一、有关对称性的常用结论

函数的对称性 一、有关对称性的常用结论
（一）函数图象自身的对称关系
1、轴对称
(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；
(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =- ⇔()(2)f x f a x -=+；
（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2
b a x +=
对称。

2、中心对称
（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.
（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-；
（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-
⇔b x f x a f 2)()2(=+-
（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函
数)(x f y =的图象关于点)2
,2(c b a + 对称。

（二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=
对称。

推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2(
c a b -对称。

推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。

（一）选择题
1. 已知定义域为R 的函数)(x f 在）
，（∞+8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ） A ．)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f >
2．设函数)(x f y =定义在实数集R 上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）对称。

A.直线0=y
B.直线0=x
C.直线1=y
D.直线1=x
3.（市09年高三统考）偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为（ ）
A ．),4()4,(+∞--∞ ；
B ．)4,1()1,4( --
C ．)0,1()4,(---∞ ；
D ．)4,1()0,1()4,( ---∞
4. 若函数c bx x x f ++=2)(对一切实数都有)2()2(x f x f -=+，则（ ）
A. )4()1()2(f f f <<
B. )4()2()1(f f f <<
C. )1()4()2(f f f <<
D. )1()2()4(f f f <<
5．函数)(x f y =在)20(，上是增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ） A. )27()25()1(f f f << B. )2
5
()1()27(f f f << C. )1()25()27(f f f << D. )1()2
7()25(f f f << 6.设函数3)()(a x x f +=对任意实数x 都有)2()2(x f x f --=+,则=-+)3()3(f f ( )
A.－124
B. 124
C. －56
D.56
7.函数)(x f 的定义域为R ，且满足)()-12(x f x f =,方程0)(=x f 有n 个实数根，这n 个实数根的和为1992，那么n 为（ ）
A. 996
B. 498
C. 332
D. 116
8.设)(x f y =是定义在实数集R 上的函数，且满足)()-(x f x f =与)()-4(x f x f =，若当
]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ,则当]4,6[--∈x 时，=)(x f （ ）
A.12+-x
B.1)2(2+--x
C. 1)4(2++-x
D. 1)2(2
++-x 9.(2009全国卷)函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1-(x f 都是奇函数，则( )
A ．)(x f 是偶函数
B ．)(x f 是奇函数
C ．)2()(+=x f x f
D ．)3(+x f 是奇函数
10.(2009·高考)已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
)()1()1(x f x x xf +=+，则))2
5((f f 的值是( ) A ．0 B.12 C ．1 D.52
11.设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)10()-10(x f x f +=与)20()-20(x f x f +-=，则)(x f 是（ ） A. 偶函数，又是周期函数， B. 偶函数，但不是周期函数
C. 奇函数，又是周期函数，
D. 奇函数，但不是周期函数
(二)填空题
12. 函数)1(+=x f y 为偶函数，则函数)(x f 的图像的对称轴方程为
13. 函数)2(-=x f y 为奇函数，则函数)(x f y =的图像的对称中心为
14.（09年九校联考）已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，若当(0,)∈+∞x 时，()lg =f x x ，则满
足()0>f x 的x 的取值围是 ．
15. 已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，且
2)4(-=-f ，当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有
0)()(2
121>--x x x f x f .则给出下列命题： ①2)2008(-=f ；
②函数)(x f y =图像的一条对称轴为6-=x ；
③函数)(x f y =在]6,9[--上为减函数；
④方程0)(=x f 在]9,9[-上有4个根． 其中所有正确命题的序号为____ ____．
（三）解答题
16. 设1)(2
+=x x f ,求)1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线方程。

17．已知函数)1(+x f 的图象，通过怎样的变换可以得到函数)2(+-x f 的图象。

18．已知实系数多项式函数)(x f 满足)3()1(x f x f +=-, 并且方程0)(=x f 有四个根，求这四个根之和。

19．设1)(2+=x x f , 若)(x g 的图象与)2(+=x f y 的图象关于点)1,1(对称，求)(x g . 参考答案（一）选择题1～4、DDDA 5～8、BACC
9、解: (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，
∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数 . )3()41()1()1()41()3(+--=+---=---=-=+-=+∴x f x f x f x f x f x f ，
)3()3(+-=+-∴x f x f ，即(3)f x +是奇函数。

故选D
10、解：若x ≠0，则有)(1)1(x f x
x x f +=+
取21-=x ，则有)21()21()21(2
121
1)121()21(f f f f f -=--=---
=+-= 由此得0)2
1(=f 于是0)2
1(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 故选A
11、40102044=-=-=b a T
=+-=-=--=-+=+-=-∴)4020()20()]30(10[)]30(10[)40()(x f x f x f x f x f x f )()]10(10[)]10(10[)20()20(x f x f x f x f x f -=---=-+-=--=+
所以为奇函数。

故选C
(二)填空题
12、1=x 13、)0,2(- 14、画出草图可知),1()0,1(+∞-∈ x
15、①②③④ 在)3()()6(f x f x f +=+中令3-=x 得0)3(=-f ， 0)3()3(=-=∴f f 故)()6(x f x f =+,6=∴T ,2)4()4()46334()2008(-=-==+⨯=f f f f
结合函数草图可知①②③④都正确。

（三）解答题
16、解：26102
+-=x x y 17、解：)()1(1x f y x f y =−−
−−→−+=个单位
右移 )(x f y y -=−−−−→−轴对称关于 )2()]2([2+-=--=−−−−→−x f x f y 个单位右移
18、解：在)3()1(x f x f +=-中令t x =-1得)4()(t f t f -=
)2()2(t f t f -=+∴
)(x f y =∴的对称轴为2=x
设方程0)(=x f 的四个根分别为22112,2,2,2x x x x -+-+，则它们的和为8.
19、解：158)(2-+-=x x x g。