第八章金融数学模型--华东理工大学数学建模课件

EU= iU(ci )
i= 1
n
2019/2/17
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பைடு நூலகம்
保险市场： 风险规避者必定会参加保险，但没有说明他会投 保多少金额，假设他面临损失10,000元的风险，那么 ，他会向保险公司投保10,000元的金额，并缴纳相应 的保险费，还是投保15,000元 或5,000元金额？这与保 险费率的高低以及人们对风险的厌恶程度有关。 假定您现在拥有的财产为 W ，您面临损失 L 的可 能性（如遭窃、失火、生病、住院等），发生损失的 可能性为 ,保险费率为r，即您需要支付rk来购买一张 K的保险单。损失没有发生的 金额（最高赔偿额）为 情况为第1种状态，1状态您拥有的财产为C1
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预期效用：取决于各种情况出现的概率和相应 的概率下可享用的收入或消费的效用。如，若 未来可能出现两种状态，状态 1 和状态 2 ，两种 和 且 状态出现的概率分别为 1 + 2 = 1和即 1 2 只有这两种可能性。C1和C2分别代表状态1和状 态2下的收入或消费，那么预期效用函数： EU= 。其中U(C1)和U(C2)为一 U ( c ) + U ( c ) 1 1 2 般的效用函数。 预期效用函数EU称为“冯· 诺伊曼—摩根斯坦 效 用 函 数 ” （ Von Neunaun——Morgenstern Utility Function ），以本世纪美国著名数学家 冯· 诺伊曼和经济学家奥· 摩根斯坦名字命名的， 他们两人在数学博奕论领域作出了杰出贡献。
C1=W-rK
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因为无论损失发生与否，保险费是不退回的。 损失不幸发生了，为第 2 种状态，此时，您能从 保险公司得到金额为K的赔偿，您拥有的财富为 C2=W-L-rK+K 2状态发生的概率为 ，1状态出现的概率为1- 。 从保险公司的角度来考察，二状态出现，保险公 司需支付保险费K；一状态出现，保险公司没有任何 支出。但无论那种状态出现，保险公司总能收入保险 费rk，假设没有许多人（如10万人）投保，各人之间 遭受损失是相互独立的，则保险公司从每个投保人身 上可得的预期利润：
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rK K + ( 1 ). rK = rK K
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即若投保人数 n 足够大，保险公司的平均利 rK K 润将接近n 从保险公司来看，只要收支能平衡，它就愿 意经营这项保险业务，且保险市场上有许多家保 险公司，且任何厂商均可自由进出该行业，则保 险市场将接近完全竞争市场，每家保险公司的经 济利润将被压低到最低限度 ---- 零。即保险公司 由于激烈的竞争会向顾客提供完全“公平”的保 险费率，即等于投保人总体遭受损失的概率，即 r= , 从而利润p=0 。
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是否投保 投保
无所谓
不投保
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如，这种赌博：90%的可能赢1万元，10%的可能 输10元，这种赌博的预期收益为： 1万元×90%+（－10元）×10%=8，999元 远远高于不参加赌博的预期收益：零。那么， 很少有人会拒绝这种赌博。 公平赌博：指预期收益为零或胜负各参半的赌 博；如：1万元×50%+（-1万元）×50%=0（元） 有利赌博：指预期收益大于零或赢的可能性超 过一半的赌博。 “公平”的保险费率正好与损失发生的概率相 等。
第八章 金融数学模型
8.1 8.2 8.3 8.4 保险的需求模型 资产组合选择模型 资本资产定价模型 企业负债的合理确定模型
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保险的需求模型
以前总是假定消费者或生产者的决策所产 生的结果是肯定而唯一的。然而这一点假设 是非常脱离实际的。如，农场主的产量不仅 取决于他投入多少资本、土地和劳动，而且 取决于今后一年中的气候状况，这是农场主 无法把握的。在许多情况下，经济决策人只 能预见到自己的行为会带来那几种可能结果， 以及每一种结果出现的可能性。这就是在结 果不确定的情况下经济人的最优决策问题。
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（
预期效用及其函数：人们对不确定情况下 的收入或消费也应当有一种偏好顺序，如， 人们偏好“90%的可能赢1万元，10%的可能 输 1 千元。”胜过“ 60% 的可能赢 1 万元， 40%的可能性输100元。” 90%× （ 1 万 元 ） +10%× （ － 1000 元 ） =8,900（元） 60%× （ 1 万 元 ） +40%× （ － 100 元 ） =5,960（元） 那么，如何来排列这种偏好顺序呢？最方 便 的 方 法 就 是 按 “ 预 期 效 用 ” （ Expected Utility）的大小来排序。
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个人对待风险的态度：在现实中，可以观察到两 种现象：有些人为了减少未来收入和财富的不确 定性而到保险公司投保；而另一些人却为了增加 生活中的不确定性而进行赌博。∴在世界各地， 保险公司与跑马场一样生意兴隆。 对待风险的态度（风险偏好）：
人的类型 风险规避者 （Risk evader） 风险中立者 (Risk neutral) 风险爱好者 (Risk lover) 参加的赌博类型 只参加有利的赌博 可能参加公平的赌博 肯定参加有利的赌博 即使不利的赌博也参 加
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这样的简单化假设并不太离奇，世界上规 模大，经营业务广，跨地区多的保险公司所提 供的保险费率都十分接近“公平”费率，因为 大公司更容易做到分散风险，收取“公平”费 率就足以应付赔偿支出了。 甚至连赌场也是如此，大赌场比小赌场 更能提供“公平”（预期收益接近于零）的赌 博机会。 那么，一个风险规避者（ risk evader） 将如何选择K的大小？风险规避者的主要特征： 在相同的期望值或预期收益下，风险越小，效 用水平越高。而投保人的期望财富值EC为：
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EU=
若消费者一般的效用函数为U= LnC 则，预期效用函数为：EU= lLnC1+ 2LnC2 若U=C，则预期效用函数为： c + c EU= 1 1 2 2 此时，预期效用等于期望值。 一般地若可能出现n种状态,每一种壮态出现 ( i = 1 , 2 n )预期效用函数为： 的概率为 i