指数函数的图像及性质的应用

(1) y 2x1, y 2x2
作出图象，显示出函数数据表
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
y 2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
y 2x1 0.25 0.5
1
2
4
8
1 6
y 2x2
0.5
1
2
4
8
1 6
3 2
比较函数
y 2x
y 2x1 y 2x2 的图象关系.
例3、根据条件，确定实数x的取值范围
（1）.2x 0.5
(2).2x 1
(3).0.22x1 1 25
(4).8 ( 1 )2x1 2
解：（2）.2x 1 20
y 2x 在R上单调递增
x 0
单调性应用简单的指数不等式
例3、根据条件，确定实数x的取值范围
（1）.2x 0.5
则
f
(
x1
)

(
1 5
) x12
2
x1
,
f
(
x
2
)

(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 )x22 2 x 5
2
,
∵f(x1)>0, f(x2)>0,
f ( x2 ) ( 1 )x22 2 x2 x12 2x1 f ( x1 ) 5
( 1 ) . ( x2 x1 )( x2 x1 2) 5
∵ x1<x2≤1,
当x 0时，y 1 当x 0时，0 y 1
指数函数图象的变换 一（平移问题）
例1.说明下列函数图象与指数函数y＝2x的 图象关系，并画出它们的图象:
(1) y 2x1, y 2x2; (2) y 2x1, y 2x2;
(3) y 2x 1, y 2x 1.
(x)

2x 2 x 1
b a
是奇函数
（1）求a,
b的值（2）若对任意t

R,
不等式
利用 f(0)=
0
f (t 2 2t) f (2t 2 k) 0恒成立，求k的取值范围。
解：（1） f (x)为奇函数，定义域为 R f (0) 0
即-1 b 0 b 1 2a
单调性应用简单的指数不等式
例3、根据条件，确定实数x的取值范围
（1）.2x 0.5
(2).2x 1
(3).0.22x1 1 25
(4).8 ( 1 )2x1 2
解：（1）.2x 0.5 1 21 2
y 2x 在R上单调递增
x 1
单调性应用简单的指数不等式
(2) y 2x1, y 2x2
作出图象，显示出函数数据表
x
-3
-2 -1 0 1 2 3
y 2x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
y 2x1 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
y 2x2 0.0312
5
0.062 5
0.12 5
0.2 5
∴ x2-x1>0, x1+x2-2<0. 此时 (x2-x1)(x1+x2-2)<0.
( 1 )( x2 x1 )( x2 x1 2) 5

( 1 )0 5
f ( x2 ) 1, f ( x1 )
即
f ( x2 ) f ( x1).
所以 f( x ) 在 (-∞,1]上为增函数.
【注意】 以上不等式为同底型：af(x)＞ag(x)(a＞ 0，且 a≠1)形式，解此种不等式的依据是指数函 数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯， 若不确定，就需进行讨论，即
af(x)＞ag(x)⇔fx＞gx，a＞1. fx＜gx，0＜a＜1.
思考：
本例中，若将“a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)” 改为“(a2＋a＋2)－5x＞(a2＋a＋2)x＋7”，如何求 解？
y (1)u 在定义域内单调递减， 5
而y (1)x2 2x 在（- ，1]上单调递增。 5
复合函数的单调性
内u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
外y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数
复
增函数 增函数 减函数 减函数
y=f[g(x)]
规律：
当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；
归纳 指数函数在底数 0 a 1 及 a 1 这两种
情况下的图象和性质：
0 a 1
a 1
y=ax
y
y
y=ax
(0<a<1)
图
(0,1)
(a>1)
象
y=1 y=1
(0,1)
0
x
定义域： R
0
x
值域：（0，+∞）
性 过定点（0，1），即x=0时,y=1
质
在R上是减函数
在R上是增函数
当x 0时，y 1 当x 0时，0 y 1
（1）.2x 0.5
(2).2x 1
(3).0.22x1 1 25
(4).8 ( 1 )2x1 2
解：（4）.8 ( 1 )2x1即23 2(2x1) 2
解指数型不y等 式2x 在，R将上不单等调递式增两边化 为底数相同的指数式，再利用函数 的单调性求3解 (2x 1)即x 2
1
函数y 2 x4的定义域为{x | x 4}.
由x 4 0得 1 0. x4
1
y 2x4 1
1
函数y 2 x4的值域为{y | y 0,且y 1}.
求函数 y＝41x＋21x＋1 的值域． 【错解】 令 t＝21x，则原函数可化为 y＝t2 ＋t＋1＝t＋212＋34≥34，当 t＝－12时，ymin＝34，即 函数的值域是[34，＋∞)． 【错因】 原函数的自变量 x 的取值范围是 R，换元后 t＝21x>0，而不是 t∈R，错解中，把 t 的取值范围错当成了 R.
（2）由已知有 f (t 2 2t) f (2t 2 k)
又 f (x)为奇函数 f (x) f (x) f (t 2 2t) f (k 2t 2 )
由（1）知f
二 对称问题 例2 说出下列函数的图象与指数函数 y=2x
的图象的关系,并画出它们的示意图.
(1) y 2x (2) y 2x (3) y 2x
y
（x,y)和(-yx,-y)关
y
于原点对称！
o
x
o
x
o
x
（x,y)和(-x,y) 关于y轴对称！
（x,y)和(x,-y)关 于x轴对称！
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-2 O
2
4x
比较函数
y 2x
y 2x1 y 2x2 的图象关系.
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-2 O
2
4x
比较函数
y 2x
y 2x1 y 2x2 的图象关系.
-4
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-2 O
2
4x
思考：
如果a5x ax7 (a 0,且a 1), 求x的取值范围。
【解】 ①当 a＞1 时，∵a－5x＞ax＋7， ∴－5x＞x＋7，解得 x＜－76. ②当 0＜a＜1 时，∵a－5x＞ax＋7， ∴－5x＜x＋7 解得 x＞－76. 综上所述，x 的取值范围是：当 a＞1 时， x＜－76；当 0＜a＜1 时，x＞－76.

f
(x)

1 2x 2x1 a
又 f (1) f (1)
1- 1 2

12
a

2
1 a 4 a
a 2,b 1
例6、已知定义在R上的函数f
(x)

2x 2 x 1
b a
是奇函数
（1）求a,b的值（2）若对任意t R,不等式
f (t 2 2t) f (2t 2 k) 0恒成立，求k的取值范围。
又 x2 - 2x =(x -1)2 -1≥-1,
0 (1)x2 2x ≤ ( 1)1 5,
5
5
所以函数的值域是(0,5].
复合函数：
如果y是u的函数,而u又是x的函数,即
y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]
叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量.
如：函数f (x) (1)x22x 由y (1)u 和 u x2 2x
u(x)在(,1]上是减函数 ,在[1,)是增函数
又y (1)u 在R上是减函数. 3
f (x)在(,1]上是增函数,在[1,)是减函数
指数形式的复合函数的定义域与值域
1
例5、求函数 y 2 x4的定义域与值域 .
1
解：由函数 y 2 x4 得x 4 0. x 4
当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数
“同增异减”“异”“同” 指内外函数单调性的异
练习：求函数y (1) x2 2x的单调减区间 3
解：函数f (x) (1)x2 2x 由y (1)u 和 u x2 2x
3
3
复合而成.
y (1)u 和 u x2 2x 的定义域均为R 3
5
4
3
的图象关系.
2
1
-4
O
-2
2
4x
(3) y 2x 1, y 2x 1. y