =~2sin2 a+-2COS2a=-2 X 5 + 答案：A1 18. 已知 cos(a+ ® = 6，且 cos(a — 3 = 3，贝tanctan B 的值为1解析：因为cos(a+ ® = 6,1 所以 cos a osB — sin a sin 1因为 cos(a — 3 = 3,1所以 cos a os B+ si n a si n A 3.② 1① + ②得 cos a cos 3=~.41② —①得si n a si n 3—乜4 5,sin osin 3= 1所以tandtan —cos ocos 3= 31答案：19. 已知方程x + 3ax + 3a + 1 = 0(a>1)的两根分别为tan a, ta nB,且a,n n r厂 2， 2，贝U a+ ________ .解析：由已知得 tan a+tanf = — 3a , tan dt an B= 3a + 1, 二 tan (a+ B = 1.— [n n'i又a, 氏 —2，2，tan a+tan p= — 3a<0, tan a an B= 3a + 1>0,二 tan a <0,(n \ tan 仟0,二 a ,氏—2, 0 ,3n --a+ B € (一 n, 0) , — a+一 ~4.tan a+ tan B _1 — tan a an B3 n5 n,…a+ B = ~4.(n )11. (2017届广东六校联考)已知函数f(x) = sinx + , x € R .(1) 求 f [一：的值；答案:3n ~410. 已知tan a=—1, cosA-55, 并求出a+ B 的值.解：由 cos B= ,得 sin B=2.55 ,tan B= 2. 二 tan (a+ B =—1+ 23+ 22" 1+2a 匕 2,n ,求tan (a+ B )的值,2 ,冗1,4 (n (n(2) 若cos 9= 5,茨0 , 2 ,求f 2 9- 3 的值.7t 解析：cos9 cos2n 9 c os ―29^ = cos20° cos40° cos100°24所以 sin2 9= 2sin 9cos 9=元,227cos29=cos 9-sin 9= 25,12. 已知函数 f(x) = Acos^ + n ，x € R , (1)求A 的值； ⑵设 a-|0, n ，f@a+ 舒=—需，f4p-|n=8, 求 cos(a+ ®的值.解：(1)因为 fgj = AcosJi n 2 + n =人8寸=¥人=寸2，所以 A = 2.得 Sin a= 需，又 a€ |0,才, 所以 cos a= 醫由 f £ B-苗=2cos (B — n+n= 2cos B= 5, 得 cos p= 4，又英 0 2〔所以 sin 5，所以 cos(a+ B = cosacos B — sin a sin B= 187X 4-3=—器［能力提升］D.isin 2 9-(sin2 9— cos2 9 .4 因为 cos 9= 5，0, 2，所以 sin 9= 5,所以f2 9—(sin2 9— cos29 =愆—Z L 血2 25 25 = 50⑵由 f 4a+ 4n =( n n2cos好 3+ 6 =2cos a+ 2 = — 2sin a= —3017'n 1. c°s92n cos 9cos=—cos20 ° c os40 ° •os80 °sin20 °cos20 ° cos40 ° c os80sin 20答案：A—1 = — 9,所以 sin2a= 1 — cos 1 2 32 a= 492.又 a 0,才丿，所以 a+ 氏(0，冗)所以 sin(a+ 3 = p 1 — CoV( a+ 3尸^3^, 所以 COs(a — 3 = COs[2 a — ( a+ 3] = cos2 ocos(a+ 3 + sin 2«si n(a+ 3 =3 + 492X誉=17.故选 D.答案：D1 求sin2a 的值；12求tana—不；的值.5 n y f n y解：(1)cos 6 + a cos 3— a =2sin40 °c os40「c os80 °sin 20*sin80 c os80 ° sin 20jsin160 ° gsin20 sin 20sin 20o'18.2 .已知cos1 13, COS (a+ 3 = 一 3,且a, 0, 2，则 COs(a — 3 =()1 B.223 D.23解析：因为a€ 0,，所以2a€ （0, n ）因为cos a= 1 23,所以 cos2a= 2cos a-1)3. （2018届合肥质检）已知cos &+ a cos 才一 a=— 4 a丿 4n n3, 2 .n n |2 n 、\(2)V a€ 3, , l 2a€ —, n ,2 2一」~cos a sin a — COs a — 2cos2a 亠 2 亠亠—— ——2 x 3tan a cos a sin a sin a os a sin2a 124 .已知角a 的顶点在坐标原点，始边与X 轴的正半轴重合，终边经过点P(― 3, 3).(1)求 sin2 a — tan a 的值;(2)若函数 f(x) = cos(x — a )cos a — sin(x —o )sin a,求函数 g(x)=解：(1)V 角a 的终边经过点P(— 3,. 3),si n2 a — tan a= 2si n a cos a — tan a=(2)v f(x) = cos(x — Q cos a — sin(x — "sin a= cosx , x € R , i g(x)= . 3cos 2— 2x— 2COS 1 2X = . 3sin2x — 1 — cos2x =^sin 2 a+ =-1, 即卩 sin 2 a+a€si n2 a= 了 n n ( sin jj 2a+ 3 — 3 = sin 1^2 n n _ 3 COs>3 — COs 2 a+ n . n 1 3 sin 3= 2.1又由⑴知sin2a= 2 ,• l COS2a= 1 sin a --tan a —二sinF2, cos a=■/tan a=衍+V3 V3 ~2 十 ~3 二一 ~6.0< x < 2n 3 ,7n 6.2f 2(x)在区间0,的值域.2sin 2x —高三数学(文科)一轮总复习课时跟踪检测故函数g(x)= 3f扌一2x —2f2(x)在区间0,罟上的值域是[-2,1].11。

全国版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十四三角恒等变换含解析55

高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十四)解三角形的综合应用文苏教版

课时跟踪检测（二十四）解三角形的综合应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的________方向上．解析：由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以 ∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.答案：南偏西80°2．(2019·扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A ，B 两处观察山顶C 的仰角分别是30°和45°，两个观察点A ，B 之间的距离是100 m ，则此山CD 的高度为________m.解析：设山高CD 为x ，在Rt △BCD 中有：BD ＝CD ＝x ，在Rt △ACD 中有：AC ＝2x ，AD ＝3x . 而AB ＝AD －BD ＝(3－1)x ＝100. 解得x ＝1003－1＝50(3＋1)．答案：50(3＋1)3.(2019·南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A 出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东35°的方向航行40 2 海里后到达海岛C .如果巡逻舰直接从海岛A 出发到海岛C ，则航行的路程为________海里．解析：根据题意画出图形，如图所示．在△ABC 中，∠ABC ＝70°＋35°＝105°，AB ＝40，BC ＝40 2. 根据余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC ＝402＋(402)2－2×40×402×2－64＝400(8＋43)＝400(6＋2)2， ∴AC ＝20(6＋2)．故所求航行的路程为20(6＋2)海里．答案：20(6＋2)4．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________ km.解析：由条件知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，设BC ＝x km则由余弦定理知9＝x 2＋4－4x cos 120°，因为x ＞0，所以x ＝6－1. 答案：6－15.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：3 26．(2018·天一中学检测)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．解析：如图所示，设过x h 后两车距离为y ，则BD ＝200－80x ，BE＝50x ，所以y 2＝(200－80x )2＋(50x )2－2×(200－80x )·50x ·cos 60°整理得y 2＝12 900x 2－42 000x ＋40 000(0≤x ≤2.5)，所以当x ＝7043时y2最小．答案：7043二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里．解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．答案：10 22．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：6 23．(2018·启东二模)如图所示，为了测量A ，B 两处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿的距离为________海里．解析：由题意可知CD ＝40，∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠BCD ＝90°， ∴∠ACD ＝30°，∠ADC ＝105°， ∴∠CAD ＝45°.在△ACD 中，由正弦定理，得ADsin 30°＝40sin 45°，∴AD ＝202，在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∴BD ＝2CD ＝40 2. 在△ABD 中，由余弦定理，得AB ＝ 800＋3 200－2×202×402×cos 60°＝20 6. 故A ，B 两处岛屿的距离为206海里．答案：20 64．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案：505．(2018·镇江模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为________．解析：由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＞0.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，因为0＜A ＜π，所以0＜A ＜π2. 又a 为最大边，所以A ＞π3.因此角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π3，π26. (2019·通州中学高三测试)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船间的距离是________km.解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min 时，甲船到达M 点，乙船到达N 点，由题意知AM ＝8×14＝2(km)，BN ＝12×14＝3(km)，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos 120°＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以MN ＝13(km)．答案：137．(2018·南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°. 由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ，所以AC ＝CEsin ∠EAC·sin∠CEA ＝20 3 m.所以在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin∠ACB ＝203×32＝30 m. 因为国歌时长为50 s ，所以升旗速度为3050＝0.6 m/s.答案：0.68．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，沿山坡向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝________.解析：在△ABC 中，由正弦定理可知BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB ＝100sin 15°－＝50(6－2)(m)．在△BCD 中，由正弦定理可知sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBDCD ＝6－250＝3－1.由题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1. 答案：3－19．(2018·镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3.在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000，所以DE ＝1007.答：甲、乙两人之间的距离为1007 m. (2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ. 在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ. 在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DEsin ∠DBE ，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.答：甲、乙之间的最小距离为50 3 m.10．(2019·淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A 的正西方C 处，且与岛A 相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B 处追上．(1)求该军舰艇的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝10×2＝20，AC ＝12，∠ACB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝202＋122－2×20×12cos 120°＝784，解得BC ＝28，所以该军舰艇的速度为BC2＝14海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝20×3228＝5314. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，所以∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin ∠ACB，所以BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．因为CD ⊥AD ，所以CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350.故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 6502．(2019·南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l 1，l 2，公园管理中心位于点O 正南方2 km l 1上的A 处，现计划在l 2即点O 北偏东45°方向，观光路l 2路旁B 处修建一公园服务中心．(1)若为方便管理，使AB 两点之间的直线距离不大于2 5 km ，求OB 长度的取值范围；(2)为了方便市民活动，拟在l 1，l 2上分别选点M ，N ，修建一条小路MN .因环境需要，以O 为圆心，22km 为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M ，N 的位置，使M ，N 之间的距离最短．解：(1)在△ABO 中，OA ＝2，OB ＝x ，∠AOB ＝135°，根据余弦定理得，AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 135°， ∴22＋x 2－2×x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≤(25)2，即x 2＋22x －16≤0，解得－42≤x ≤22， ∵x ≥0，∴0≤x ≤22，故OB 长度的取值范围为[0,2 2 ]．(2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连结OC ，则OC ⊥MN . 设OM ＝a ，ON ＝b ，MN ＝c ，在△OMN 中，∵12MN ·OC ＝12·OM ·ON ·sin 135°，∴12·22c ＝12·22ab ，即c ＝ab ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 135°＝a 2＋b 2＋2ab ≥(2＋2)ab ＝(2＋2)c ，解得c ≥2＋2，当且仅当a ＝b ＝2＋2时，c 取得最小值2＋ 2.∴M ，N 与点O 的距离均为2＋ 2 km 时，M ，N 之间的距离最短，最短距离为(2＋2)km.。

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课时跟踪检测（二十四）三角恒等变换[A 级基础题——基稳才能楼高]1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．(2019·贵阳高三监测考试)sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos 30°＝－32.故选D. 3．(2018·成都七中一模)已知tan α＝m3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A ∵tan α＝m 3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3＋m 3－m .∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m，∴2m ＝3＋m 3－m .解得m ＝－6或m ＝1.故选A.4．若2cos ( θ－π3 )＝3cos θ，则tan θ＝( )A.23B.32C ．－33D.233解析：选D 由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3cos θ可得cos θ＋3sin θ＝3cos θ，故tan θ＝233.故选D.5．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B.17 C ．－7D ．－17解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，∴cosα＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2018·襄阳四校联考)下列各式中，值为32的是( )A ．sin 15°cos 15°B ．cos 2π12－sin 2π12C.1＋tan 15°1－tan 15°D.1＋cos 30°2解析：选B A ．sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.B.cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.C.1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 60°＝ 3.D. 1＋cos 30°2＝cos 15°＝6＋24.故选B. 2．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( )A ．5B ．－1C ．6D.16解析：选A 由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcosβ＝512，cos αsin β＝112，所以sin αcos βcos αsin β＝5，即tan αtan β＝5，故选A. 3．对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝( )A.2425B.38C.28D ．－2425解析：选D 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425，故选D.4．(2019·吉林百校联盟高三联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝( )A ．4－2 3B ．23－4C ．4－4 3D ．43－4解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，sin ( α＋π12 )·cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12，整理可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－2×tan π4－tan π61＋tan π4tanπ6＝23－4.故选B.5．(2018·四川联考)已知角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos 2α＋cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3－2 2B ．－1C ．3－2 2D ．3＋22解析：选A 由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63，∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3－22，故选A. 6．(2019·沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin 2(α＋β)＝( )A ．1 B.12 C.14D ．0解析：选A 由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sinα－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3.两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1.7．(2018·永州二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.725 B.925 C.1625D.2425解析：选B ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B.8．(2018·河北武邑中学二调)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝( ) A.255B.55C ．－255D ．－55解析：选C 利用辅助角公式可得f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中cos φ＝55，sin φ＝255.当函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值时，θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋π2＋φ(k∈Z)，则cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋φ＝－sin φ＝－255(k ∈Z)，故选C.9．(2018·濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( )A.110B.220C．－110D．－220解析：选B 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－35<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝12sin(30°＋2α)＝12sin[(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝12×( －35×22＋45×22 )＝220，故选B. 10．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°＝________.解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin 80°－60°12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.答案：411．(2018·宝清一中月考)已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α的值为________．解析：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2.∵sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513.∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)·sin β＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.∵cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 答案：313013012．(2018·南京一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝3π4.答案：3π413．(2018·大庆实验中学期中)A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－45，所以π2<A ＋B <π，π2<B＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2A ＋B ＝725，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝35.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A ＋B －⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－2425×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋725×35＝117125.答案：11712514．(2019·六安第一中学月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.求：(1)sin 2α； (2)tan α－1tan α.解：(1)由题知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ( π6＋α )·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)得cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝cos ( 2α＋π3 )·cos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.15．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。