调和平均数与算术平均数的讨论
5种平均数的几何意义
5种平均数的几何意义
平均数是数学统计中，一组数据中，所有数据除以其总和的中间值。
它是用来衡量统计数据集中值的形式，代表数据集的中心特征。
平均数有
多种形式，其中常见的五种是算术平均数，几何平均数，几何中位数，调
和平均数和均方根。
本文将讨论五种不同平均数的几何意义。
算术平均数是最常用的，也称为总和平均值。
它是一组数据的平均值，算法如下：从给定数据中取出总和，然后将总和除以给定数据的数量。
算
术平均数有一个明确的几何意义，即它反映了给定数据的中心位置。
几何平均数是指一组数据的乘积除以这一组数据的个数。
几何平均数
的几何意义是反映数据集的大小。
例如，一个数据集中有两个值，如果它
们的几何平均数等于它们的算术平均数，则这意味着这两个值相等，因此
它们的大小也相等。
几何中位数是一组数据的乘积的开方。
它代表数据集中值的相对位置，反映出一组数据的变化趋势，从而可以比较数据集中值的大小和变化度。
调和平均数是一组数据的倒数之和的倒数。
它可以反映出数据集中值
的相对变化率，用来比较一组数据中值的大小和变化率的变化。
均方根是一组数据的平均平方和的平方根。
它衡量数据离中心的程度，反映出数据集中值的变化范围。
算术平均数调和平均数几何平均数PPT课件
第一节 集中趋势指标概述
类型
统计平均数
静态平均数 动态平均数
数值平均数 位置平均数
算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数
分位数
第二节 数值平均数
➢ 本节重点 算术平均数、调和平均数的概念、性质
及其计算方法 ➢ 本节难点
众数、中位数、数值平均数等度量方法 的选择问题
第二节 数值平均数
一、算术平均数 基本公式
x x 1 f1 f x 2 f2 f ...... x n fn f (x ff)
第二节 数值平均数
（四）需要注意的几个问题
⒊简单算术平均数是加权算术平均数
的特例。
若 f f ...... f f ,则 有 ：
1
2
n
x
x1 f
1
x2f
......
2
xn
f
n
f f ...... f
⑤了解计算平均数和离中趋势指标应注意的问 题。
2
学习重点
平均数和标志变异指标的概念
众数、中位数、数值平均数和 标准差的特点及其计算方法
3
学习难点
众数、中位数、数值平均数（算术平均数、 调和平均数、几何平均数）等度量方法的 选择问题
第一节 集中趋势指标概述
本节重点
平均数的概念
本节难点
平均数的特点、分类
第五章 离中趋势和集中趋势的度量
第一节 集中趋势指标概述 第二节 数值平均数 第三节 位置平均数 第四节 离中趋势的度量 第五节 偏度与峰度（选讲）
1
学习目的和要求
①明确平均数和标志变异指标的概念和作用
②熟练掌握数值平均数和标准差计算方法
③了解众数、中位数的概念、特点及其计算方 法
统计学之算术平均数、调和平均数、几何平均数、位置平均数详解
统计学之算术平均数、调和平均数、几何平均数、位置平均数详
解
——笔记总结自中国大学MOOC算术平均数作用：消除个体标志值之间的差异，体现出总体的一般水平。
计算方法：
加权算术平均数计算公式：分组数据中，x表示各组水平值，f代表各组变量值出现的频数。
例子：性质：
优缺点：优点推算总体标志总量进行代数运算抽样中具有良好的稳定性和可靠性缺点受极值影响较大
调和平均数
例子：
加权调和平均数调和平均数特点：受极小值影响相对更大不能有0运用相对较窄
几何平均数1.简单几何平均数计算公式：适用对象：计算平均比率或平均发展速度
2.加权几何平均数fi代表各个变量值出现的次数
例子：
几何平均数特点：受极值影响较算术平均数小不能有零和负值
位置平均值的定义:取特殊位置的数据作为代表值。
常用的位置平均值有中位数和众数。
区间数列中位数计算示例:某企业50个工人加工如下表所示的零件，计算50个工人每天加工零件的中位数。
中位数特点：不受极值影响缺乏敏感性
分位数：处于等分点位置的数值常用的有四分位数、十分位数和百分位数
众数：离散型数据的众数数值型分组数据的众数
众数的特点：不受极值影响均匀分布无众数众数偏向次数较多的组缺乏敏感性
中度偏态时，有皮尔逊的经验:众数与算术平均值的距离约为中位数与算术平均值距离的三倍。
举例:一组技术人员月薪7000元，算术平均10000元。
中等偏态时中位数的近似值是多少？。
数学中的几大平均数
数学中的几大平均数算术平均数算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
它是反映数据集中趋势的一项指标。
把n个数的总和除以n，所得的商叫做这n个数的平均数几何平均数几何意义我们知道算术平均数，(a+b)/2,体现纯粹数字上的关系，而根号ab,称为几何平均数，这个体现了一个几何关系，即过一个圆的直径上任意一点做垂线，直径被分开的两部分为a,b, 那么那个垂线在圆内的一半长度就是根号ab,并且(a+b)/2≥√(ab) !这就是它的几何意思，也是称之为几何平均数的原因。
定义和公式几何平均数（geometric mean）是指n个观察值连乘积的n次方根。
根据资料的条件不同，几何平均数有加权和不加权之分。
设一组数据为X1，X2，…，Xn，且均大于0，则几何平均数Xg为：主要用途计算几何平均数要求各观察值之间存在连乘积关系，它的主要用途是：1、对比率、指数等进行平均；2、计算平均发展速度；其中：样本数据非负，主要用于对数正态分布。
调和平均数解释定义：调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，也称倒数平均数。
是平均数的一种。
但统计调和平均数，与数学调和平均数不同。
在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的。
计算结果前者恒小于等于后者。
因而数学调和平均数定义为：数值倒数的平均数的倒数。
但统计加权调和平均数则与之不同，它是加权算术平均数的变形，附属于算术平均数，不能单独成立体系。
且计算结果与加权算术平均数完全相等。
主要是用来解决在无法掌握总体单位数（频数）的情况下，只有每组的变量值和相应的标志总量，而需要求得平均数的情况下使用的一种数据方法。
计算公式缺点根据定义可知待求平均值各数之倒数和=0或待求平均值各数有0时调和平均数求不出来；n个正数里只要有一个小于1且极接近0的，不论其余n-1个数有多大，此n数调和平均数极接近0。
加权平均数概况：加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算，若在一组数中，X1出现F1次，X2出现F2次，…，Xk出现Fk次，那么(X1F1 + X2F2+ ... XkFk)÷ (F1 + F2 + ... + Fk)叫做X1﹑X2…Xk 的加权平均数。
调和平均几何平均算术平均平方平均的关系
调和平均、几何平均、算术平均和平方平均是数学中常见的概念，它们在统计学、金融学、物理学等领域都有着重要的应用。
这四种平均值在统计分析中起着不同的作用，它们之间有着密切的关系，相互之间又有着一定的差异。
本文将依次介绍这四种平均值的概念和计算方法，并探讨它们之间的关系。
一、调和平均调和平均数是一组数的倒数的算术平均数的倒数，它是一种对数的倒数进行平均的数值。
在统计学中，它通常用于计算一组数的平均响应时间或速度等。
调和平均的计算公式为：其中，n为总数，x_i为第i个数。
调和平均数通常用H表示。
有三个数2，3和6，它们的调和平均数为：2、几何平均几何平均数是一组数的乘积的n次根，它是一种对数值的乘积进行平均的数值。
在统计学中，几何平均常用于计算一组数的平均增长率等。
几何平均的计算公式为：其中，n为总数，x_i为第i个数。
几何平均数通常用G表示。
有三个数2，3和6，它们的几何平均数为：3、算术平均算术平均是一组数之和除以总数，它是一种对数值的和进行平均的数值。
在统计学中，算术平均常用于描述一组数据的集中趋势。
算术平均的计算公式为：其中，n为总数，x_i为第i个数。
算术平均数通常用A表示。
有三个数2，3和6，它们的算术平均数为：4、平方平均平方平均数是一组数平方的算术平均的平方根，它是一种对数值的平方进行平均的数值。
在统计学中，平方平均常用于描述一组数据的离散程度。
平方平均的计算公式为：其中，n为总数，x_i为第i个数。
平方平均数通常用R表示。
有三个数2，3和6，它们的平方平均数为：5、调和平均、几何平均、算术平均和平方平均的关系（1）调和平均和几何平均的关系调和平均和几何平均的关系可以通过不等式进行描述。
对于任意一组正数，它们的调和平均不小于几何平均，即：这个不等式称为调和平均-几何平均不等式。
不等式成立时，等号成立的条件是所有的数相等。
这说明了当一组数的调和平均和几何平均相差较大时，这组数的差异性较强。
算术平均数调和平均数几何平均数
几何平均数 加权几何平均数适应于比率或速度已 分组的情况。
f x
xG f x1 f1 x2 f2
xn fn f
第二节
数值平均数
本节小结
本节主要讨论了算术平均数、调和平 均数、几何平均数三种数值平均数的应用条 件和计算方法，其中最常用的是算术平均数。
第三节 位置平均数
本节重点 众数、中位数的概念与计算方法 本节难点 众数、中位数的的定义
第四节 离中趋势的度量 标准差系数
标准差系数是将一组数据的标准差与其算 术平均数对比的结果。
V 100% x
第四节 离中趋势的度量 本节小结
标志变异指标的意义与测定既是本 章的重点，也是整个统计学中的重要问 题。特别要弄清楚标准差的计算原理、 计算方法和离散系数的应用条件。
第三节 位置平均数
本节小结
本节主要学习了众数和中位数两种位 置平均数的应用场合、特点、确定方法。特 别需要注意的是数列的集中趋势比较明显的 时候计算众数才有意义，还要注意组距数列 时众数和中位数的确定方法。
第四节
离中趋势的度量
本节的重点是： 标志变异指标的概念 标准差的计算方法 本节的难点是： 标志变异指标的定义和测度
第四节 离中趋势的度量 一、离中趋势：含义
离中趋势是指一组数据中各数据 值以不同程度的距离偏离其中心（平 均数）的趋势，又称标志变动度。
分位差
极差
离散系数
方差
标准差
平均差
离中趋势指标是用来综合反映数据的离 中程度的一类指标。
第四节 离中趋势的度量 极差（Range）
极差＝最大变量值 - 最小变量值
第二节
举例说明算术、几何、调和平均数的使用场合---金融统计学作业
1、列举金融实例说明算术平均数、几何平均数和调和平均数的使用场合。
算术平均数：它是总体各单位某一数量的全部标志值的平均，它等于总体各单位某一数量标志的标志值的综合除以总体单位数。
如四川地区安岳县的粮食总产量除以播种面积来求得平均亩产量等。
几何平均数：是n个标志值的连乘积的n次方根，适应于计算平均比率和平均速度。
如某流水作业的装配线分3道工序，每到工序的产品合格率分别为98%，95%，93%，用几何平均数来求平均产品合格率等。
调和平均数：是用平均标志值的倒数作为新变量进行的算术平均数的倒数。
如市场上有三种不同的苹果，其每斤价格分别为3、4、5元，用调和平均数可算得各买一元的苹果，平均每斤的价格。
2、列举金融实例说明相关关系和函数关系，相关分析和回归分析的区别。
相关关系：当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一个变量的取值往往不确定，但它一般按某种规律在一定范围内变化，变量间的这种相互关系，称为相关关系。
如居民的消费支出和其收入有着一定的联系，但不是严格的函数关系。
函数关系：当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有唯一确定值与之相对应，我们称这种关系为函数关系。
如同一产品销售额与销售量存在严格的一一对应关系，当价格一定的时候，销售量每增加一个单位，则会引起销售额增加价格那么多的单位。
相关关系和函数关系的区别在于变量之间是否存在严格的数量依存关系。
相关分析：就是分析现象之间相互关系的密切程度，如计算利息的时候，两个影响因素即是本金和年限都随机，则为相关分析。
回归分析：就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似表达变量间的平均变化关系，如计算某产品销售额时，价格固定，研究销售量，则是回归分析。
区别：相关分析所研究的两个变量是对等关系，回归分析所言极是的两个变量必须根据研究目的，先确定其中一个是自变量，另一个是因变量。
3、比较：发展水平、平均发展水平、发展速度、平均发展速度、增长量、平均增长量、增长率、平均增长率等几个指标，并列举金融实例进行说明其应用。
3平均数二：数值平均数
1、样本各观测值与平均数之差的和为零， 即离均差之和等于零。
n
( xi
x)
或 0简写成
i1
(x x) 0
2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，
即离均差平方和为最小。
n
n
x (xi- )2 < (xi- a)2
（常数a≠ x）
i 1
i 1
或简写为： (x x)2 < (x )2
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限
总体的平均数为：
N
xi N i 1
式中，N表示总体所包含的个体数。 当一个统计量的数学期望等于所估计的总 体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏 估计量。
统计学中常用样本平均数（ ）x 作为总体平
均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数是 总体平均数μ的无偏估计量。
频率分布变了，均值也变。因此，严格地说，权数 应指频率。
调和平均数与算术平均数的区别
凡是掌握被平均指标的分母资料时，用算术平均法。
凡是掌握被平均指标的分子资料时，用调和平均法。
平均指标 ＝
分子：标志总量 分母：总体单位总数
几何平均等于对数的算术平均 组距数列求中位数 是用插值法对中位数组分割的结果。
n
x x1 x2 xn i1 xi
n
n
其中，Σ为总和符号； 表示从第一个观测值
x1累加到第n个观测值xn。当
n
在xi 意义上已明确时，
可简写为Σx，（3-1）式可改写为i1：
x x
n
【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重 分别为500、520、535、560、585、600、480、 510、505、490（kg），求其平均数。
简述算术平均数、几何平均数、调和平均数的适用范围
简述算术平均数、几何平均数、调和平均数的适用范围在数学中，平均数是一组数据的代表值，常用来描述数据的集中趋势。
而在平均数中，算术平均数、几何平均数和调和平均数是最常见的三种平均数。
它们分别适用于不同的情况和数据类型，下面我们将对这三种平均数的适用范围进行简要介绍。
1. 算术平均数算术平均数是最为常见的平均数，它可以简单地通过将一组数据相加，然后除以数据的个数来计算得到。
算术平均数适用于对数据的集中趋势进行描述，特别是对数值型数据。
当我们需要了解一组数据的平均水平时，通常会使用算术平均数。
我们可以通过计算学生的平均成绩来了解班级的学习情况，或者通过计算某个地区的平均温度来了解该地区的气候情况。
2. 几何平均数几何平均数是一组数据的乘积的n次根，其中n为数据的个数。
几何平均数适用于描述数据的增长率、比率或倍数关系，特别是对正数的乘积进行平衡处理。
当我们需要计算连续几年的增长率时，就可以使用几何平均数。
另外，几何平均数还常用于计算财务投资的平均收益率，以平衡不同年份的收益率水平。
3. 调和平均数调和平均数是一组数据的倒数的算术平均值的倒数，它适用于描述速度、工作量和时间等方面的平均值。
在实际应用中，调和平均数常用于计算多个数据量的平均值，且数据不受限制，这时调和平均数能够有效地平衡数据的差异性。
在物流行业中，我们通常会使用调和平均数来计算车辆的平均行驶速度，或者计算工人完成某项工作的平均时间。
算术平均数适用于描述数据的集中趋势，几何平均数适用于描述数据的增长率与比率，而调和平均数则适用于平衡数据的差异性。
在实际应用中，我们需要根据不同的情况和数据类型，选择适合的平均数进行分析和描述，以确保得到准确和合理的结论。
个人观点：平均数在日常生活和各行各业中都扮演着重要的角色，它能够帮助人们更好地理解和分析数据，从而做出科学的决策。
懂得不同类型平均数的适用范围，能够更好地应用数学知识于实际工作和生活中。
对平均数的理解和运用至关重要。
调和平均与算数平均
调和平均与算数平均
数学中，平均值是一个数值集合或其统计学属性的关键概念，可以通过平均值来代表一组数字的平均水平。
常见的有算数平均、几何平均和调和平均。
本文将讨论其中的算数平均和调和平均，并分析它们之间的区别。
首先，对于算数平均来说，它是通过将一组数字求和，再除以多少个数字来计算出来的。
换句话说，它是等权重的，即每个数字都被分配到相同的重量。
例如，如果有一组数字：10，20，30，40，则它们的算数平均数=（10+20+30+40）/4=25。
其次，调和平均也称作调和算术平均数。
它是通过计算数学积分的倒数的和，然后将其等分以计算出来的。
例如，如果有一组数字：10，20，30，40，则调和平均数=4/（1/10+1/20+1/30+1/40）=22.5。
有人可能会问，那么算数平均和调和平均有什么不同呢？两者之间的差异总结起来有以下三点：
首先，算数平均和调和平均的数值有所不同。
由于调和平均不是等权重的，因此它可能会比算数平均数更大或更小。
第二，在调和平均中，值越小，权重越大。
大多数情况下，算数平均可以准确反映一组数字的情况，而调和平均则只考虑了数字中最小的一部分。
最后，算数平均和调和平均也不受常用的比例变换的影响。
比如，如果一组数字都乘以相同的数字，则它们的算数平均与调和平均是相等的。
综上所述，算数平均和调和平均都是常见的平均值，它们在各种数学领域中都有广泛的应用。
两者的区别在于算数平均是等权重的，而调和平均则更关注数字中值越小的数字。
但无论是哪种类型的平均值，都要看出一个数字的一般情况，以此来进行合理的判断。
常用的几种平均数
下限公式：
优点：①容易理解，
②不受极值影响
③适宜于开口组资料和
某些不能用数字测定
的事物
缺点：①灵敏度和计算功能差
②间断数列无Me
5.众数
（Mo）
分配数列中出现次数最多的标志值位置平均数
上限公式：
下限公式：
优点：①容易理解，
②不受极值影响
缺点：①灵敏度和计算功能差
②稳定性差
③具有不唯一性
常用的几种平均数
概念
计算公式
特点
1.算术平均数
（）
标志总量与总体单位总数的比值
简单：
加权：
优点：①容易理解，便于计算
②灵敏度高
③稳定性好
④
和
缺点：①易受极值影响
②在偏斜分布和U形分
布中，不具有代表性
2.调和平均数
（）
标志值倒数平均数的倒数
简单的：
加权：
优点：①灵敏பைடு நூலகம்高
②在某种不能计算条
件下，可以代替
缺点：①不易理解，
②易受极值影响
③有“0”值时不能计算
3.几何平均数
（）
几个变量值连乘积的几次根
简单：
加权：
优点：①灵敏度高
②受极值影响小于
和
③适宜于各比率之积为
总比率的变量求平均
缺点：①有“0”或负值时不能
计算
②偶数项数列只能用
正根
4.中位数
（Me）
标志值由小到大顺序排列中居中间位置的标志值。
位置平均数
在统计中加权算术平均数和加权调和平均数
在统计中加权算术平均数和加权调和平均数下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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算术平均法与调和平均法的灵活运用
’()算术平均法与调和平均法，在实际应用中有简单 平均和加权平均之分，具体表现为四个公式。
对四个 公式如何运用，是一个比较困难的问题。
本文从四种 平均法公式的应用条件出发，谈谈如何灵活运用使平 均数的运算变得更为简捷。
算术平均法与调和平均法都有简单算式与加权算式之分，因而其公式有如下四种：什么，到目前为止还没有一个完整的论述，使其正确 运用和灵活运用受到了很大限制。
通过对四个公式的分析可知，它们具有以下四个 等价关系!注"：图中“!”表示加权调均与加权算均之间的等价 关系：“"” 表示加权调均与简单算均之间的等价关 系；“#”表示简单调均与加权算均之间的等价关系； “$”表示简单调均与简单算均之间的等价关系。
这这四种公式形式各在什么时候应用，应用条件是员与单位有特定的人事依附关系，不可能对本单位的经济活动起到很好的监督作用。
!"会计监督体系不完善是导致原始凭证失真的 重要因素。
我国会计监督体系主要是由单位内部监 督、社会监督和国家监督组成。
内部监督是集“运动 员和裁判员”于一身的监督，其监督作用受制于内部 利益的制约；作为社会监督力量的赢利性组织会计师 事务所，虽然有了很大发展，但还远不能满足我国市 场经济发展的要求，而且有些原则性差的事务所，为 了赢利不仅丧失了监督职能，还“为虎作伥”，帮助造 假；而国家监督由于其天然的不完备性，作用很有限。
三、原始凭证失真的对策 通过以上分析可知，造成原始凭证失真的原因是 多方面的，针对产生原始凭证失真的原因，对策如下：#"继续深化经济体制改革，明确企业的产权关 系。
只有彻底理顺企业产权，划清国家和企业、企业和 个人之间的权利与义务，才能把责任落到实处，进而 调动每个员工参与管理、监督的热情。
这样才能杜绝 原始凭证失真产生的根源。
$"大力加强会计人员的后续教育，提高会计人员 自身的业务能力和道德修养。
会计人员的业务能力高 低和道德修养得好坏直接关系到原始凭证的失真与否。
证明调和平均数≤几何平均数
证明调和平均数≤几何平均数
调和平均数与几何平均数均是数学中用来衡量多个数之间关系的概念。
它们都可以反映数据值的大小，但是它们之间肯定存在着某种关系，比如调和平均数是否小于等于几何平均数。
本文将主要讨论这两个概念之间的大小关系。
首先，调和平均数是一种算术平均数的算法，它的基本公式为1/n*Σ1/xi（xi是某一组n个数），从而可以得出调和平均数的值；几何平均数的计算公式为(Πxi)1/n，其中xi也是一组数的集合。
从定义公式来看，调和平均数和几何平均数都是数据值的平衡表示，但是可以看到，几何平均数的分子为数据值的乘积，其实把每个数据值弄大，几何平均数会更大；调和平均数的分子则把每个数据值逆向缩小，因此调和平均数本身更小。
再从几何的几何概念来看，调和平均数也比几何平均数要小，因为在几何空间中，对应着某一组数，把每一个数乘积增大，则它相对应的几何多边形会越大，而把数据值逆向缩小，则这个几何图形会更小，因此几何平均数中的数据值更大，而调和平均数中的数据值则更小。
综上所述，我们可以明确得出结论：调和平均数比几何平均数小，这是因为几何平均数会把数据值增大，而调和平均数会逆
向地把它们缩小。
这也体现了调和平均数和几何平均数之间的联系与差异。
调和平均数
一、调和平均数的概念
调和平均数是根据标志值 的倒数计算的，它是标志值倒 数的算术平均数的倒数，所以 又称为倒数平均数。
仅适用于定距和定比数据。
【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平 均数可由定义计算如下：
⒈求各标志值的倒数 ： 1 ，1 ，1 ，1
24 68
⒉再求算术平均数： 1 1 1 1 4
90以下
85
2
800
90～100
95
3
2500
X
100～X11f0 110以上f
0.81505 800 101.11752004400 115 800 3 44404000
合计
—
18
24900
计算 该26公1司75该季1度05的.1平2﹪均计划完成程度。
24900
【例B】某季分度析某：工业计公程 划司度 完1成8个X工 业实 计企际 划业产 产产值 值值mf
当各组总长度相等时，即
m1=m2=…=mn=m 时，
则加权调和平均数可变形为：
【例】某企业某日工人的日产量资料如下：
日产量（件） 各组工人日总产量（件）
X
10 11 12 13 14
合计
m
700 1100 4560 1950 1400 9710
计算该企业该日全部工人的平均日产量。
解
即该企业该日全部工人的平均日产量为 12.1375件。
计划完成情况如应下采（用按平计均划数完的成基程本度公分式组计）算：
组别 企业数 计划产值 实际产值
（个） （万元） f （万元）m
1
X 2
m2
3
2618070 5
2500
680
调和平均数与算术平均数的讨论
调和平均数与算术平均数的讨论
张荷观
【期刊名称】《食品与生物技术学报》
【年(卷),期】2001(020)006
【摘要】给出了应用调和平均数与算术平均数的简单规则.
【总页数】2页(P647-648)
【作者】张荷观
【作者单位】江南大学江南大学商学院，江苏无锡
【正文语种】中文
【中图分类】O213
【相关文献】
1.算术平均数与调和平均数的关系探究 [J], 张萌物;张伟
2.应用算术平均数和调和平均数求平均速度的局限性 [J], 齐春法;张磊
3.浅谈几何平均数、算术平均数和调和平均数的关系 [J], 肖伟
4.算术平均数,几何平均数与调和平均数之间的关系 [J], 黄虹
5.能否将调和平均数改称调和算术平均数 [J], 陈宝坤
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调和平均数与算术平均数各有其适用的条件.
例 1 某人在早晨用 1 元钱买了 1. 5 kg 蔬菜 ,
到中午降价后用 1 元钱买了 2 kg 蔬菜 ,晚上削价后
又用 1 元钱买了 2. 5 kg 蔬菜. 问早 、中 、晚 3 次购买
蔬菜的平均价格是多少[1 ] ?
情况 Ⅰ:蔬菜价格用元/ kg 表示 ,即
价格 ,则平均价格应按调和平均数计算.
2 一般规则
1) 设以 M / C 为价格 , 用 Xi = m i/ ci ( i = 1 , 2 , …, N ) 表示第 i 次购物时的价格. 则得平均价格
N
M
C
∑m i = i=1
N
∑ci
(4)
i=1
( i) 若 m i = m , i = 1 ,2 , …, N . 即各次购买时的
例 2 的情况 Ⅰ属购买量固定 ,价格用元/ kg 表
示 ,于是应按式 (6) 计算平均价格. 又因情况 Ⅱ属购
买量固定 ,价格用 kg/ 元表示 ,从而应按式 (9) 计算
平均价格.
然而 ,若各次购买时的金额与数量都不固定 ,
则可按一般的式 (4) 或式 (7) 计算平均价格.
作者以平均价格为例讨论了调和平均数与算
的金额和数量 ,则
N
N
M = ∑m i C = ∑ci
(3)
i=1
i=1
3 结 语
根据计算平均价格的一般规则 ,就可按不同情
况选择合适的计算公式.
例 1 的情况 Ⅰ为金额固定 ,价格用元/ kg 表示 ,
应按式 (5) 计算平均价格. 而情况 Ⅱ为金额固定 ,价
格用 kg/ 元表示 ,所以应按式 (8) 计算平均价格.
但因 3 次购买蔬菜的支出总金额为 1 + 0175 +
0160 = 2135 元 ,总购买量为 115 + 115 + 115 = 415
kg ,从而平均价格为
4. 5 2. 35
=
1.
91
kg/
元
或
2. 35 4. 5
=
0.
52
元/
kg
从而表明在例 2 的条件下 ,对情况 Ⅰ所给的价格 ,
平均价格应按算术平均数计算 ,但对情况 Ⅱ所给的
合体连衣裙
6～8 3～5
臀围随款式而定
紧身吊带裙
1～2 2～3
臀围随款式而定
参考文献 :
[ 1 ] 张文斌. 服装工艺学 (结构设计分册) [ M ] . 中国 :纺织工业出版社 ,1990.
(责任编辑 :李春丽)
(上接第 648 页)
参考文献 :
[ 1 ] 刘汉良主编. 统计学教程 (第二版) [ M ] . 上海 :上海财经大学出版社 ,1997. [ 2 ] 李洁明 ,祁新娥. 统计学原理 (第二版) [ M ] . 上海 :复旦大学出版社 ,1999. [ 3 ] 吴可杰著. 统计学原理 (修订本) [ M ] . 南京 :南京大学出版社 ,1999. [ 4 ] 贾俊平 ,何晓群 ,金勇进. 统计学[ M ] . 北京 :中国人民大学出版社 ,2000.
元/
kg
情况 Ⅱ:蔬菜的价格用 kg/ 元表示 ,即
早晨 :1 元钱 115 kg , 中午 :1 元钱 210 kg ,
晚上 :1 元钱 215 kg
则 X
=
1 3
(1. 5 + 2. 0
+ 2. 5)
= 2. 0
kg/ 元
XH
=
1 1. 5
3
+
1 2. 0
+
1 2. 5
= 1. 91
kg/ 元
解情况 Ⅰ:蔬菜价格用元/ kg 表示 ,即 早晨 :每千克 0167 元 , 中午 :每千克 0150 元 , 晚上 :每千克 0140 元
则 X
=
1 3
(0. 67 + 0. 50 + 0. 40)
= 0. 52 元/ kg
XH
=
1 0. 67
+
3 1 0. 50
+
1 0. 40
=
0.
50
+ 2. 5)
= 2. 0
kg/ 元
XH
=
1 1. 5
+
3 1 2. 0
+
1 2. 5
=
1. 91
kg/
元
由于 3 次购买蔬菜的支出总金额为 1 + 1 + 1 =
3 元 ,总购买量为 115 + 210 + 215 = 610 kg ,从而平
均价格为
6. 0 3
=
2.
0
kg/
元
或
3 6. 0
=
…, N ) 表示第 i 次购物时的价格. 则
N
C
M
=
∑ci
i=1 N
∑m iΒιβλιοθήκη (7)i=1( i) 若 m i = m , i = 1 ,2 , …, N . 即各次购买时的
金额相等 ,于是按式 (7) 得
N
C
M
=
m ∑X i i=1 Nm
=
1 N
i
N
∑X
=1
i
(8)
( ii) 若 ci = c , i = 1 , 2 , …, N . 也就是各次购买
表 4 常见合体女装和紧身女装的放松量 Tab. 4 Tolerance for women’s f it and tight2f it garments
款式 合体西服
部位 领围/ 胸围/ 腰围/ 臀围/
cm cm cm cm 1～2 8～10 5～7 6～8
备注
合体裙
0～2 3～4
合体女裤
0～2 3～5
ZHAN G He2guan
(School of Business , Sout hern Yangtze University , Wuxi 214036 , China)
Abstract : In t his paper , a simple rule for t he harmonic mean and t he arit hmetic mean was given. Key words : harmonic mean ; arit hmetic mean ; a simple rule
张荷观
(江南大学 商学院 ,江苏 无锡 214036)
摘 要 : 给出了应用调和平均数与算术平均数的简单规则.
关键词 : 调和平均数 ;算术平均数 ;简单规则
中图分类号 :O 213
文献标识码 : A
Discussion on Harmonic Mean and the Arithmetic Mean
0.
50
元/
kg
所以在例 1 的条件下 ,对情况 Ⅰ所给的价格 ,平均
价格应采用调和平均数 ,而对情况 Ⅱ所给的价格 ,
平均价格则应采用算术平均值.
64 8 无 锡 轻 工 大 学 学 报 第 20 卷
例 2 若某人在早晨用 1 元钱买了 1. 5 kg 蔬 菜 ,到中午降价后用 0. 75 元钱买了 1. 5 kg 蔬菜 ,晚 上削价后又用 0. 60 元钱买了 1. 5 kg 蔬菜. 问早 、 中 、晚 3 次购买蔬菜的平均价格是多少 ?
(责任编辑 :李春丽)
+ 0. 40)
= 0. 52
元/
kg
XH
=
1 0. 67
+
3 1 0. 50
+
1 0. 40
=
0.
50
元/
kg
情况 Ⅱ:蔬菜的价格用 kg/ 元表示 ,即
早晨 :1 元钱 115 kg , 中午 :1 元钱 210 kg ,
晚上 :1 元钱 215 kg
则 X
=
1 3
(1. 5
+ 2. 0
1 引 言
设 X1 , X2 , …, X N 为 N 个标志值 ,则
X H =
N
N
∑
1
, X =
1 N
i
N
∑X
=1
i
(1)
i =1 Xi
分别称为调和平均数与算术平均数 ,是社会经济统
计中常用的两个平均数. 在统计学教材中 ,常把调
和平均数作为算术平均数的变形[1～4 ] . 但实际上 ,
时的数量相等 ,于是按式 (7) 得
C
M
=
Nc
N
∑
c
=
N
N
∑
1
(9)
i =1 Xi i =1 Xi
例 1 和例 2 说明有些情况应按算术平均数计算 平均价格 ,而另一些情况又应按调和平均数计算平 均价格. 根据例 1 和例 2 ,可得如下规则 :
1) 当金额固定 ,价格用元/ kg 表示 ,或购买量 固定 ,价格用 kg/ 元表示时 ,应按调和平均数计算平 均价格.
第200210年卷1第1
6期 月
Journal
无锡轻工大学学报 of Wuxi University of Light
Industry
Vol. 20
Nov.
No. 6 2001
文章编号 :1009 - 038X(2001) 06 - 0647 - 02
调和平均数与算术平均数的讨论
2) 当金额固定 ,价格用 kg/ 元表示 ,或购买量 固定 ,价格用元/ kg 表示时 ,则应按算术平均数计算 平均价格.
一般 ,若设支出总金额为 M ,总购买量为 C , 则 平均价格为