多元函数的极限与连续习题

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9-1,2-多元函数的概念极限和连续

设 n元函数 f ( P ) 的定义域为点集 D , P0 是其聚点且 P0 ∈ D ，如果 lim f ( P ) = f ( P0 ) 则称 n元
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点，的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续，处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性．的连续性．解取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在．其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在．处不连续．故函数在(0,0)处不连续．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段连接起来，连接起来，则称其为连通则称其为连通的连通的； (2)连通的开集成为区域连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域连通的闭集称为闭域；闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通否则为多连通无洞的连通区域称为单连通的单连通的，否则为多连通的多连通的； (4) 如果 E 含于某一个含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的并集)，则称其为有界则称其为有界的有界的，否则称为无界否则称为无界的无界的。
1 x− y
y x
3) z =

高数8多元函数的极限与连续

二元函数的极限二元极限存在常用夹逼准则证明例1 14)23(lim 212=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x yx y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限)(lim 00y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：累次极限定义若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设B y x f y ax b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ，则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即C y x f by a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系定理若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则)(lim lim (lim 0000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.二元函数的连续性定理若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续定理若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.1. 用极限定义证明下列极限：1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→yx y x y x ； 3）0lim 22200=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x yx y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ，与 []1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数32444)()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2x y =上讨论.) 4. 若将函数2222)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).5. 求下列极限：1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 40→→； 3）)()(lim 2200y x In y x y x ++→→；（提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.。

8.2 多元函数的极限与连续

y→2 y→2
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内若在开区域（或闭区域）内某些孤立点，某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都某些曲线，函数没有定义，内其余部分，部分有定义，有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化，其值随 k 的不同而变化，故极限不存在．故极限不存在．
关于二元函数的极限概念，关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数上任意一点都连续，如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面

高等数学第九章多元函数微分学试题及答案

第九章多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ，此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

数学分析16多元函数的极限与连续总练习题

第十六章多元函数的极限与连续总练习题1、设E ⊂R 2是有界闭集，d(E)为E 的直径. 证明：存在P 1,P 2∈E ，使得ρ(P 1,P 2)=d(E).证：由d(E)=EQ ,P sup ∈ρ(P ,Q)知，对εn =n 1, ∃ P n ,Q n ∈E ，使d(E)<ρ(P n ,Q n )+n1.{P n },{Q n }均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列{Pn k },{Qn k }，记Pn k →P 1, Qn k →P 2，k →∞. ∵ρ(Pn k ,Qn k )≤d(E)<ρ(Pn k ,Qn k )+kn 1，令k →∞得ρ(P 1,P 2)≤d(E)≤ρ(P 1,P 2)，即d(E)=ρ(P 1,P 2). 又∵E 为闭集，∴P 1,P 2∈E ，得证!2、设f(x,y)=x y 1,r=22y x +,k>1，D 1={(x,y)|kx ≤y ≤kx}, D 2={(x,y)|x>0,y>0}. 分别讨论i=1,2时极限iD )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)是否存在，为什么？解：1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)存在；2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在. 理由如下：(1)当(x,y)∈D 1时，kk 12+|x|≤r=22y x +≤2k 1+|x|，∴由r →+∞可得x →∞，又|f(x,y)|=|x y 1|≤2xk→0, x →∞， ∴1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)=1D )y ,x (x lim ∈∞→f(x,y)=0存在. (2)对y=x k, 当x>0时，y>0，∴(x,xk )∈D 2，且当x →∞时，r=22y x +=22x k x +→+∞，但f(x,y)=x y 1=k1，即极限2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)与k 的取值有关，∴2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在.3、设0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, 0xx lim →ψ(x)= ψ(x 0)=0, 且在(x 0,y 0)附近有 |f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x). 证明)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.证：∵0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, ∴∀ε>0，∃δ1>0，使得当|y-y 0|<δ1时，就有 |φ(y)-A|<2ε；∵0x x lim →ψ(x)=ψ(x 0)=0, ∴对上述ε>0，∃δ2>0，使当|x-x 0|<δ2时，就有|ψ(x)|<2ε；又在(x 0,y 0)附近有|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)， ∴∃δ=min{δ1,δ2}，使|y-y 0|<δ, |x-x 0|<δ时，|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)<2ε，从而有|f(x,y)- A|≤|f(x,y)-φ(y)|+|φ(y)-A|<2ε+2ε=ε. ∴)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.4、设f 在R 2上连续，α是任一实数，E={(x,y)|f(x,y)>α,(x,y)∈R 2}; F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y)∈R 2}，证明E 是开集，F 是闭集.证：(1)对任一点(x 0,y 0)∈E ，f(x 0,y 0)-α>0. ∵f 在R 2上连续，由保号性知，存在P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)，使当(x,y)∈U(P 0)时，f(x,y)-α>0，即 (x,y)∈E, 从而U(P 0)⊂E, ∴E 为开集.(2)设P 0(x 0,y 0)是F 的任一聚点，则存在F 的互异点列{P n }，使 P n →P 0, n →∞，由f(P n )=f(x n ,y n )≥α, n=1,2,…，且f(x,y)在P 0连续知， f(P 0)=∞→n lim f(P n )≥α，即P 0∈F ，∴F 为闭集.5、设f 在有界开集E 上一致连续；证明： (1)可将f 连续延拓到E 的边界；(2)f 在E 上有界. 证：记∂E 为E 的边界，Ē=E ∪∂E ，若P ∈∂E ，则对任一n ，U(P;n 1)∩E ≠Ø. 任取P n ∈U(P;n1)∩E ，则 P n →P , n →∞，且P n ∈E(n=1,2,…). 由f 在E 上一致连续可知， ∀ε>0, ∃δ>0，当A,B ∈E 且ρ(A,B)< δ时，|f(A)-f(B)|< ε. 于是对上述的δ>0，存在N, 当m,n>N 时，ρ(P m ,P n )<δ，从而|f(P m )-f(P n )|<ε. ∴{f(P n )}收敛，即∞→n lim f(P n )存在.若P n ,Q n ∈E (n=1,2,…)且∞→n lim P n )=∞→n lim Q n =P ，则存在N,使当n>N 时，ρ(P n ,P)<2δ且ρ(Q n ,P)<2δ，从而当n>N 时，ρ(P n ,Q n )≤ρ(P n ,P)+ρ(Q n ,P)<δ， ∴|f(P n )-f(Q n )|<ε，∴∞→n lim f(P n )=∞→n lim f(Q n ).∴对每个P ∈∂E ，存在唯一的实数∞→n lim f(P n )与之对应. 定义：F(P)=⎩⎨⎧∈→∈∂∈∞→E P )P (f P)P ，E E(P P )P (f lim n n n n ，，则F 为定义在Ē上的函数. 显然F 是f 到∂E 的一个延拓.(1)设P 0∈Ē，则P 0∈E 或P 0∈∂E. 当P 0∈E 时，由E 为开集知，存在U(P 0)⊂E ，于是当P ∈U(P 0)时，F(P)=f(P). ∵f 在P 0连续，从而0P P lim →F(P)=0P P lim →f(P)=f(P 0)=F(P 0)，∴F 在P 0连续.当P 0∈∂E 时，F(P 0)=∞→n lim f(P n )，其中{P n }为E 中趋于P 0的点列，对E 中任一趋于P 0的点列{Q n }，有0P P lim →F(Q n )=0P P lim →f(Q n )=0P P lim →f(P n )=F(P 0)，由归结原则知存在0P P lim →F(P)=F(P 0). ∴F 在P 0连续. ∴F 在Ē上连续.(2)∵Ē是有界闭集，且F 在Ē上连续，从而F 在Ē上有界， ∴F 在E 上有界，又在E 上有F=f ，∴f 在E 上有界.6、设u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续； φ与ψ把点集E 映射为uv 平面中的点集D ，f(u,v)在D 上一致连续,证明：复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.证：设P(u 1,v 1), Q(u 2,v 2)为D 上任意两点，由f(u,v)在D 上一致连续知， ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|u 1-u 2|<δ, |v 1-v 2|<δ, 就有|f(u 1,v 1)-f(u 2,v 2)|< ε. 又u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续；∴上述δ>0, ∃η>0, 使得当(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈E 且|x 1-x 2|<η, |y 1-y 2|<η时，就有 |φ(x 1,y 1)-φ(x 2,y 2)|<δ, |ψ(x 1,y 1)-ψ(x 2,y 2)|<δ, 从而有 |f(φ(x 1,y 1),ψ(x 1,y 1))-f(φ(x 2,y 2), ψ(x 2,y 2))|<ε，即复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.7、设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数F(x,y)=y-x f(y)-f(x )(x ≠y), F(x,x)=f ’(x)，定义在区域D=(a,b)×(a,b)内，证明：对任何c ∈(a,b)有)c ,c ()y ,x (lim→F(x,y)=f ’(c).证：∵f(t)在区间(a,b)内连续可导，∴当(x,y)∈D 且x ≠y 时，在[x,y]或[y,x]上应用格拉朗日定理知：存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得 F(x,y)=y-x f(y)-f(x )=f ’(ξ). 又F(x,x)=f ’(x)，可见对任意(x,y)∈D ，总存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得F(x,y)=f ’(ξ).∵(x,y)→(c,c)时，ξ→c ，且f ’(t)在c 处连续，∴)c ,c ()y ,x (lim →F(x,y)=f ’(c).。

第六章多元函数典型例题

z z 13 设z z ( x, y )是由方程F ( x z, y z ) 0确定，试求 , . x y 解：解法一方程两边分别对 x和y求偏导，并注意 z是x, y的函数.
若设u x z, v y z , 则有F (u, v) 0, 函数的结构为
u F v z y y
(2) z (1 xy) y
z 解： y (1 xy) y 1 y y 2 (1 xy) y 1 , x z y ln(1 xy) (e ) y y x y ln(1 xy ) e [ln( 1 xy) y ] 1 xy xy y (1 xy) [ln( 1 xy) ] 1 xy
x
x
z z z z Fu (1 ) Fv 0, Fu ( ) Fv(1 ) 0, x x y y Fu Fv z z 解得 , . x Fu Fv y Fu Fv
解法二利用隐函数的微分法 . 若设u x z , v y z , 则有F (u , v ) 0.
2 2 2z z z 2 2 12 x 2 , 2 , 12 y 2. 2 2 xy x y
(3) 判断在驻点(1,1)处， B 2 AC 4 100 96 0, 且A 0, 所以z在点(1,1)和(1,1)处取得极小值 z 2. 在驻点(0,0) 处， B 2 AC 4 4 0. 这时不能判断点 (0,0)是否为极值点，为此考察函数在点 (0,0) 附近的变化情况：在点 (0,0)的足够小邻域内，沿直线y x有 z ( x, x) 2 x 4 z (0,0) 0;而沿直线y x有z ( x, x) 2 x 4 4 x 2 2 x 2 ( x 2 2) z (0,0) 0,由此可见，点 (0,0)不是函数的极值点，即z (0,0) 0不是函数的极值 .

高等数学：第1节：多元函数的概念

例如, E {( x, y) | 0 x2 y2 1}
y
(0,0) 是聚点但不属于E．
•
x
又如, E {( x, y) | x2 y2 1} • E中任何一点都是 E 的边界点， • E 中的任何一点都是 E 的聚点。
y
E
•P
o 1x
思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否一定是边界点？
如果点集Ｅ的点都是内点，
•P
则称Ｅ为开集．
例如，E1 {( x, y)1 x2 y2 4}
E
即为开集．
•
边界点：如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ，也可以不属于E），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记为E．
0
4) (2
0 4) 4
四、多元函数的连续性
一元函数连续性回顾：设 y f ( x), x0 D
若 lim x x0
f ( x) f ( x0 ),
则称
f ( x)在 x0处连续.
二元函数的连续性
设 z f ( x, y), P0 ( x0 , y0 ) D,且为聚点.
若 lim x x0
例5：求极限 lim x0 y0
x2 y2 sin x2 y2
3
(x2 y2) 2
解：令: x2 y2 , 当( x, y) (0,0)时, 0,
lim x0 y0
x2 y2 sin x2 y2
3
(x2 y2) 2
lim
0
sin 3
lim
0
1
cos
3 2
lim sin 1 0 6 6

多元函数微分学练习题

x y
（2）
xy ；（3） lim x x 2 y 2 y 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？
1 （4） lim 1 x x y 4
。
x3 y , x 2 y 2 0, 6 2 （1） f ( x, y ) x y 0, x 2 y 2 0; x3 y3 , x 2 y 2 0, sin （2） f ( x, y ) x 2 y 2 0, x 2 y 2 0. 4．设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域，M 0 为 D 外的一点。证明在 D 中必存在点 P0
8．设 z arcsin
x x2 y2
，求
2z 2z z ， 2，。 x yx x
4 a 2t
9．证明：函数 u
1 2a t
e

( x b ) 2
（ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程
u 2u a2 2 。 t x
x y 10．设 u ( x, y ) yf y xg x ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 2u 2u x 2 y 0。 xy x 2 f 2u 2u 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 2 y ， x y ， 2 x， xy x y 求f。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？
(1, 1, 1)
。
1 2 2 , x 2 y 2 0, ( x y ) sin 2 2 x y 2．设 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 0.

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:： (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。

解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1) y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。

吴第8章多元函数微分学-习题课

【解】 lim f(x,y)0f(0,0)所以f 在(0,0)点连续,故否B .
x 0
y 0
f( x ,0 ) f( 0 ,0 ) x 2 s1 ix n 2 ) (
f x ( 0 ,0 ) l x 0 im x
lim 0 x 0 x
fy (0 ,0 ) ly 0 ifm (y ,0 ) yf(0 ,0 ) ly 0 iy m 2 sy i 1y n 2 ) ( 0 偏导数存在, 否A .
第八章习题课
多元函数微分法及其应用
一、关于多元函数极限的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类四、关于多元函数极(最)值的题类
一、关于多元函数极限的题类
【例1】求
lim
x0
xy x2 y2
y0
【解】
xy
lim
x 0
x2

【例8】设x2z2y(fz)其 , f中可微z， . 求
y
y
【解Ⅰ】公式法
抽象函数隐函数求导
令F(x,y,z)x2z2y(fz), y
则
Fz
2zf(z), y
Fyf(zy)zyf(zy),
z y
Fy Fz

yf( z) zf ( z)
y
y
2yz yf(z)
.
y
【例8】设x2z2y(fz)其 , f中可微z， . 求
y
y
抽象函数隐函数求导
【解Ⅱ】（求导直接法） z是x,y的函数
zyz 两边同时对y求导 2zyzf(zy)yf(zy)yy2 ,
yf(z) zf (z)
解得

第十六章多元函数极限与连续

第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出他们的聚点与界点。

(1)[,)[,);a b c d ´ (2){(,)0};x y xy ¹(3){(,)|0};x y xy = (4)2{(,)|}x y y x > (5){(,)|2,2,2}x y x y x y <<+> (6)22{(,)|10,01}x y x y y x +==＃或； (7)22{(,)|10,12};x y x y yx +?＃或(8){}N +Î（x,y）|x,y ; (9)1{(,)|sin };x y y x=解：（1）有界集、区域，其聚点为{(,)|,}.E x y a x b c y d =＃＃(2)开集，聚点为2,E R =界点为{(,)|0};x y xy = (3)闭集，{(,)|0},E x y xy ==界点为{(,)|0}.EE x y xy ?==（4）区域，开集，其聚点为2{(,)|},E x y x y = 界点为2{(,)|}.x y y x = （5）有界集，区域，开集，其聚点为{(,)|2,2,2},E x y x yxy =＃?界点为{(,)2,02{(,)|2,02}{(,)|2,02}x y x yx y y xx y x y x=＃=＃+=＃（6）有界集，闭集，其聚点为22{(,)10,01},E x y x y y x =+==＃或界点为EE ?。

（7）有界集、闭集，其聚点为22{(,)|10,12};E x y x y yx =+?＃或界点为22{(,)|10,12}.Ex y x y y x ?+==＃或（8）闭集，其聚点是空集，界点为{(,)|,}.x y x y z Î （9）闭集1{(,)|sin ,0}{(0,)1}E x y y x y y x==> ，界点为.EE ?2.试问集合{(,)|0,0}x y x a y b d d <-<<-<与集合{(,)|,},(,)(,)x y x a y b x y a b d d -<-< 是否相同？解：不相同，第一个点集为第二个点集的子集。

多元函数的极限与连续习题课

第十六章多元函数的极限与连续习题课一概念叙述题1.叙述0lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ．lim ()0,0,P P f P A εδ→=⇔∀>∃>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-<（方形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<（圆形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=∞的定义．000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有0,0,0(,)G f x y Gδδ⇔∀>∃><<>当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞⇔∀>∃>-<-<≠<-当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有．3.叙述0(,)(,)lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=⇔∀>∃>∃>>-<-<当时，有4.叙述0(,)(,)lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞⇔∀>∃>∃>-<<->当时，有5. 叙述(,)(,)lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义．(,)(,)lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞⇔∀>∃><-><-当时，有．注：类似写出(,)(,)lim(,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，∆取0,,,x ∞+∞-∞，W 取0,,,y ∞+∞-∞．6.叙述f 在点0P 连续的定义．f 在点0P 连续⇔ε∀， 0δ∃>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-<⇔ε∀， 0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<⇔ε∀，0δ∃>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．7.叙述f 在D 上一致连续的定义．f 在D 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<8.叙述f 在D 上不一致连续的定义．f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥二疑难问题与注意事项1. 00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<表示空心邻域吗？答：不是．0000{(,)|,,(,)(,)}x y x x y y x y x y δδ-<-<≠只是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉一点00(,)x y ，而00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉了两条线段，000{(,)|,}x y x x y y y δδ=-<<+，000{(,)|,}x y y y x x x δδ=-<<+．2. E 的界点是E 的聚点吗？答：不一定，E 的界点还可能是E 的孤立点．3. E 的聚点一定属于E 吗？答：不一定，例如，22{(,)|14}D x y x y =≤+<，满足224x y +=的一切点也是D 的聚点，但它们都不属于D ．注 E 的内点，孤立点一定属于E ，E 的聚点，界点可能属于E ，也可能不属于E ，E 的外点一定不属于E ．4.区域上每一点都是聚点吗？答区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每一点的邻域有无穷多个点．5. 12x x -1212x x y y -+-之间有什么关系？答：()12121212x x y y x x y y --≤≤-+-或．6.用方形邻域证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=的思路是什么？答：证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=怎么证呢？------关键也是找δ.（用方形邻域的思路0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.）当00(,)(,)x y x y →，有00(,)(,)x y x y ≠，把(,)f x y A -化简为下述形式:()()00(,),,f x y A x y x x x y y y ϕψ-=-+-（注意一定要出现0x x -，0y y -）.然后将()(),,,x y x y ϕψ适当放大，有时先要限定01x x δ-<，01y y δ-<,估算得()(),,,x y M x y N ϕψ≤≤,则（最综化简到00(,)f x y A M x x N y y -≤-+-这个形式）；0>∀ε，要使(,)f x y A -<ε，只要()00M x x N y y M N -+-<+δ<ε，即要M N εδ<+，取1min(,)M Nεδ=δ+，于是0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.7. 证明判断二元函数(),f x y 在(,)(0,0)x y →时二重极限不存在？答：1）当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0)lim (,)x y y mxf x y →=值与m有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．2）令cos x r θ=，sin y r θ=，0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．注意若0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ无关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在．3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同． 4）证明两个累次极限存在但不相等．8. 当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0) lim (,)x y y mxf x y →=值与m 无关，能说明二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在吗？答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指(,)x y 以任何方式趋于(0,0)时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数，动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)这只是一种方式，还有其它方式．9.计算二元函数极限有哪些方法？1) 利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；例求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y x y→++．解因为(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，而221sin1x y≤+，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y→+=+． 2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例 2222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++．解利用变量替换．令22ux y =+，当(,)(0,0)x y →时，有0u →，因此2222(,)(0,0)0sin()sin lim lim 1x y u x y ux y u→→+==+． 3）利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，如果(cos ,sin )f r r θθ沿径向路径关于[]0,2θπ∈一致成立，则(,)(0,0)lim (,)lim (cos ,sin )x y r f x y f r r θθ→→=；例求222(,)(0,0)lim x y x yx y →+．解利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，当(,)(0,0)x y →时，有0r →，因此2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0x y r r x y r r x y rθθθθ→→→===+． 4）利用不等式，使用夹逼准则．例 2244(,)(,)limx y x y x y →+∞+∞++ 解因为2222442222110222x y x y x y x y y x ++≤≤≤++，而22(,)(,)11lim 022x y yx →+∞+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因此2244(,)(,)lim 0x y x y x y →+∞+∞+=+．5）初等变形求极限，如1∞极限，凑()1e +→WW 1，0→W．例2(,)(,0)1lim1x x yx y x +→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 2(,)(,0)lim(,)(,0)(,)(,0)11lim 1lim 1x y x x xxx yx yx yx y x y ee x x →+∞+++→+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=+==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭．10．重极限与累次极限有什么关系？答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等；（3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在．（4）两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．11.二元函数(),f x y 在()00,x y 连续，与一元函数()0,f x y 在0x 连续，一元函数()0,f x y 在0y 连续有什么关系？答反例二元函数1, 0,(,)0, 0xy f x y xy ≠⎧=⎨=⎩在原点处显然不连续．但由(0,)(,0)0,f y f x ==因此在原点处f 对x 和对y 分别都连续．三典型例题1．求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合．（1）()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+<⎨⎬⎩⎭；（2）()[]{},,0,1E x y x y =都是中的有理数；（3）(){},,E x y x y =都是整数；（4）()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭．解：（1）E 的内点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=<+<⎨⎬⎩⎭，边界点集合是()2222,1444y y E x y x x ⎧⎫=+=+=⎨⎬⎩⎭或，聚点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭．没有孤立点．（2）E 没有内点，（因为E 中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）；边界点集合是[][]0,10,1⨯．聚点集合是[][]0,10,1⨯，没有孤立点．（3）E 没有内点，（因为E 中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点）边界点集合是E ，没有聚点，孤立点集合是E ．（4）E 没有内点，聚点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤，没有孤立点，界点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤．2．证明0000(,)(,)(),()n n n n x y x y n x x y y n →→∞⇔→→→∞．证：（⇒）由于00(,)(,)()n n x y x y n →→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时ε<，因此有0||n x x ε-<，0||n y y ε-<，即00,()n n x x y y n →→→∞．（⇐）由于00,()n n x x y y n →→→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时有0||2n x x ε-<，0||2n y y ε-<，从而有00n n x x y y ε≤-+-<，即 00(,)(,)()n n x y x y n →→∞．3．（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子．（2）举出两个累次极限存在，且相等的例子．（3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子．（4）举出两个累次极限都不存在的例子．解：（1）例如(,)x yf x y x y-=+在(0,0)点的两个累次极限存在，但不相等． 000lim limlim11x y x x y x y →→→-==+，()000lim lim lim 11y x y x yx y →→→-=-=-+．（2）例如22(,)xyf x y x y =+在(0,0)点的两个累次极限存在，且相等．22000limlimlim00x y x xy x y →→→==+，2200lim lim 0y x xyx y→→=+．（3）例如1(,)sinf x y x y=在(0,0)点只有一个累次极限存在． 001limlim sin x y x y →→⎛⎫ ⎪⎝⎭不存在，001limlim sin 0y x x y →→⎛⎫= ⎪⎝⎭．（4）例如11(,)sinsin f x y x y y x=+在(0,0)点两个累次极限都不存在．注两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．4．试作函数(),f x y ，使当0x →，0y →时(1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．解（1）22(,)xyf x y x y=+，两个累次极限存在（见上题），但()()2222222,0,00 lim lim 1x y x y kxxy kx kx y x k x k →→===+++，因为与k 有关系，因此重极限不存在．（2）11(,)sinsin f x y x y y x=+，在(0,0)点两个累次极限都不存在，但重极限存在 ()(),0,011lim sin sin =0x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（3）2211(,)f x y x y =+，在(0,0)点的两个累次极限，重极限都不存在．（4）1(,)sinf x y x y =或1(,)sin f x y y x=．变形：当x →∞，y →∞时，有10x→，10y →，（1）222211(,)11xyx y f x y x yx y ==++；（2）11(,)sin sin f x y y x x y=+；（3）22(,)f x y x y =+；（4）1(,)sin f x y y x=． 5. 讨论二元函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0),x x y f x y x y x y α⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在(0,0)点的连续性．解令cos x r θ=，sin y r θ=，222(,)(0,0)0cos lim lim x y r x r x y rαααθ→→=+ 当2α>，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知()22(,)(0,0)lim00,0x y x f x y α→==+，因此(,)f x y 在(0,0)点连续；当2α=，由极限值与θ有关，二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续；当2α<，由20cos lim r r r ααθ→不存在，则二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续．6．设(,)f x y 定义在闭矩形域[,][,].S a b c d =⨯若f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续.证明f 在S 上处处连续.分析：要证f 在S 上处处连续，只要证()00,x y S ∀∈，f 在()00,x y 连续，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<，因为条件中有一元函数连续，因此要出现偏增量，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε-+-<（因为条件是f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，因此插入0(,)f x y .证明：因为f 对y 在[,]c d 上处处连续，则()0,f x y 在0y 连续，于是ε∀，0δ∃>，当0y y δ-<，就有000(,)(,)2f x y f x y ε-<.因为对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，则有ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<（对任意y 就有0(,)(,)2f x y f x y ε-<.因此ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ε-+-<-+-<.7. 设00lim ()()y y y y A ϕϕ→==，00lim ()()0x x x x ψψ→==，且在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，证明()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.分析：要证()()00,,lim(,)x y x y f x y A →=，只要证0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.而(),f x y 与()y ϕ有关系，因此就要插入()y ϕ，即证(,)()()f x y y y A ϕϕε-+-<.证由00lim ()()y y y y A ϕϕ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0y y δ-<，有()2y A εϕ-<.由00lim ()()0x x x x ψψ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，有()2x εψ<.因为在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，于是当0x x δ-<，0y y δ-<有(),()2f x y y εϕ-<.因此0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<有(,)()()(,)()()f x y y y A f x y y y A ϕϕϕϕε-+-≤-+-<，因此()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.8. f 在E 上一致连续的充要条件是：对E 中的每一对点列{}{},k k P Q 如果()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，便有()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 证必要性 f 在E 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<()lim ,0k k k P Q ρ→∞=⇒对上述δ，(),,,k k N k N P Q ρδ∃∀><有，因此()().k k f P f Q ε-< 即()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 充分性反证法，设f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥则取1,1,2,,k k δ==L 总有相应的k k P Q D ∈、，虽然1(,)k k P Q kρ<，但是 0()().k k f P f Q ε-≥即()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，()()lim 0k k k f P f Q →∞-≠⎡⎤⎣⎦，矛盾.因此f 在E 上一致连续.。

第二讲多元函数

第二章多元函数微分学
第一节多元函数
一. 多元函数二. 元函数的极限与连续
引例：一个小乡村里的惟一商店有两种牌子的果汁，当地牌子的进价每瓶3元，外地牌子的进价每瓶4元. 店主估计，若当地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出当地牌子的果汁
7 5x 4 y 瓶，外地牌子的果汁 8 6 x 7 y 瓶. 问：店
2
旋转抛物面
z a x y
2 2
2
z x y
2
2
上半球面
正圆锥面
复杂的二元函数的例子
z sin x sin y
z sin x 2 y 2
z xye
x2 y2
并非每一个曲面都表示一个二元函数
x2 y 2 z 2
z x2 y2
2 2
z x y
值之间的任何值至少一次.
D上连续, 且性质３（零点定理）若函数f ( x, y)在有界闭区域
它取得一个大于零的函数值和一个小于零的函数值, 则至少有一点( , ) D, 使得f ( , ) 0.
性质４（有界性定理）
它必在D上有界.
若函数f ( x, y)在有界闭区域 D上连续, 则
小结：
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域．由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 p0处的极限, 而
该点又在此函数的定义区域内 , 则极限值就是函数在该点的
函数值,即
p p0
lim f ( P) f ( p0 )
思考题: 一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。
例如, 二元函数
z 1 x y

多元函数极限与连续性例题和知识点总结

多元函数极限与连续性例题和知识点总结在高等数学的学习中，多元函数的极限与连续性是一个重要的知识点。

理解和掌握这部分内容对于进一步学习多元函数的微分、积分等概念具有基础性的作用。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨多元函数极限与连续性的相关知识。

一、多元函数极限的定义设函数＄z ＝ f(x, y)＄的定义域为＄D$，＄P_0(x_0, y_0)＄是＄D$ 的聚点。

如果对于任意给定的正数＄＼varepsilon$，总存在正数＄＼delta$，使得当点＄P(x, y) ＼in D ＼cap ＼left\｛（x, y) ｜＼sqrt{（x x_0)＾2 ＋（y y_0)＾2} ＜＼delta ＼right\｝＄时，都有＄｜f(x, y) A| ＜＼varepsilon$ 成立，那么就称常数＄A$ 为函数＄f(x, y)＄当＄（x, y) ＼to （x_0, y_0)＄时的极限，记作＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x, y) ＝ A$二、多元函数连续性的定义如果函数＄z ＝ f(x, y)＄在点＄（x_0, y_0)＄的某邻域内有定义，且＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x, y) ＝ f(x_0, y_0)＄则称函数＄f(x, y)＄在点＄（x_0, y_0)＄处连续。

三、例题解析例 1：求＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2}＄解：当＄（x, y)＄沿着直线＄y ＝ kx$ 趋近于＄（0, 0)＄时，＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{kx^2}｛x^2 ＋ k^2x^2} ＝＼frac{k}｛1 ＋ k^2}＄由于＄k$ 的取值不同，极限值不同，所以该极限不存在。

例 2：讨论函数＄f(x, y) ＝＼begin{cases} ＼frac{x^2y}｛x^4 ＋y^2}，＆（x, y) ＼neq （0, 0) ＼＼ 0, ＆（x, y) ＝（0, 0) ＼end{cases}＄在点＄（0, 0)＄处的连续性。

多元函数的极限与连续

由于向量不能比较大小，也不能相除，所以数列极限中的单调性，保序性，确界，商不能推广。但闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass定理， Cauchy收敛原理在Rn中仍然成立。
3. Rn中的开集与闭集
定义1.2 设A是Rn中的一个点集，a Rn .若存在 A中的点列{xk} ， xk a(k=1,2,…),使得 xk a(k),则称a为A 的一个聚点。 A 的所有的聚点构成的集合称为A的导集，
3. 多元连续函数的性质
(1)有界性: 若函数f在紧集A上连续,则f在A上有界，即存在M >0, 使得x A, 有| f(x)| M.
(2) 最值: 若函数f在紧集A上连续,则f 在A上必能取到最大值M与最小值m。
( x, y )( x0 , y0 )
或
lim f ( x, y) a.
x x0
y y0
这个极限常称为二重极限.
否则，称(x,y) (x0,y0)时，f (x,y)没有极限。
二重极限的定义与一元函数极限的定义无多大差别，因此一元函数极限的许多性质（如：唯一性，局部有界性，局部保号性，夹逼准则，heine定理，有理运算法则等）可推广到二重极限上来。
( x, y) || x y ||
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
2. Rn中点列的极限。
定义1.1 (点列的极限）设{xk}是Rn中的一个点列， a是Rn中的一点，若当k时，(xk,a) 0,即：
0,N N，使得k N,恒有 xk a ,
时, 恒有| f(x, y)0|<.
故
lim
x0
xysinx x2 y2

第16章多元函数的极限与连续试题

第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数一、判断题1．闭域必为闭集（）2．闭集必为闭域（）3．连通的开集是开域（）4．连通的闭集是闭域（）5．孤立点是界点（）6．中的无限点集必有聚点（）7．设，则为的聚点。

（）8．是闭集。

（）9．若为闭集，为开集，则为闭集。

（）10． P（a，b）的δ空心邻域为点集：{（x，y）∣0<|x - a|<δ ，0<|y - b|<δ} 。

（）11．边界点一定是聚点。

（）12．若为点集的聚点的任意邻域内均含有中异于的点。

（）13．设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点。

（）14．设是数集E的聚点 . 则存在,使在外仅有数集E的有限个点.（）二、填空题1．设，则= ，= 。

2．内点是指。

3．外点是指。

4．界点是指。

5．开集是指。

6．闭集是指。

7．聚点是指。

8．孤立点是指。

9．开域是指。

10．闭域是指。

11．设平面点集，点，“为的聚点”的定义是：12．设，则的全体界点是：13．设，则；；的聚点是 .14．设，则的聚点是 ,；.15．设，则；；的聚点是 .16．中___________无限点集至少有一个聚点。

17．设，则18．已知，则19．叙述区间套定理________________________________________ 20．若为开集，则为21．设f（x，y）=，f（1，）=22． f（x，y）=的定义域是23．数集的两个聚点是_______________.24．点集S=的聚点集合为。

25．函数的定义域是；它是区域。

26．已知数列，则其聚点为27．设，则的聚点集合为28．=29．设，则的定义域为30．下列平面点集中是开集的有_______.是闭集的有______.是有界集有_____.是区域的有_____(1)(2)(3)(4)三、选择题1．如果数列发散但有界，则 ( )A.的每个子列都发散; B. 子列和中至少有一个发散;C. 数列必不单调; D.有且仅有一个聚点 .2．下列说法错误的是A.设为任一有界无穷点集，则在中至少有一个聚点.B.设为一个有界点列，则它必存在收敛子列.C.为有界闭集,则的任一无穷子集必有聚点.D.为有界闭集，则不一定为一列紧集.3．设，，则；A、B、C、D、四、解答题1．画出常见二次曲面的图形。

第8章多元函数微分法及其应用习题 8- (1)

(1)
f ( x, y , z ) =
(2)
解
f ( x, y, z ) = x3 + y 3 + z 3 + xyz .
(1)
f (tx, ty, tz ) =
(tx)3 + (ty )3 + (tz )3 t 3 ( x3 + y 3 + z 3 ) = (tx)(ty )(tz ) t 3 ( xyz )
(3) (4)
解
{( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 < 5} ; {( x, y ) ( x − 1)2 + y 2 ≥ 1} ∩ {( x, y ) ( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4} . (1) 集合是开集, 无界集; 导集为 R 2 , 边界为 {( x, y ) x = 0 或 y = 0} .
V=
(2)
由题意,
π 2 h(l − h 2 ). 3
1 1 1 ( x) 2 + ( y ) 2 + ( z ) 2 = 1 , 2 2 2
z 2 = 4 − x2 − y 2 , 即 z = 4 − x2 − y 2 ,
故
V = xyz = xy 4 − x 2 − y 2 .
(3)
所以因为
x2 y 2 z 2 + + = 1, a 2 b2 c2
x2 y 2 x4 = lim =1, 2 2 2 x →0 x →0 x 4 x y x y + ( − ) y = x →0 lim lim x2 y2 x4 x2 = lim = lim =0, x 2 y 2 + ( x − y ) 2 x →0 x 4 + 4 x 2 x →0 x 2 + 4

高等数学课后习题答案--第七章

135
11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
x ⎧ ⎪u = e cos y, （1） ⎨ x ⎪ ⎩v = e sin y;
⎛ e x cos y − e x sin y ⎞ ⎟ 【答案】 (1) J = ⎜ ⎜ e x sin y e x cos y ⎟ ; ⎝ ⎠
⎧u = ln x 2 + y 2 , ⎪ （2） ⎨ y ⎪v = arctan . x ⎩ x y ⎞ ⎛ ⎜ 2 ⎟ 2 2 x +y x + y2 ⎟ ⎜ . (2) J = y x ⎟ ⎜ − ⎜ x2 + y2 x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;