数学总结 Function 函数

余割函数 Cosecant csc
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表达式
语言描述
a/h ∠A的对边比斜边
b/h ∠A的邻边比斜边
a/b ∠A的对边比邻边
b/a ∠A的邻边比对边
h/b ∠A的斜边比邻边
h/a ∠A的斜边比对边
正弦线、余弦线
引入有向线段的概念后，如果x>0，如图，有向线段OM与x轴同向，其数量为x， 如果x<0，有向线段OM与x轴反向，其数量也为x，故总有OM=x。同理可知MP=y 所以有，sinα=MP,cosα=OM即有向线段MP、OM的数量分别等于α的正弦、α的余弦。 因此，我们把有向线段MP，OM分别叫作角α的正弦线、余弦线。
若m≥n，做长除式，商即为水平/斜渐近线
Hole:当分子被分母中的factor整除时，分母中这个factor对应的x的值的位置会有一个hole
Remainder Theorems: Let f be a polynomial function. If f(x) is divided by x-c, then the remainder is f(c)
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： 1、a^log(a) N=N 2、log(a) a=1 3、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N 4、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N 5、log(a) M^n=nlog(a) M 6、log(a)b*log(b)a=1 7、log(a) b=log (c) b/log (c) a
奇偶性
奇函数：A function is odd if for every number x in its
domain the number -x is also in the domain and f(-x)=-f(x)
偶函数:A function is even if for every number x in its
domain the number -x is also in the domain and f(-x)=f(x)
判定函数奇偶性基本方法： 1.定义法：先看定义域是否关于原点对称， 再看f(x)与f(-x)的关系 2.图像法：看图像是否关于原点或y轴对称
Theorem: A function is even if and only if its graph is symmetic with respect to the y-axis
定义域为第一个函数的值域中满足第二个函数的定义域的数的集合
反函数
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C， 根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出， 得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=g(y)， x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g(y)就表示y是自变量， x是因变量是y的函数，这样的函数y=g(x)(x∈C) 叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域
三角函数线 正切线
当角α的终边在y轴的右侧时（如左上图），在角α的终边上取点T（1,y'）， 则tanα=y'/1=y'=AT (A为单位圆与x轴正半轴的交点) 当角α终边在y轴左侧时（如左下图），在角α的终边的反向延长线上取点T（1,y'） 由于它关于原点的对称点Q（-1,-y'）在角α的终边上，故有tanα=(-y')/(-1)=y'=AT 即总有tanα=AT . 因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线
Degree:最高次项的指数 多项式函数的图像是连续、平滑的
Multiplicity为奇数时图像cross这个zero Multiplicity:一个zero出现的次数
Multiplicity为偶数时图像touch这个zero
Turning points:
一个degree为n的多项式函数最多有n-1个turning points; 一个有n-1个turning points的多项式函数degree最少为n
函数分类
Trigonometric Functions
三角函数性质
正弦函数 余弦函数 正切函数
定义域：实数集R 值域：[-1，1] 最值和零点： ①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1 ②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1 ③零值点：（kπ,0) ，k∈Z 对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形。 1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称 2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称 周期性： 最小正周期：y=Asin（ωx+φ）T=2π/|ω| 奇偶性：奇函数（其图象关于原点对称） 单调性： 在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增. 在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.
一个函数具有反函数的条件是，这个函数必须是一个一对一函数 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称
F^(-1)(x)oF(x)=F(x)oF^(-1)(x)=x
判断：
vertical line test
Vertical:上加下减
Shift
Horizontal:左加右减
Transformation
TheLet f be a polynomial function. Then x-c is a factor of f(x) if and only if f(c)=0
Rational Zeros Theorem: If P(x) is a polynomial with integer coefficients and if p/q is a zero of P(x) ( P(p/q) = 0 ), then p is a factor of the constant term of P(x) and q is a factor of the leading coefficient of P(x)
复合函数的单调性 增（减）函数的倒数为减（增）函数。 在函数y=f[g(x)]的定义域内， 令u=g(x)，则y=f[g(x)]的单调性 由u=g(x)与y=f(u)的单调性共同确定，方法如下
u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]
增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数
Compression & stretch
Vertical:变整个函数 Horizontal:变x
About x-axis:给y加负号
Reflection
About y-axis:给x加负号
函数、方程与不等式 将方程或不等式的函数画出，找交点
Polynomial Functions
形如 Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)的函数， 叫做多项式函数(a(n),a(n-1)...a(0)为实数且n为非负整数)
Domain of f·g=domain of f ∩
domain of g
除:(f/g)(x)=f(x)/g(x)
g(x)≠0
Domain of
f/g={x|g(x)≠0} ∩ domain of f ∩ domain
of g
函数变化
两个函数的复合函数指一个将第一个函数作用于参数， 复合函数 然后再将第二个函数作用于所得结果的函数。
1.如果a^x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底 N的对数(logarithm),记作x=logaN. 其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。且a>o,a≠1,N>0 2.特别地,我们称以10为底的对数叫做 常用对数(common logarithm),并把log10N 记为 lgN. 3.称以无理数e (e=2.71828...)为底的对数 称为自然对数(natural logarithm)，并把logeN 记为lnN.
在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
Theorem: A function is odd if and only if its graph is symmetic with respect to the origin
运算法则 1.两个增函数之和仍为增函数； 2.增函数减去减函数为增函数； 3.两个减函数之和仍为减函数； 4.减函数减去增函数为减函数； 5.函数值在区间内同号时，
弧度制： 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 用符号rad表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。
1°= π / 180°rad≈0.01745rad 1rad=180°/π≈57.30°=57°18′
正角的弧度值是一个正量（正实数）， 负角的弧度值是一个负量（负实数）， 零角的弧度值是零
角的概念的推广： 在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向。 习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的叫叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； 当角没有旋转时，我们也把它看成一个角叫做零角。
终边相同的角可以表示为一个0—360°的角与360°的倍数的和
终边相同的角不一定相等； 相等的角的终边一定相同
周期性
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立， 那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 事实上，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。
最小正周期：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2， 当x1<x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性， 这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
End behavior:
对于一个多项式函数，它的最高次项即是它的end behavior 函数拟合:找到一个能最好地描述数据的函数
Rational Functions
有理函数是多项式函数的商
Vertical:使分母为零且分子不为零的x的值
若m<n，有水平渐近线y=0 Asymptote Horizontal/Oblique:设分子degree为m;分母degree为n
Relation
一对多 多对多 多对一 一对一
定义域 定义域是函数自变量所有可取值的集合 值域 值域是函数在定义域中应变量所有值的集合
判断：
horizontal line test
函数性质
单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2， 当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)。那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
Degree为n的多项式函数一定有n个根（包括实根和复数根） 复数根一定成对出现
Exponential and Logarithmic Functions
指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)
一般地，如果a（a大于0,且a不等于1）的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数， 记作logaN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 一般地，函数y=log(a)X,（其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数, 它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
单位圆：把半径为1的圆叫做单位圆，设圆心与原点重合
有向线段：带有方向的线段叫有向线段，有向线段的数值由其长度大小和方向来决定
Funcion
三角函数定义
英文
缩写
正弦函数 Sine
sin
余弦函数 Cosine dos
正切函数 Tangent tan
余切函数 Cotangent cot
正割函数 Secant sec
Domain of f+g=domain of f ∩ 加:(f+g)(x)=f(x)+g(x) domain of g
Domain of f-g=domain of f ∩ 减:(f-g)(x)=f(x)-g(x) domain of g
组合函数 F(x), g(x) 乘:(f·g)(x)=f(x)·g(x)