高中物理圆周运动中的临界问题分析教案教学设计

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高中物理教案-分析圆周运动的临界问题-市赛

最低点：最高点：思考：小球过最高点的最小速度是多少gL v T ==22,0当v=v0，小球刚好能够通过最高点；当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；当v>v0，小球能够通过最高点。

实例一：水流星在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么对杯中水：rmv F mg N 2=+oAvB vv 1Lo Lv mmg T 211=-Lv mmg T 222=+当gr v =时，0=N F 水恰好不流出表演“水流星”，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得小于gr v = 即：gr v ≥ 实例二：飞车走壁摩托车飞车走壁时的受力情况。

受到一个指向中心的力所以摩托车不会掉下来拓展：物体沿竖直内轨运动有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r ，质量为m 的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A 的速度应满足什么条件rmv F mg N 2=+思考：小球过最高点的最小速度是多少gr v F N ==0,0当v=v0，小球刚好能够通过最高点；当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点；【例1】一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝ kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s2) (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小．【思路点拨】：在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与水桶间无弹力的作用．【解析】(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有：mg ＝m v 20l ，则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈ m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m v 2l ，临界问题：物体在竖直平面内做圆周运动的依托物可以是绳或单轨道，物体恰好能通过最高点的临界条件是一样的。

高中物理教案-分析圆周运动的临界问题-“江南联赛”一等奖

《圆周运动的临界问题教学设计》陆川县实验中学李群雄一、教学内容：分析圆周运动的临界问题二、教材分析：理清竖直圆周运动最高点向心力的提供可能与速度大小的关系，解决向心力的提供及需要之间的临界值三、学情分析：强调基础知识和基本思路的确立，加强独立分析问题的能力，理清相关问题思路并加强认知四、设计理念：结合学生的实际，把学生放在学习的主体位置，使学生建立圆周运动的临界体模型，掌握相应的规律。

五、教学目标：用比较法分析圆周运动的临界值出现特征，进行分析，解决问题，进一步理解。

六、教学方法：讲授法、比较分析法、建模法七、教学过程：（1）导入新课：直接导入竖直圆周运动的最高点的速度要求（2）讲授新课：圆周运动的临界问题，主要涉及的是临界力与临界速度的问题，需要正确受力分析，确定所提供的向心力或由运动分析确定所需要的向心力由力的变化与速度的变化的对应关系分析，找出临界值。

竖直平面的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下咋讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题通过分析竖直圆周运动到最高点的受力分析和最高点的速度分析的可能情况，总结得出相关的规律分析轻绳模型和轻杆模型并比较两个模型之间的共同点与区别点轻绳模型小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力，所得出的速度就是临界速度；小球能过最高点的条件：小球的速度大于或等于临界速度，当小球的速度大于临界速度时，绳对小球产生拉力，轨道对球产生压力；小球不能过最高点的条件，小球的速度在最高处的速度小于临界速度，实际上球还没有到最高点时就脱离了轨道。

轻杆模型，杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点，临界速度等于零，此时支持力等于重力0＜V＜√gr，轻杆对球的作用为支持力，有0＜支持力＜重力，且支持力随速度的增大而减小，当速度等于√gr时，作用力等于零，当V＞√gr时，作用力为拉力，作用泪随速度的增大而增大。

物体在没有支撑物时，在竖直平面内做，圆周运动过最高点的临界条件是物体的重力提供向心力，临界速度v=√gr，在其他位置要能做圆周运动，也必须满足，提供的向心力=需要的向心力，物体在有支撑物时，恰能达到最高点的临界速度为零（3）巩固练习（4）小结：教材更加贴近实际，任务里走出课堂，对学生的实际应用有了更高的要求，内容上加入极限思想，对老师要求有扎实的基础知识，课堂组织能力让学生在一个轻松愉快的环境中去获取知识，鼓励学生大胆，对常见现象及熟知事物提出个人意见，通过小结给出必须记忆的核心知识，并加以巩固，为以后竖直圆周运动能量的变化与守恒学习打下扎实的基础。

圆周运动中的临界问题

课前验收：
如图4所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，有一长l＝0.4m 的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量为m＝0.2 kg的小球，使之在斜面上作圆周运动，求：(1)小球通过最高点A 时最小速度.
教学目标： • 会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题。 • 掌握解决圆周运动的几种典型的临界问题。 • 会分析判断临界时的速度或受力情况。
1、如下图所示，把一个质量m＝1 kg的小球通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B两个固定点相连接，绳a、b长都是1 m，AB长度是1.6 m，竖直杆和小球旋转的角速度为多少时，b绳上才有张力？(g＝10 m/s2)
2. 脱离与否的临界问题：如图所示，在光滑的水平桌面上有一个光滑小孔O，一跟轻绳穿过小孔，一端连着质量为m＝1kg的小球A，另一端连着质量为m＝4kg的重物B，求：(1) 当A求沿半径为 R＝0.1m的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10 rad/s 时，B对地面的压力是多少？(2) 要使B物体对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？（g取10m/s2）
一、在竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
v R 绳 O v0 v R
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作 v 用：mg=m R 临界v= Rg ； ②能过最高点的条件：v≥ Rg ，当v＞ Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力； ③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）.
2
（2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v=0时，FN=mg（FN为支持力）； ②当0＜v＜ Rg 时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力； ③当v= 时，FN=0； ④当v＞时，FN为拉力，FN随v的增大而 Rg Rg 增大.

【原创】平抛运动、匀速圆周运动临界问题教案

教师:学生:日期: 年月日星期:时段:课题平抛运动、匀速圆周运动的临界问题学情分析学生已经学习平抛运动及匀速圆周运动的规律，在这个基础上学习临界问题，要求学生能把握画出临界条件运动轨迹，并从中分析几何关系，从而解决问题。

学习目标与考点分析1.熟练处理水平面内的临界问题2.掌握竖直面内的临界问题学习重点难点1.平抛运动的临界问题2.匀速圆周运动的临界问题学习方法讲练结合教学过程一、平抛运动的临界问题平抛运动的临界问题，解决这类问题有三点：1．明确平抛运动的基本性质公式2．确定临界状态3．确定临界轨迹，在轨迹示意图上寻找出几何关系〖例1〗已知排球场内网高，半场长，扣球点高，扣球点离网的水平距离为，求：水平扣球速度的取值范围。

变式标准排球场总长度18 m，女排比赛网高2.24 m，在一场校际比赛中，女排队员李芳在后排起跳强攻的位置刚好在距网3m的正上方，然而她击球速度(水平方向)无论多大，不是下网就是出界，试求击球高度应满足的条件(设球被击出后做平抛运动)．〖例2〗如图所示，一个小球从楼梯顶部以的水平速度抛出，所有的台阶都是高，宽，问小球从楼梯顶部抛出后首先撞到哪一级台阶上？龙文教育学科导学案变式如图5-10所示在倾角为θ的斜面上以速度v 0水平抛出一小球，设斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？二、圆周运动中的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。

下面对临界问题简要分析如下： 1．临界速度问题在变速圆周运动中的某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度，小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续作圆周运动了，此速度即为临界速度．在这个位置，物体的受力必满足特定的条件，这就是临界条件．当物体的受力发生变化时，其运动状态随之变化．当某力突然变为零时，对应物体出现相应的临界状态．常见的如绳子突然断裂、支持物的作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达最大值等．通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法．（1）受力至少应是重力mg ，此即为向心力的最小值．由Rv m mg 2=，得临界速度Rg v =，此速度是质点恰好能通过最高点的条件．（2）当Rg v ≥时，质点可通过最高点；当Rg v <时，质点不能运动到最高点，在达到最高点之前就已经脱离了圆轨道．（3）在水平转台上作圆周运动的物体，静摩擦力f 提供向心力．当转台的转速逐渐增大时，静摩擦力随之增大，f 达到最大值max f 时，对应有临界角速度和临界速度．〖例3〗 LMPQ 是光滑轨道，LM 水平，长为5.0m ，MPQ 是一半径为R=1.6m 的半圆，QOM 在同一竖直线上，在恒力F 作用下质量m=1kg 的物体A 由静止开始运动，当达到M 时立即停止用力，欲使A 刚能通过Q 点，则力F 大小是多大？ 2．双向约束问题物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在压力为零时即出现临界状态．（1）轻杆模型如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动．①能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =． ②当0v Rg <<时，mg N <<0，N 仍为支持力，且N 随v 的增大而减小，③当v Rg =时，N ＝0，此为轻杆不受弹力的临界条件． ④当v Rg >时，N 随v 的增大而增大，且N 为拉力指向圆心，①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度，轻杆或轨道对小球的支持力： ②当时，杆对小球施加的是支持力：，支持力F N 随v 的增大而减少，其取值范围是。

高考二轮复习《匀速圆周运动中的临界问题》教学设计

课程基本信息学科物理年级高三年级学期春季课题匀速圆周运动中的临界问题教科书书名：人教版物理教材出版社：人民教育出版社出版日期：2019年教学目标1、知道物体做圆周运动的求解方法与求解思路。

2、能够准确分析并求解与摩擦力有关的临界极值问题。

3、能够准确分析并求解与弹力有关的临界极值问题。

教学内容教学重点：弹力相关和摩擦力相关的临界问题分析教学难点：分析摩檫力与弹力的变化。

教学过程知识回顾1.圆周运动2.与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的条件是“物体间恰好达到最大静摩擦力”。

（1）如果仅是静摩擦力提供向心力，临界情况为最大静摩擦F fm=m v2r，方向沿半径指向圆心。

（2）如果是静摩擦力与其他力的在半径方向的合力提供向心力，则临界时，最大静摩擦力的方向可沿半径指向圆心，或沿半径背离圆心。

教学设计3.与弹力有关的临界极值问题（1）压力和支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为0；（2）绳子拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力，或拉力恰好为最大值。

内容讲解一、例题讲解例题1：如图所示，质量都为m的A、B两物体套在粗糙的水平杆CD上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知杆CD与物块A、B间的动摩擦因数都为μ，开始时绳子恰好伸直但无弹力，A、B到轴的距离分别为2r和r，重力加速度为g。

现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐缓慢增大，从绳子处于自然长度到两物体A、B即将滑动的过程中：（1）.A、B物体谁先达到最大静摩擦力？此时的角速度ω1为多少？（2）.A、B物体所受静摩擦力如何变化？（3）.A、B物体不发生相对滑动的最大角速度ω2为多少？解析：例题2：如图所示，长为L的轻绳下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子恰好拉直时，绳子与竖直线的夹角为θ=60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上。

二、拓展延伸1.圆周运动的求解2.静摩擦力相关的临界问题，临界条件是恰好达到最大静摩擦。

圆周运动中的临界问题分析+教案+教学设计

《圆周运动中的临界问题》教学设计高一物理组龙一、教材分析圆周运动的临界问题继是人教版高中《物理》必修2第五章的内容。

在此之前，学生已经学习了直线运动的相关内容，和曲线运动的基本知识，自然界和日常生活中运动轨迹为圆周的许多事物也为学生的认知奠定了感性基础，本节课主要是帮助学生在原有的感性基础上进一步认识圆周运动，为今后学习万有引力等知识打下基础。

二、学情分析高一（14）班是二层次班级，学生基础、领会能力相对较弱。

不过学生已经学习了圆周运动、向心加速度、向心力等圆周运动的相关知识，已基本了解和掌握了圆周运动的特点和规律，对圆周运动的临界问题的学习已打下了基础。

三、学习目标1. 通过学生讨论，小组合作，老师引导，让学生进一步熟练圆周运动问题的解题步骤；2. 通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道临界状态的目标；3. 通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道圆周运动中的临界问题，并能正确解题的目标。

四、教学重难点1. 重点a圆周运动问题的解题步骤b 竖直水平圆周运动的临界状态c 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题2. 难点a竖直水平圆周运动的临界状态b 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题五、导入播放视频—电唱机做匀速圆周运动，创设情境，导入新课六、教学设计(一) 预习案1.公式默写角速度：线速度：运行周期：向心加速度：向心力：复习巩固(二)探究案1.圆周运动问题的解题步骤例、例. 如图所示，半径为R的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使A不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ D ）小组讨论，得出结果，并归纳总结出圆周运动解题步骤。

解：A物体不下落，说明静摩擦力等于重力，A随着转动过程中，支持力提供向心力即且联立解得学生讨论，小组合作，老师引导得出圆周运动解题步骤1、确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况，画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿第二定律……列方程求解2.圆周运动中的临界问题临界状态当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。

市级公开课：圆周运动中的临界问题教学设计

圆周运动中的临界问题教学设计汕头市潮阳实验学校叶建森一．教学任务分析以圆盘和滑块为载体的圆周运动问题经常作为高考座上的“座上宾”，它是考试的热点和学习的难点；而竖直面内的圆周运动是曲线运动的重要知识点，更是高考中的重点考查内容之一，高考中有关圆周运动的试题往往涉及临界或极值问题，出题的方式既可以是计算题也可以是选择题，对考生的要求较高，所以弄清不同模型的临界条件是分析解决这类问题的关键。

二．学情分析与设计思想物理学中的临界问题一直是学生难以掌握的知识难点，虽然高一到高二我们在很多方面都讲过临界问题，比如追及与相遇中有临界问题、牛顿第二定律的综合应用中有临界问题、平抛有临界问题等等。

但是学生在碰到这些临界问题时往往无从下手，因为他们对临界状态的分析能力不足，他们缺乏感性认识，所以对临界点的把握处于一个比较模糊的状态。

本节课我们想借助圆周运动中的临界问题，以基本模型为原型，进行拓展、延伸和变化，从题目中的难题进行拆解然后一步一步还原，在每一步的还原中架设一级一级的台阶，带领学生领悟圆周运动中的力的渐变过程和解题奥妙，再加上现场实验的演示，更近一步促进学生对临界问题的感悟和认识，从而帮助学生解决相应的问题。

三．教学重难点如何分析和解决圆周运动中的临界问题四．教学设计本节课在课前根据老师们以往的教学经验精心组编和筛选了三道经典例题先发给学生去完成，教师对学生可能出现的错误情况进行预估预判，可能出现的问题有哪些，然后根据可能出现的错误进行课程内容的设计，特别是给学生的第一道题，难度较大，学生的解题情况可能各式各样的都有，出现的原因是学生对圆台上连接体临界问题认识不到位，导致分析思路较为混乱，学生也很想知道这类问题的解题技巧及分析思路是什么，从而激起了学生的求知欲望，然后老师通过难题的拆解，一步一步带领学生认识达到临界状态前的一个受力的渐变过程，从而让学生掌握处理此类问题的技巧。

五．教学流程（一）课题引入展示例题，该题是昨天留给学生的作业的第一题例1：如图，质量为m的小木块A和质量为2m的小木块B(可视为质点)放在水平圆盘上，A、B与转轴O的距离分别为l和2l,A、B与转盘间的动摩擦因数为μ，A与B用一根不可伸长的细线连接(初始状态拉力为0)，现让转盘角速度从零开始缓慢增加,若要使A、B与转台保持相对静止，则角速度的最大值为多少？（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）此例题的作用是让学生根据自己以往学过的知识大胆去处理，并从中发现不足，这个例题的难度系数是比较大的，学生的解答肯定是乱七八糟的什么样的答案和结果都有。

2024届高考一轮复习物理教案(新教材鲁科版)：圆周运动的临界问题

专题强化六圆周运动的临界问题目标要求 1.掌握水平面内、竖直面内和斜面上的圆周运动的动力学问题的分析方法.2.会分析水平面内、竖直面内和斜面上圆周运动的临界问题．题型一水平面内圆周运动的临界问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态．1．常见的临界情况(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．2．分析方法分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态．确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解．例1(2018·浙江11月选考·9)如图所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是()A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 NC．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2答案 D解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽，得所需的向心力为1.0×104 N，没有超过最大静摩车转弯的速度为20 m/s时，根据F＝m v2R＝擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为a m＝fm7.0 m/s 2，D 正确．例2 (多选)如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l .木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝kg2l是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝2kg3l时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析小木块a 、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f ＝mω2R .当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a 有f a ＝mωa 2l ，当f a ＝kmg 时，kmg ＝mωa 2l ，ωa ＝kgl；对木块b 有f b ＝mωb 2·2l ，当f b ＝kmg 时，kmg ＝mωb 2·2l ，ωb ＝kg2l，则ω＝kg2l是b 开始滑动的临界角速度，所以b 先达到最大静摩擦力，即b 比a 先开始滑动，选项A 、C 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则f a ＝mω2l ，则f b ＝mω2·2l ，f a <f b ，选项B 错误；ω＝2kg3l<ωa ＝kg l ，a 没有滑动，则f a ′＝mω2l ＝23kmg ，选项D 错误．例3 细绳一端系住一个质量为m 的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h 高度处，绳长l 大于h ，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g .若要小球不离开桌面，其转速不得超过( )A.12πg l B ．2πgh C.12πh gD.12πg h答案 D解析对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg 、水平桌面支持力N 、绳子拉力F .小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R ＝h tan θ，受力分析可知F cos θ＋N ＝mg ，F sin θ＝m v 2R ＝mω2R ＝4m π2n 2R ＝4m π2n 2h tan θ；当球即将离开水平桌面时，N ＝0，转速n 有最大值，此时n m ＝12πgh，故选D. 例4 (多选)(2023·湖北省公安县等六县质检)如图所示，AB 为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m 1＝5 kg 的小球(可视为质点)，另一端和细绳BC (悬点为B )在结点C 处共同连着一质量为m 2的小球(可视为质点)，长细绳能承受的最大拉力为60 N ，细绳BC 能承受的最大拉力为27.6 N ．圆筒顶端A 到C 点的距离l 1＝1.5 m ，细绳BC 刚好被水平拉直时长l 2＝0.9 m ，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC 绳被拉直之前，用手拿着m 1，保证其位置不变，在BC 绳被拉直之后，放开m 1，重力加速度g 取10 m/s 2，下列说法正确的是( )A ．在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大B ．当角速度ω＝53 3 rad/s 时，BC 绳刚好被拉直C ．当角速度ω＝3 rad/s 时，AC 绳刚好被拉断D ．当角速度ω＝4 rad/s 时，BC 绳刚好被拉断答案 ABD解析转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC 绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大，m 2竖直方向处于平衡，由T A cos θ＝m 2g ，可知在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大，A 正确；BC 绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC 绳与竖直方向的夹角的正弦值sin θ＝35，对小球m 2受力分析，由牛顿第二定律可知m 2g tan θ＝m 2ω12l 2，解得ω1＝53 3 rad/s ，B 正确；当ω＝3 rad/s>533 rad/s ，BC 绳被拉直且放开了m 1，m 1就一直处于平衡状态，AC 绳中拉力不变且为50 N ，小于AC 绳承受的最大拉力，AC 未被拉断，C 错误；对小球m 2，竖直方向有m1g cos θ＝m2g，可得m2＝4 kg，当BC被拉断时有m1g sin θ＋T BC＝m2ω22l2，解得ω2＝4 rad/s，D正确．题型二竖直面内圆周运动的临界问题1．两类模型对比轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)实例球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示受力示意图F弹向下或等于零F弹向下、等于零或向上力学方程mg＋F弹＝mv2R mg±F弹＝mv2R临界特征F弹＝0mg＝mv min2R即v min＝gRv＝0即F向＝0F弹＝mg讨论分析(1)最高点，若v≥gR，F弹＋mg＝mv2R，绳或轨道对球产生弹力F弹(2)若v<gR，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心(2)当0<v<gR时，mg－F弹＝mv2R，F弹背离圆心并随v的增大而减小(3)当v＝gR时，F弹＝0(4)当v>gR时，mg＋F弹＝mv2R，F弹指向圆心并随v的增大而增大2.解题技巧(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．例5 (2023·陕西延安市黄陵中学)如图所示，一质量为m ＝0.5 kg 的小球(可视为质点)，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g ＝10 m/s 2，下列说法不正确的是( )A ．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/sB ．当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力为15 NC ．若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的最大速度不能超过4 2 m/sD ．若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的最大速度不能超过4 m/s 答案 D解析设小球通过最高点时的最小速度为v 0，则根据牛顿第二定律有mg ＝m v 02R ，解得v 0＝2m/s ，故A 正确；当小球在最高点的速度为v 1＝4 m/s 时，设轻绳拉力大小为T ，根据牛顿第二定律有T ＋mg ＝m v 12R ，解得T ＝15 N ，故B 正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有T m －mg ＝m v m 2R ，解得v m ＝4 2 m/s ，故C 正确，D 错误．例6 (多选)(2023·福建泉州市质检)如图甲所示，质量为m 的小球与轻杆一端相连，绕杆的另一端点O 在竖直平面内做圆周运动，从小球经过最高点开始计时，杆对小球的作用力大小F 随杆转过角度θ的变化关系如图乙所示，忽略摩擦阻力，重力加速度大小为g ，则( )A ．当θ＝0时，小球的速度为0B ．当θ＝π时，力F 的大小为6mgC ．当θ＝π2时，小球受到的合力大于3mgD ．当θ＝π时，小球的加速度大小为6g 答案 BC解析当θ＝0时，刚好由重力提供向心力，则mg ＝m v 2l ，解得v ＝gl ，A 错误；当θ＝π时，由合力提供向心力得F －mg ＝ma ＝m v ′2l ，最高点到最低点，由动能定理得mg ·2l ＝12m v ′2－12m v 2，联立解得F ＝6mg ，a ＝5g ，B 正确，D 错误；当θ＝π2时，由水平方向上的合力提供向心力得F 合x ＝m v ′′2l ，角度由θ＝0变为θ＝π2过程中，由动能定理得mgl ＝12m v ′′2－12m v 2，解得F 合x ＝3mg .当θ＝π2时，小球受到的合力大小为F 合＝F 合x 2＋(mg )2＝10mg >3mg ，C 正确．题型三斜面上圆周运动的临界问题物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmg cos θ－mg sin θ＝mω2R .例7 (多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m 处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2，则以下说法中正确的是( )A ．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大B ．小物体受到的摩擦力可能背离圆心C ．若小物体与盘面间的动摩擦因数为32，则ω的最大值是1.0 rad/sD ．若小物体与盘面间的动摩擦因数为32，则ω的最大值是 3 rad/s 答案 BC解析当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上(即背离圆心)，也可能沿斜面向下(即指向圆心)，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故A 错误，B 正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力 N ＝mg cos 30°，摩擦力f ＝μN ＝μmg cos 30°，又μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2R ，解得ω＝1.0 rad/s ，故C 正确，D 错误．课时精练1．一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s ，车对桥顶的压力为车重的34，如果要使汽车在该桥顶对桥面恰好没有压力，车速为( ) A ．15 m/s B ．20 m/s C ．25 m/s D ．30 m/s答案 B解析当N ′＝N ＝34G 时，有G －N ′＝m v 2r ，所以14G ＝m v 2r ；当N ＝0时，G ＝m v ′2r ，所以v ′＝2v ＝20 m/s ，选项B 正确．2.(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l ＝1 m 的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )A ．小球受重力、支持力、拉力和向心力B ．小球可能只受拉力和重力C ．当ω＝52 2 rad/s 时，小球对锥体的压力刚好为零D ．当ω＝2 5 rad/s 时，小球受重力、支持力和拉力作用答案 BC解析转速较小时，小球紧贴锥体，则T cos θ＋N sin θ＝mg ，T sin θ－N cos θ＝mω2l sin θ，随着转速的增加，T 增大，N 减小，当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mg tan θ＝mω02l sin θ，解得ω0＝52 2 rad/s ，A 错误，B 、C 正确；当ω＝2 5 rad/s 时，小球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D 错误．3.(多选)(2023·湖北省华大新高考联盟名校联考)如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的光滑固定细管(忽略管的内径)，半径OB 水平、OA 竖直，一个直径略小于管内径的小球(可视为质点)由B 点以某一初速度v 0进入细管，之后从管内的A 点以大小为v A 的水平速度飞出．忽略空气阻力，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )A ．为使小球能从A 点飞出，小球在B 点的初速度必须满足v 0>3gR B ．为使小球能从A 点飞出，小球在B 点的初速度必须满足v 0>2gRC ．为使小球从A 点水平飞出后再返回B 点，小球在B 点的初速度应为v 0＝5gR2D ．小球从A 点飞出的水平初速度必须满足v A >gR ，因而不可能使小球从A 点水平飞出后再返回B 点答案 BC解析小球能从A 点飞出，则在A 点的最小速度大于零，则由机械能守恒定律有12m v 02>mgR ，则小球在B 点的初速度必须满足v 0>2gR ，选项A 错误，B 正确；为使小球从A 点水平飞出后再返回B 点，则R ＝v A t ，R ＝12gt 2，联立解得v A ＝gR 2，12m v 02＝mgR ＋12m v A 2，小球在B 点的初速度应为v 0＝5gR2，选项C 正确；要使小球从A 点飞出，则小球在A 点的速度大于零即可，由选项C 的分析可知，只要小球在A 点的速度为gR2，小球就能从A 点水平飞出后再返回B点，选项D错误．4.(2023·福建省百校联考)半径为R的内壁光滑的圆环形轨道固定在水平桌面上，轨道的正上方和正下方分别有质量为m A和m B的小球A和B，A的质量是B的两倍，它们在轨道内沿逆时针方向滚动，经过最低点时速率相等；当B在最低点时，A球恰好在最高点，如图所示，此时轨道对桌面的压力恰好等于轨道重力，当地重力加速度为g.则小球在最低点的速率可表示为()A.3gRB.5gRC.11gR D．25gR答案 C解析设小球A、B在最低点时速率为v1，对A、B在最低点，由牛顿第二定律可得N A1－m A g＝m A v12R ，N B－m B g＝m B v12R，小球A从最低点运动到最高点(速率为v2)过程，由动能定理可得－2m A gR＝12m A v22－12m A v12，小球A在最高点时，由牛顿第二定律可得N A2＋m A g＝m Av22R，由题意知N A2＝N B，m A＝2m B，联立以上各式可解得v1＝11gR，故选C.5.(2023·湖南岳阳市第十四中学检测)如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A、B、C均可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．B对A的摩擦力一定为3μmgB．B对A的摩擦力一定为3mω2rC．转台的角速度需要满足ω≤μg rD．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体答案 B解析由于物体 A 、B 及物体 C 能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，由静摩擦力提供向心力，则B 对A 的摩擦力一定为f A ＝3mω2r ，又有0<f A ≤f max ＝3μmg ，由于角速度大小不确定，B 对A 的摩擦力不一定达到最大静摩擦力3μmg ，A 错误，B 正确；若物体A 达到最大静摩擦力，则3μmg ＝3mω12r ，解得ω1＝μgr，若转台对物体B 达到最大静摩擦力，对A 、B 整体有5μmg ＝5mω22r ，解得ω2＝μg r，若物体C 达到最大静摩擦力，则μmg ＝mω32×1.5r ，解得ω3＝2μg3r，可知ω1＝ω2>ω3，由于物体 A 、B 及物体 C 均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3＝2μg3r，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C 所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C 物体，C 、D 错误．6．(2023·四川绵阳市诊断)如图所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B (均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g ，则球B 在最高点时( )A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gLC ．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有mg ＝m v B 22L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2L，解得F ＝1.5mg ，即杆受到的弹力大小为1.5mg ，可知水平转轴对杆的作用力为1.5mg，C正确，D错误．7.(2023·重庆市西南大学附属中学月考)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上有一长L＝0.8 m的轻杆，杆一端固定在O点，可绕O点自由转动，另一端系一质量为m＝0.05 kg的小球(可视为质点)，小球在斜面上做圆周运动，g取10 m/s2.要使小球能到达最高点A，则小球在最低点B的最小速度是()A．4 m/s B．210 m/sC．2 5 m/s D．2 2 m/s答案 A解析小球恰好到达A点时的速度大小为v A＝0，此时对应B点的速度最小，设为v B，对小球从A到B的运动过程，由动能定理有12m v B2－12m v A2＝2mgL sin α，代入数据解得v B＝4 m/s，故选A.8.(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的水平细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(重力加速度为g)()A．当ω>2Kg3L时，A、B会相对于转盘滑动B．当ω>Kg2L，绳子一定有弹力C．ω在Kg2L<ω<2Kg3L范围内增大时，B所受摩擦力变大D．ω在0<ω<2Kg3L范围内增大时，A所受摩擦力一直变大答案ABD解析当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得ω＝2Kg3L，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝Kg2L ，可知当ω>Kg2L时，绳子有弹力，B项正确；当ω>Kg2L时，B已达到最大静摩擦力，则ω在Kg2L<ω<2Kg3L范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<2Kg3L范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由f－T＝mLω2可知，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．9．(多选)(2023·湖北省重点中学检测)如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱．其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球(视为质点)在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高点、最低点．铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力．下列说法正确的是()A．铁球可能做匀速圆周运动B．铁球绕轨道转动时机械能守恒C．铁球在A点的速度一定大于或等于gRD．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg答案BD解析铁球绕轨道转动受到重力、轨道的磁性引力和轨道的弹力作用，而轨道的磁性引力和弹力总是与速度方向垂直，故只有重力对铁球做功，铁球做变速圆周运动，铁球绕轨道转动时机械能守恒，选项B正确，A错误；铁球在A点时，有mg＋F吸－N A＝m v A2R，当N A＝mg＋F吸时，v A＝0，选项C错误；铁球从A到B的过程，由动能定理有2mgR＝12m v B2－12m v A2，当v A＝0时，铁球在B点的速度最小，解得v B min＝2gR，球在B点处，轨道对铁球的磁性引力最大，F吸－mg－N B＝m v B2R，当v B＝v B min＝2gR且N B＝0时，解得F吸min＝5mg，故要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg ，选项D 正确．10.(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R ＝0.35 m 且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以v 0＝3.5 m/s 的初速度进入轨道，g ＝10 m/s 2，则( )A ．小球不会脱离圆轨道B ．小球会脱离圆轨道C ．小球脱离轨道时的速度大小为72m/s D ．小球脱离轨道的位置与圆心连线和水平方向间的夹角为30° 答案 BCD解析若小球恰能到达最高点，由重力提供向心力，则有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ＝ 3.5 m/s ，若小球从最低点恰好能到最高点，根据机械能守恒定律得12m v 0′2＝mg ·2R ＋12m v 2，解得v 0′＝702m/s>v 0＝3.5 m/s ，故小球不可能运动到最高点，小球会脱离圆轨道，故A 错误，B 正确；设当小球脱离轨道时，其位置与圆心连线和水平方向间的夹角为θ，小球此时只受重力作用，将重力分解如图所示．在脱离点，支持力等于0，由牛顿第二定律得mg sin θ＝m v 12R ，从最低点到脱离点，由机械能守恒定律得12m v 02＝mgR (1＋sin θ)＋12m v 12，联立解得sin θ＝12，即θ＝30°，则v 1＝gR sin θ＝72m/s ，故C 、D 正确．。

圆周运动脱轨和临界问题(教案)

学习必备欢迎下载竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型模型1：“轻绳类”绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，v gR =0(2)小球能通过最高点的条件：v gR ≥，当v gR >时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点的条件：v gR <，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类”有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”，如图4所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度0v =0 (2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当0v =时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即N mg =；②当0v gR <<时，因2v mg N m R -=,则2v N mg m R=-.轻杆对小球的支持力N 竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0mg N >>．③当v gR =时，0N =；④当v gR >时，则2v mg N m R +=，即2v N m mg R=-，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v ≠gR (应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g 换成g 月，若在其他天体上则把g 换成g 天体.二、两种模型的应用【例1】如图5所示，质量为m 的小球从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?图1 图2图3 图4【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v Rg =临界，根据机械能守恒定律得2122mgh mg R mv =⋅+临界把v Rg =临界代入上式得：min 52h R =．【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B 受到三个力作用:电场力F qE =，方向竖直向上；重力mg ；弹力N ，方向竖直向下．由向心力公式，有2Bv mg N qE m R+-=要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方程为2Bv mg qE m R-= ①根据动能定理，有21()(2)2B mg qE h R mv -⋅-= ②解之得：min 52h R =说明把②式中的mg qE -换成2B v m R，较容易求出min 52h R =【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方程为：2Bv mg qE m R+= ①根据动能定理，有21()(2)2B mg qE h R mv +⋅-= ②由上述二式解得：min 52h R = 小结上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度1g ”比例1中的重力加速度g 减小，例3中的“等效重力加速度2g ”比例1中的重力加速度g 增大．例2中1v Rg =临界，211122mg h mg R mv =⋅+临界；图5图6例3中2v Rg =临界，222122mg h mg R mv =⋅+临界．把v 临界代入各自对应的式子，结果1mg 、2mg 分别都约去了，故min 52h R =．【例4】如图7所示，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为2BB v mg qv B m R += ①2122B mgh mg R mv =⋅+， ②由①式可得: 224()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=±+⎢⎥⎢⎥⎣⎦因B v 只能取正值，即224()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦则2222min242()8R m g h R qB qB R m g ⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为 2BB v mg qv B qE m R++= ①21()(2)2B mg qE h R mv +⋅-= ②由①式可得: 24()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=±++⎢⎥⎣⎦因B v 只能取正值，即图7图 824()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦则222min42()()8()R m h R qB qB mg qE m mg qE R ⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦小结小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v 的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是0N =．【例6】如图9所示，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径0.2m R =的半圆，两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小35.010V/m E =⨯.一不带电的绝缘小球甲，以速度0v 沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。

圆周运动临界问题分析导学案

圆周运动临界状态分析导学案班级姓名【学习目标】1、了解竖直平面内的圆周运动（绳模型、杆模型）在最高点与最低点的向心力分析及其在最高点的临界状态分析。

2、了解水平面内圆周运动模型的向心力来源，能够对向心力的临界状态加以分析。

3、初步了解圆锥摆模型的相关临界状态分析；能够构建力的直角坐标系具体分析相关问题。

【问题探究】阅读练习册27页‘四、圆周运动的临界问题’回答下列探究问题：探究一、‘绳模型’可以分为两类：○1、绳连接小球在竖直平面运动（图1）；○2、小球在轨道内侧做圆周运动（比如过山车，图2）1、通过学习练习册27页内容和观察图1图2，总结绳模型在最高点的受力特点，讨论为什么将图1和图2两种情况归纳为同种模型：2、在右图中分别作出小球在最高点和最低点的受力分析图，列出向心力表达式。

图1中：（1）最高点向心力=向F临界问题：通过表达式讨论，最高点向心力最小为多少？此时最高点的线速度表达式为=v（2）最低点=向F图2中：（1）最高点向心力=向F临界问题：要通过最高点，小球线速度至少为；若小于这个速度，小球能否到达最高点，完成完整的圆周运动？（2）最低点=向F3、讨论课本35页发展空间关于水流星的问题。

【习题达标】完成题目：练习册28页1题、5题、6题参考题目：目标测试卷16页7题、19页10题；探究二、‘杆模型’可以分为两类；○1轻杆（不考虑杆的质量）连接小球在竖直平面做圆周运动（图3）；○2小球在环形管道内做竖直平面的圆周运动（图4）；1、通过学习练习册27页内容和观察图3图4，总结杆模型在最高点的受力特点，讨论为什么将图3和图4两种情况归纳为同种模型：2、在右图中分别作出小球在最高点和最低点的所有可能的受力分析图，列出向心力表达式：图3中：（1）在最高点，由于杆模型既可以对小球提供向下的拉力，也可以提供向上的支持力，所以最高点向心力=向F或=向F临界问题：（1）小球在最高点是否一定要受到杆（管道）给它的弹力（无论向上还是向下）？若是不受弹力，什么力提供向心力？此时的最高点线速度=v以这个线速度为判断标准，试讨论如何确定小球在最高点受到的是向上的支持力还是向下的拉力？（2）杆模型中，小球能够完成圆周运动的临界条件，在最高点的最小速度可以为，此时小球的合力=合F（3）最低点=向F同理分析图4管道模型小球在最高点和最低点的临界情况。

圆周运动专题二圆周运动中的连接体问题和临界问题(教案)

圆周运动专题二圆周运动中的连接体问题、临界问题【知识点一】圆周运动中的连接体问题【例1】在一个水平转台上放有质量相等的A、B两个物体，用一轻杆相连，AB连线沿半径方向．A与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、B到平台转轴的距离分别为L、2L.某时刻一起随平台以ω的角速度绕OO′轴做匀速圆周运动．A与平台间的摩擦力大小为F f A，杆的弹力大小为F.现把转动角速度提高至2ω.A、B仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴匀速圆周运动，则下面说法正确的是()A．F f A、F均增加为原来的4倍B．F f A、F均增加为原来的2倍C．F f A大于原来的4倍，F等于原来的2倍D．F f A、F增加后，均小于原来的4倍【解析】根据牛顿第二定律，对A：F f A－F＝mω2r A①，对B：F＝mω2r B②.当ω增大到2ω时，由②式知，F增加到原来的4倍；由①式知：F f A＝F ＋mω2r A，F f A增加为原来的4倍．故选A.【答案】A【例2】如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为()A．1:1B．1:2C．2:1 D．1:2解析：两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同．设两球所需的向心力大小为F n，角速度为ω，则对球m1：F n＝m1ω2r1，对球m2：F n＝m2ω2r2，由上述两式得r1r2＝1:2.答案：D【例3】如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m 的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽略空气的阻力．当球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力．下列说法正确的是()A.球B在最高点时速度为零B.球B在最高点时，球A的速度也为零C.球B在最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mgD.球B转到最低点时，其速度为vB＝165gLC [解析] 球B 在最高点时速度为v0，有mg ＝m v202L ，得v0＝2gL ，A 项错误；此时球A 的速度为v02＝122gL ，B 错误；设杆对球A 的作用力为FA ，则FA －mg ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v022L ，得FA ＝1.5mg ，C 项正确；设球B 在最低点时的速度为vB ，据机械能守恒定律有2mgL －mgL ＋12mv20＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v022＝－2mgL ＋mgL ＋12mv2B ＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫vB 22，解得vB ＝265gL ，D 项错误．【例4】如图所示，OO′为竖直轴，MN 为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A 、B 套在水平杆上，AC 和BC 为抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴OO′上．当线拉直时，A 、B 两球转动半径之比恒为2∶1，若转轴的角速度逐渐增大，则( ) A ．AC 先断 B ．BC 先断C ．两线同时断D ．不能确定哪根线先断[解析] A 对A 球进行受力分析，A 球受重力、支持力和拉力FA 三个力作用，拉力的水平分力提供A 球做圆周运动的向心力，得：水平方向FAcosα＝mrAω2，同理，对B 球：FBcosβ＝mrBω2.由几何关系，可知cosα＝rA AC ，cosβ＝rB BC ，所以：FA FB ＝rAcosβrBcosα＝rArBBC rBrA AC＝ACBC .由于AC>BC ，所以FA>FB ，即AC 线先断．【知识点二】临界问题1. 与绳的弹力有关的临界问题质量为m 的物体被长为l 的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O 做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值F m 时，物体的速度最大，即F m ＝m v 2ml，解得v m ＝F m lm。

高一物理必修二第五章习题课《圆周运动中的临界问题》教案(人教版)

＝时，硬杆和管壁对小球无作用力．
＞时，硬杆和上管壁对小球有竖直向下的作用力．
三、巩固性练习：
1．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内轨道上做圆周运动，圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其经过圆环最高点时：（）
A．小球对圆环的压力大小等于mgB．小球受到的向心力等于mg
C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度大小等于g
A．0 B．mgC．3mgD．5mg
4．如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的
最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是：（）
A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力
设计思想、答案
一.探究性问题：
1.你玩过翻滚过山车吗？一提到这种运动项目，带给你的感觉是什么？观察实验，思考：
小球在圆周轨道的内侧运动时，必须具备什么条件，才能通过圆轨道的最高点？
2.如果一根轻绳拴着一个小球，要想使小球能在竖直平面内做圆周运动，有没有条件？
3.如果将轻绳换成轻杆，情况又怎样？
二、分析总结：圆周运动中的临界问题：
2．如右图所示，把盛水小桶拴在长为L的绳子一端，要使这个水桶能在竖直平面内做圆周运动，则水桶在最高点线速度的最小值为：（）
A． B． C． D．
3．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，
经过最高点而刚好不脱离轨道时的速度为υ，则当小球以2υ的速度
经过最高点时，对轨道内侧的压力大小为：（）
课后
小结
需要加强反复的综合练习，对易混模型反复强调练习。
（1）在最高点杆对小球的支持力为 mg时；

微专题3 圆周运动的常见模型和临界问题教学设计

微专题3圆周运动的常见模型和临界问题类型一圆周运动中的轻杆和轻绳模型项目轻绳模型轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝grv临＝0讨论分析(1)能过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，－F N＋mg＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心并随v的增大而增大【例1】(多选)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力．则球B在最高点时()A ．球B 的速度为2gL B ．球A 的速度大小为2gLC ．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg[解析] 球B 运动到最高点时，球B 对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有：mg ＝m v 2B 2L ，解得v ＝2gL ，故A 正确．由于A 、B 两球的角速度相等，由v ＝ωr 得：球A 的速度大小为：v A ＝12v B ＝122gL ，故B 错误．B 球到最高点时，对杆无弹力，此时A 球所受重力和拉力的合力提供向心力，有：F －mg ＝m v 2A L ，解得：F ＝1.5mg ，可得水平转轴对杆的作用力为1.5mg ，故C 正确，D 错误．[答案] AC【例2】如图所示，长度为L ＝0.4 m 的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m ＝0.5 kg ，小球半径不计，g取 10 m/s 2.(1)求小球刚好通过最高点时的速度大小；(2)小球通过最高点时的速度大小为 4 m/s 时，求轻绳的拉力大小；(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球速度大小的最大值．解析：(1)小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有mg ＝m v 21L，得v 1＝gL ＝2 m/s.(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s 时，拉力和重力的合力提供向心力，有F T ＋mg ＝m v 22L ，得F T ＝15 N.(3)分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第二定律得F ′T －mg ＝m v 23L ，将F ′T ＝45 N 代入解得v 3＝4 2 m/s ，即小球的速度不能超过4 2 m/s.答案：(1)2 m/s (2)15 N (3)4 2 m/s[针对训练1] 如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T ，小球在最高点的速度大小为v ，其T －v 2关系如图乙所示，则( )A ．轻质绳长为am bB ．当地的重力加速度为a mC ．当v 2＝c 时，轻质绳的拉力大小为ac b ＋a D ．只要v 2≥0，小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动解析：选B.在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg ＋T ＝m v 2L ，解得：T ＝m L v 2－mg ①，由图像知，T ＝0时，v 2＝b .图像的斜率k ＝a b ，则得：m L ＝a b ，得绳长 L ＝mb a ，故A 错误；当v 2＝0时，T ＝－a ，由①得：－a ＝－mg ，得：g ＝a m ，故B 正确；当v 2＝c 时，代入①得：T ＝m L ·c －mg ＝a b ·c－a ，故C 错误；只要v 2≥b ，在最高点绳子的拉力F ≥0，小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动，故D 错误．[针对训练2] 如图所示，可视为质点的、质量为m 的小球，在半径为R 的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g .下列有关说法正确的是( )A ．小球在圆心上方管道内运动时，对外壁一定有作用力B ．小球能够到达最高点时的最小速度为 gRC ．小球到达最高点的速度是 gR 时，球受到的合外力为零D．若小球在最高点时的速度大小为2gR，则此时小球对管道外壁的作用力大小为3mg解析：选D.圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，此时对外轨道没有作用力，故A、B错误；小球在最高点的速度大小为gR时，根据F合＝m v2R可得F合＝mg，即合外力不为零，故C错误；设管道外壁对小球的弹力大小为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg＋F＝m v2R，代入解得F＝3mg＞0方向竖直向下，故D正确．类型二水平圆周运动中的临界问题1．与摩擦力有关的临界问题(1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F f＝m v2r，静摩擦力的方向一定指向圆心．(2)如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．2．与弹力有关的临界问题：压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．3．解决圆周运动临界问题的一般思路(1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态．(2)分析该状态下物体的受力特点．(3)结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解．【例3】质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l.当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()A．a绳的张力可能为零B．a绳的张力随角速度的增大而增大C．当角速度ω＞gl tan θ时，b绳将出现弹力D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化[解析]由于小球m的重力不为零，a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，故A错误；由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，角θ不变，所以a绳张力不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，故B错误；若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F，对小球m有，F sin θ＝mg，F cos θ＝mω2l，解得ω＝gl tan θ，即当角速度ω＞gl tan θ时，b绳将出现弹力，故C正确；若ω＝gl tan θ，b绳突然被剪断时，a绳的弹力不发生变化，故D错误．[答案] C【例4】如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？[解析]当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即F＋F fmax＝mrω21①由于B静止，故有F＝mg②又F fmax＝μF N＝μmg③由①②③式可得ω1＝g（1＋μ）r当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－F fmax＝mrω22④由②③④式可得ω2＝g（1－μ）r故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即g（1－μ）r≤ω≤g（1＋μ）r.[答案]g（1－μ）r≤ω≤g（1＋μ）r[针对训练3]如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg.已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)()A．1 rad/s B. 2 rad/sC. 3 rad/s D．3 rad/s解析：选B.对A有μ1m A g≥m Aω2r，对A、B整体有(m A＋m B)ω2r≤μ2(m A＋m B)g，代入数据解得ω≤ 2 rad/s，故B正确．[针对训练4](2022·江苏如皋期末)如图所示，水平转台上有一个小物块，用长为L的轻细绳将物块连接在通过转台中心的转轴上，细绳与竖直转轴的夹角为θ，系统静止时细绳绷直但张力为零．物块与转台间的动摩擦因数为μ()μ＜tan θ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.物块随转台由静止开始缓慢加速转动，求：(1)绳中刚要出现拉力时转台的角速度ω1；(2)物块刚离开转台时转台的角速度ω2.解析：(1)当物块与转台间达到最大静摩擦力时，绳中要出现拉力，由牛顿第二定律得μmg＝mω21L sin θ解得ω1＝μgL sin θ.(2)物块刚离开转台时，物体和转台之间恰好无相互作用力，有F N＝0，f＝0 对物块有T sin θ＝mω22L sin θT cos θ＝mg联立解得ω2＝gL cos θ.答案：(1)μgL sin θ(2)gL cos θ类型三倾斜圆周运动的临界问题【例5】如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1.5 m．筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，g取10 m/s2，则ω的最小值是()A．1 rad/s B.303rad/sC.10 rad/s D．5 rad/s[解析]受力分析如图，受重力mg，弹力N，静摩擦力f.ω取最小值时，物体在图示位置将要产生相对滑动．由牛顿第二定律有mg cos60°＋N＝mω2r，在平行于筒壁方向上，达到最大静摩擦力，即f max＝mg sin 60°，由于f max＝μN，解得ω＝10 rad/s，C正确．[答案] C[针对训练5]如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上与转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是()A. 5 rad/sB. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s解析：选 C.小物体随圆盘匀速转动时，向心力由静摩擦力和重力沿斜面方向的分力的合力提供，小物体转到最低点时，摩擦力一方面需提供向心力，另一方向还需平衡重力沿斜面方向上的分力，即在最低点时所需摩擦力最大，是最容易发生相对滑动的位置，故只要保证最低点不发生相对滑动即可．在最低点，由向心力公式得：F f －mg sin θ＝mω2r ①，F f ＝μmg cos θ②，代入数值得：ω＝1.0 rad/s ，故C 正确．[A 级——合格考达标练]1．如图所示，在竖直平面内的圆周轨道半径为r ，质量为m的小物块以速度v 通过轨道的最高点P .已知重力加速度为g ，则小物块在P 点受到轨道对它的压力大小为( )A ．m v 2rB.m v 2r －mg C ．mg －m v 2r D ．m v 2r＋mg 解析：选B.在P 点由牛顿第二定律可知：mg ＋F ＝m v 2r ，解得F ＝m v 2r －mg ，B 正确．2．如图所示，当汽车以12 m/s 的速度通过拱形桥顶时，对桥顶的压力为车重的34.如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力恰好为零，则汽车通过桥顶的速度为( )A ．3 m/sB ．10 m/sC ．12 m/sD ．24 m/s解析：选 D.根据牛顿第二定律得：mg －N ＝m v 2R ，其中N ＝34mg ，解得：R＝57.6 m ．当车对桥顶无压力时，有：mg ＝m v ′2R ，代入数据解得：v ′＝24 m/s ，D 正确．3．如图所示，质量相等的A 、B 两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动，且与圆筒保持相对静止，下列说法中正确的是( )A ．线速度v A >v BB ．运动周期T A >T BC ．筒壁对它们的弹力N A ＝N BD ．它们受到的摩擦力f A ＝f B解析：选D.A 和B 共轴转动，角速度相等即周期相等，由v ＝rω知，A 转动的半径较小，则A 的线速度较小，A 、B 错误．A 和B 做圆周运动靠弹力提供向心力，由N ＝mrω2知，A 的半径小，则N A <N B .在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，两物体重力相等，则摩擦力相等，即f A ＝f B ，C 错误，D 正确．4．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v ，则当小球以3v 的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是( )A ．0B ．3mgC ．5mgD ．8mg解析：选D.当小球以速度v 经内轨道最高点时不脱离轨道，小球仅受重力，重力充当向心力，有mg ＝m v 2r ；当小球以速度3v 经内轨道最高点时，小球受重力mg 和向下的弹力N ，合外力充当向心力，有mg ＋N ＝m （3v ）2r ；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的弹力相等，N ′＝N ；由以上三式得到，N ′＝8mg ，D 正确．5．一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点的最小速度是gRB ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零C ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析：选 B.由于杆可以提供拉力，也可以提供支持力，所以小球过最高点的最小速度为零，故A 错误；当小球在最高点的速度v ＝gR 时，靠重力提供向心力，杆的弹力为零，故B 正确；杆在最高点可以提供拉力，也可以提供支持力，当提供支持力时，速度越大作用力越小，当提供拉力时，速度越大作用力越大，故C 、D 错误．6．(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P ，细线的上端固定在金属块Q 上，Q 放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q 都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )A ．Q 受到桌面的支持力变大B ．Q 受到桌面的静摩擦力变大C ．小球P 运动的角速度变大D ．小球P 运动的周期变大解析：选BC.金属块Q 保持在桌面上静止，对于金属块和小球整体研究，整体在竖直方向没有加速度，根据平衡条件得知，Q受到桌面的支持力等于两个物体的总重力，保持不变，故A 错误．设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T ，细线的长度为L .P 球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有T ＝mg cos θ，mg tan θ＝mω2L sin θ，得角速度ω＝gL cos θ＝gh ，周期T ＝2πω，使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小、h 减小，则得到细线拉力T 增大，角速度增大，周期T 减小．对Q ，由平衡条件得知，f ＝T sin θ＝mg tan θ，知Q 受到桌面的静摩擦力变大，静摩擦力方向在改变，故B 、C 正确，D 错误．7．(多选)如图所示，A 、B 、C 三个物体放在旋转圆台上，它们由相同材料制成，A 的质量为2m ，B 、C 的质量各为m ，如果A 、B 到O 点的距离为R ，C到O的距离为2R，当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)，下述结论中正确的是()A.C物体的向心加速度最大B．B物体受到的静摩擦力最小C．当圆台旋转速度增大时，B比C先开始滑动D．当圆台旋转速度增大时，A比B先开始滑动解析：选AB.由题意可知三个物体相对于圆盘静止，向心力都由静摩擦力提供，且三个物体角速度相同，C物体的半径最大，由向心力公式a＝ω2R得，C 物体的向心加速度最大，A正确；由f＝mω2R可知物体B受到的静摩擦力最小，B正确；当圆台转速增大时，哪个物体先达到最大静摩擦力f＝μF N＝μmg，哪个先滑动，比较物体B和C，它们的质量相同，所受的最大静摩擦力相同，而物体C的半径大，所以物体C先发生滑动，C错误；比较物体A和B，它们的质量不同，半径相同，根据μmg＝mω2R可知，A、B同时发生滑动，D错误．[B级——等级考增分练]8．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，当转轴的角速度逐渐增大时()A.AC先断B．BC先断C．两线同时断D．不能确定哪根线先断解析：选A.对A球进行受力分析，A球受重力、支持力、拉力F A三个力作用，拉力的分力提供A球做圆周运动的向心力，得：水平方向F A cos α＝mr Aω2，同理，对B球：F B cos β＝mr Bω2，由几何关系，可知cos α＝r AAC，cos β＝r B BC .所以：F AF B＝r A cos βr B cos α＝r A r BBCr B r AAC＝ACBC.由于AC>BC，所以F A>F B，即绳AC先断．9．如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F N，小球在最高点的速度大小为v，F N－v2图像如图乙所示．下列说法正确的是()A.当地的重力加速度大小为R bB．小球的质量为ab RC．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上D．若c＝2b，则杆对小球弹力大小为2a解析：选B.通过图像乙分析可知：当v2＝b，F N＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝m bR，g＝bR，A错误；当v2＝0，F N＝a时，重力等于弹力F N，即mg＝a，所以m＝ag＝ab R，B正确；v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c时，杆对小球弹力的方向竖直向下，C错误；v2＝c＝2b时，mg＋F N＝m2bR，解得F N＝mg＝a，D错误．10．如图所示，一质量为m的小球用长度均为L两轻绳a、b连接，绳a的另一端固定在竖直细杆的P点，绳b的另一端固定在杆上距P点为L的Q点．当杆绕其竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动．不计空气阻力，重力加速度为g.(1)当绳b刚好拉直(无弹力)时，求小球的线速度大小v.(2)若两绳能承受的最大拉力均为4mg，求小球绕杆做圆周运动的最小周期T.解析：(1)圆周运动的半径r＝L cos 30°小球所受的合力提供向心力，有mg tan 60°＝m v2 r解得v＝6gL2.(2)竖直方向F a sin 30°＝F b sin 30°＋mg水平方向F a cos 30°＋F b cos 30°＝m 4π2 T2r当小球做圆周运动的周期减小时，a绳先达到最大拉力F a＝4mg解得T＝π2L3g.答案：(1)6gL2(2)π2L3g。

圆周运动专题复习——临界问题实用教案

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8．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平
(shuǐpíng)光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平
(shuǐpíng)杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线， C端固定在
转轴OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，当转
轴的角速度逐渐增大时
面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯
中水却不会流下来，为什么？
当对zh杯vōn中ɡ()b水gēr：i时m，g FNF=N
0
m
v2 r
FN
G
水恰好(qiàhǎo)不流出
表演“水流星” ，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得
小于 gr
即：v gr 重力的效果——全部提供向心力
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例：如图3-5所示，在电机(diànjī)距轴O为r处固定一质量为m的铁块．电机(diànjī)启动后，铁块以角速度ω绕轴O 匀速转动．则电机(diànjī)对地面的最大压力和最小压力之差为___.
（1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动? （2）当角速度ω为何(wèihé)值时，铁块在最高点与电机恰无作用力? （3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为M，则ω多大时，电机图3-5 可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少?
向下的拉力(lālì)，或轨道对物体只能产生向下的弹力；若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
①临界条件：绳子或轨道对小球恰好没有弹力的作用，重力提供向心力，即 mg＝mvR2临界，解得小球恰能通过最高点的临界速度为: v ＝临界 Rg. ②能过最高点的条件：v≥ gR，当 v> gR时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．

以供需关系解决圆周运动的临界问题教学设计

冲啊-----有一定的速度
逃脱不了重力作用，但是如果提供的力与需要的力匹配，物体将沿圆周运动。
什么行动？
无论速度大小，飞不了也掉不下来。因为管道可以提供支撑力。
小球在爬坡时，有两个选择，有速度就往前冲，速度为零了就往回走。如果到达最高点时，速度刚好为零，就是临界点。
如果完全失重，则没有必须接受的合力，需要多少力，绳子给多少力，只要绳子不被拉断，处处都是匹配的，永远是匀速圆周运动。激发思考Biblioteka 体会供需平衡与不平衡的结果
启发思考，回忆学过的圆周运动
由关键词猜圆周运动
速度合适，不挤压内轨，也不挤压外轨
情景分析
受力分析
提高能力的意义
被动力的理解
做实验，体会过最高点
体会提前掉下来的瞬间：有速度，但是由于速度小，提供的力大于需要的力，而做向心运动。
冲顶速度是
有无支撑很重要
冲顶速度可以为零
场景五：我是善良的悬崖
悬崖：我没有多余的语言，我以行动保护你。
小球：当我跑过某个点，我会害怕的，我害怕掉下来。
悬崖：不怕。勇敢的跑，无论快与慢，我都给你坚实的保护。直到你用尽最后的力气冲顶。
演示绳杆模型，体会冲顶速度的区别
太空授课
向心力
合力
匀速圆周运动-----合力提供向心力
非匀速圆周运动的物体-------沿半径方向合力提供向心力
完美的曲线
------火车转弯
贴住
重力吧会把我往下拽
-------------转桶问题
角速度越大，需要的向心力越大，N就越大。达到静摩擦力足够，足够承担起重力。
角速度继续增大，平衡重力的能力越强，但实际摩擦力的大小取决于产生运动趋势的外力，它是被动的。当最大静摩擦力等于重力时，是临界点。只要不掉下来，静摩擦力就等于重力。

水平面匀速圆周运动临界问题公开课教学设计

水平面匀速圆周运动临界问题
一、教材分析
圆周运动的临界问题是教科版高中《物理》必修2第二章的内容。

二、学情分析
学生基础、领会能力相对较弱。

三、学习目标
1.通过学生讨论，小组合作，老师引导，让学生进一步熟练圆周运动问题的解题步骤；
2.通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道临界状态的目标；
3.通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道圆周运动中的临界问题，并能正确解题的目标。

四、教学重难点
1.重点
a.圆周运动问题的解题步骤
b.竖直水平圆周运动的临界状态
c.运用所学知识解决圆周运动中的临界问题
2.难点
a.竖直水平圆周运动的临界状态
b. 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题
五、教学过程。

高一物理圆周运动临界问题学科导学教案学生版

熙励师范教育物理导学案教师:学生:日期: 时段:课题圆周运动中的临界问题年级高高一学习目标与考点分析1.熟练处理水平面内的临界问题 2.掌握竖直面内的临界问题3.圆周运动动力学特征及应用 4.匀速圆周运动的多解问题学习重点 1.圆周运动动力学特征及应用 2.匀速圆周运动的多解问题学习内容与过程一、圆周运动的几个重要概念1、线速度：(1)方向：就是圆弧该点的切线方向。

（2）大小：v=s/t(s是t时间内通过的弧长)。

（3）物理意义：描述质点沿圆弧运动的快慢。

2、角速度：（1）大小：t/ϕω=，国际单位是rad/s。

（2）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。

3、周期T：质点沿圆周运动一周所用的时间，国际单位是s.4、频率f：质点单位时间内沿圆周绕圆心转动的快慢，国际单位是Hz.V、ω、T、f的关系：T＝1/f，f＝1/T，ω＝2π/T=2πf，v＝2πr/T=2πrf,v=rω,ω=v/r5、向心加速度：（1）方向：总是指向圆心，时刻发生变化（a是一个变加速度）。

（2）大小：(3)物理意义：只描述线速度方向改变的快慢。

（4）注意：a与r是成正比还是成反比？若ω相同，a与r成正比；若v相同，a与r成反比；若是r相同，a与ω2成正比，与v2成反比。

6、向心力：（1）方向：总是指向圆心，时刻在变化（F是一个变力）。

（2）大小：F＝ma＝mv2/r＝mω2r=m(2π/T)2r=m(2πf)2r。

（3）作用：产生向心加速度，只改变速度方向，不改变速率。

（4）注意：向心力是根据力的作用效果来命名的，因此向心力可以由某一个力提供，也可以由若干个力的合力提供，甚至可以由某一个力的分力提供。

二、圆周运动1、性质：是变加速曲线运动。

2、处理方法：实质上是牛顿第二定律的具体应用。

圆周运动的每个瞬间，物体的加速度和其所受的合外力同样满足牛顿第二定律，特别是当F合＝mv2/r时，物体便被束缚在半径为r的轨道上作速率为v的匀速圆周运动。

生活中的圆周运动(临界问题)教学设计高一下学期物理人教版(2019)必修第二册

“一课一研精准教学”记录表年级学科物理分包领导备课时间备课地点物理备课组主备人备课主题圆周运动中的临界问题一、精准讲解：圆周运动的临界问题，主要涉及临界速度与临界力，常常与绳的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关。

在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动所需向心力的来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度等，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。

常见情况有以下几种:（1）与绳子弹力相关的圆周运动临界问题。

① 绳子断与不断的临界条件：绳子张力等于它所能承受的最大张力。

② 绳子松弛的临界条件：绳子的张力F=0（2）因静摩擦力存在最值而产生的圆周运动临界问题。

相对滑动的临界条件：殂摩擦力达到最大值。

（3）与接触面相关的圆周运动临界问题。

接触与脱离的临界条件：弹力F N =0例1：如图所示水平转盘上放有质量为m 的物快，当物块到转轴的距离为r 时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大？(答案：g rμ) 拓展：如o 点与物块连接一细线，求当①1=2g r μω时，细线的拉力T 1 ②23=2g r μω时，细线的拉力T 2 ( 注：分析物体恰能做圆周运动的受力特点是关键) 例2．长度为L=0.50m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m=3.0kg 的小球，如图所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s ，（g=10m/s 2）则此时细杆OA 受的（ B ）A. 6.0N 的拉力B. 6.0N 的压力C.24N 的压力D. 24N 的拉力【针对训练】1．汽车与路面的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R （设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）问：若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车最大速度应为多少？（答案gR μ）2．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ D ）A.小球过最高点时速度为零B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m Lv 20 C.小球过最高点时绳对小球的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为gL3.如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，先给小球一初速度，使它做圆周运动。