2017年南平一中自主招生考试数学学科试卷和答案

2017年南平一中第二批次自主招生（实验班）考试数学学科试卷

考试时间：90分钟 满分100分

就读学校： 姓名： 考场号： 座位号：

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确答案）

1.实数r q p 、、在数轴上的位置如图，化简()()()22

2

r q q p p r p ++

+-

-+的值为（ ）

A. p r -2

B. p -

C. q p 23--

D. r p 23+- 2.已知a 为实常数，则下列结论正确的是（ ）

A. 关于x 的方程a x a =的解是1±=x

B. 关于x 的方程a x a =的解是1=x

C. 关于x 的方程a x a =的解是1=x

D. 关于x 的方程()

11+=+a x a 的解是1±=x 3.抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1-=x ，图象如图 所示，给出以下结论：①ac b 42

>；②0>abc ；③02=-b a ； ④039>+-c b a ；错误的结论的个数为（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

4.设方程012)1(2=+++x x k 的两根为1x 、2x ，若2

1212

21x x x x +≥+⋅， 则满足条件的整数k 的值有（ ）

A. 无数个

B. 0,1,2--

C. 0,1-

D. 0,2- 5.如图，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，

将ABE ∆向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若FDE ∆的周 长为29，FCB ∆的周长为51，则FC 的长为（ ） A ． 9 B. 10 C. 11 D. 12

6.已知b a ,都是实数且0111=--

+b a b a ，则a

b

的值为（ ） A ．

251--或251+- B. 251-或251+ C. 251- D. 2

51+- 第3题图

第5题图

7.如图，在ABC Rt ∆中，BC AC ⊥，过C 作AB CD ⊥，垂足为D ， 若3=AD ，2=BC ，则ABC ∆的内切圆的面积为（ ） A ．π B. ()π324- C. (

)

π13- D. π2

8.已知x 是正整数，则当函数290

1

--=

x y 取得最小值时x 的值为（ ）

A. 16

B. 17

C. 18

D. 19 9.观察下列数的规律： ,8,5,3,2,1,1，则第9个数是 （ ） A. 21 B. 22 C. 33 D. 34

10.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠135B ，︒

=∠120C ，3=

AB ，

61+=AD ，22=CD ，则BC 边的长为 （ ）

A ． 22-

B.

215- C. 23 D. 2

2

二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）

11.关于x 的方程()()

()0,1121122≠≠-+=

--+mn n m x x mn

x n x m 的解为 12.甲、乙、丙三人在一起做“剪子、布、锤子”游戏，约定每个人在每一个回合中只能随机出“剪子、布、锤子”中的一个，那么在一个回合中三个人都出“锤子”的概率是

13.矩形ABCD 中，4=AB ,3=AD ，将该矩形按照如图所示位置放置在直线AP 上，然后不滑动的转动，当它转动一周时（1A A →）叫做一次操作，则经过5次这样的操作，顶点A 经过的路线长等于

14.在ABC ∆中，5==AC AB ，5

4

cos =B ，若以M 为圆心，17为半径的圆经过C B 、两点，则线段AM 的长等于

第7题图

第10题图

三、解答题（本大题5小题，共58分）

15.（本题满分7分）将下列式子因式分解： （1）2

2

a a x x -++ （2）233+-x x

16.（本题满分9分）

（1）化简x

x 111111

+-

+；

（2）已知1

112

42+=++a x x x ，用含a 的式子表示12+x x

.

17.（本题满分12分）

已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤-=0

202

2

x k

x x x k

x y ，其中k 为实数.

（1）当0=k 时，在所给的网格内做出该函数图象的简图，

并利用图象求0>x 时，函数的最大值；

（2）当k 变化时，探究函数图象与x 轴的交点个数.

18.（本题满分12分）

如图①，正方形ABCD 的边长为7， ADB ∠的角平分线DE 交AB 与点E .

（1）求

AE

BE

的值； （2）若P 在线段BD 上运动，如图②，当BP 为何值时，AP EP +的值最小.

第18题图① 第18题图② 第18题备用图

19.（本题满分18分）

如图①，抛物线()02

<+=a c ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴交于C B 、两点（点C 在x 轴正半轴

上），ABC ∆为等腰直角三角形，

且面积为4. 现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一个交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H . （1） 求c a 、的值；

（2） 连接CF OF 、，求证:FCE OFE ∠=∠;

（3） 在y 轴上是否存在点P ，当以PE 为直径的圆交直线FH 于点Q 时，以点E Q P 、、为顶点

的三角形与EOP ∆全等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

第19题图① 第19题图② 第19题备用题