第三章 形式的命题逻辑系统
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形式逻辑基本知识
7
逻辑的类型
Susan Haack Philosophy of Logics 列出的逻辑的范围
Traditional Logic 三段论 Classical Logic 二值命题、谓词演算（狭义数理逻辑） Extended Logics 模态、时态、规范、认知、择优、祈使、问句逻辑 Deviate Logics 多值、直觉、量子、自由逻辑 Inductive Logics 归纳逻辑
奠定了基础。由此逻辑学发展进入黄金时代。
现代逻辑学已从单一学科逐步发展成为理论严密、分支众多、应 用
广泛的学科群，择其要者有数理逻辑、哲学逻辑、自然语言逻辑、概 率逻辑、人工智能逻辑、量子逻辑、价值逻辑以及逻辑学与计算 机 科学、认知科学的交叉研究。
联合国教科文组织把逻辑学与数学、天文学和天体物理学、地球科 学和空间科学、物理学、化学、生命科学并列为七大基础学科；
各种具体思维形式中所隐含的最一般的、共同的东西。
例如： ⑴所有的金属都是导电的。 ⑵所有的人都是会死的。 ⑶所有的犯罪行为都是有害社会的。
所有的S是P 再如： ⑴只有年满18岁，才有选举权。 ⑵该合同只有您亲自签字，才能生效。
只有p，才q
B
13
又如：
⑴ 所有的金属都是导电的， 水银是金属； 所以，水银也是导电的。
第九章 形式逻辑的基本规律
第十章 论证∶证明与反驳
B
2
第一章 绪论
“逻辑”最早可追溯到希腊词（λσγοε逻各斯）， 后英译为logos、其复数形式是logic。原为多义 词∶一般的规律和原则；说明、解释、论证；理 性、推理、抽象理论；尺度、关系、比率；价值 等等。古罗马的西塞罗正式使用“逻辑”一词表 示包括逻辑学和修辞学的科学。
逻辑的类型
Susan Haack Philosophy of Logics 列出的逻辑的范围
Traditional Logic 三段论 Classical Logic 二值命题、谓词演算（狭义数理逻辑） Extended Logics 模态、时态、规范、认知、择优、祈使、问句逻辑 Deviate Logics 多值、直觉、量子、自由逻辑 Inductive Logics 归纳逻辑
奠定了基础。由此逻辑学发展进入黄金时代。
现代逻辑学已从单一学科逐步发展成为理论严密、分支众多、应 用
广泛的学科群，择其要者有数理逻辑、哲学逻辑、自然语言逻辑、概 率逻辑、人工智能逻辑、量子逻辑、价值逻辑以及逻辑学与计算 机 科学、认知科学的交叉研究。
联合国教科文组织把逻辑学与数学、天文学和天体物理学、地球科 学和空间科学、物理学、化学、生命科学并列为七大基础学科；
各种具体思维形式中所隐含的最一般的、共同的东西。
例如： ⑴所有的金属都是导电的。 ⑵所有的人都是会死的。 ⑶所有的犯罪行为都是有害社会的。
所有的S是P 再如： ⑴只有年满18岁，才有选举权。 ⑵该合同只有您亲自签字，才能生效。
只有p，才q
B
13
又如：
⑴ 所有的金属都是导电的， 水银是金属； 所以，水银也是导电的。
第九章 形式逻辑的基本规律
第十章 论证∶证明与反驳
B
2
第一章 绪论
“逻辑”最早可追溯到希腊词（λσγοε逻各斯）， 后英译为logos、其复数形式是logic。原为多义 词∶一般的规律和原则；说明、解释、论证；理 性、推理、抽象理论；尺度、关系、比率；价值 等等。古罗马的西塞罗正式使用“逻辑”一词表 示包括逻辑学和修辞学的科学。
《逻辑学》完整版笔记整理
第一章绪言第一节“逻辑”的含义一、逻辑的词源1. 逻辑一词源出于希腊文的“逻各斯”（logos，复数形式是logoi).·古希腊的哲学家赫拉克利特据说有专论逻各斯的著作《逻各斯》。
·逻各斯的基本词义是言辞、秩序和规律。
言语是这一语词的原创义，然后在此基本词义基础上派生出理性、理想、推理论证等词义.2。
逻各斯演变为“逻辑”一词·最先是由斯多葛学派使用；看作是由论辩术和修辞学两部分构成的理论。
·古罗马和欧洲中世纪的逻辑学家也在这种意义上来看待“逻辑”一词.·其后，逻辑一词的含义就一直和推理与论辩的方法和原则相关。
3。
逻辑一词传入中国·严复开始，“按逻辑此翻名学。
其名义始于希腊,为逻各斯一根之转”.·严复翻译的时间大约在19世纪末;·再过十多年后,由章士钊正式在汉语中定名，作为讨论思维、讨论推理的规范和秩序的学问4. 为什么logic要翻译为逻辑？逻辑学是有点特殊的学科。
特殊在什么地方？学科名的特殊和学科内容的特殊。
中国历史上和逻辑对应的学科?逻辑究竟研究什么?二、什么是逻辑？1. 逻辑是一门和方法、原则、规范紧密相关的人文学科。
她探索和研究的是我们进行推理（reasoning，inference）时应该使用的方法、技巧、标准和原则。
逻辑是一门讲道理的学科. 逻辑总是和语言相关.逻辑总是和论证证明推理相关。
p2 2。
三个方向的推理追寻历史:一个事件出现了，我们寻求其产生的原因，案件、历史、文物等，向后的推导.确定目标：未来可能出现的事件,这是向前的推理。
演绎推理:没有时空条件的推理，数学和逻辑。
几何证明和数学计算。
第二节逻辑历史简述一、古典逻辑1. 古希腊哲学家亚里士多德公认为是逻辑学之父.2。
亚里士多德创立逻辑学科的标志是他所撰写的逻辑专著，这些讨论逻辑问题的专著有《范畴篇》、《解释篇》、《分析前篇》、《分析后篇》、《论辩篇》和《辩谬篇》,这些篇章后来合编为《工具论》一书。
命题逻辑的形式系统
A1．├p∨p→p
A2．├p→p∨q
A3．├p∨q→q∨p
A4．├（q→r）→（p∨q→p∨r）
关于符号省略规则
1
所谓P定理的证明，乃是一有穷的公式序列A1，…，An，其中每一公式Ai（1≤i≤n）都适合以下条件之一：
2
Ai是一公理；
3
Ai是一已证定理；
4
Ai由本序列在先的一个公式经代入或置换所得到；
T7 ├（p→q）→（¬q→¬p）
证：1．├p→¬¬p 定理5 2．├q→¬¬q 1代入p/q 3．├（q→r）→（p∨q→p∨r） 公理4 4．├（q→¬¬q）→（¬p∨q→¬p∨¬¬q） 3代入r/¬¬q，p/¬p 5．├¬p∨q→¬p∨¬¬q 4，2分离 6．├p∨q→q∨p 公理3 7．├（¬p∨¬¬q）→（¬¬q∨¬p） 6代入p/¬p，q/¬¬q 8．├（q→r）→（（p→q）→（p→r）） 定理1 9· ├（¬p∨¬¬q→¬¬q∨¬p）→（（¬p∨q→¬p∨¬¬q）→ （¬p∨q→¬¬q∨¬p） 8代入q/¬p∨¬¬q，r/¬¬q∨¬p， p/¬p∨q 10．├（¬p∨q→¬p∨¬¬q）→（¬p∨q→¬¬q∨¬p） 9，7分离 11．├¬p∨q→¬¬q∨¬p 10，5分离 12．├（p→q）→（¬q→¬p） 11定义1置换
对公理的解释
每一条公理都是本系统最基Байду номын сангаас的重言式，其真值，可用真值表方法判定。
关于代入规则（R1）
该规则要求只有命题变项π才能被代入，而
其他多于一个符号的公式，例如¬p都不能被
代入。但是，对于代入的公式B是没有限制
的。另外，如果在A中的π出现不止一次，那
么在代入时必须到处都用同一公式B代替，不
能用不同的公式代替，也不能有的不代替。
A2．├p→p∨q
A3．├p∨q→q∨p
A4．├（q→r）→（p∨q→p∨r）
关于符号省略规则
1
所谓P定理的证明，乃是一有穷的公式序列A1，…，An，其中每一公式Ai（1≤i≤n）都适合以下条件之一：
2
Ai是一公理；
3
Ai是一已证定理；
4
Ai由本序列在先的一个公式经代入或置换所得到；
T7 ├（p→q）→（¬q→¬p）
证：1．├p→¬¬p 定理5 2．├q→¬¬q 1代入p/q 3．├（q→r）→（p∨q→p∨r） 公理4 4．├（q→¬¬q）→（¬p∨q→¬p∨¬¬q） 3代入r/¬¬q，p/¬p 5．├¬p∨q→¬p∨¬¬q 4，2分离 6．├p∨q→q∨p 公理3 7．├（¬p∨¬¬q）→（¬¬q∨¬p） 6代入p/¬p，q/¬¬q 8．├（q→r）→（（p→q）→（p→r）） 定理1 9· ├（¬p∨¬¬q→¬¬q∨¬p）→（（¬p∨q→¬p∨¬¬q）→ （¬p∨q→¬¬q∨¬p） 8代入q/¬p∨¬¬q，r/¬¬q∨¬p， p/¬p∨q 10．├（¬p∨q→¬p∨¬¬q）→（¬p∨q→¬¬q∨¬p） 9，7分离 11．├¬p∨q→¬¬q∨¬p 10，5分离 12．├（p→q）→（¬q→¬p） 11定义1置换
对公理的解释
每一条公理都是本系统最基Байду номын сангаас的重言式，其真值，可用真值表方法判定。
关于代入规则（R1）
该规则要求只有命题变项π才能被代入，而
其他多于一个符号的公式，例如¬p都不能被
代入。但是，对于代入的公式B是没有限制
的。另外，如果在A中的π出现不止一次，那
么在代入时必须到处都用同一公式B代替，不
能用不同的公式代替，也不能有的不代替。
形式逻辑第三章简单命题及其推理 ppt课件
例：规律是不以人的意志为转移的
任何困难不是不能克服的 ▪按量分：单称判断、全称判断和特称判断（根据“主 项”）
例：单称判断（主项是单独概念）：哥白尼是日心说的创立 者；
全称判断（主项是普遍概念且前有“所有、个个、全部 等”）：所有行星都不发光；
▪ 特称判断（判定某类事物中有对象具有或不具有 某种性质的命题）。
况的真实命题； ▪ 推理的前提和结论间的关系是符合思维规律的
要求的，即它们之间必须具有一定的逻辑联系。
Байду номын сангаас
▪ 6.推理的种类： ▪ 演绎推理（从一般到特殊）、归纳推理（从特
殊到一般）、类比推理（从特殊到特殊）（思维 进程的方向不同）
▪ 必然性推理（真前提必然推出真结论）和或然 性推理（前提真，但结论可真可假）
四部分组成。
变项
常项
▪ 主项：反映判断对象的概念；
▪ 谓项：反映判断对象的性质的概念
▪联项：表述对象和性质之间的联系，肯定联项用“是”表 示，否定联项用“不是”表示。
▪量项：表示所断定的一类对象的数量范围的那个概念，分 全称量项（所有）和特称量项（有的）
▪3.性质判断的分类 ▪按质分：肯定判断＆否定判断（依据“联项”）
第三章
简单命题及其推理（上）
第一节 命题和推理的概述
▪ 一、命题和判断 ▪ 1.联系：命题是判断的语言表达，判断是对事物
情况有所断定的一种思维形式。 ▪ 2.区别：判断的逻辑特征 ▪ （1）有所断定 ▪ （2）客观上不是真的就是假的。 ▪ 3.凡是判断都是命题，但不是一切命题都是判断，
只有当命题加上断定成分后才能成为判断。 ▪ 4.普通逻辑把“真”和“假”作为判断的两个值，
▪ 按质量结合分（把单称判断当作全称判断处理）
任何困难不是不能克服的 ▪按量分：单称判断、全称判断和特称判断（根据“主 项”）
例：单称判断（主项是单独概念）：哥白尼是日心说的创立 者；
全称判断（主项是普遍概念且前有“所有、个个、全部 等”）：所有行星都不发光；
▪ 特称判断（判定某类事物中有对象具有或不具有 某种性质的命题）。
况的真实命题； ▪ 推理的前提和结论间的关系是符合思维规律的
要求的，即它们之间必须具有一定的逻辑联系。
Байду номын сангаас
▪ 6.推理的种类： ▪ 演绎推理（从一般到特殊）、归纳推理（从特
殊到一般）、类比推理（从特殊到特殊）（思维 进程的方向不同）
▪ 必然性推理（真前提必然推出真结论）和或然 性推理（前提真，但结论可真可假）
四部分组成。
变项
常项
▪ 主项：反映判断对象的概念；
▪ 谓项：反映判断对象的性质的概念
▪联项：表述对象和性质之间的联系，肯定联项用“是”表 示，否定联项用“不是”表示。
▪量项：表示所断定的一类对象的数量范围的那个概念，分 全称量项（所有）和特称量项（有的）
▪3.性质判断的分类 ▪按质分：肯定判断＆否定判断（依据“联项”）
第三章
简单命题及其推理（上）
第一节 命题和推理的概述
▪ 一、命题和判断 ▪ 1.联系：命题是判断的语言表达，判断是对事物
情况有所断定的一种思维形式。 ▪ 2.区别：判断的逻辑特征 ▪ （1）有所断定 ▪ （2）客观上不是真的就是假的。 ▪ 3.凡是判断都是命题，但不是一切命题都是判断，
只有当命题加上断定成分后才能成为判断。 ▪ 4.普通逻辑把“真”和“假”作为判断的两个值，
▪ 按质量结合分（把单称判断当作全称判断处理）
形式逻辑(第三章上(新))
4.命题：反映对象情况的思维形态。
表达判断的语句
有真假是命题的逻辑特征。
例如：a. 太阳不是宇宙的中心。
b. 商品不但有使用价值，还有交换价值。
c. 鲸是鱼。
•命题：命题内容和命题形式的统一
5.命题形式：命题的各个组成部分之间的构造方式。
形式逻辑是从命题形式的结构（命题形式结构的真值条件）研究命题的真假例如：“所有的S 都是S ”
（真）；“所有的S 都不是S ”
（假）；“所有的S 都是P ”（有真有假）；又如：如果“所有的S 都是P ”是真，则“有的S 不是P ”假；
若已知“只有p ，才q ”是真的，但“p ”是假的，则“q ”必是假的。
形式上的真假特征
形式上的真假
关系真假
四、A、E、I、O四种命题间的对当关系
2. 推理的构成：。
三 命题逻辑 FSPC
3 命题逻辑形式系统（FSPC ）3.1 命题逻辑与命题演算Leibniz 提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL 提出了布尔代数。
布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。
把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。
1、 命题（Propositions ）：可以判断真假的陈述句。
不涉及任何联结词的命题称为原子命题。
2、 联结词：⌝, →, ↔, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。
->如果A 成立则B 成立，<->如果A 成立则B 成立，并且如果B 成立则A 成立；A ∨B ，或者A 成立或者B 成立；A ∧B ，A 成立并且B 成立。
3、 真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。
True(⌝A)，如果True(A)＝0，True(⌝A)=1：True(A)=1, True(⌝A)＝0A ＝0,1；如果True(A)=1,则 True （B ）=1,True(A->B)=1:或者True(A)=0或者True(B)=1：或者A 不成立，或者B 成立=⌝A ∨B ；如果True(A)=0,则 True （B ）=0，1；True(A)=<True （B ）；True(A) =True(B)，True(A<->B)=1；True(A ∨B)=max(True(A), True(B)); True(A ∧B)= min(True(A), True(B));A->A4、 命题变元：以真值为值域的变量称为命题变元。
A5、 赋值映射：命题变元集合到{0,1}上的函数。
如果公式A 对任意的赋值映射，取值为真，则称A 为永真式。
如果公式A 对于所有赋值映射为假，称为A 为矛盾式。
对于任意赋值映射，公式A 的真值等于公式B 的真值，成A 与B 等价。
True(A->A)＝1, True(⌝(A->A))＝0 A=1，True(⌝A->A)=1 A=0, True(⌝A->A)＝0命题逻辑有以下特点：1、 从语义角度研究逻辑命题之间真值变化规律。
2.数理逻辑12
∨(﹁q∧﹁p) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(p∧﹁q) m3∨m1∨m0∨m2
该蕴含式的主析取范式中含精有品课4件个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造 证明的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程 的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已 知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到 的结论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴 涵式）的基础之上。
记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=
公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
精品课件
13
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P
形式系统的定义与分类
自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
精品课件
1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数 学的方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过
((p→﹁q)∧p)→﹁q
((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q
﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q
﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q
﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁
q)
1
该蕴含式是重言精式品课，件 所以推理正确。
9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
该蕴含式的主析取范式中含精有品课4件个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造 证明的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程 的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已 知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到 的结论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴 涵式）的基础之上。
记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=
公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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13
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P
形式系统的定义与分类
自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
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1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数 学的方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过
((p→﹁q)∧p)→﹁q
((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q
﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q
﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q
﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁
q)
1
该蕴含式是重言精式品课，件 所以推理正确。
9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
法律逻辑学第三章：命题推理
有一种观点认为：“只要有足够的钱，就可以买到 一切。” 从上述观点可以推出以下哪个结论？ （1）有些东西，即使有足够的钱也不能买到，如友 谊、健康、爱情等。 （2）如果没有足够的钱，那么什么东西也买不到。 （3）有一件我买不到的东西，便说明我没有足够的 钱。 （4）有钱比没钱好。
2018/10/26
2018/10/26
15
某招待所失窃2万元，保安人员经过周密调查，得 出结论是前台经理孙某作的案。所长说：“这是不可 能的。”保安人员说：“当所有其他的可能性都被排 除了，剩下的可能性不管看起来多么不可能，都一定 是事实。” 以下哪项为真，最能动摇保安人员的说法？
（1）保安人员事实上不可能比所长更了解自己的经理。 （2）对非法行为的惩处的根据不能是逻辑推理，而只能是证 据。 （3）保安人员无法穷尽所有的可能性。 （4）孙某是该招待所公认的优秀经理。
我们要判定这个推理是否正确，要考虑两个方面： 一是前提是否正确？ 二是推理形式是否有效？ 前提是否正确根据事实、经验以及科学做出判断。 推理形式是否有效根据逻辑学知识做出判断。 逻辑学研究的重点是推理形式有效性的判定。
4
2018/10/26
下列推理有效吗？正确吗？
（1）如果乔丹是美国总统，那么乔丹是 美国领导人； 乔丹不是美国总统； 所以，乔丹不是美国领导人。
实例：
航天号飞机的失事或是由于设备故障，或是由于人为 破坏；已查明失事原因确系设备故障。因此，可以排除 人为破坏。 以下哪项正确地评价了上述命题推理？
A．
B． C．
推理正确，是不相容析取命题推理的肯定否定式。
推理正确，是相容析取命题推理的否定肯定式。 推理错误，是不相析取命题推理的否定肯定式。
命题逻辑的推理理论
推理的形式结构
都是命题公式, 定义 设A1，A2 ，…，Ak，B都是命题公式 ， 都是命题公式 若对于A 若对于 1，A2 ，…，Ak，B中出现的命题变 ， 中出现的命题变 项的任意一组赋值，A1∧A2∧…∧ Ak 均为假， 项的任意一组赋值， ∧ 均为假， 或当A 也为真, 或当 1∧A2∧…∧Ak为真时 B也为真 则称由 ∧ 为真时, 也为真 A1,A2,…, Ak推B的推理正确 ,并称 是有效的 并称B是有效的 的 并称 结论； 否则推理不正确 错误） 推理不正确（ 结论； 否则推理不正确（错误）.
（2） A1∧A2∧…∧Ak ） ∧ （3） A1∧A2∧…∧Ak ） ∧
（4） A1∧A2∧…∧Ak ） ∧ 为1，B为1。 ， 为 。 由定义可知，只要不出现（ ）中的情况， 由定义可知，只要不出现（3）中的情况，推理就 是正确的，因而判断推理正确与否， 是正确的，因而判断推理正确与否，就是判断是否会 出现（ ）中的情况。 出现（3）中的情况。
例3.1 判断下列推理是否正确
（1） {p， p → q } ┞ q （2） {p， q → p } ┞ q 解：只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是 只要写出前提的合取式与结论的真值表， 否出现前提为真，而结论为假的情况即可。 否出现前提为真，而结论为假的情况即可。 由下面真值表可看出，（ ）推理正确，（ ） 由下面真值表可看出，（1）推理正确，（2） ，（ ，（ 推理不正确。 推理不正确。
实例 (续) 续
(2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以今天是 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以今天是1 号. 解 设p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 证明的形式结构为: 证明的形式结构为 (p→q)∧q→p → ∧ → 证明（用主析取范式法） 证明（用主析取范式法） (p→q)∧q→p → ∧ → ⇔ (¬p∨q)∧q→p ¬ ∨ ∧ → ⇔ ¬ ((¬p∨q)∧q)∨p ¬ ∨ ∧ ∨ ⇔ ¬q∨p ∨ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧ ⇔ (¬p∧¬ ∨(p∧¬ ∨ (p∧¬ ∨(p∧q) ¬ ∧¬ ⇔ m 0∨ m 2∨ m 3 结果不含m 是成假赋值， 结果不含 1, 故01是成假赋值，所以推理不正确 是成假赋值 所以推理不正确.
3第三章 命题逻辑的推理理论
从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 语义(semantics)推理注重内涵的正确性 也就是从真 语义(semantics)推理注重内涵的正确性, 也就是从真 推理注重内涵的正确性, 要推出真的结论来, 的前提出发要推出真的结论来 推理过程考虑得少, 的前提出发要推出真的结论来, 推理过程考虑得少,关 心的是结论的正确性。 心的是结论的正确性。 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 则注重形式上的有效 合某些事先规定的逻辑规则, 结论是严格遵循规则 合某些事先规定的逻辑规则, 若结论是严格遵循规则 有效的 得到的, 那便是有效 得到的, 那便是有效的。 数理逻辑主要采用语法推理, 数理逻辑主要采用语法推理, 它关心的是结论的有效 不关心前提的实际真值, 性，而不关心前提的实际真值, 当然语法推理作为一 种推理方法, 种推理方法, 它必须能反映客观事物中真实存在的逻 辑关系, 语法推理必须保证语义上的正确性 必须保证语义上的正确性。 辑关系, 即 语法推理必须保证语义上的正确性。
3、2.1节给出的24个等值式中的每个都可以 2.1节给出的 个等值式中的每个都可以 节给出的24 派生出两条推理定律。 派生出两条推理定律。 例如：双重否定律 A⇔¬¬A ⇔¬¬A 例如： 可以产生两条推理定律 A⇒¬¬A ¬¬A ¬¬A ¬¬A ⇒A
§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
由上一节知识可知，可以利用真值表法、等值演算法 由上一节知识可知，可以利用真值表法、 真值表法 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 三种方法来判断推理是否正确 但是，当推理中包含的命题变项较多时，以上三种 命题变项较多时 但是，当推理中包含的命题变项较多 方法的演算量太大。因此对于由前提A1, A2,…,Ak推 方法的演算量太大。因此对于由前提A B的正确推理应给出严谨的证明。 正确推理应给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列， 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每 是一个描述推理过程的命题公式序列 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 已知前提或者是 到的结论。 到的结论。
逻辑学导论第三章
14
也可以用否定词、等值把矛盾关系表述如下：
◦ （1）SAP↔¬SOP ◦ （2）SEP↔¬SIP ◦ （3）SIP↔¬SEP ◦ （4）SOP↔¬SAP
15
差等关系
◦ 亦称“从属关系”，指A与I、E与O之间的关系。我们可 以把它概括为：如果全称命题真，则相应的特称命题真； 如果特称命题假，则相应的全称命题假；如果全称命题假， 则相应的特称命题真假不定；如果特称命题真，则相应的 全称命题真假不定。
SAP 等 关 系 差 等 关 系 关 系 SIP 下反对关系 SOP 矛 盾 盾 矛 关 反对关系 系 差 等 关 关 系 系 差 SEP 差 等 关
差 a （某个 S） 是P 差
系 系 a（某个 S） 不是 P
等
等
关
19
直言命题中词项的周延性
◦ 在直言命题中，若断定了一个词项的全部外延，则称它是 周延的，否则是不周延的。由此可知，直言命题中词项的 周延性有下述特点：
41
以上五条三段论规则是基本的，用它们就足以把有 效的三段论与无效的三段论区分开来。为明确和方 便起见，有时还从它们证明、推导出一些规则，例 如：
◦ （6）两个特称前提不能得结论。 ◦ （7）如果两个前提中有一个特称，结论必然特称。
42
根据三段论的一般规则，还可以证明有关三段论的 一些定理，例如：
◦ 定理 一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次。
43
三段论的特殊规则
第一格规则：
◦ （1）小前提必须肯定。 ◦ （2）大前提必须全称。
44
第二格规则：
◦ （1）两个前提必须有一个否定。 ◦ （2）大前提必须全称。
45
第三格规则：
◦ （1）小前提必须肯定。 ◦ （2）结论必须特称。
第三章推理的形式结构
充分性: 若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，则对于任何赋 值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假 的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假， 或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合定义3.1中 推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,Ak 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。
以引入前提。
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得 到的结论都可以作为后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公 式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到 公式序列中的又一个公式。
（4） 假言推理规则
（5） 附加规则：
（6） 化简规则：
（7） 拒取式规则：
（8） 假言三段论规则：
A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，
或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假，或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为 真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推 理是有效的或正确的，并称B是有效结论。 其中，前提是一个有限的公式集合，记为Г。 将由Г推B的推理记为Г├ B。 若推理是正确的，则记为Г B，否则记为Г B。
（9） 析取三段论规则：
（10） 构造性二难推理：
（11） 破坏性二难推理规则：
（12） 合取引入规则：
P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P 中的规则，推出结论。当然此结论也为P中公式。
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) 证明： ① p→s ② ┐s 前提引入
结论的否定 前提引入 前提引入 ②③析取三段 前提引人 ④⑤拒取式 ⑥置换 前提引入 ⑦⑧析取三段
第三章.命题逻辑
第三章命题逻辑重点：掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；利用真值表技术和公式转换方式求公式的主析取范式和主合取范式；利用规则、基本等价和蕴涵公式、三种不同的推理方法完成命题逻辑推理；难点：如何正确地掌握对语言的翻译，如何利用推理方法正确的完成命题推理。
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支、计算机学科、人工智能、语言学等学科均有十分密切的联系，并且益显示出它的重要作用和更加广泛的应用前景。
要很好地使用计算机，就必须学习逻辑。
数理逻辑分五大部分。
在离散数学中仅介绍命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑是谓词逻辑的基础，只有掌握了命题逻辑，才能学好谓词逻辑。
对于命题逻辑，下面从六个知识点来加以阐述。
3.1 命题符号化及联系结词1 命题有确切真值的陈述句称为命题。
所谓确切真值是指在具体的环境，具体的时间，具体的对象，具体的位置等情况下能唯一确定真值的。
命题分为两种：(1) 简单命题：不能分解为更为简单的句子的命题。
(2)复合命题：能够分解为更为简单的命题。
2 命题联结词关于联结词，有如下几点要注意：（1）此联结词是联结的句子与句子之间的联结，而非单纯的名记号、形容词、数词等的联结；（2）此联结词是两个句子真值之间的联结词，而非句子的具体含义的联结，两句子之间可以无任何的内在联系；（3）联结词与自然语言之间的对应并非一一对应，如合取联结词“∧”对应了自然语言中的“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”、“并且”、“和”、“与”等。
如蕴涵联结词“→”，P →Q 对应了自然语言中的“加P 则Q ”，“只要P 就Q ”，“P 仅当Q ”，“只有Q 才P ”，“除非Q 否则乛P ”等。
如等价联结词“←→ ”对应了自然语言中的“等价”、“并且仅当”、“充分必 ”等。
如析取联结词∨是对应相容的或(中兼的或)。
3.2 命题公式及分类一般称具有确切真值的简单命题叫命题常量，用P ，Q ，R ，…等表示。
第3章2命题逻辑推理系统
真值形式最外层的括号根据五个 联结词的结合力可以省略，结合 力按照下列顺序递减： 、∧、∨、→、←→ (p∧q)→r) ←→(p∨s) 可以省略为： p∧q→r ←→p∨s
复合命题真假与其支命题真假之间的 关系与数学中的函数类似。在数学中， 函数是用下面的公式表示的： y=f（x） 其中，x是自变元，y是函数的值，f是 函数关系。例如：y=x2
p三命题逻辑的自然推理系统自然推理系统没有公理只有一组推理规则它从假设前提出发进行推演在推理过程中随时引入假设并根据规则消去假设最后获得被求证公式
第三节 命题演算 一、重言式及其判定 （一）真值联结词、真值形式 复合命题形式在数理逻辑中叫真值 形式。表示关系的联结词叫真值联 结词。 真值联结词是日常语言联结词在真 假关系上的一种抽象。
（A） B
B
∴ A
12、否定消除规则（－）：在给定 前提下，由引入假设的A，推出B和 B，那么由此可推出A；
（ A）
B
B
∴ A
（三）自然推理系统定理的证明
定理1：p→（p∨q）
证明：
1、p 2、p∨q 3、p→（p∨q） （P） （1∨＋） （1，2→＋）
（二）真值函项的种类及其判定方法 （1）真值函项的种类 按真值函项的取值，真值函项分为： 常真的。 常假的。 可满足的。 真值形式也分为三类： 重言式。如：p∨p、p→p等。 矛盾式。如：p∧p、p←→p。 可满足式。如：p∨q、p→q。
命题逻辑中有效的推理在形式 上都是重言式。要判定一个复 合命题推理是否有效，其实质 也就是判定反映该推理的公式 是否为重言式。 介绍两种判定重言式的方法： 真值表法 归谬赋值法。
真值形式的数目是无穷的，但是 在命题变项的数目给定之后，真 值函项的数目也就确定了。 n个命题变项的真假组合会有多少 个真值函项？
《逻辑学》(第二版) 第3章 命题逻辑的自然演绎系统 郭、熊 - 复件
显然的，如果A和B都是真的，那么A B也一定是真的。
例如：在证明中得到“a是偶数”和“a大于2”，自然可以推出“a
是大于2的偶数”。
第二节 推理规则
（二）合取消去规则（
E）
在同一级证明中，如果证明A B，就可以证明A；也可以证
明B。这是显然的，如果A B是真的，那么A和B都是真的。
例如，在证明中得到“a是大于2的偶数”，立即可得“a是
重复规则得到的。步骤[3]是从[1]和[2]用合取引入规则得到的。
每一步右侧书写得到该步骤所依据的规则。
第三节
系统NP中的推导
第三节
系统NP中的推导
案例分析：证明策略一（从结论想起）
• 注意：前面三个例子表明，一个自然演绎推演
和我们玩积木类似，是一个先把前提拆开再重
新组合成结论的过程。
• 分析：为避免少走弯路，一个最直接的证明策
子证明。
第三节
系统NP中的推导
一、合取规则的运用
1. 运用要求
在使用“合取引入规则（∧I）”与“合取消除规则（∧E）”时，我们要确保
由规则所推导出来的结论与其前提处于同一个子证明之中。
第三节
系统NP中的推导
第三节
系统NP中的推导
这里步骤[1]是前提，右侧标记pre表示。步骤[2]是从[1]运用
命题B和 B。这样就可以证明A。这种证明方法在数学中俗称“反证法”，
从假设 A引出一对矛盾命题，就证明了 A不成立，所以A成立。
注意:临时引入假设 A，往右退一格，引入从 A到B和 B的一级子证明。
子证明结束后，结论A回到上一级证明，这样就消除了临时引入的假设。
第二节 推理规则
（七）析取引入规则（
含有子证明的复杂证明具有如下一般形式：
例如：在证明中得到“a是偶数”和“a大于2”，自然可以推出“a
是大于2的偶数”。
第二节 推理规则
（二）合取消去规则（
E）
在同一级证明中，如果证明A B，就可以证明A；也可以证
明B。这是显然的，如果A B是真的，那么A和B都是真的。
例如，在证明中得到“a是大于2的偶数”，立即可得“a是
重复规则得到的。步骤[3]是从[1]和[2]用合取引入规则得到的。
每一步右侧书写得到该步骤所依据的规则。
第三节
系统NP中的推导
第三节
系统NP中的推导
案例分析：证明策略一（从结论想起）
• 注意：前面三个例子表明，一个自然演绎推演
和我们玩积木类似，是一个先把前提拆开再重
新组合成结论的过程。
• 分析：为避免少走弯路，一个最直接的证明策
子证明。
第三节
系统NP中的推导
一、合取规则的运用
1. 运用要求
在使用“合取引入规则（∧I）”与“合取消除规则（∧E）”时，我们要确保
由规则所推导出来的结论与其前提处于同一个子证明之中。
第三节
系统NP中的推导
第三节
系统NP中的推导
这里步骤[1]是前提，右侧标记pre表示。步骤[2]是从[1]运用
命题B和 B。这样就可以证明A。这种证明方法在数学中俗称“反证法”，
从假设 A引出一对矛盾命题，就证明了 A不成立，所以A成立。
注意:临时引入假设 A，往右退一格，引入从 A到B和 B的一级子证明。
子证明结束后，结论A回到上一级证明，这样就消除了临时引入的假设。
第二节 推理规则
（七）析取引入规则（
含有子证明的复杂证明具有如下一般形式：
《逻辑学》第三章 命题的自然推理
f9 f8 的矛盾式
f13 f4 的矛盾式
f14 f3 的矛盾式 f15 f2 的矛盾式
f10
f12
f7 的矛盾式
f5 的矛盾式
f11 f6 的矛盾式
f16
f1 的矛盾式
随着变项数目的增加，函项数也增加，当变项数目为3时，函项数目达 到256个。但不管函项数是多少，重言式的函项只是一个，矛盾式的函 项也是一个，其余均是可满足式。真值函项有3类，那么，表达真值函 项的真值形式也有3类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）和可满 足式（可真可假式）。当然，每一类真值函项包括很多的真值形式， 而同一类真值函项的真值形式是等值的。
常见的重言式（逻辑规律）
见教科书p83－84
3.2 命题的真值判定方法
真值表方法
真值表的作用
定义作用：5个基本真值形式的真值 表定义了5个真值形式。如，什么是 合取式？回答是，每一支命题为真， 则它为真的 那种真值形 p q p∧q 式，这正是 t t t 合取式的真 值表反映的 f t f 情况。 f f t f f f
AB
例1 1. p q 2. q r 3. P 4. q 5. r 6. pr 例2 1. p q 2. ¬ q 3. P 4. q 5. q∧¬ q 6. ¬ p / ∴ p r AP 1,3 _ 2,4 _ 3,5 +
例3 1. p q 2. r s 3. p∨r 4. P 5.q 6. q∨s 7. r 8. s 9. q∨s 10. q∨s
判定作用： 1、判定一个公式的性质（重言 式，矛盾式或可满足式）； 2、判定任意多个公式的关系 （等值或矛盾等）； 3、判定一个推理是否有效，即 它是否一个重言的蕴涵式或 等值式。
真值表的作法
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
3
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
19
练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
16
例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
形式逻辑学第三章简单命题及其推理
• 有些高科技产品创造了巨大的经济效益， 所以，有些创造了巨大的经济效益的产 品是高科技产品。
• SOP不能换位。 • 有的猫不是波斯猫。
• 有的波斯猫不是猫？！
• 有些人不是大学生
• 有些大学生不是人？！
3、换质位推理
既可以先换质后换位， 又可以先换位后换质。
• SAP SE¯P ¯PES ¯PA¯S ¯SI¯P ¯SOP(质位) SAP PIS PO¯S(位质)
二、三段论的规则
二、三段论的规则
• 一、在三段论中有且只有三个不同的项 （四概念或者四项错误）
• 鱼是动物， • 这是一座山， • 所以，？
二、中项在前提中至少要周延一次（中项 两次不周延）
凡是相声演员都是文艺工作者 彭丽媛是文艺工作者 所以，彭丽媛是相声演员
• 三、前提中不周延的项在结论中不得周 延（大项不当周延、大项扩大或小项不 当周延、小项扩大）
周延
SEP SIP
周延 不周延
SOP
不周延
谓项 不周延 周延 不周延 周延
1 、全称命题的主项是周延的 2 、特称命题的主项是不周延的 3 、肯定命题的谓项是不周延的 4 、否定判断的谓项是周延的
区分主项是否周延看量项是全称或是特称 区分谓项是否周延看联项是肯定或是否定
• 第一 ,主谓项的周延性 , 是相对于它们 所在的判断而言的。
狐狸是动物 猫不是狐狸 所以，猫不是动物
四、两个否定前提不能推出结论
6、单称否定命题——S1EP
比尔盖茨不是哈佛大学的毕业生。 那个秃顶的老人不是著名教授。
整理自然语言要注意： • 第一、不能改变判断的原义。
• 第二、同一判断,在不改变原义的前 提下,可以整理为不同的标准形式。
• SOP不能换位。 • 有的猫不是波斯猫。
• 有的波斯猫不是猫？！
• 有些人不是大学生
• 有些大学生不是人？！
3、换质位推理
既可以先换质后换位， 又可以先换位后换质。
• SAP SE¯P ¯PES ¯PA¯S ¯SI¯P ¯SOP(质位) SAP PIS PO¯S(位质)
二、三段论的规则
二、三段论的规则
• 一、在三段论中有且只有三个不同的项 （四概念或者四项错误）
• 鱼是动物， • 这是一座山， • 所以，？
二、中项在前提中至少要周延一次（中项 两次不周延）
凡是相声演员都是文艺工作者 彭丽媛是文艺工作者 所以，彭丽媛是相声演员
• 三、前提中不周延的项在结论中不得周 延（大项不当周延、大项扩大或小项不 当周延、小项扩大）
周延
SEP SIP
周延 不周延
SOP
不周延
谓项 不周延 周延 不周延 周延
1 、全称命题的主项是周延的 2 、特称命题的主项是不周延的 3 、肯定命题的谓项是不周延的 4 、否定判断的谓项是周延的
区分主项是否周延看量项是全称或是特称 区分谓项是否周延看联项是肯定或是否定
• 第一 ,主谓项的周延性 , 是相对于它们 所在的判断而言的。
狐狸是动物 猫不是狐狸 所以，猫不是动物
四、两个否定前提不能推出结论
6、单称否定命题——S1EP
比尔盖茨不是哈佛大学的毕业生。 那个秃顶的老人不是著名教授。
整理自然语言要注意： • 第一、不能改变判断的原义。
• 第二、同一判断,在不改变原义的前 提下,可以整理为不同的标准形式。
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(3) AB (1)(2)MP 因此， ├PCAB。 情形2： B是的一个成员。那么下列是从 到 AB的一个推演： (1) B 的成员 (2) B (AB) A1 (3) AB (1)(2)MP 因此， ├PCAB。 情形3：B就是A。那么下列是从到AB的 一个推演： (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA)) A2 (2) A( (AA)A) A1 (3) (A (AA) ) (AA) (1)(2)MP (4) A (AA) A1 (5) (AA) (3)(4)MP
• 未知的 已知的 我们要的
但是，我们从YZ和公理(YZ)(X(YZ))
很容易得到 (X(YZ))
3.3.2 PC中的证明
• 思路贯通了： (X(YZ))也是已知的了。只要利用两 次MP规则，我们就可以从(X(YZ)) ((XY)(XZ)) ，利用XY和YZ，得到 (XZ)， 从而完成这个三段论推理的证明。 • （4）在作业和考卷中正式地写出证明（刚开始还不熟 练，就先写在演草纸上，然后誊写过去）。 • 这种模式的证明步骤是这样的： （1） YZ 已知的公理或定理 （2） (YZ)(X(YZ)) A1 （3） X(YZ) (1)(2)MP （4） (X(YZ)) ((XY)(XZ)) A2
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
②我们在没有括号的时候，逻辑常项结合的
优先秩序是先再；在同一优先秩 序上，遵从向右结合的原则。因此， A表 示(A) ；ABA表示A (BA)；(ABC)(AB)(AC)表示 (A(BC))((AB)(AC))。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
3.2.5 推理规则 在命题演算系统PC中只有一条推理规 则——MP规则，又叫做分离规则。 PC中的MP规则指的是：从“├PC(AB)”
和“├PCA”可以推出“├PCB”。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
3.3 PC演绎推理的几个重要概念和元定理 3.3.1 证明的概念
定义：系统PC中的一个证明是指这样的一个序列 A1,A2,…,An，使得对于每个i(1in)，或者Ai是PC 的一个公理，或者Ai可由序列中位于Ai前面的两个 公式Aj和Ak(ji,ki)应用MP规则而得到。这样我们 就称序列A1,A2,…,An是在PC中对An的一个证明。 并且，称An是系统PC内的定理（简称定理或内定 理），简记为├PC An。
3.3.3 演绎定理
• 其实这就是内定理1的证明。为了简化证明， 以后只要涉及到前面已经被证明过的内定 理，我们可以直接拿这个结果使用，而不 再重复证明。在理由中间上它是PC内定理 就可以了。同样，对于已经证明的推演我 们也可以把它当作推导规则使用。 • 因此， ├PCAA，即├PCAB 。(注：B 就是A)
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
• 3.2.4 公理
（1）A(BA) （2） (A(BC))((AB)( AC)) （3）(A B)(BA) 注意：①我们给出的是一个公理模式，因此 p(qp)， (p(qp))(q(p(qp))) 都是公理1(简记为A1)的具体实例。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC • 3.2.2 命题语言的形成规则
（1）任意的命题变元和逻辑常项T,F是合式公式。 （2）如果A,B是合式公式，那么A和AB也是合 式公式。 （3）只有符合以上两条的符号序列才是合式公式， 简记为wffs。
• 3.2.3 其他一些语法符号（元语言符号）
为了便于研究命题演算的性质，我们再引入一些语 法符号(元语言中的符号)： （1）小写英文字母x,y,z是语法变项，它的值是命题 变项中的任意符号（如p,q,r,…）。
举例2： 证明： ├PC(AA) ——(PC内定理2) (1) (A( (AA)A) )( (A (AA) ) (AA) ) A2 (2) A( (AA)A) A1 (3) (A (AA) ) (AA) (1)(2)MP (4) A (AA) A1 (5) (AA) (3)(4)MP
说明： ① Aj和Ak必需是形如“AB”和“A”，或者“A” 和 “AB”这样的形式。 ②如果Ak出现在序列A1,A2,…,An中，那么它也是PC 的内定理。 ③一条公理也是PC的内定理，它的证明是只包含一 项的序列。 ④ “├PC ”显然不是PC中的符号。在这里提请大家 注意元语言和对象语言的区别。一般地，被研究对 象中出现的语言符号称为对象语言符号。用以研究 对象语言的符号称为元语言符号。一般情况下，为 了以示区别我们会在元语言符号的外面加上双引号； 在上下文不会引起混淆的语境下，我们又是也省略 外面的双引号。
3.3.2 推演的概念
• 推演的举例： • 下列是PC中从{A, B(AC)}到BC的推演 (1) A (2) B(AC) (3) A(B A) (4) BA (5) (B(AC))( (BA)(BC)) (6) (BA)(BC) (7) BC 所以， {A, B(AC)} ├PC (BC)。 P*(假设) P*(假设) A1 (1)(3)MP A2 (2)(5)MP (4)(6)MP
3.3.2 推演的概念
3.3.2 推演的概念
PC中的一个证明是从公理出发的一个演绎。我 们将需要从某些给定的公式集得出更为一般的推 演概念。 • 定义：令是PC中的公式集（ 可以是、也可以 不是PC中的公理或内定理）。 PC中公式的序列 A1,A2,…,An是从 的一个推演，如果对于每个 i(1in)，下列之一成立： （1）Ai是PC的一个公理； （2）或者Ai是中的一个成员；
3.3.2 推演的概念
• 推演{A, B(AC)} ├PC (BC)的直观意思是这样的：如 果有A，如果再有B(AC)，那么在PC中一定有BC。 • 内定理├PC A( (B(AC)) (BC) )的直观意思也可 以不规范地看成：在PC中如果有A，如果再有B(AC)， 那么有BC。 • 这似乎提示了我们：是否可以增加一些步骤，从而把PC 的一个推演改造成PC的一个证明。显然，构造推演{A, B(AC)} ├PC (BC)会比构造内定理├PC A( (B(AC)) (BC) )的证明要简单得多。 • PC的演绎定理的出现，满足了简化PC内定理的证明的要 求。演绎定理表明，只要能构造{A, B(AC)} ├PC (BC)就等同于证明了├PC A( (B(AC)) (BC) )。
（3）其次，我们需要一些实战技巧（这些技
巧这能在做题训练中获得） 但是，我们怎么样把这些模糊的思路变成一个具 体的证明呢？例如，我们在这里遇到的就是这样一 个推理模式的实现：从XY和YZ推导出XZ。 • 这其实就是一个三段论的推理，我们可以利用PC的 公理和推理规则这样实现： • 利用A2有(X(YZ)) ((XY)(XZ))
第一节 形式系统
• 3.1.3 形式系统 • 一个形式系统通常由四部分构成： （1）各种初始符号； 系统的语言部分(形式语言) （2）合适公式的形成规则； （3）公理； 系统演绎的基础(演绎工具) （4）推理规则。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
• 3.2 命题逻辑（演算）系统PC • 3.2.1 命题语言的字母表(初始符号) （1）命题变元符号： p,q,r,s,t,p1,q1,r1,s1,t1,p2,… （2）逻辑常项符号：T,F,,。 （3）辅助符号：(,)。 形式语言L0可以由无穷多个符号组成， 即L0＝{T,F,,, (,), p,q,r,s,t,p1 ,…}
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
（2）大写英文字母A,B,C是语法变项，它的 值是任意符号序列（如pq,r等）。但在 以后的讨论中，我们一般用它来表示合适 公式，所以上例中的“r”将会被排除掉。 （3）“├”是一个语法符号，它将会被写在 一个合式公式之前，表示这个公式是要被 某个形式系统所肯定的。例如，pp将被 命题演算PC所肯定，我们就记为 “├PC(pp)”。
（5） (XY)(XZ) (3)(4)MP （6） XY 已知的公理或定理 （7） XZ (5)(6)MP • 大家不难发现：如果把X,Y,Z分别代以B, AB, BA。对B(BA)的证明和 我们在这里给出的对XZ 的证明是一样的。 在学习了推演之后，我们再以这种推理模 式举另一个例子。
• （3）或者Ai可由序列中位于Ai前面的两个公式Aj 和Ak(ji,ki)应用MP规则而得到。 • 所以，从的推演就是这样的一个“证明”，其 中的成员暂且被当作公理。我们称序列 A1,A2,…,An最后的An是在PC中从 可推演的。或 者，称An是PC中的（语法）后承，简记为├PC An。 • 注意：如果是空集，那么推演序列A1,A2,…,An 就是一个PC中的证明，记为├PC An，也可以不 太规范地写为├PC An。
• 举例1：PC中的证明(pq)(pp) ——(PC
内定理1) (1) p(qp) A1 (2) ( p(qp) ) ( (pq)(pp) ) A2 (3) (pq)(pp) (1)(2)MP 从(1)到(3)构成了 “├PC(pq)(pp)”的证明。
3.3.1 证明的概念
• 象前面├PCB(BA)这样的证明是比较复杂 的，那么我们怎么才能构造它的证明呢？以下 是我的分析思路： • （1）首先，观察要证的结构 我们看到要证中间出现了否定，一般来说要用 到A3（因为A1和A2不能从一个否定的前提推 导出肯定结论）。 • （2）现在演草纸上把A3：(A B)(BA) 写出来。我们发现A3的后半部分和要证的后半 部分一样。因此，我们重点观察他们的前半部 分。我们发现要证和A3的前提之间是有联系的： 我们可以从B推导出 (A B)。因为，很显 然B(AB) 是一条公理。
3.3.3 演绎定理
演绎定理：如果A├PCB，那么├PCAB，这
里A和B是PC的公式，的公式集（可能是空集）。 证明：我们对构成推演A├PCB的那个序列 A1,A2,…,An中公式的数目n进行归纳证明。 （1）基础步骤：当n=1时，也就是说，这个序列 只有一项，而且这一项就是公式B。因此，B要么 是PC的一条公理，要么是A的一个成员（根 据推演的定义可知）。在后一种情况中又有B 和B就是A两种情况。 情形1：B是PC的一条公理。那么下列是从到 AB的一个推演： (1) B PC的公理 (2) B (AB) A1