期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义

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相似三角形与解直角三角形复习

第二十四章图形的相似第二十五章解直角三角形基础知识点及典例分析：1、相似三角形的判定方法：①如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

②如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

④平行于三角形的一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2、相似三角形的性质：、、和等于相似比，等于相似比的平方。

3、三角形中位线定理（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。

4、三角形的重心：三角形三条边的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。

重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31。

5、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。

6、锐角三角函数的概念：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的函数记作A sin 、A cos 、A tan 、A cot 。

斜边的对边A sin ∠=A ，斜边的邻边A A ∠=cos ，的邻边的对边A A A ∠∠=tan ，的对边的邻边A A A ∠∠=tan 。

分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数。

8、已知特殊角的某一个三角函数值写出相应的角，并注意一些变化：互余的两个锐角的三角函数关系：在直角三角形ABC 中，设∠C 为直角，则∠A+∠B=90°，得一组公式：B A ∠=∠-︒=∠cos )A 90cos(sin ；B A ∠=∠-︒=∠sin )A 90sin(cos ； B A ∠=∠-︒=∠cot )A 90cot(tan ；B A ∠=∠-︒=∠tan )A 90tan(cot 。

9、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角等于斜边的一半。

中考冲刺：相似与位似判断、解直角三角形教案(针对河北中考真题)

一、相似三角形判定考察判定定理：两角相等，三边比例，两边及夹角。

二、位似图形1．位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A 、A ′的连线(或延长线)都经过同一个点O ，且有OA ′＝kOA(k ≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心，这时的相似比k 又称为位似比． 2．位似多边形的性质：(1)位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质；(2)位似多边形上任意一对对应点连线(或延长线)都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比．归纳结论：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，并且对应边平行(或在同一直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比．注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三个条件缺一不可：①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行(或在同一直线上)．例1．把右面的四边形缩小到原来的12(相似比是12或位似比是12)．解：(位似中心在图形外，已知)作法略.，四边形A′B′C′D′即为所求．你有其他画法吗？请互相交流．归纳结论：画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论．例2．如图，已知四边形ABCD 和点O ，请以O 为位似中心，作出四边形ABCD 的位似图形，把四边形ABCD 放大为原来的2倍．答：连接OA ，OB ，OC ，OD 延长OA 到A′使OA′＝2OA ，延长OB 到B′使OB′＝2OB ，延长OC 到C′使OC′＝2OC ，延长OD 到D′使OD′＝2OD ，顺次连接A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形．三、位似变换中的坐标变化1．在平面直角坐标系中，一个多边形每一个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|．2.我们学习过的图形变换包括：平移、轴对称、旋转和位似．其中经过平移、轴对称、旋转变换前后的两个图形一定是全等的；而经过位似变换前后的两个图形是相似的．结论：[在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.]1．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( C )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)2．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(－6，1)，B(－3，1)，C(－3，3)．若将它们的横纵坐标都乘以－3，得到新三角形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 是位似关系，位似中心是坐标原点，位似比等于3．3．如图，已知△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是(2，－2)；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2∶1，点C 2的坐标是(1，0)；1、（2017）.若ABC ∆的每条边长增加各自的10%得'''A B C ∆，则'B ∠的度数与其对应角B ∠的度数相比( ) A ．增加了10% B ．减少了10% C ．增加了(110%)+ D ．没有改变2、（2016）如图6，△ABC 中，∠A =78°，AB=4，AC=6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( C )变相考察相似判定：注意原三角形BC 边长未知，C 不一定平行 3、（2014）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）图6A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对答案：解直角三角形——1、方位2、三角函数应用命题规律：近五年规律基本上是隔一年考一次，2013、15、17年均考了一次，14、16未涉及。

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲(何老师归纳)一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。

③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2.合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠04、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，=，nmb a =语言描述如下：=，=，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2）图（3）图（4）图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A 型 X 型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若=.=，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. 二：相似三角形：（一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

初中数学三角形ppt完整版

灵活运用。
输入标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质

中考数学复习·图形的相似+相似三角形专题(位似、相似、相似三角形证明及应用)名校名师全解全练精品课件

A．12.36 cm C．32.36 cm
5－1 【解析】∵黄金比为 ≈0.618 ， ∴ 它的宽约为 2 0.618×20≈12.36 cm.
【答案】A
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考
点
训
a
练
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2 ． (2010 中考变式题 )已知＝＝，且 a ＋ b＋ c≠0 ，则 2 5 7 2a＋3b－2c 的值为( a＋b＋c 5 A. 14 )
的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比值为
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中考典例精析
(2011·河北)如图所示，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1.点O和△ABC的顶点均为小正方形
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的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和 △ABC位似，且位似比为1∶2. (2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号) 【点拨】位似图形一定是相似图形，可以利用相似图形的性质计算或证明．【解答】 (1) 如图所示． (2)AA′ ＝CC′ ＝ 2. 在
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第六章图形的相似与解直角三角形第23讲图形的相似与位似
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三
考点训练
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考点知识精讲
考点一成比例线段与比例的定义及性质
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1．对于四条线段 a、b、c、d，如果做成比例线段，简称比例线段．
那么这四条线段叫
2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例． 3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． a c 4．比例的基本性质：如果＝，那么 ad＝bc ，反之也成立．其中 b d a b a 与 d 叫做比例外项，b 与 c 叫做比例内项．特殊地＝ ⇔b2＝ac. b c

九年级数学相似三角形的判定与性质的复习教案

相似三角形的判定与性质的复习一、教材背景分析〔一〕、教材背景《相似三角形的判定与性质》是人教版九年级下册第二十七章学习内容。

它为后面研究三角函数和解直角三角形以及后面中考中与圆结合计算线段的长度做了铺垫，在学习平面几何中起着承上启下的作用。

因此必须熟练掌握三角形相似的判定和性质，并能灵活运用。

教材从三对边、两对角、一对角及两条夹边的顺序展开探究，符合学生认知规律。

〔二〕、学情背景：学生通过前面的学习已认识了相似图形的性质和判定，认识了相似三角形，这为探究三角形相似的判定和性质的综合运用做好了知识上的准备。

九年级学生动手操作能力逐渐成熟，能主动参与本节课的操作、探究，充分体验获得知识的快乐。

二、教学目标:1、复习相似三角形的概念。

2、复习相似三角形的判定。

3、复习相似三角形的性质。

重点难点重点：能运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似。

难点：正确灵活运用相似三角形的判定和性质解决一些数学问题三、复习过程〔一〕课前热身：1、如下图,D是AB边上一点，连接CD，要使得△ADC ∽△ACB．则应添加一个条件是________。

第1题第2题第3题2、如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，假设△AEF与△ABC 相似，则 AF =______________.3、如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△A E F：S四边形B D E F=______________〔二〕、要点梳理：1．相似三角形的定义：_________________________________________相似三角形的相似比的定义：_____________________________________2．判定两个三角形相似的常用方法〔1〕〔2〕〔3〕① __________于三角形一边的直线和其他两边相交〔或两边的延长线相交〕，所构成的三角形与原三角形相似；②三边___________________________的两个三角形相似；③两边____________________________的两个三角形相似；④两角分别________________________的两个三角形相似．你会用符号语言来表示吗？3．相似三角形的性质〔1〕相似三角形的对应边________，对应角________；〔2〕相似三角形___________，__________与____________都等于相似比；〔3〕相似三角形周长的比等于________，相似三角形面积的比等于___________．反之相似三角形的相似比应等于它们面积比的_________________.〔三〕、典型例题：例1. (教材P42页，第3题〕如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．判定△ABC与△DEF是否相似？变式1：如图，小正方形的边长均为1，则以下图中的三角形〔阴影局部〕与△ABC相似的是〔〕A． B． C． D．变式2：以下4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是：A． B． C． D．例题2：〔教材第42页第4题〕如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB，求证：△ADE∽△EFC变式：如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB，S△ADE=9，S△EFC=16，求S四边形DEFB=?FEAB CD例题3〔教材第44页第14题〕，如图△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝9，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿BA向点A运动，此时直线DE//BC，交AC于点E。

高三数学一轮复习第1课时相似三角形的判定及有关性质.ppt

2．平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的 __对__应__线__段___成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的__对__应__线__段__ 成比例．
【思考探究】使用平行截割定理时要注意什么？
提示：要注意对应线段、对应边对应成比例，不要乱对应顺序．
如图所示，在△ABC 中，∠CAB＝90°，AD⊥ BC 于 D，BE 是∠ABC 的平分线，交 AD 于 F，求证：DAFF＝AEEC.
证明：由三角形的内角平分线定理得，
在△ABD
中，DF＝BD，① AF AB
在△ABC 中，AEEC＝ABBC，②
在 Rt△ABC 中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，
如图，△ABC 中，D 为 BC 中点，E 在 AC 上且 AE＝2CE，AD、BE 相交于点 F，求FADF，BFFE.
解析：过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G，因为点 D 为 BC 的中点，所以 EC＝2DG.因为 AE＝2CE，所以DAGE ＝ 41.从而FADF ＝ DAEG＝41，所以GFEF＝14.因为 BG＝GE，
三角形相似．
判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应_成__比__例__，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对
应_成__比__例__且夹角相等，两三角形相似．判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应_成__比__例__，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应_成__比__例__，两三角形相似．
(2)两个直角三角形相似的判定
定理 ①如果两个直角三角形的一个锐角对应_相__等__，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应 __成__比__例__，那么它们相似． ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与应_另_成_一_比_个_例_直_，角那三么角这形两的个斜直边角和三一角条形直相角似边．对

解直角三角形完整版PPT课件

余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则这两个直角三角形相似。根据此定理，可以推导出一些重要的直角三角形性质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。

解直角三角形ppt课件

经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系，但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用勾股定理解决距离、高度等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用勾股定理解决角度、长度等计算问题。

解直角三角形的应用(19张ppt)课件

选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间的关系，以及边长与角度之间的勾股定理。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它所对的边，可以通过三角函数求出其他两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形，可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形，可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰角，利用解直角三角形的知识，可以计算出山的高度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识，通过测量楼底和楼顶的仰角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部的仰角，利用解直角三角形的知识，可以计算出树的高度。

相似三角形与三角函数

初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。

解直角三角形(优质课)课件pptx

思考题：请思考一下，除了上述提到的领域外，解直角三角形还可以应用于哪些领域？并尝试给出具体的例子。
练习题：请完成以下解直角三角形的练习题，巩固本节课所学的知识。
已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边长为10cm，求这个三角形的面积。
一艘船在海上航行，测得前方两个灯塔之间的夹角为60度，且这两个灯塔与船的距离分别为10海里和15海里。求这艘船相对于两个灯塔的位置。
有效数字运算规则回顾
四舍五入法、进一法、去尾法等。
近似计算方法
在保证精度的前提下，尽量简化计算过程，减少计算量。例如，利用近似公式、近似数表等。
技巧
近似计算方法和技巧
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总结回顾与拓展延伸
03
实际应用中的解直角三角形问题
如测量问题、航海问题、物理问题等，需要将实际问题转化为数学问题，通过建立直角三角形模型进行求解。
一个物体从斜面上滑下，已知斜面的倾角为45度，物体与斜面间的动摩擦因数为0.5。求物体下滑的加速度大小。
01
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05
思考题与练习题
THANKS
在直角三角形中，当角度为30°、45°、60°时，可以通过简单的几何关系计算出对应的正弦、余弦、正切值。
特殊角的三角函数关系
掌握特殊角度的三角函数值之间的关系，如 sin(90°-θ) = cosθ，cos(90°-θ) = sinθ 等。
特殊角度三角函数值计算
利用三角函数求未知边长或角度
三边成比例
两个角相等
相似三角形判定定理回顾
01
02
通过相似比求解未知边长或角度
构建相似三角形，利用相似比求解未知量
利用相似三角形的性质，通过已知边长和角度求解未知边长或角度

初中数学解直角三角形综合讲义

1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。

解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于（（））（（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度：三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度：直角三角形直角三角形分析：设P 到边的距离为PE PE。

《解直角三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《解直角三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC. (3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== 要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．求∠要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 2.常见的应用问题类型 (1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

相似三角形和解直角三角形的复习

[2013·四川] 如图23－1所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ( )图23－1A.12B.55C.1010D.255[2012·济宁] 在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝⎛⎭⎫sin B －222＝0，则∠C ＝________.路边路灯的灯柱BC 垂直于地面，灯杆BA 的长为2米，灯杆与灯柱BC 成120°，锥形灯罩的轴线AD 与灯竿AB 垂直，且灯罩轴线AD 正好通过道路路面的中心线(D 在中心线上)．已知点C 与点D 之间的距离为12米，求灯柱BC 的高．(结果保留根号)图23－2[2012·凉山州] 某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：小明：我站在此处看树顶仰角为45°.小华：我站在此处看树顶仰角为30°.小明：我们的身高都是1.6 m.小华：我们相距20 m. (参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果保留三个有效数字)[2012·常德] 如图24－4，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里/小时的速度向西北方向航行. 我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船．问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)图24－4[2012·衡阳] 如图24－5，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝CE∶ED，单位：m)图24－5如图24－6，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．图24－6[2013·南京] 如图24－7，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救. 已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A处位于B处的北偏西30°的方向上. 求A、C两处之间的距离．(结果精确到0.1 海里. 参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图24－7。

解直角三角形复习课说课

解直角三角形复习说课宋海霞尊敬的各位领导、老师：大家好！今天我说课的内容是华师版教材中考总复习——解直角三角形。

一、教材分析：（一）教材的地位与作用：华东师大版新教材将解直角三角形的学习安排在了九年级上册第25章中，本节重点复习解直角三角形及其应用。

本节在归纳了直角三角形中边角关系的基础上，给出了直角三角形的解法，它既是前面所学知识的运用，也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识，解直角三角形在生活实际中应用非常广泛，。

比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。

从这些问题中，我们要理解解直角三角形的方法，了解方向角、仰角、俯角、坡度等相关名词的意义，掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实际问题的最终目的。

（二）复习目标：知识与技能目标：.掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。

会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。

体会数学建模的思想。

过程与方法目标：通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。

情感与态度目标：体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习品质。

（三）复习重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。

（四）复习难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。

二、学情分析：学生在复习本节课之前已经复习了锐角三角函数、相似三角形有关知识，利用解直角三角形解决实际生活中的问题，对于学生来说已经不是很困难。

三、教法分析：本节课我采用的是345高效课堂模式：自主整理——合作交流——精讲点拨——有效训练。

四、学法分析：学生遵循自主——合作——交流——归纳——应用的主线进行复习。

五、复习过程：(一)情景导入：同学们都有很多理想：有的同学长大了想当设计师、工程师、数a 学家等，我们可能要测量河的宽度、山的高度、设计楼的高度、设计楼间距等等。

中考数学专题知识点精讲：相似三角形与解直角三角形

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！相似三角形与解直角三角形一、知识要点概述1、比例线段的有关概念（1）前项、后项：两条线段的比a︰b中，a叫比的前项，b叫比的后项．（2）比例线段：四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段，简称比例线段．（3）外项、内项、第四比例项：如果a︰b=c︰d，则a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项．（4）比例中项：若a︰b=b︰c，则b叫a、c的比例中项．2、比例的性质（1）比例的基本性质：如果a︰b=c︰d，则ad=bc，其逆命题也成立．推论：如果a︰b=b︰c，则b2=ac，其逆命题也成立．（2）合比性质：．（3）等比性质：．3、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两直线，所得的对应线段成比例．推论1：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．推论1的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．推论2：平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．4、相似三角形的有关概念（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形．（2）相似比：相似三角形对应边的比．5、三角形相似的判定（1）两角对应相等，两三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．（3）三边对应成比例，两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（5）直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似．（6）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的三角形与原三角形相似．5、相似三角形的性质（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例．（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．（3）相似三角形周长的比等于相似比．（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方．6、锐角三角函数在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则，且sinA，cosA在0～1内取值．7、特殊角的三角函数值8、互为余角的三角函数关系锐角α与它的余角（90°－α）有如下关系：sin(90°－α)=cosα，cos(90°－α)=sinα，tan(90°－α)=cotα，cot(90°－α)=tanα．9、同角三角函数间的关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α=1；(2)倒数关系：tanα·cotα=1；(3)商数关系：．10、锐角三角函数的增减性当角α在0°～90°间变化时，角α的正弦、正切值随角α的增大（或减小）而增大（或减小）；角α的余弦、余切值随α的增大（或减小）而减小（或增大），正弦值、余弦值均介于0～1之间，即0≤sinα≤1，0≤cosα≤1．11、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则有下列关系：（1）三边的关系：a2＋b2=c2；（2）角的关系：A＋B=90°；（3）边角的关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=cotB=，cotA=tanB=；（4）面积关系：；（5）外接圆半径：，内切圆半径：．12、应用解直角三角形知识解题的步骤（1）审题，弄清仰角、俯角、坡角等概念及题意．（2）画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形添加适当的辅助线分割成规则的几何图形．（3）选择合适的边角关系计算，确定结果．13、应用中的几个概念（1）仰角、俯角：视线与水平线所成的锐角中视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图（1）．（2）坡角、坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度i，即，坡面与水平面的夹角叫坡角α，tanα=i=.(图2)（3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角．如（图3）中，OA、OB、OC的方位角分别为∠DOA、∠DOB、∠DOC．（4）方向角：指北或指南方向线所成的小于90°的水平角叫方向角．如（图4）中OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°、南偏东45°（东南方向）、南偏西60°、北偏西60°．二、典型例题剖析例1、如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D在AC上，AD=12，在AB上取一点E，使得△ADE与原三角形相似，则AE的长为（）A．16B．14C．16或14D．16或9分析：要使两个三角形相似，但未指明对应关系，应进行分类讨论．解：（1）如图，过D作DE//BC交AB于E（或∠ADE=∠C），则△ADE∽△ACB，此时有，∴AE=16．（2）如图，作∠ADE′=∠B，DE交AB于E′，则△ADE∽△ABC，此时有∴AE′=9．综上所述AE=16或9．答案：D例2、已知三个数1，2，，请你再添上一个数（只填一个数）使它们能构成一个比例式，则这个数是_________．解析：此题设计较为开放，结论不唯一．由于题目没有明确告知构成比例的各数顺序，所以所添的数的位置较为灵活．从1︰2=︰x可求出；从1︰2=x︰，可求出；从1︰x=︰2可求出，故此题填以上三个数中的任意一个即可．例3、如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE//BC，且S△ADE︰S梯形DBCE=1︰3，那么AD︰AB=（）A．B．C．D．分析：由S△ADE︰S梯形DBCE=1︰3知S△ADE︰S△ABC=1︰4．由DE//BC得S△ADE∽S△ABC．由相似三角形的面积比等于相似比的平方得，∴AD︰AB=，故选C．答案：C例4、已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC 的延长线于F．求证：FD2=FB·FC．分析：要证：FD2=FB·FC，可证：．由于无法找到△FDB与△FCD，所以应将FD代换，根据EF是AD的垂直平分线的条件可联想到连接FA，则FD=FA．用FA代替FD，得，由此可找到证明△FAB∽△FCA．证明：连接FA．∵EF垂直平分AD，∴FD=FA，∴∠FDA=∠FAD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FDA－∠BAD=∠FAD－∠CAD，∴∠B=∠FAC．又∵∠BFA=∠AFC，∴△FAB∽△FCA，，∴FA2=FB·FC，即FD2=FB·FC．例5、计算：分析：（1）题综合考查特殊角的三角函数值及代数式的计算．将特殊角的三角函数值代入化简，并注意分母有理化，这类题型记准数值是前提，算准结果是关键．（2）题要灵活运用同角的三角函数关系和互余的三角函数关系进行化简，要识别45°＋α与45°－α是互余关系．解：例6、已知：如图，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2－．求BC的长．分析：解直角三角形时，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化为直角三角形中去．转化的途径有：作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等．解：过A作AD⊥BC于D，构造直角三角形．例7、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区．现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°．问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？分析：解决测量问题要明确仰角、俯角、坡度、坡角等名词术语．此题要考察距离B点8米远的保护物是否在危险区内．关键的一点是要测算树AB的高度．解：过点C作CE⊥AB于E．。

解直角三角形(复习课)课件

分析多个直角三角形之间的关系，解决较为复杂的几何问题。
结合勾股定理和三角函数计算直角三角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解决实际问题，如设计桥梁、建筑等结构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度，求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各种角度。解直角三角形的方法可以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的大小。通过解直角三角形，可以精确地计算出力的大小，确保实验结果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常重要的。通过解直角三角形，可以计算出物体的位置，确保实验的准确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。