线性代数之第4章向量空间与线性变换

αB 2
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 由例1可见，Rn中同一个向量关于不同基的坐标一般是 不同的。因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题。 为了得到Rn中同一向量关于两组基所对应的坐标之间的 关系，先证明下面的定理。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 定理：设B={α1,α2,… ,αn}是Rn的一组基，且：
基之间的变换举例 例3：已知R3的两组基为B1={α1,α2,α3} 及 B2={β1,β2,β3}，其中 ：
α1 1,1,1 , α2 0,1,1 ,
T T
α3 0, 0,1
T
T T
β1 1, 0,1 ,
T
β2 0,1, 1 ,
β3 1, 2, 0
1
1 1 2 1 0 0 1 1 1 2 2 0
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例 2）根据前面的定理得α在基B2下的坐标
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
Rn的基与向量关于基的坐标 为了讨论问题方便，我们对于向量及其坐标常采用列向 量的形式(a1, a2, …, an) T表示，α=a1β1+a2β2+…+anβn可表 示为：
a1 a α β1 , β2 , ... , βn 2 an
由于α在基α1,α2,…,αn下的坐标是唯一的，所以： Ay=x 或 y=A-1x
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例 例2：已知R3的一组基B2＝ {β1,β2,β3}为β1=(1, 2, 1)T， β2=(1, -1, 0)T，β3=(1, 0, -1)T，求自然基B1={ε1, ε2,ε3}到 基B2的过渡矩阵A。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例 解：由 β1 ε1 2ε2 ε3
β2 ε1 ε2 β ε ε3 3 1
即
1 1 1 ( β1 , β2 , β3 ) ( ε1 , ε2 , ε3 ) 2 1 0 1 0 1
, αn A
则矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵（或称A是基 B1变为基B2的变换矩阵）。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 根据前面定理，过渡矩阵A是可逆的，A中第j列是新基 的基向量ηj在旧基{α1,α2,… ,αn}下的坐标。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 定理 ：设向量α在两组基B1={α1,α2,… ,αn}和 B2={η1,η2,…,ηn}下的坐标向量分别为：
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 证：由定理中方程式得：
η j aij α
i 1 n
j 1, 2,
, n
η1,η2,…,ηn线性无关的充要条件是方程：
n n n x j η j x j aij αi aij x j αi 0 j 1 j 1 i 1 i 1 j 1
1）求基B1到基B2的过渡矩阵A； 2）已知α在基B1下的坐标为(1, -2, -1)T，求α在基B2下 的坐标。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例 解： 1）设：
a11 a β , β β α , α α 1 2, 3 1 2, 3 21 a31
a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
将其表示成矩阵形式
η
1,
η2 ,
, ηn α1, α2 ,
a11 a , αn 21 an1
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 记上式右面的矩阵为A（注意：A是α1,α2,…,αn的系 数矩阵的转置），为叙述简便，上式可写作： (η1,η2,… ,ηn)=(α1,α2,… ,αn) A
y y y2 2 2 , ηn α1 , α2 , , αn A α1 , α2 , , αn A yn yn yn
x α α1 , α2 , , αn 2 η1, η2, xn
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
求向量关于基的坐标举例 解上式非齐次线性方程组，即得：
a1 x1 x a a 1 2 2 xn 1 a1 a2 an 1 xn a1 a2 an 1 an
第4章 向量空间与线性变换
Rn的基与向量关于基的坐标 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
Rn的基与向量关于基的坐标
我们知道 1) Rn中的n个单位向量εi=(0,…,0,1,0,…,0)(i=1, … , n)是 线性无关的； 2) 一个n 阶实矩阵A=(aij)n×n，如果|A|≠0，则A的n个行 向量和n个列向量也都是线性无关的； 3)Rn中任何n+1个向量都是线性相关的，且Rn中任一向 量α都可用Rn中n个线性无关的向量来表示，且表示法 唯一。 Rn中向量之间的这种关系就是本节将要讨论的“基”与 “坐标”的概念。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
Rn的基与向量关于基的坐标 显然Rn的基不是唯一的，而α关于给定的基的坐标是唯 一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自 然基或标准基。 在三维几何向量空间R3中，i, j, k是一组标准基，R3中任 一个向量α可以唯一地表示为： α＝a1i +a2j +a3k 有序数组(a1, a2, a3 )称为α在基i, j, k下的坐标。如果α的 起点在原点，(a1, a2, a3 )就是α的终点P的直角坐标（以 后我们常利用R3中向量α与空间点 P 的一一对应关系， 对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。
1 1 1 A= 2 1 0 1 0 1
得
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例 由例2可见，在Rn中由自然基B1={ε1,ε2,…,εn}到基 B2={β1,β2,…,βn} 的过渡矩阵A，就是将β1,β2,…,βn 按列排成的矩阵。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
α x1 β1 x2 β2 xn βn β1 , β2 , x1 x , βn 2 xn
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
求向量关于基的坐标举例 将以列向量形式表示的α,β1,β2,…,βn代入上式，得：
1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 x1 a1 0 0 a x 2 2 0 0 x a n 1 n 1 1 0 xn an 1 1 0
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
求向量关于基的坐标举例 例1：设Rn的两组基为自然基B1和B2={β1, β2,…,βn}, 其中：
β1 1, 1, 0, , 0 T β2 0,1, 1, 0, , 0
T
βn 1 0, , 0,1, 1 T βn 0, , 0,1 .
n n
只有零解xj＝0 (j=1, 2, … , n) 。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 由于α1, α2, …, αn线性无关，由上式得：
a x
j 1 ij
n
j
0 i 1, 2,
, n
因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零 解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等 于零，即定理中条件式成立。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
Rn的基与向量关于基的坐标 定义：设有序向量组B＝{β1, β2, … , βn}属于Rn， 如果B 线性无关，且Rn中任一向量α均可由B线性表示，即 α＝a1β1＋a2β2＋…+anβn 就称B是Rn的一组基（或基底），有序数组(a1, a2,…,an) 是向量α关于基B（或说在基B下）的坐标， 记作： αB＝ (a1, a2, … , an ) 或αB＝ (a1, a2, … , an ) T 并称之为α的坐标向量。
x x1 , x2 , , xn

T
和 y y1 , y2 ,
, yn

T
基B1到基B2的过渡矩阵为A，则 Ay=x 或 y=A-1x
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 证：由已知条件，可得： (η1,η2,… ,ηn)=(α1,α2,…,αn) A α x1α1 x2α2 xnαn y1η1 y2η2 ynηn 故： y1 x1 y1 y1
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 定义：设Rn的两组基B1={α1,α2,… ,αn}和 B2={η1,η2,… ,ηn}满足下式式的关系，
η
1,
η2 ,
, ηn α1, α2 ,
a11 a , αn 21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n α α , 1, 2 ann
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换举例 故过渡矩阵
a11 a12 a13 1 1 A a a a 23 21 22 a31 a32 a33 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 0 1
η1 a11α1 a21α2 η a α a α 2 12 1 22 2 ηn a1n α1 a2 n α2 an1αn an 2 αn ann αn
则η1,η2,…,ηn线性无关的源自文库要条件是：
a11 a12 a1n det A = a21 an1 a22 an 2 a2 n ann 0
a12 a22 a32
a13 a23 a33
将以列向量形式表示的两组基向量代入上式，得：
1 0 1 1 0 0 a11 0 1 2 1 1 0 a 21 1 1 0 1 1 1 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
T
求向量α=(a1, a2 , … , an )T分别在两组基下的坐标。
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
求向量关于基的坐标举例 解：α关于自然基B1={ε1, ε2, … ,εn}显然有 α= a1ε1+a2ε2+… +anεn， 所以： T αB1 a1 , a2 , , an 设α关于B2有：
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
基之间的变换 设B1＝{α1,α2,… ,αn, }和B2={η1,η2,… ,ηn}是 Rn的两组基（分别称为旧基和新基），它们的关系如下 所示： η1 a11α1 a21α2 an1αn
η a α a α 2 12 1 22 2 ηn a1n α1 a2 n α2 an 2 αn ann αn