第54届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三

第二天 2013 年 3 月 25 日上午 8:00-12:30 4、设 p 是一个素数， a ， k 是正整数，满足 p a < k < 2 p a .证明：存在正整数 n ，
k 使得 n < p 2 a ，且 Cn ≡ n ≡ k (mod p a )
5、设整数 n ≥ 2 ， a1 , a2 , , an ， b1 , b2 , , bn 是非负实数.证明：
∏
i =1
n
A − ai 的最小值. di Di
的中点， Q 为 P 的对径点， I 为 ∆ABC 2、如图， ∆ABC 内接于圆 O ， P 为 BAC
的内心，PI 交边 BC 于点 D ，DAID 的外接圆交 PA 的延长线于点 F ， 点 E 在线段 PD 上， 满足 DE = DQ .记 ∆ABC 的外接圆、内切圆的半径分别为 R 、 r . . 证明：若 ∠AEF = ∠APE ，则 sin 2 ∠BAC =
P
2r R
A
O E
I
F
B Q
D
C
3、有 101个人，分别持有1, 2, ,101 张卡片，按任意顺序围坐在圆桌旁，一次传递 是指某人将自己手中的一张卡片传给与其相邻的两个人之一.求最小的正整数 k ，使得不论 作词如何，总能通过不超过 k 次传递，使得每个人持有的卡片数相同.
第 54 届国际数学奥林匹克中国国家队选Fra Baidu bibliotek考试三
1 n n 1 n 2 1 n 2 2 n a b a b + ≥ + ( ) i ∑ i ∑ i ∏ i n i 1= 1 n− = n i 1 i =1 n −1 2
6、在直角坐标平面上，设点集 P ， Q 是顶点均为整点的凸多边形区域（包括内部 和边界） ， T = P Q .证明：若 T 非空且不含整点，则点集 T 是非退化的凸四边形区域.
第 54 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三
第一天 2013 年 3 月 24 日上午 8:00-12:30 1 、给定整数 n ≥ 2 ，对任意互素的正整数 a1 , a2 , , an ，记 A = a1 + a2 + + an . 对 l = 1, 2, , n ，设 A 与 ai 的最大公约数为 di ； a1 , a2 , , an 中删去 ai 后余下的 n − 1 个数 的最大公约数为 Di ，求