线性规划的计算机求解
7.2线性规划问题的计算机求解
19
7.2.3 整数规划 在某些实际问题中，有时还会遇到要求解必须为
整数的情况，例如，所求的解为安排上班的人数、 生产机械的台数等，这就是整数规划问题.
在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数， 则称之为纯整数规划问题，如果只有一部分变量 为非负整数，则称之为混合整数规划问题.
35
• 作业P164习题7.2
• 1、 2、 3.
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例2
求解下面的混合整数规划问题：
max z 2 x1 x2 3x3
x1 x2 2 x3 4 3 x 4 x 2 2 3 x1 2 x2 3 x3 3 约束条件： x2 1 x1 , x2 , x3 0 x1 , x2为整数
注意：以上有关计算机输出的目标函数系数及约束 条件右边常数项的分析称为灵敏度分析.
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以上的分析都是在其他系数值及约束条件右 边常数项不变，只有一个系数及约束条件右 边常数项变化的基础上得出的，而当有两个 或多个系数变化时，灵敏度分析比较复杂， 请查阅相关资料，这里不详述.
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2/16/2014
第一步
开始
程序
管理运筹学2.0
30
第二步
整数规划
31
第三步
混合整数规划
32
第四步
新建
输入3个变量，3个约束条 件
确定
MAX
输 入 数 据
33
第五步
解决
34
第六步
分析运行结果
线性规划的应用及计算机求解
金融投资
在金融投资领域，如何合理配置资产以实现最大收益或最小风险是投资者关注的问题。线性规划可以用于制定最优的资产配 置方案，考虑风险和收益的平衡，以实现投资效益的最大化。
例如，一个养老基金可以使用线性规划来配置股票、债券和现金等资产，以实现长期稳定的收益并控制风险。
农业优化
在农业生产中，如何合理安排种植、养殖等 生产活动以达到最优的经济效益是农业经营 者关注的问题。线性规划可以用于解决农业 生产的优化问题，考虑土地、水资源、劳动 力等资源的限制，通过调整生产结构实现农 业生产的效益最大化。
其中，单纯形法是最常用的一种，它 通过迭代的方法逐步逼近最优解，直 到找到最优解或确定无解为止。
02
线性规划的应用领域
生产计划
生产计划是企业运营管理中的重要环节，线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最小化生产成本 或最大化利润为目标，考虑生产能力、市场需求、产品组合等因素，通过调整生产资源的配置，实现 生产效益的最大化。
金融投ห้องสมุดไป่ตู้优化案例
总结词
金融投资优化
数学模型
目标函数通常是最大化预期收益或最小化 风险，约束条件包括投资限额、资产种类
限制等。
详细描述
线性规划在金融投资优化中具有实际应用 价值，通过合理配置投资组合，降低投资 风险，提高投资收益。
求解方法
使用计算机求解线性规划问题，常用的算 法有单纯形法、椭球法等。
资源分配优化案例
总结词 详细描述 数学模型 求解方法
资源分配优化
线性规划在资源分配优化中起到关键作用，通过合理分配有限 资源，实现资源利用的最大化，提高资源效益。
目标函数通常是最小化总成本或最大化总效益，约束条件包括 资源限制、需求约束等。
运筹学 第3章 线性规划问题的计算机求解
• 50
74
• 100
78
• 允许增加量是指该系数在上限范围内的 最大增加量。
• 允许减少量是指该系数在下限范围内的 最大减少量。
c • x1系数的上限为100，故 1的允许增加量为
•
上限-现在值=100-50=50
x c • 而 2的下限为50，故 2的允许减少量为
•
现在值-下限=100-50=50
管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
第三章 线性规划问题的计算机求解
• 3.1 “管理运筹学软件的操作方法
3.2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
• 相差值提供的数值表示相应的决策变量的目 标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能 取正数值，当决策变量已取正数值时相差值为零。
• 在目标函数系数范围一栏中，所谓的上限与 下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内 变化时，其线性规划的最优解不变。
c • 其中bj的允许增加（减少）百分比的定义同 i
的允许增加（减少）百分比一样，为bj的增加量 （减少量）除以bj的允许增加量（减少量）所得
到的值。
• 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要 注意以下三点：
• （1）当允许增加量（减少量）为无穷大时，则 对于任一个增加量（减少量），其允许增加（减 少）百分比都看成零。
• 在常数项数范围一栏中，所谓上限与下限是指 当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其 对应的约束条件的对偶价格不变。
• 以上讨论计算机输出的关于目标函数系 数及约束条件中常数项的灵敏度分析都是 基于这样一个重要假设：当一个系数发生 变化时，其他系数保持不变。
• 两个或更多的系数发生变化时，怎么来 进行灵敏度分析？
第四章 线性规划问题的计算机求解
第四章线性规划问题的计算机求解4.1 有以下线性规划数学问题：max Z=2x l+3 x2S.T. x l+ x2≤102x l+ x2≥4x l+3 x2≤242x l+ x2≤16x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、四个约束条件中，哪些约束条件起到了作用？各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解：1、2、最优解：（3，7），最优值：273、第一、第三个约束条件起到了约束作用。
松弛量/剩余量对偶价格x l+ x2≤10 0 1.52x l+ x2≥4 9 0x l+3 x2≤24 0 0.52x l+ x2≤16 13 04、目标函数中各变量系数1≤C1≤32≤C1≤65、常数项8≤b1≤9.2无限≤b2≤1318≤b3≤3013≤b4≤无限4.2 有以下线性规划数学问题：min f=8x l+3 x2S.T. 500x l+100 x2≤12000005x l+4 x2≥60000100x l≥300000x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。
4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解：本问题无解。
4.3 有以下线性规划数学问题：max Z=x l+2 x2+3 x3- x4S.T. x l+2 x2+3 x3≤152x l+ x2+5 x3≤20x l+2 x2+ x3+ x4≤10x l 、x2、x3、x4≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、分别解释“递减成本”栏中各数据的含义。
第3章%20线性规划问题的计算机求解pdf
第三章思考题、主要概念及内容“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析复习题1.见第二章第7题，设x1为产品Ⅰ每天的产量，x2为产品Ⅱ每天的产量，可以建立下面的线性规划模型：max z=500x1+400x2；约束条件：2x1≤300，3x2≤540，2x1+2x2≤440，1.2x1+1.5x2≤300，x1，x2≥0．使用“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图1所示图1根据图3-5回答下面的问题：(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最大目标函数值即最大利润为多少?(2) 哪些车间的加工工时数已使用完?哪些车间的加工工时数还没用完?其松弛变量即没用完的加工工时数为多少?(3) 四个车间的加工工时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明．(4) 如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪个车间?为什么?(5) 目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，在什么范围内变化时，最优产品的组合不变?(6) 目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，从400元提高为490元时，最优产品组合变化了没有?为什么?(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限．(8) 第1车间的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?(9) 第3车间的加工工时数从440增加到480时，从图3-5中我们能否求得总利润增加的数量?为什么?(10) 当每单位产品Ⅰ的利润从500元降至475元，而每单位产品Ⅱ的利润从400元升至450元时，其最优产品组合(即最优解)是否发生变化?请用百分之一百法则进行判断．(11) 当第1车间的加工工时数从300增加到350，而第3车间的加工工时数从440降到380时，用百分之一百法则能否判断原来的对偶价格是否发生变化?如不发生变化，请求出其最大利润．2. 见第二章第8题(2)，仍设xA为购买基金A的数量，xB为购买基金B的数量，建立的线性规划模型如下：max z=5xA+4xB；约束条件：50xA+100xB≤1 200 000，100xB≥300 000，xA，xB≥0．使用“管理运筹学”软件，求得计算机解如图2所示．图2根据图2，回答下列问题：(1) 在这个最优解中，购买基金A和基金B的数量各为多少?这时获得的最大利润是多少?这时总的投资风险指数为多少?(2) 图3-7中的松弛/剩余变量的含义是什么?(3) 请对图3-7中的两个对偶价格的含义给予解释．(4) 请对图3-7中的目标函数范围中的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(5) 请对图3-7中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(6) 当投资总金额从1 200 000元下降到600 000元，而在基金B上至少投资的金额从300 000元增加到600 000元时，其对偶价格是否发生变化?为什么?3. 考虑下面的线性规划问题：min z=16x1+16x2+17x3；约束条件：x1+x3≤30， -x2+6x3≥15，05x13x1+4x2-x3≥20，x1，x2，x3≥0．其计算机求解结果如图3所示．图3根据图3，回答下列问题：(1) 第二个约束方程的对偶价格是一个负数(为-3622) ，它的含义是什么? ，它的含义是什么?(2) x2的相差值为0703(3) 当目标函数中x1的系数从16降为15，而x2的系数从16升为18时，最优解是否发生变化?(4) 当第一个约束条件的常数项从30减少到15，而第二个约束条件的常数项从15增加到80时，你能断定其对偶价格是否发生变化吗?为什么?。
线性规划模型及matlab程序求解
§1 线性规划模型一、线性规划课题：实例1：生产计划问题假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。
每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。
每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。
甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。
问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。
f为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2s.t 9x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1,x2≥0归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量x的线性函数。
形如： (1) min f T Xs.t A X≤bAeq X =beqlb≤X≤ub其中X为n维未知向量，f T=[f1,f2,…f n]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。
lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。
二．线性规划问题求最优解函数：调用格式： x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(…)[x, fval, exitflag]=linprog(…)[x, fval, exitflag, outpu t]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
运筹学03-excel求解
第2章 线性规划的计算机求解及应用举例§1线性规划模型在电子表格中的布局线性规划模型在电子表格中布局的好坏关系到问题可读性和求解方便性的高低。
本节以第一章中的例1（资源分配问题）为例来说明一下如何在电子表格中描述线性规划模型，让我们回顾一下第一章中例1的数学模型：Max 1243Z x x =+s.t. 1212126282318,0x x x x x x ≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ （2.1）一般来说，在与问题相关的表格的基础上稍加调整就可以在电子表格中形成一个十分清晰的模型描述。
我们以表1-1为基础在Excel 电子表格中将上述问题描述如图2-1。
§2用Excel规划求解工具求解线性规划模型Excel 中有一个工具叫规划求解，可以方便地求解线性规划模型。
“规划求解”加载宏是Excel 的一个可选加载模块，在安装Excel 时，只有在选择“定制安装”或完全安装时才可以选择装入这个模块。
如果你现在的Excel 窗口菜单栏的“工具”菜单中没“规划求解”选项，可以通过“工具”菜单的“加载宏”选项打开“加载宏”对话框来添加“规划求解”（见图2-2）。
在应用规划求解工具以前，要首先确认在Excel 电子表格中包括决策变量、目标函数、约束函数三种信息的单元格或单元格区域。
图2-1中的电子表格中就已经有了这部分内容：决策变图2-1 资源分配问题的模型在Excel 电子表格的布局及公式图2-2 加载宏对话框量在C9和D9单元格中；目标函数的系数在第8行；约束函数在第5、6和7行。
因为我们不知道决策变量的值是多少，所以就在决策变量所在的单元格中填上初始值“0”，当然也可以什么都不填，系统会默认它为0，在求解以后Excel会自动将它们替换成决策变量的最优解。
下面我们接着上节的内容用Excel规划求解将第一章例1的资源分配问题解一遍。
首先将要求解模型的所有相关信息和公式像图2-1那样填入电子表格中后，再选取[工具] | [规划求解]命令后，弹出图2-3所示的“规划求解参数”对话框。
管理运筹学第四版 第三章习题6答案(P35)
《数据、模型和决策》作业一学号：2461604112 姓名：王康兵班级：2016秋MBA2周末班一、第三章线性规划问题的计算机求解习题6 （P35）答：根据图3-10回答问题如下：（1）最优解即最优产品组合是产品Ⅰ每天的产量是150个，产品Ⅱ每天的产量是70个。
此时最大的目标函数即最大利润为103000元。
（2）车间1和车间3的加工工时数已使用完，车间2和车间4的加工工时数还没用完。
车间2的松弛变量即没用完的加工工时数为330工时，车间4的松弛变量即没用完的加工工时数为15工时。
（3）车间1的加工工时的对偶价格为50元，即增加一个工时就可能使总利润增加50元；车间2的加工工时的对偶价格为0元，即增加一个工时不会使总利润有所增加；车间3的加工工时的对偶价格为200元，即增加一个工时就可能使总利润增加200元；车间4的加工工时的对偶价格为0元，即增加一个工时不会使总利润有所增加。
（4）如果要在这四个车间选择一个车间进行加班生产，我会选择车间3。
因为在车间3的加工工时的对偶价格为200元，即每增加一个工时就可能使总利润增加200元，能为公司创造价值。
（5）目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，当c1在400与+∞之间变化时，最优产品组合不变。
（6）目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，当c2从400元提高到490元时，最优产品组合没有变化。
因为当c2=490元时，0《490《500，仍在c2的系数变化范围内，所以其最优产品组合没有变化。
（7）约束条件中的常数项的现在值由图3-10可知，b1=300，b2=540，b3=440，b4=300。
所谓常数项的上限和下限是指当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。
具体地说，当车间1的加工工时数在200到440的范围内时，其对偶价格都为50元；当车间2的加工工时数在210到+∞范围内时，其对偶价格为零；当车间3的加工工时数在300到460范围内时，其对偶价格都为200元；当车间4的加工工时数在285到+∞范围内时，其对偶价格为零。
Linear Programming(线性规划)
线性规划的三要素
决策变量：根据影响所要达到目的的因素找到决策变量 ——生产产品量，运输分配量等 目标函数：由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目 标函数； ——最大利润，最小运费等 约束条件：由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足 的约束条件 ——原材料限制，工时限制等
求解线性规划问题的方法： 求解线性规划问题的方法：
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？
分析： 这是一个生产计划问题，设生产A产品X1kg, B产品 X2kg. 则该问题可以用如下模型来描述： Max Z=70X1+120X2 9X1+4X2≤360 s.t. 4X1+5X2 ≤200 3X1+10X2 ≤300 X1≥0 X2≥0 <约束条件> <目标函数>
求解线性规划问题的步骤： Excel 求解线性规划问题的步骤：
1、在电子表格中确定目标单元格、活动单元格，输入所有参数； 2、利用数据组相乘公式（常用函数里SUMPRODUCT)确定好约束条 件的左边对应单元格； 3、打开工具栏里的规划求解 （1）给定目标单元格、活动单元格，求最大或最小； 1 （2）添加约束条件 （3）选项栏里：线性、非负，确定 （4）确定求解
该模型的解为生产计划。
例2：某运输问题，已知资料如下表所示，问如何调 运，使产销平衡且总运费最小？
单位：百万/吨
单位运费 销地 产地
B1 A1 A2 A3 5 4 4 30
B2 6 1 2 50
B3 10 9 4 40
B4 3 7 8 40
产量 （吨） 60 40 60
销量（吨）
这是一个产销平衡运输问题，即： ∑Ai 地产量ai= ∑Bj 地销量bj (i=1，2，3；j=1,2,3,4) 设从生产地Ai到销售地Bj的调运量为： Xij (i=1，2，3；j=1,2,3,4） 该问题的数学模型为： Min Z=5 X11+6 X12+10X13+3X14+4X33+8 X34 X11+X12+X13+X14=60 X21+X22+X23+X24 =40 …… s.t. X11+X21+X31=30 …… X14+X24+X34=40 ——销量约束 ——产量约束
线性规划问题计算机解法
线性规划问题计算机解法本节将简要介绍几种软件求解线性规划问题的方法．1.6.1应用EXCEL求解线性规划问题以EXCEL2007为例，首先加载EXCEL规划求解加载项，具体操作步骤为：Office按钮——EXCEL选项——加载项——转到——加载宏——规划求解加载项，此时在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组．下面仍然以例１．５为例，说明其求解过程：１设计电子表格将模型中的数据直接输入到工作表中并保存文档．其中，Ａ列为说明性文字，Ａ3为决策变量的初始值，可以任意给定，本例均设为０；在Ｄ4其中键入“=SUMPRODUCT (B$3:C$3,B4:C4)”或者从直接从函数中选择，SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数，,x x初始其功能是两个向量或者矩阵对应元素乘积的和，因此表示表示目标函数值，由于12值设为０，因而显示０；同理在Ｄ5其中键入“=SUMPRODUCT(B$3:C$3,B5:C5)”，以此类推，其显示值均为０．２设置规划求解参数点击“分析”组中的“规划求解”按钮即可弹出如下对话框：在设计目标目标单元格中键入$D$4，或者直接点击单元格D4，并选择“最大值”选项，如下图所示点击对话框中“添加”，弹出如下对话框在“单元格引用位置”栏中键入“$D$ 5”（或点击单元格D5），选择“<=”(点击出现下拉菜单，可以选择其他约束形式)，在约束值栏中键入“$F$5”（或点击单元格F5），确定后弹出下面对话框：类似于上一步操作，添加所有的约束条件后如下图所示：3 应用规划求解工具：点击“求解”弹出如下对话框，选择“保存规划求解结果”与“运算结果报告”确定后则形成一张新的工作表：如果想得到价值系数、资源向量等条件对最优值的影响，可以在步骤3中选择输出“敏感性报告”．1.6.1应用LINGO求解线性规划问题从上面的介绍中看出，用EXCEL求解线性规划问题时操作简单，而其在输入数据方面有其方便之处．但如果决策变量和约束条件很多的话，其运行速度就不及专业的优化软件了．本节介绍一种专业的优化软件－－LINGO的使用方法．LINDO 是 Linear Interactive Discrete Optimizer的缩写，是一个线性和整数规划的软件系统. LINDO /386 5.3以上版本，最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个，最大变量个数可以达到100,000个，最大目标函数和约束条件个数可以达到32000个，最大整数变量个数可以达到100,000个。
第三章 线性规划问题的计算机求解.
➢ 注意：
➢ 1、允许增加（减少）量为无穷大时，其允许 增加（减少）百分比都看做0。
➢ 2、百分之一百法则是判断最优解或对偶价格 是否变化的充分条件，但不是必要条件。
第三章
线性规划问题 的计算机求解
➢ 一、“管理运筹学”软件的操作方法
➢ 2.5版比之2.0版改进了不少功能，如，线性 规划结果输出部分增加了线性规划的逐步运 算过程
➢ 应用注意：
➢ 1、输入系数可以是整数、小数，但不能是分 数；
➢ 2、输入前要合并同类项； ➢ 3、可以解决包含50个约束条件、100个决策
➢ 3、百分之一百法则不能用于约束条件右端常 数项和目标函数系数同时变化的情况，在这 种情况下只有重新求解。
影子价格与对偶价格的区别和联系
➢ 影子价格：当约束条件中的常数项增加一个 单位时，最优目标和数值增加的数量。
➢ 对偶价格：当约束条件中的常数项增加一个 单位时，最优目标和数值改进的数量。
➢ 因此，当目标函数为最大化要求时，影子价 格＝对偶价格，当目标函数为最小化要求时， 影子价格＝－对偶价格。
变量的线性规划问题。
➢ 二、管理运筹学软件的输出信息分析
➢ 1、基本信息内容
➢ 相差值：使决策变量取正值，目标函数系数 要改进的数量。
➢ 对偶价格：约束条件右端项（资源、限制） 增加一个单位使目标函数值得到改进的数量。
➢ 价值系数上下限是最优解不变的范围； ➢ 常数项上下限是对偶价格不变的范围。
X2
Hale Waihona Puke 400C1＝-100
运筹学——第3章_线性规划问题的计算机求解
变量 下限 当前值 上限
x1
0
50
100
x2
50
100 无上限
从上面可知目标函数中X1的系数的上限为100，故C1
允许增加量为： 上限-现在值=100-50=50；
而X2的下限为50，故C2的允许减少量为： 现在值-下限=100-50=50。
定义Ci 的允许增加(减少)百分比为：Ci 的增加量 (减少量)除以Ci 的允许增加量(允许减少量)的值。
在上题中C1 的允许增加百分比与C2 的允许减 少百分比之和为92％不超过100％，所以当每件产 品Ⅰ利润从50元增加到74元，每件产品Ⅱ利润从 100元减少到78元时，此线性规划最优解仍然为Ⅰ 产品生产50件， Ⅱ产品生产250件(即x1= 50， x2=250)，此时有最大利润为:
74× 50+78× 250=3700＋19500=23200(元)。
为50元，即增加了一个台时数就可使总利润增加50元；
原料A还有50千克没有使用，原料A的对偶价格当然为零，
即增加1千克A原料不会使总利润有所增加；原料B全部使
用完，原料B的对偶价格为50元，即增加一千克原料B就
可使总利润增加50元。
在目标函数系数范围一栏中，所谓的当前值是指在目标函数 中决策变量的当前系数值。如x1的系数值为50，x2的系数值为100。 所谓的上限与下限值是指目标函数的决策变量的系数（其它决策 变量的系数固定在当前值）在此范围内变化时，其线性规划的最 优解不变。例如当c1= 80时，因为0≤80≤100，在x1的系数变化范 围内，所以其最优解不变（此时要固定c2=100)，也即当x1=50， x2=250时，有最大利润。当然由于产品Ⅰ的单位利润由50变为80 了，其最大利润也增加了(最优值变了)，
第三章 线性规划问题的求解07.9
输入部分： 2. 输入部分：
（1）线性规划、整数规划的目标函数和约束的输 线性规划、 入必须按由小到大的序号顺序输入， 入必须按由小到大的序号顺序输入，同时约 束变量必须放在运算符的左侧。 束变量必须放在运算符的左侧。如（x1+x2x3=0，不能输为x2-x3+x1=0；x1-x2+x3=0， ， ； ， 不能输为x1+x3=x2） （2）输入的约束中不包括" ≥ "或"≤"，而是用 输入的约束中不包括 或 ，而是用">“ 代替， 或“<”代替，这不会影响求解。如 对于约束 代替 这不会影响求解。 X1 ≥ 2,则输入 X1>2,而不是 1 ≥ 2。 而不是X 则输入 而不是 。 （3）当所有的约束条件输入完了之后，在下一个 ）当所有的约束条件输入完了之后， 约束条件中输入“ 约围：
当前值——指bj的现在值 指 当前值 上限值和下限值——指bj在此范围内变化时，则与 上限值和下限值 指 在此范围内变化时， 其对应的约束条件的对偶价格不变。 其对应的约束条件的对偶价格不变。
三、百分之一百法则及其应用
1、允许增加量：允许△ = 上限 – 现在值 、允许增加量： 2、允许减少量：允许△ = 现在值 – 下限 、允许减少量： 3、允许增加（减少）百分比： 、允许增加（减少）百分比：
输出部分： 4. 输出部分：
（1）线性规划和整数规划子程序没有把运算结 果存储到文本文件的功能， 果存储到文本文件的功能，其它子程序都 可以实现。 可以实现。 （2）若不通过运行Main.exe进入各子问题，而 若不通过运行Main.exe进入各子问题， Main.exe进入各子问题 是直接运行各子程序，系统会默认当前目 是直接运行各子程序， 录为存储目录。 录为存储目录。
第二章 线性规划问题与计算机求解(MEM运筹学)
例2. 某饲料公司希望用玉米、红薯两种原料来配置一种混合饲料，已知 两种原料含三种营养成分和混合饲料对营养成分的要求如下表：
营养成分 碳水化合物 蛋白质 维他命 采购成本（元/KG） 每公斤玉米 8 3 1 2 每公斤红薯 4 6 5 1.8 饲料对营养要求 20 18 16
问题：公司应任何采购两种原材料，使即满足营养要求，又使成本最少？
下面通过例1详细讲 解其方法：
x1 = 50，
得到最优解：
x2 = 250
最优目标值 z = 27500
§2图解法 画出可行域 满足约束的区域
(1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标系。在直角坐 标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组值，例1的每
个约束条件都代表一个半平面。
价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种 原料，使2x1 + 3 x2 约束条件： s.t. x1 + x2 ≥ 350 x1 ≥ 125 2x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
非标准形式的线性规划非标准形式的线性规划
1.极小化目标函数的问题：
设目标函数为 Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (可以)令 z ＝ -f ， 则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解， 即 Max z =－c1x1－c2x2 － …－cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们 最优解的目标函数值却相差一个符号，即 Min f ＝－Max z
进 一 步 讨 论
管理运筹学》-第四版课后习题解析(上)
《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC。
（2）等值线为图中虚线部分。
（3）由图2-1可知，最优解为B点，最优解1x=127，2157x=；最优目标函数值697。
图2-12．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解120.20.6xx=⎧⎨=⎩，函数值为3.6。
图2-2（2）无可行解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
（5）无穷多解。
（6）有唯一解 1220383x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，函数值为923。
3．解：（1）标准形式12123max 32000f x x s s s =++++1211221231212392303213229,,,,0x x s x x s x x s x x s s s ++=++=++=≥（2）标准形式1212min 4600f x x s s =+++12112212121236210764,,,0x x s x x s x x x x s s --=++=-=≥（3）标准形式12212min 2200f x x x s s ''''=-+++ 1221122122212212355702555032230,,,,0x x x s x x x x x x s x x x s s '''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥4．解： 标准形式1212max 10500z x x s s =+++1211221212349528,,,0x x s x x s x x s s ++=++=≥ 松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2。
5．解：标准形式12123min 118000f x x s s s =++++121122123121231022033184936,,,,0x x s x x s x x s x x s s s +-=+-=+-=≥剩余变量（0, 0, 13） 最优解为 x 1=1，x 2=5。
运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解
运筹学实验报告实验课程:运筹学实验日期: 2020年4月4日任课教师:杨小康班级：数学1802 姓名：王超学号：2501180224一、实验名称: 简单线性规划模型的求解与Lingo软件的初步使用二、实验目的：了解Lingo软件的基本功能和简单线性规划模型的求解的输入和输出结果。
熟悉Lingo 软件在运筹学模型求解中的作用，增强自身的动手能力，提高实际应用能力三、实验要求:1、熟悉Lingo软件的用户环境，了解Lingo软件的一般命令2、给出Lingo中的输入，能理解Solution Report中输出的四个部分的结果。
4、能给出最优解和最优值；5、能给出实际问题的数学模型，并利用lingo求出最优解四、报告正文（文挡，数据，模型，程序，图形）:1.在Lingo中求解下面的线性规划数学模型;(1)12132412512345 max2543..28,,,,0z x xx xx xs tx x xx x x x x=++=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪≥⎩(2)12121212max2343..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(3)12121212max243..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(4)12121212max324 ..3,0z x xx xs t x xx x=+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩(5)1212121212max102401.530.50,0z x xx xx xs tx xx x=++≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩2、某工厂利用三种原料生产五种产品，其有关数据如下表。
原料可利用数（千克）每万件产品所用材料数（千克）A B C D E甲10 1 2 1 0 1 乙24 1 0 1 3 2 丙21 1 2 2 2 2 每万件产品的利润（万元）8 20 10 20 21 (l)建立该问题的运筹学模型。
（2）利用lingo 软件求出最优解，得出最优生产计划解：（1）设xi（i=1,2...,5）为所用材料生产的件数则数学模型,,,,21 2222242 3102;212010208max543215 43215431532154321≥≤++++≤+++≤+++++++ =xxxxxx xxxxt xxxx xxxxsxxxxxz （2）结果为220.3：现有15米长的钢管若干，生产某产品需4米、5米、7米长的钢管各为100、150、120根，问如何截取才能使原材料最省？（建立线性规划模型并利用lingo软件求解）解：方案4米5米7米剩余量截取长度1 3 0 0 32 2 1 0 23 2 0 1 04 1 2 0 15 0 3 0 06 0 1 1 37 0 0 2 14人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
管理运筹学《线性规划的计算机求解》课件
影子价格与对偶价格
条件
影子价格与对偶价格的关系
求目标函数max
当约束条件中的常数项增加一个单位时，目标函数值增
加的量就为改进的数量，此时影子价格即为对偶价格
求目标函数min
在求目标函数最小值时，改进的数量即减少的数量，此
时影子价格为负的对偶价格
“管理运筹学”软件的操作方法
第六步：点击开始
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第七步：点击下一步
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第八步：点击下一步
§1
“管理运筹学”软件的操作方法
第九步：关闭计算过程
本章内容
1
2
“管理运筹学”软件的操作方法
§2
“管理运筹学”软件的输出信息分析
分析软件输出的信息
百分之一百法则：
对于所有变化的目标函数决策变量系数（约束条件右端
常数值），当其所有允许增加的百分比与允许减少的百
分比之和不超过100%时，最优解不变（对偶价格不变）
§ 2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
目标函数系数的百分之一百法则
1 → 74，2 → 78则
74−50
(100−78)
|
|+|
§2
“管理运筹学”软件的输出信息分析
分析软件输出的信息
解释
常数项范围
上限值和下限值：当约束条件的右端常量在此范围内变化
时，与其对应的约束条件的对偶价格不变
当前值：约束条件的右端常量现在的取值。
灵敏度分析都是在只有一个系数变化的基础上得出的
§ 2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
当有多个系数变化，怎样进行灵敏度分析？
|=92%
统计学 第3章 线性规划的计算机求解
结果含义
相差值： 表示使决策变量取正值，相应的目标 系数的改进值。比如：若x1 =0，相差值为20 ，则表示只有当c1 =5+20时，x1才不为0。 即产品才能生产。 对偶价格(dual)： 表示增加一个台时数时，可使利润增加50元。 表示增加一千克原料A时，利润不增加。 表示增加一千克原料B时，可使利润增加50元。 目标函数系数范围 下限 和 上限 表示： 当 0 ≤ c1 ≤100时，最优解不变。 当 50 ≤ c2时，最优解不变。 注意：最优值变了。
当前值 50 100
上限 100 无
当前值 300 400 250
上Hale Waihona Puke 325 无 300常数项范围 下限 和 上限表示：(1)当 250 ≤ b1 ≤325 时，约束条件1的对偶价格不变。 (2)当350 ≤b2时，约束条件2的对偶价格不变。
线性规划的计算机求解
一 计算机输出结果的含义： 例如：对线性规划问题 max z = 50 x1 +100 x2 s.t. x1 + x2 ≤300 2 x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1≥0， x2≥0 计算机输出结果为：
——————目标函数
台时数 原料A ———— 约束条件 原料B
输出结果
运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解-(1)
运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解-(1)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1运筹学实验报告实验课程:运筹学实验日期: 任课教师:王挺第五种方案0 3 0 0第六种方案0 1 1 3第七种方案0 0 2 1设：第i种方案需要的钢管为Xi根（其中i=1，2...6）,可得:minz=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7解：model:min= X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7;3*X1+2*X2+2*X3+X4>=100;X2+2*X4+3*X5+X6>=150;X3+X6+2*X7>=120;endObjective value: 135.0000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.2500000X2 0.000000 0.1666667X3 50.00000 0.000000X4 0.000000 0.8333333E-01X5 50.00000 0.000000X6 0.000000 0.1666667X7 35.00000 0.0000004人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
班次时间所需人数班次时间所需人数1 6:00~10:00 60 4 18:00~22:00 502 10:00~14:00 70 5 22:00~2:00 203 14:00~18:00 60 6 2:00~6:00 30设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？5投资计划问题某地区在今后三年内有四种投资机会，第一种是在3年内每年年初投资，年底可获利润20%，并可将本金收回。
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▪ 2). 农场最大供水量约束 ▪ 2x11 + 1.5x12 + x13 ≤6000 ▪ 2x21 + 1.5x22 + x23 ≤9000 ▪ 2x31 + 1.5x32 + x33 ≤5500 ▪ 2x41 + 1.5x42 + x43 ≤5000
(农场1) (农场2) (农场3) (农场4)
例2. 证券投资问题
▪ 证券平均评级约束：
▪ 这是一个非线性约束，容易转化为以下线性约束：
0.5xA + 0.5xB – 0.5xC – 0.5xD + 2.5xE + 3.5xF ≤ 0
▪ 证券平均到期年限约束：
▪ 它等价于线性约束： 4xA + 7xB – xD – 2xE – xF ≤ 0
▪ 非负约束: xA ≥0，xB ≥0， xC ≥0， xD ≥0， xE ≥0xF ≥0
例1. 农场灌溉问题
▪ 满足下列约束条件：
▪ 1). 农场的耕地面积约束
▪ x11 + x12 + x13 ≤4000
(农场1)
▪ x21 + x22 + x23 ≤6000
(农场2)
▪ x31 + x32 + x33 ≤5000
(农场3)
▪ x41 + x42 + x43 ≤4500
(农场4)
例1. 农场灌溉问题
▪ 国债投资额不能少于300万元； ▪ 投资证券的平均评级不超过1.5； ▪ 投资证券的平均到期年限不超过5年。
▪ 问：每种证券投资多少可以使得税后收益最 大？
例2. 证券投资问题
例2. 证券投资问题
▪ 引入决策变量xA、xB、xC、xD、xE、xF分别表示 证券A、B、C、D、E、F的投资金额（单位：万 元），相应的目标函数（税后收益）为：
例3. 话务员排班问题
例3. 话务员排班问题，我们首先必须明确包含的活动数目， 活动一个单位是对应于分派一个话务员到该 班次收，效益的水平对应于时段。收益水平 就是该时段里上下班的话务员数目，各活动 的单位效益贡献就是在该时间内增加的在岗 位话务员数目。我们给出下列成本效益平衡 问题参数表：
线性规划的计算机求解
线性规划的计算机求解
线性规划的计算机求解
线性规划的计算机求解
线性规划的计算机求解
线性规划的计算机求解
线性规划的计算机求解
线性规划的计算机求解
线性规划的计算机求解
农场灌溉问题
▪ 某公司有四个农场，每个农场的耕地作物需要用水 灌溉，因灌溉条件限制，农场的最大水资源供应量 有一定限制，各农场的总耕地面积与最大水资源供 应量如表3-1所示。该地区种植的作物有棉花、玉米 和高粱，三种农作物每种作物每单位种植面积的净 收入和耗水量以及每种作物最大允许种植面积如表 3-2所示。由于水资源短，公司规定每个农场受灌溉 面积占农场总耕地面积的比例相同，公司决策问题 还是如何确定各农场种植各种作物的面积，使得公 司总收入最大。
例1. 农场灌溉问题
▪ 3)农作物的种植面积约束 ▪ x11 + x21 + x31 + x41 ≤6000 （农作物1，棉花） ▪ x12 + x22 + x32 + x42 ≤5500 （农作物2，玉米） ▪ x13 + x23 + x33 + x43 ≤5000 （农作物3，高粱） ▪ 即各农作物种植面积不超过最大允许种植面积。 ▪
线性规划的计算机求解
▪ 作为office家族的一员，Excel的普及性和易 学性也会让读者感到利用计算机求解线性规 划十分容易。当然，除Excel外还有很多求解 线性规划的计算机软件，但Excel强大的功能、 普及性和易学性足以满足学习运筹学的读者 理解线性规划的计算机求解方法、帮助读者 们学习解决线性规划问题的要求。
例3. 话务员排班问题
▪ 问：如何安排话务员才能保证服务人数，又 使总成本最低？
例3. 话务员排班问题
▪ 解：这个问题实际上是一个成本效益平衡问 题。管理层在向客户提供满意服务水平的同 时要控制成本，因此必须寻找成本与效益的 平衡。由于每节工作时间为3小时，一天被分 为8班，每人连续工作3节，各班时间安排如 下表：
例1. 农场灌溉问题
例1. 农场灌溉问题
▪ 我们首先建立此问题的线性规划模型。由于 此问题是决定四个农场中每个农场种植三种 农作物的面积，我们引入决策变量xij（i = 1， 2，3，4；j = 1，2，3）表示第i个农场种植 第j种作物的面积，目标是使总收入
▪ Z = 800( x11 + x21 + x31 + x41) + 600(x12 + x22 + x32 + x42 ) + 450(x13 + x23 + x33 + x43)最大化
线性规划的计算机求解
▪ Excel 是分析和求解线性规划问题一个很好 的工具，它不仅可以很方便地将线性规划模 型所有的参数录入电子表格，而且可以利用 规划求解工具迅速找到模型的解。最重要的 是，在解好的模型中，任何参数的改变都可 以立即反映到模型的解中，在不重新应用求 解工具的情况下就可以知道许多信息，当然， 即使重新求解也只是点一下鼠标就可以了
▪ Z = 9×0.043xA + 12×0.044xB + 5×0.032xC + 4×0.03xD + 3×0.032xE + 4×0.045xF
▪ 约束条件为： ▪ 资金总额约束：
xA + xB + xC + xD + xE + xF ≤ 1000 ▪ 国债投资额约束：
xC + xD ≥ 300
例2. 证券投资问题
例3. 话务员排班问题
▪ 某寻呼公司雇用了多名话务员工作，他们每 天工作3节，每节3小时，每节开始时间为午 夜、凌晨3点钟、凌晨6点钟，上午9点、中午 12点、下午3点、6点、9点，为方便话务员 上下班，管理层安排每位话务员每天连续工 作3节，根据调查，对于不同的时间，由于业 务量不同，需要的话务员的人数也不相同， 公司付的薪水也不相同，有关数据见表。
例1. 农场灌溉问题
▪ 4)种植作物面积占总耕地面积比例约束
▪ 即各农场种植作物面积（灌溉面积）占总耕地面积 的比例相同。
▪ 5) 决策变量的非负约束 ▪ xij ≥ 0， i = 1，2，3，4；j = 1，2，3。
例1. 农场灌溉问题
例2. 证券投资问题
▪ 一证券投资者将1000万元资金用于证券投资， 已知各种证券（A、B、C、D、E、F）的评 级、到期年限、每年税后收益如表所示。管 理层对该投资者提出下列要求：