《数理统计》第7章§4区间估计
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对于给定的置信水平 1 ，由 f ( x) 确定两个分 位点 f1 / 2 , f / 2，使得 分布密度已知 ,且 f ( x) W 只包含未知参 ˆ ˆ ) f / 2} 不含任何未知参数 P { f W ( , , 1 /2 数 1 ,而不含其它 /2 /2 等价地 未知参数 P{ } 1
3/7
故 的置信水平为 1 的置信区间为 ( X z / 2 , X z / 2 ) n n 特别取 n 16 , 0.05 ,则 z / 2 z0.025 1.96 于是 的置信水平为 0.95 的一个置信区间为
( X 0.49 , X 0.49)
第七章 参数估计
§4 区间估计 设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , 1 ) 的样本, 试求未知参数 的置信水平为 1 的置信区间. 的 MLE为 X ，且 X ~ N (0,1) ( 0 1) 0 / n 故对于给定的置信水平 1 , 查表可求得 z / 2 使得 | X | P z / 2 1 1 0 / n 等价地有 z /2 z /2 P{ X 0 z / 2 X 0 z / 2} 1
第七章 参数估计
§4 区间估计
2/7
设总体 X ~ F ( x , ) ( ) , 0 1 若存在 两个统计量 ( X1 , X 2 , , X n ), ( X1 , X 2 ,, X n ) ( ) 使得 Θ 有 P{ } 1 则称随机区间 ( , ) 为 的置信水平为 1 的置信区间, 、 分别称为置信下限和置信上限. 双侧置信区间 置信水平也称为置信度,通常 较小,1 较大 对于连续型总体,则取 P{ } 1 对于离散型总体,则取 P{ }尽可能接近 1
长
n n 可见置信区间不唯一！
3 / 4
/4
怎样选择？ 采用面积对称原则确定分位点
第七章 参数估计
§4 区间估计 求未知参数 的置信估计的未知参数， ˆ, ˆ 求 , 的较好的点估计 一般运用抽样分布定理 构造样本函数 ˆ, ˆ ) ~ f ( x) W W ( ,
第七章 参数估计
n
n
§4 区间估计
( X 0.49, X 0.49)
4/7
ˆ X 只给出了 的点估计 ( X 0.49 , X 0.49 ) 给出了 所在的一个范围 ˆ 都可以作为 的点估计 ˆ ( X 0.49 , X 0.49 )， 其估计误差 ˆ | 2 0.49 0.98 e |
的置信区间为 ( , )
f 1 / 2 ( x )
f / 2 ( x)
x
第七章 参数估计
§4 区间估计
7/7
8、10、11、12、14
END
第七章 参数估计
§4 区间估计
ˆ ˆ( X1 , X 2 , , X n ) 是未知参数 的点估计 设 用 ˆ 估计 有多高的精度？
1/7
未知参数 落在什么范围内？ ˆ1 , ˆ2 ( ˆ1 ˆ2 ), 若 设有两个统计量
ˆ , ˆ ) ( 1 2 ˆ , ˆ )可作为未知参数 的“估计”. 则随机区间 ( 1 2 导弹直接命中敌机将其击毁 ˆ2 ˆ1 小，则估计精度高、可信度低 ˆ2 ˆ1 大，则可信度高、估计精度低 导弹接近敌机时引爆战斗部，依靠高速飞行的弹 片将其击毁 如何平衡估计精度与可信度？
( X 0.49 , X 0.49)是否一定包含真值 置信度 1 0.95 的实际含意是什么
以上分析的可信度为 95%,即若反复抽样 100次，则包 含真值 的区间 ( x 0.49 , x 0.49)约有 95 个，不包含 的 区间大约只有 5 个.
第七章 参数估计
§4 区间估计
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的置信水平为 1 的置信区间满足 0 0 P{ X z X z } 1
短
n
/2
n
/2
面积为 1
3 / 2/ 4
/ 2 3 / 4
/ /24
z z z /z2 / 4
的置信水平为 1 的置信区间也可由下式确定 0 0 P{ X z X z } 1
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故 的置信水平为 1 的置信区间为 ( X z / 2 , X z / 2 ) n n 特别取 n 16 , 0.05 ,则 z / 2 z0.025 1.96 于是 的置信水平为 0.95 的一个置信区间为
( X 0.49 , X 0.49)
第七章 参数估计
§4 区间估计 设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , 1 ) 的样本, 试求未知参数 的置信水平为 1 的置信区间. 的 MLE为 X ，且 X ~ N (0,1) ( 0 1) 0 / n 故对于给定的置信水平 1 , 查表可求得 z / 2 使得 | X | P z / 2 1 1 0 / n 等价地有 z /2 z /2 P{ X 0 z / 2 X 0 z / 2} 1
第七章 参数估计
§4 区间估计
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设总体 X ~ F ( x , ) ( ) , 0 1 若存在 两个统计量 ( X1 , X 2 , , X n ), ( X1 , X 2 ,, X n ) ( ) 使得 Θ 有 P{ } 1 则称随机区间 ( , ) 为 的置信水平为 1 的置信区间, 、 分别称为置信下限和置信上限. 双侧置信区间 置信水平也称为置信度,通常 较小,1 较大 对于连续型总体,则取 P{ } 1 对于离散型总体,则取 P{ }尽可能接近 1
长
n n 可见置信区间不唯一！
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怎样选择？ 采用面积对称原则确定分位点
第七章 参数估计
§4 区间估计 求未知参数 的置信估计的未知参数， ˆ, ˆ 求 , 的较好的点估计 一般运用抽样分布定理 构造样本函数 ˆ, ˆ ) ~ f ( x) W W ( ,
第七章 参数估计
n
n
§4 区间估计
( X 0.49, X 0.49)
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ˆ X 只给出了 的点估计 ( X 0.49 , X 0.49 ) 给出了 所在的一个范围 ˆ 都可以作为 的点估计 ˆ ( X 0.49 , X 0.49 )， 其估计误差 ˆ | 2 0.49 0.98 e |
的置信区间为 ( , )
f 1 / 2 ( x )
f / 2 ( x)
x
第七章 参数估计
§4 区间估计
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第七章 参数估计
§4 区间估计
ˆ ˆ( X1 , X 2 , , X n ) 是未知参数 的点估计 设 用 ˆ 估计 有多高的精度？
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未知参数 落在什么范围内？ ˆ1 , ˆ2 ( ˆ1 ˆ2 ), 若 设有两个统计量
ˆ , ˆ ) ( 1 2 ˆ , ˆ )可作为未知参数 的“估计”. 则随机区间 ( 1 2 导弹直接命中敌机将其击毁 ˆ2 ˆ1 小，则估计精度高、可信度低 ˆ2 ˆ1 大，则可信度高、估计精度低 导弹接近敌机时引爆战斗部，依靠高速飞行的弹 片将其击毁 如何平衡估计精度与可信度？
( X 0.49 , X 0.49)是否一定包含真值 置信度 1 0.95 的实际含意是什么
以上分析的可信度为 95%,即若反复抽样 100次，则包 含真值 的区间 ( x 0.49 , x 0.49)约有 95 个，不包含 的 区间大约只有 5 个.
第七章 参数估计
§4 区间估计
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的置信水平为 1 的置信区间满足 0 0 P{ X z X z } 1
短
n
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面积为 1
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/ 2 3 / 4
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z z z /z2 / 4
的置信水平为 1 的置信区间也可由下式确定 0 0 P{ X z X z } 1