解三角形教案ppt课件
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《解直角三角形》数学教学PPT课件(3篇)
b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
解三角形PPT演示课件
04 三角形在实际问 题中的应用
测量问题中的三角形解法
角度测量
通过测量三角形的两个角，利用 三角形内角和为180度的性质，可
以求出第三个角的大小。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况 下，可以通过构造三角形，利用已 知边长和角度，通过三角函数求解 未知距离。
高程测量
在测量地形高度时，可以通过构造 三角形并测量相关角度和距离，利 用三角函数求解未知高程。
物理学中的三角形解法
01 02
力的合成与分解
在物理学中，力是矢量，可以通过构造三角形来表示力的合成与分解。 例如，已知两个分力的大小和方向，可以构造三角形求解合力的大小和 方向。
运动学问题
在解决匀变速直线运动等问题时，可以通过构造速度、加速度和时间等 物理量的三角形关系，利用三角函数求解未知量。
03
解等腰三角形的方法
通过已知的两边和夹角，利用余弦定 理或正弦定理求解第三边和其余两个 角。
等边三角形的解法
等边三角形的定义和性质
01
三边长度都相等的三角形，三个内角均为60度。
解等边三角形的方法
02
通过已知的一边长度，利用三角函数或特殊角度的三角函数值
求解其余两边和三个角。
典型例题解析
03
展示一道等边三角形的求解问题，并详细解析解题步骤和思路
几何图形中的三角形解法
01
02
03
三角形面积计算
通过已知三角形的底和高 ，或者通过海伦公式等方 法，可以计算三角形的面 积。
三角形边长求解
在已知三角形部分边长和 角度的情况下，可以利用 正弦定理、余弦定理等方 法求解未知边长。
三角形形状判断
通过已知三角形的边长或 角度，可以判断三角形的 形状，如等边、等腰、直 角等。
解直角三角形-ppt课件
，∴
∴CH = ，
∴AH=
∴AB=2AH=
−
.
=
，∵∠B=30°，
=
，
26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型
点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S
AB·AE= ×4×4 =8 ，
CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=
，
．
（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=
AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝
2
＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB
《解直角三角形》教学课件
利用正弦、余弦函数的定 义和勾股定理，可以分别 求出斜边c和另一直角边b 的长度。
sin60°=a/c，即√3/2=4/c b=√(c²-a²)=√(4.62²-
，解得c≈4.62。
4²)≈2.31。
本题主要考察了解直角三 角形中已知一边一角求其 他元素的方法，通过正弦 、余弦函数的定义和勾股 定理进行求解。在实际应 用中，还可以利用正切等 三角函数进行求解。
加强公式应用训练
通过大量的练习题，让学生熟练掌握解直角三角形的相关公式，并 能够正确应用。
提高计算准确性
鼓励学生进行反复练习，提高计算速度和准确性。同时，教师可以 提供一些计算技巧和方法，帮助学生更好地进行计算。
提高计算准确性和效率策略
使用科学计算器
鼓励学生使用科学计算器进行计算，以提高计算效率和准确性。
《解直角三角形》教 学课件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 典型例题分析与解答 • 学生常见错误及纠正方法 • 拓展延伸：三角函数在解直角三角形中应
用 • 总结回顾与课堂互动环节
01
直角三角形基本概念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
学生自我评价报告分享
学习成果展示
学生可以通过绘制思维导图、制作海报或写学习报告等方式 ，展示自己的学习成果，包括掌握的知识点、解题技巧和学 习心得等。
学习反思与改进
学生可以反思自己在学习过程中的不足和遇到的困难，提出 改进措施和学习计划，以便更好地掌握解直角三角形的相关 知识和技能。
教师点评及建议
典型例题三：综合应用问题
01
02
03
04
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
解直角三角形ppt课件
经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
解三角形课件.ppt.ppt
第十讲 解三角形
△ABC中：
（1）A+B+C=
（2）A B C C
2
2 22
（3）A B a b sin A sin B
C
b
a
B
A
c
正弦定理:
a b c 2R sin A sin B sin C
a 2R sin A b 2R sin B
c 2R sin C
cos AcosC sin Asin C cos B 1 2sin2 B cos AcosC sin AsinC cos B 1 2sin AsinC
cos AcosC sin AsinC cos B 1
cos(A C) cos B 1 1
例9、如果△ABC内接于半径为的圆，且 2R(sin 2 A sin 2 C) ( 2a b) sin B, 求△ABC的面积的最大值。
∴
AB ,
2
即 A B0
2
2
∴ sin A sin( B)即 sin A cos B
2
同理 sin B cosC ，sin C cos A
∴ sin A sin B sin C cosA cosB cosC
例２、在△ ABC中，若b 2a sin B
则 A 等于（ ）
．
∴ AC BC
2( 6 2)(sin A sin B) 4( 6 2)sin A B cos A B
2
2
AB
B
4cos 2 4, (AC BC)max 4
C
A
例4、在△ABC中，若 a cos A bcosB c cosC,
则△ABC的形状是什么？
解： acos A bcos B ccosC,sin Acos A sin Bcos B sinC cosC
△ABC中：
（1）A+B+C=
（2）A B C C
2
2 22
（3）A B a b sin A sin B
C
b
a
B
A
c
正弦定理:
a b c 2R sin A sin B sin C
a 2R sin A b 2R sin B
c 2R sin C
cos AcosC sin Asin C cos B 1 2sin2 B cos AcosC sin AsinC cos B 1 2sin AsinC
cos AcosC sin AsinC cos B 1
cos(A C) cos B 1 1
例9、如果△ABC内接于半径为的圆，且 2R(sin 2 A sin 2 C) ( 2a b) sin B, 求△ABC的面积的最大值。
∴
AB ,
2
即 A B0
2
2
∴ sin A sin( B)即 sin A cos B
2
同理 sin B cosC ，sin C cos A
∴ sin A sin B sin C cosA cosB cosC
例２、在△ ABC中，若b 2a sin B
则 A 等于（ ）
．
∴ AC BC
2( 6 2)(sin A sin B) 4( 6 2)sin A B cos A B
2
2
AB
B
4cos 2 4, (AC BC)max 4
C
A
例4、在△ABC中，若 a cos A bcosB c cosC,
则△ABC的形状是什么？
解： acos A bcos B ccosC,sin Acos A sin Bcos B sinC cosC
解三角形PPT教学课件
数值积分法
采用数值积分方法对定积分进行近 似计算，并讨论积分误差。
04
数值稳定性和精度保持策略
避免大数相除
在计算过程中，尽量避免大数除以小数的情 况，以减少舍入误差。
选择合适的数据类型
根据计算需求选择合适的数据类型，如单精 度浮点数、双精度浮点数等。
逐步细化计算步骤
将复杂计算分解为多个简单步骤，逐步细化 以提高计算精度。
三角形重要性质
三角形的稳定性
01
三角形具有稳定性，是建筑、工程等领域常用的结构形状。
三角形的面积公式
02
包括底乘高的一半、海伦公式等多种计算方法。
三角形的中线、角平分线、高线等性质
03
中线平分对应边、角平分线平分对应角、高线垂直于对应底边
等。
相似与全等三角形
相似三角形定义及性质
对应角相等、对应边成比例的三角形 为相似三角形，具有相似比等性质。
高度测量
解三角形也可以用于测量山峰、建筑物等高度。例如，通过在山脚和山 顶各设置一个观测点，测量两个观测点之间的水平距离和仰角，再利用 三角函数公式求解高度。
角度测量
在地理学中，角度测量也是非常重要的。解三角形可以通过已知三边或 已知两边和夹角等条件，利用三角函数公式求解未知角度。
航海学：航向、航速、航程计算
注意事项
需确保两角为夹边的两角
应用场景
在三角形求解、角度计算等方面有广泛应用
已知三边求角度（SSS）
已知条件
三边a、b、c
求解方法
利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc求解角度A，同理可求B、C
注意事项
需注意余弦定理中边长的对应关系
应用场景
在几何、测量等领域中广泛应用
采用数值积分方法对定积分进行近 似计算，并讨论积分误差。
04
数值稳定性和精度保持策略
避免大数相除
在计算过程中，尽量避免大数除以小数的情 况，以减少舍入误差。
选择合适的数据类型
根据计算需求选择合适的数据类型，如单精 度浮点数、双精度浮点数等。
逐步细化计算步骤
将复杂计算分解为多个简单步骤，逐步细化 以提高计算精度。
三角形重要性质
三角形的稳定性
01
三角形具有稳定性，是建筑、工程等领域常用的结构形状。
三角形的面积公式
02
包括底乘高的一半、海伦公式等多种计算方法。
三角形的中线、角平分线、高线等性质
03
中线平分对应边、角平分线平分对应角、高线垂直于对应底边
等。
相似与全等三角形
相似三角形定义及性质
对应角相等、对应边成比例的三角形 为相似三角形，具有相似比等性质。
高度测量
解三角形也可以用于测量山峰、建筑物等高度。例如，通过在山脚和山 顶各设置一个观测点，测量两个观测点之间的水平距离和仰角，再利用 三角函数公式求解高度。
角度测量
在地理学中，角度测量也是非常重要的。解三角形可以通过已知三边或 已知两边和夹角等条件，利用三角函数公式求解未知角度。
航海学：航向、航速、航程计算
注意事项
需确保两角为夹边的两角
应用场景
在三角形求解、角度计算等方面有广泛应用
已知三边求角度（SSS）
已知条件
三边a、b、c
求解方法
利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc求解角度A，同理可求B、C
注意事项
需注意余弦定理中边长的对应关系
应用场景
在几何、测量等领域中广泛应用
解直角三角形(优质课)课件pptx
思考题：请思考一下，除了上述提到的领域外，解直角三角形还可以应用于哪些领域？并尝试给出具体的例子。
练习题：请完成以下解直角三角形的练习题，巩固本节课所学的知识。
已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边长为10cm，求这个三角形的面积。
一艘船在海上航行，测得前方两个灯塔之间的夹角为60度，且这两个灯塔与船的距离分别为10海里和15海里。求这艘船相对于两个灯塔的位置。
有效数字运算规则回顾
四舍五入法、进一法、去尾法等。
近似计算方法
在保证精度的前提下，尽量简化计算过程，减少计算量。例如，利用近似公式、近似数表等。
技巧
近似计算方法和技巧
06
总结回顾与拓展延伸
03
实际应用中的解直角三角形问题
如测量问题、航海问题、物理问题等，需要将实际问题转化为数学问题，通过建立直角三角形模型进行求解。
一个物体从斜面上滑下，已知斜面的倾角为45度，物体与斜面间的动摩擦因数为0.5。求物体下滑的加速度大小。
01
02
03
04
05
思考题与练习题
THANKS
在直角三角形中，当角度为30°、45°、60°时，可以通过简单的几何关系计算出对应的正弦、余弦、正切值。
特殊角的三角函数关系
掌握特殊角度的三角函数值之间的关系，如 sin(90°-θ) = cosθ，cos(90°-θ) = sinθ 等。
特殊角度三角函数值计算
利用三角函数求未知边长或角度
三边成比例
两个角相等
相似三角形判定定理回顾
01
02
通过相似比求解未知边长或角度
构建相似三角形，利用相似比求解未知量
利用相似三角形的性质，通过已知边长和角度求解未知边长或角度
练习题：请完成以下解直角三角形的练习题，巩固本节课所学的知识。
已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边长为10cm，求这个三角形的面积。
一艘船在海上航行，测得前方两个灯塔之间的夹角为60度，且这两个灯塔与船的距离分别为10海里和15海里。求这艘船相对于两个灯塔的位置。
有效数字运算规则回顾
四舍五入法、进一法、去尾法等。
近似计算方法
在保证精度的前提下，尽量简化计算过程，减少计算量。例如，利用近似公式、近似数表等。
技巧
近似计算方法和技巧
06
总结回顾与拓展延伸
03
实际应用中的解直角三角形问题
如测量问题、航海问题、物理问题等，需要将实际问题转化为数学问题，通过建立直角三角形模型进行求解。
一个物体从斜面上滑下，已知斜面的倾角为45度，物体与斜面间的动摩擦因数为0.5。求物体下滑的加速度大小。
01
02
03
04
05
思考题与练习题
THANKS
在直角三角形中，当角度为30°、45°、60°时，可以通过简单的几何关系计算出对应的正弦、余弦、正切值。
特殊角的三角函数关系
掌握特殊角度的三角函数值之间的关系，如 sin(90°-θ) = cosθ，cos(90°-θ) = sinθ 等。
特殊角度三角函数值计算
利用三角函数求未知边长或角度
三边成比例
两个角相等
相似三角形判定定理回顾
01
02
通过相似比求解未知边长或角度
构建相似三角形，利用相似比求解未知量
利用相似三角形的性质，通过已知边长和角度求解未知边长或角度
高中数学解三角形ppt课件
证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看
对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。
《高二数学解三角形》课件
方向测量
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
解三角形PPT课件
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解 法 三: a2 b2 c2 2bccos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
A. 0 a 4 3
B. a 6
C. a 4 3或a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
第15页/共40页
2 sin15 sin45
6 2
2
第19页/共40页
方 法 二用 余 弦 定 理
b2 a2 c2 2accosB 2 3 c2 2 3 cos45 即c2 6c 1 0 解 之 ， 得c 6 2
2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
2
2
cos A B sinC ;
2
2
tan A B cotC
2
2
(5)在ABC中，tanA tanB tanC tanA tanB tanC
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(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(3) 182 202 c2 2 20 c cos150 c2 20 3c 76 0. 解 得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无 解
解 法 三: a2 b2 c2 2bccos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
A. 0 a 4 3
B. a 6
C. a 4 3或a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
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2 sin15 sin45
6 2
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方 法 二用 余 弦 定 理
b2 a2 c2 2accosB 2 3 c2 2 3 cos45 即c2 6c 1 0 解 之 ， 得c 6 2
2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
2
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cos A B sinC ;
2
2
tan A B cotC
2
2
(5)在ABC中，tanA tanB tanC tanA tanB tanC
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(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(3) 182 202 c2 2 20 c cos150 c2 20 3c 76 0. 解 得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无 解
解三角形PPT演示课件
量之间的夹角。
振动分析
在振动分析中，经常需要研究物体的振动规律。通过使用三角函数和解三角形的方法， 可以分析出物体的振动频率、振幅和相位等参数，进而对物体的振动特性进行分析和预
测。
06
总结与展望
解三角形的意义
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一，解三角形是 研究三角形的重要手段之一。通过解三角形，我们可以了解 三角形的性质、特点、变化规律等，为几何学、物理学、工 程学等领域提供重要的理论支撑和实践指导。
解三角形的方法
解三角形的方法有很多种， 包括正弦定理、余弦定理、 勾股定理等。
三角形的重要性
三角形在日常生活中的应用
三角形在日常生活中的应用非常广泛，如建筑、工程、航海、航 空等领域。
三角形在数学中的地位
三角形是几何学中最基础和最重要的图形之一，对于几何学的发展 和应用具有重要意义。
三角形在物理学中的应用
角度和为180度
三角形的三个内角之和为180度。
边与角之间的关系
正弦定理
在一个三角形中，任意一边与其对应 角的正弦值的比等于三角形的外接圆 直径。
余弦定理
在一个三角形中，任意一边的平方等 于其他两边平方和减去两倍的这两边 与它们夹角的余弦的积。
03
解三角形的工具
三角函数
三角函数是解三角形的重要工具，用于描述三角形中各角度和边长之间的关系。 常用的三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们在解三角形问题中发挥着关键作用。
掌握三角函数的性质和公式，能够快速解决各种解三角形问题。
余弦定理
余弦定理是解三角形的一个重要 定理，用于计算三角形各边的长
度。
定理公式为：c²=a²+b²2abcosC，其中a、b、c分别代 表三角形的三条边边和夹角，或者已 知的三边，利用余弦定理可以求
振动分析
在振动分析中，经常需要研究物体的振动规律。通过使用三角函数和解三角形的方法， 可以分析出物体的振动频率、振幅和相位等参数，进而对物体的振动特性进行分析和预
测。
06
总结与展望
解三角形的意义
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一，解三角形是 研究三角形的重要手段之一。通过解三角形，我们可以了解 三角形的性质、特点、变化规律等，为几何学、物理学、工 程学等领域提供重要的理论支撑和实践指导。
解三角形的方法
解三角形的方法有很多种， 包括正弦定理、余弦定理、 勾股定理等。
三角形的重要性
三角形在日常生活中的应用
三角形在日常生活中的应用非常广泛，如建筑、工程、航海、航 空等领域。
三角形在数学中的地位
三角形是几何学中最基础和最重要的图形之一，对于几何学的发展 和应用具有重要意义。
三角形在物理学中的应用
角度和为180度
三角形的三个内角之和为180度。
边与角之间的关系
正弦定理
在一个三角形中，任意一边与其对应 角的正弦值的比等于三角形的外接圆 直径。
余弦定理
在一个三角形中，任意一边的平方等 于其他两边平方和减去两倍的这两边 与它们夹角的余弦的积。
03
解三角形的工具
三角函数
三角函数是解三角形的重要工具，用于描述三角形中各角度和边长之间的关系。 常用的三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们在解三角形问题中发挥着关键作用。
掌握三角函数的性质和公式，能够快速解决各种解三角形问题。
余弦定理
余弦定理是解三角形的一个重要 定理，用于计算三角形各边的长
度。
定理公式为：c²=a²+b²2abcosC，其中a、b、c分别代 表三角形的三条边边和夹角，或者已 知的三边，利用余弦定理可以求
第五章 第七节 解三角形的实际应用 课件(共43张PPT)
易知∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以 AB＝BC＝10 米， 在 Rt△AOB 中，BO＝10sin 70°≈9.4(米).故选 C.]
本题以“珠穆朗玛峰”为背景设计试题，考查解三角形等 知识，体现了智育的素养导向．破解此类题的关键是准确获取有效信息，合 理运用获取到的信息画出草图，把所求的问题转化到几何图形中，通过合理 运用平面几何相关知识进行求解．
2 2
，
所以 θ＝π4 ，∠ABC＝3θ＝34π ，
所以 AC2＝16＋8－2×4×2
2
×(－
2 2
)＝40，
所以 AC＝2 10 .]
平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
C [函数 f(x)的定义域为 R.
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m D．252 2 m
A
[由正弦定理得sin
AB ∠ACB
＝ sin
AC ∠CBA
，又由题意得∠CBA＝30°，
所以 AB＝ACsinsin∠∠CBAACB
50× ＝1
2 2
＝50
2
(m).]
2
4.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ________方向．
解析： 如图，设辑私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点， 缉私艇的速度为 x 海里/小时，结合题意知 BC＝0.5x，AC ＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
本题以“珠穆朗玛峰”为背景设计试题，考查解三角形等 知识，体现了智育的素养导向．破解此类题的关键是准确获取有效信息，合 理运用获取到的信息画出草图，把所求的问题转化到几何图形中，通过合理 运用平面几何相关知识进行求解．
2 2
，
所以 θ＝π4 ，∠ABC＝3θ＝34π ，
所以 AC2＝16＋8－2×4×2
2
×(－
2 2
)＝40，
所以 AC＝2 10 .]
平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
C [函数 f(x)的定义域为 R.
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m D．252 2 m
A
[由正弦定理得sin
AB ∠ACB
＝ sin
AC ∠CBA
，又由题意得∠CBA＝30°，
所以 AB＝ACsinsin∠∠CBAACB
50× ＝1
2 2
＝50
2
(m).]
2
4.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ________方向．
解析： 如图，设辑私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点， 缉私艇的速度为 x 海里/小时，结合题意知 BC＝0.5x，AC ＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
解三角形-PPT课件
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本 章 优 化 总 结
本章优化总结
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专题探究精讲
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专题探究精讲
判断三角形形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径： (1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法 求解； (2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法 求解． 在解三角形时的常用结论有：
【解】 (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12 (km)， PC－PB＝1.5×20＝30 (km)． 因此 PB＝(x－12) km，PC＝(18＋x) km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122 ＝3x＋ 5x32.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P 的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果 精确到0.01 km)
【思路点拨】 (1)PA、PB、PC长度之间的关 系可以通过收到信号的先后时间建立起来； (2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要 求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的 值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因 此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出 cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可.
例4 如图所示，a是海面上一条南北方向的 海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点, 另两个监测点B、C分别在A的正东方向20 km 处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静 止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后 监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条 件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1) 在 △ ABC 中 ， ∠ A> ∠ B⇔ a>b ⇔ sinA>sinB ⇔
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判断三角形形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径： (1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法 求解； (2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法 求解． 在解三角形时的常用结论有：
【解】 (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12 (km)， PC－PB＝1.5×20＝30 (km)． 因此 PB＝(x－12) km，PC＝(18＋x) km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122 ＝3x＋ 5x32.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P 的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果 精确到0.01 km)
【思路点拨】 (1)PA、PB、PC长度之间的关 系可以通过收到信号的先后时间建立起来； (2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要 求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的 值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因 此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出 cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可.
例4 如图所示，a是海面上一条南北方向的 海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点, 另两个监测点B、C分别在A的正东方向20 km 处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静 止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后 监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条 件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1) 在 △ ABC 中 ， ∠ A> ∠ B⇔ a>b ⇔ sinA>sinB ⇔
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解三角形
知识点梳理
1.正弦定理
a b c 2R(其中R为ABC外接圆的半径) sin A sinB sinC
正弦定理的变形：
(1)a 2R sin A，b 2R sin B , c 2R sinC ;
(2). a : b : c sin A : sin B : sinC ;
(3). sin A a , sinB b , sinC c ;
sin A 1 cos2 A 15 4
abc
a 8 15
sin A sin B sinC sin A 15
例2.在ABC中，已知sin A : sin B : sinC k : (k 1) : 2k, 则k的取值范围是（( 1 , ) ）
2
解 ： 有 正 弦定 理 得a : b : c sin A : sin B : sinC k : (k 1) : 2k 又 根 据三 角 形 两 边之 和大
2ab
4
C是最大角钝角 5 c2 0c 5 4
ab c c 3 5 c 3
二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 应用 定理
一般解法
一边和两角 正弦 由A+B+C=180求出角A；根据正弦
(如a、B、C)
定理求出b与c;在有解时只有一解
两边和夹角 余弦 由余弦定理求出c；由正弦定理求 (如a、b、C) 正弦 出A、B；在有解时只有一解
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(8)在ABC中，A B a b sin A sinB.
(9)sin sin 或 若、是三角形的内角则有
正余弦推论的应用
三角形解的个数的确定
a2 c2 b2
a2 b2 c2
cos A
; cosB
; cosC
.
2bc
2ac
2ab
当A、B、C分 别 为90时 ， 上 面 的 关 系 式 分 别化 为 a2 b2 c2; b2 a2 c2; c2 a2 b2
3.三角形面积公式
(1)S
1 2
aha (ha表示a边上的高)
k k 1 2k
与 第 三边 得k 1 2k k k 2k k 1
解 得k 1 由 两 边 2
之 差 小于 第 三 边 解得k 1 k范 围 是( 1 , )
2
2
例3. 钝角ABC中，a 1, b 2,则最大边c的取值 范围是 5 k 3
解 ： 由 余 弦 定 理 得cosC a2 b2 c2 5 c2
(2)S 1 absinC 1 acsinB 1 bcsin A
2
2
2
(3)S 1 r(a b c)(r为内切圆半径) 2
(4)S abc 4R
4.三角形中的常见结论
(1)A B C
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边
2R
2R
2R
(4). a b , b c , c a ; sin A sin B sin B sinC sinC sin A
2.余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cos B
c2 a2 b2 2abcosC
余弦定理的变形：
b2 c2 a2
(4)有关三角形内角的三角函数式
sin(A B) sinC;
cos(A B) cosC;
tan(A B) tanC; sin A B cos C ;
2
2
cos A B sin C ;
2
2
tan A B cot C
2
2
(5)在ABC中，tan A tanB tanC tan A tanB tanC
三边 余弦 由余弦定理分别求出A、B；由内角 (a、b、c) 定理 和是180求出C;有解时只有一解
两边和其中 正弦 由正弦定理求出B；由内角和为180
一边的对角 定理 求出C；由正弦定理求出c;可有两
(如a、b、A)
解，一解或无解
在已知a、b、A时判断三角形解的个数有三 种方法：
（1）几何作图法
c
C
b=22
a=11
c
b=20
A
B
DA
B
A
解法二：(1)2 2 2 3 2 6 ABC有两解 2
(2)11 22 1 ABC有一解 (3)A 150 ABC无解 2
解 法 三: a2 b2 c2 2bc cos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos 45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos 30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
(3) 182 202 c2 2 20 c cos 150 c2 20 3c 76 0. 解得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无解
（2）用正弦定理确定另一边的对角
（3）利用余弦定理整理后是以c为未知数的 一元二次方程。因为c是三角形的边长，必 有c>0。所以，所给定的三角形的解就取决 于满足方程的未知数c正实数值得存在情况
在三角形中，已知a、b和A时解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或 直角
图 形
关 a<bsin a=bsin bsinA<a< a>b
求角
解
求三角形中基本量
求边
三 角
求面积
形
判断三角形形状
解三角形中的交汇问题 解三角形的实际应用
测量距离 测量高度 测量角度
一、正余弦定理推论的应用
例1. 在ABC中 ， 已 知cos A 1 , b 1, c 2,则 4
abc
( ).
sin A sinB sinC
解 ： 由 余 弦 定 理 得a b2 c2 2bc cos A 2
系A
A
b或式ຫໍສະໝຸດ a=b解 无解 一个解 两个解 一个解
个 数
a<b a>b 或
a=b
一 无解 个 解
例4.根据下列条件，判定三角形解的情况.
（1）a 2 2, b 2 3, A 45;
（2）a 11, b 22, A 30;
（3）a 18, b 20, A 150
解法一：（几何作图法）分别如下图①、②、③
知识点梳理
1.正弦定理
a b c 2R(其中R为ABC外接圆的半径) sin A sinB sinC
正弦定理的变形：
(1)a 2R sin A，b 2R sin B , c 2R sinC ;
(2). a : b : c sin A : sin B : sinC ;
(3). sin A a , sinB b , sinC c ;
sin A 1 cos2 A 15 4
abc
a 8 15
sin A sin B sinC sin A 15
例2.在ABC中，已知sin A : sin B : sinC k : (k 1) : 2k, 则k的取值范围是（( 1 , ) ）
2
解 ： 有 正 弦定 理 得a : b : c sin A : sin B : sinC k : (k 1) : 2k 又 根 据三 角 形 两 边之 和大
2ab
4
C是最大角钝角 5 c2 0c 5 4
ab c c 3 5 c 3
二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 应用 定理
一般解法
一边和两角 正弦 由A+B+C=180求出角A；根据正弦
(如a、B、C)
定理求出b与c;在有解时只有一解
两边和夹角 余弦 由余弦定理求出c；由正弦定理求 (如a、b、C) 正弦 出A、B；在有解时只有一解
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(8)在ABC中，A B a b sin A sinB.
(9)sin sin 或 若、是三角形的内角则有
正余弦推论的应用
三角形解的个数的确定
a2 c2 b2
a2 b2 c2
cos A
; cosB
; cosC
.
2bc
2ac
2ab
当A、B、C分 别 为90时 ， 上 面 的 关 系 式 分 别化 为 a2 b2 c2; b2 a2 c2; c2 a2 b2
3.三角形面积公式
(1)S
1 2
aha (ha表示a边上的高)
k k 1 2k
与 第 三边 得k 1 2k k k 2k k 1
解 得k 1 由 两 边 2
之 差 小于 第 三 边 解得k 1 k范 围 是( 1 , )
2
2
例3. 钝角ABC中，a 1, b 2,则最大边c的取值 范围是 5 k 3
解 ： 由 余 弦 定 理 得cosC a2 b2 c2 5 c2
(2)S 1 absinC 1 acsinB 1 bcsin A
2
2
2
(3)S 1 r(a b c)(r为内切圆半径) 2
(4)S abc 4R
4.三角形中的常见结论
(1)A B C
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边
2R
2R
2R
(4). a b , b c , c a ; sin A sin B sin B sinC sinC sin A
2.余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cos B
c2 a2 b2 2abcosC
余弦定理的变形：
b2 c2 a2
(4)有关三角形内角的三角函数式
sin(A B) sinC;
cos(A B) cosC;
tan(A B) tanC; sin A B cos C ;
2
2
cos A B sin C ;
2
2
tan A B cot C
2
2
(5)在ABC中，tan A tanB tanC tan A tanB tanC
三边 余弦 由余弦定理分别求出A、B；由内角 (a、b、c) 定理 和是180求出C;有解时只有一解
两边和其中 正弦 由正弦定理求出B；由内角和为180
一边的对角 定理 求出C；由正弦定理求出c;可有两
(如a、b、A)
解，一解或无解
在已知a、b、A时判断三角形解的个数有三 种方法：
（1）几何作图法
c
C
b=22
a=11
c
b=20
A
B
DA
B
A
解法二：(1)2 2 2 3 2 6 ABC有两解 2
(2)11 22 1 ABC有一解 (3)A 150 ABC无解 2
解 法 三: a2 b2 c2 2bc cos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos 45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos 30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
(3) 182 202 c2 2 20 c cos 150 c2 20 3c 76 0. 解得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无解
（2）用正弦定理确定另一边的对角
（3）利用余弦定理整理后是以c为未知数的 一元二次方程。因为c是三角形的边长，必 有c>0。所以，所给定的三角形的解就取决 于满足方程的未知数c正实数值得存在情况
在三角形中，已知a、b和A时解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或 直角
图 形
关 a<bsin a=bsin bsinA<a< a>b
求角
解
求三角形中基本量
求边
三 角
求面积
形
判断三角形形状
解三角形中的交汇问题 解三角形的实际应用
测量距离 测量高度 测量角度
一、正余弦定理推论的应用
例1. 在ABC中 ， 已 知cos A 1 , b 1, c 2,则 4
abc
( ).
sin A sinB sinC
解 ： 由 余 弦 定 理 得a b2 c2 2bc cos A 2
系A
A
b或式ຫໍສະໝຸດ a=b解 无解 一个解 两个解 一个解
个 数
a<b a>b 或
a=b
一 无解 个 解
例4.根据下列条件，判定三角形解的情况.
（1）a 2 2, b 2 3, A 45;
（2）a 11, b 22, A 30;
（3）a 18, b 20, A 150
解法一：（几何作图法）分别如下图①、②、③