固体物理的思考题

1.解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面，为什么？答：解理面是指面与面之间的相互作用力比较弱，容易解离的面，若面间距比较大，则容易形成解理，晶面指数越大，面间距越小，晶面指数越小，面间距越大，所以是面指数低的晶面容易解离。

2.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，那一晶面族衍射光弱？为什么？答：由布拉格衍射公式，其中θ为入射x射线的掠射角，高指数的晶面族晶面间距d比较小，对于同级衍射，d越大，则越小，光的透射能力就越弱，此时形成的衍射光就比较弱。

也可以从另一方面考虑，晶面指数越大，晶面间距越小，原子密度也越小，此时对入射光的反射作用就比较弱，所以高指数晶面组的衍射光弱。

3.对于x射线衍射，可否将入射光改为可见光？答：不可以，主要由于原子的间距在Å的数量级，根据布拉格衍射公式，可知入射光波的波长也应在Å的数量级，然而可见光的波长一般为几百nm所以不可以改为可见光入射，常用的入射光一般为Cu的线1.54Å。

4.在一般的单式格子中是否存在强烈的红外吸收，为什么？答：在离子晶体中的长光学支格波有特别重要的作用，因为不同离子间的相对振动产生电偶极矩，从而可以和电磁波相互作用，长光学波与红外光波的共振，引起对入射波的强烈吸收，但是对于单式格子（简单晶格）而言，由于是只包含单个原子，并不存在光学支格波，所以不会引起对红外光波的强烈吸收。

5.色散曲线中，能否判断哪知格波的模式密度比较大，是光学支格波还是声学支格波？答：在色散曲线中，光学支格波的色散曲线比较平缓，而声学支的色散曲线比较陡峭，模式密度表示在频率ω附近单位频率间隔内的格波数，由于光学支格波色散曲线变化平缓，对应小的ω区间就具有了较大的波矢q的变化，所以光学支格波的模式密度比较大。

6.拉曼散射中光子会不会产生倒逆散射？答：拉曼散射是长光学波声子与光子（红外光）的相互作用，长光学波声子的波矢很小，响应的动量小，产生倒逆散射的条件要求波长小，波矢大，散射角大，拉曼散射不满足条件所以不会产生倒逆散射。

7.长声学支格波能否产生离子晶体的宏观极化？答：光学支格波描述了原子的相对运动，在离子晶体中，它使正负离子之间产生了相对位移，所以使晶体呈现宏观极化，但是长声学支格波描述了原子的同向运动，原子之间的位移相同，没有相对位移，所以长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。

8.在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？答：格波能量，当时，，此时格波能量为零点能，此时格波的能量只剩下零点能，格波之间的能量交换是以为单位进行交换的，即是声子的产生的湮灭，但是此时声子数为零，所以格波间没有了能量交换。

9.晶体中的声子数目是否守恒？答：平均声子数目，利用德拜模型，总的声子数目N=，此时容易推得声子数n与成正比。

第三章晶格振动这一章主要介绍了晶体内原子的运动形式以及能量的传输特性，并且引入了格波和声子的概念。

一．不考虑格波之间的相互作用1.以一位双原子链为例介绍晶体内原子的运动形式（在牛顿经典力学的框架内考虑F=ma）：采用的模型：一维双原子链的振动模型；近似条件：近邻近似（只考虑近邻原子之间的相互作用）以及简谐近似（只考虑是势能函数的二级偏倒）在求解过程中假设波长，此时将一个非连续的方程转变为连续方程，并且经过推导得到了波动方程利用波动方程求得方程的解，即：，但是此时是根据得到的解，假若与a比较接近时，则晶体不可以看成是连续的得到了试探解，但是在周期性晶体结构中波长为不连续的分立的，从而引入了玻恩卡曼边界条件，进而得到10.格波的性质a.波速，群速度以及相速度之间的关系；b.色散关系之间的关系声学支格波和光学支格波声学支格波与光学支格波最显著的区别在对于光学支格波而言而声学支格波。

最重要的区别在于描述了晶体内格波的不同运动状态。

c.格波数此时以三维晶体为例来说明，假设初级元胞中包含了s个原子，此时一个q对应3s个频率，对应3s支格波，其中包含3支声学支格波，支光学支格波，由于在第一布里渊区中包含有N（初级元胞树目）个波矢q，则总的格波数为3NS。

d.格波态密度的概念在附近，单位频率间隔内的格波数目求解格波态密度是很困难的，主要体现在两个方面：一是色散关系不确定，二是曲面不一定是规范的图形，有可能是不规则的。

11.对晶格振动的简谐近似的量子修正a.晶体中简谐振动的3NS个格波的总能量，通过引入简正坐标消去交叉项后很容易的证明了晶格振动能量可以看成3NS个谐振子的能量，从而进行量子力学修正，谐振子的能量利用量子力学的结果表示：相邻状态的能量差为，它为谐振子哦能量量子，称为声子。

声子同样遵循能量守恒与准动量守恒。

此时三维晶体的3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，所以上式描述了频率为的格波的能量。

总体而言，对于晶格振动的考虑是基于牛顿力学+量子力学修正的综合，简称为半经典理论，其中量子力学的修正就体现在谐振子的能量采用的是量子谐振子能量。

12.考虑晶体的热容定容热容：单位质量的物体在定容过程中，能量升高，系统内能的增量。

此时的主要困难就是求解十分复杂。

所以引入了两个模型——爱因斯坦模型以及德拜模型a.爱因斯坦模型的基本思想晶体内所有原子都以相同的频率独立振动，则晶体内所有格波的频率均相同。

同时引入了爱因斯坦温度。

b.德拜模型的基本思想把晶体视为各向同性的连续弹性媒质，此时的色散关系为线性的，，根据态密度函数得，代入热容公式求得。

c.两种模型之间的对比1．高温情况下两者均与杜隆-柏替定律相一致，热容为一个常数；2．低温情况下对平均声子数进行讨论的过程中，定性的认为，当的那些格波在温度T时才会被激发，并且只有这些格波才会对热容有贡献，而的格波将会被冻结，对热容无贡献。

在爱因斯坦模型中假设所有的格波均以相同的频率独立的振动，也就是说在任何温度下所有的格波均会被激发，所以这也是爱因斯坦模型在低温下定量上与试验不相符的原因。

固体中的原子之间存在很强的相互作用，一个原子不可能孤立的振动而不带动近邻原子。

因此爱因斯坦模型中把固体中各原子的振动视作相互λ波的频率分布，把晶体当作弹性媒质来处理，在低温情况下，温度越低，被激发的格频率也越低，对应的波长越长，把晶体视作连续媒质的近似程度越好。

所以温度越低，德拜模型近似程度越好。

二．非简谐近似利用简谐近似以及量子理论修正成功的描述的晶体内原子的运动状态（格波）以及相应的色散关系，引入了声子，并且成功解释了宏观热容（爱因斯坦模型以及德拜模型），但是这一近似却不能解释热膨胀与热传导等宏观现象。

但是会发现，假若晶体内部的格波之间为相互独立的不发生任何的相互作用或者能量交换，这与宏观材料的热膨胀现象以及热传导现象相矛盾，所以将理论进行进一步的修正，引入了势能的高次项。

a.晶体体膨胀系数等压条件下，当温度升高一度时提及的相对增量，即。

通过求解得到b.热传导热能流密度：单位时间垂直通过单位面积的热能，为热导率，衡量晶体导热性能的物理量，负号表示热能是逆着温度梯度的方向传播。

经过一系列的推倒之后，l固体能带理论1．基本思想固体能带理论主要讨论晶体中电子的状态与能谱，基本思想就是首先采用绝热近似以及单电子近似，将多体问题首先简化为多电子问题，进而再简化为单电子问题。

具体方法就是就接薛定谔方程，求解本征能量之间的关系，其中求解薛定谔方程首先需要确定的是：周期势场是什么形式以及采用何种本征波函数。

2．Bloch定理Bloch发现在周期势场（不管周期势场是何种形式）中运动的电电子波函数，不再是简单的平面波而是按照周期势场进行调幅的平面波。

具体形式，其中具有正晶格的周期性，晶体中的电子波称为布洛赫波，晶体中的电子称为布洛赫电子。

晶体中的电子满足布洛赫定理具有以下的性质：a.电子出现的机率具有正晶格周期性b.布洛赫定理可以表示为c.波函数本身并没有正晶格周期性所以说波函数本身并没有实际的物理意义。

d.态与态相同，利用公式表示即是，e.，在倒空间选用合适的坐标系，能量具有的中心反演对称性。

f.电子的能量具有正晶格相同的对称性。

3．需要根据实际的物理特性选用合适的周期势场函数以及波函数主要介绍的几种模型：近自由电子模型、紧束缚模型（原子轨道的线性组合模型）以及克隆尼克-潘纳模型a.近自由电子模型的发展特鲁德模型（自由电子气模型）：价电子构成自由电子气，无规则的热运动与原子实碰撞，满足经典的波尔兹曼统计分布，并且采用的是牛顿方程；两次碰撞之间，电子不受力的作用，电子能量只有动能，同时假设受到边界条件的限制，由周期边界条件K不连续。

成功解释了金属的导电、导热线性，但是忽略了原子实周期势场和电子间的相互作用，不能正确解释金属的比热。

索末菲模型（自由电子费米气模型），在特鲁多模型的基础上进行量子修正，假设周期势场很弱并且是一个常数（假设为0），满足周期性边界条件，满足费米-狄拉克分布，而不是经典的玻氏分布，满足泡利不相容原理，采用了薛定谔方程进行求解。

近自由电子模型：是在索末菲模型的基础上进行改进，此时将周期势场看作微扰，并且具有倒格子周期性，零级能量和波函数与自由电子的能量和波函数完全相同，最后求解得到的波函数是自由电子平面波与相差倒格矢的散射波的叠加，此时的电子波函数是布洛赫电子波函数，具有布洛赫电子波函数的一切性质。

禁带出现的解释：理论的数学推导，发现当波矢位于布里渊区边界时，由于周期势场的作用，和K态的能量发生变化，具有的能量跳跃，出现了宽度为禁带。

因此说禁带是周期势场作用的结果，两个允许带被禁带隔开，禁带对应的能量状态是晶体中电子不能占据的；物理解释：求解布里渊区边界上的电子波函数，电子波函数模值的平方代表了电子出现的机率，上面两式给出了电子云的驻波分布，对应的电子分布为大部分负电荷远离带正电荷的原子实，对应的电子分布为大部分负电荷靠近带正电的原子实，所以的势能比的势能高，这是布里渊区边界上能量产生不连续跳跃的原因。

在一维情况下布里渊区边界处能量的跳跃一定伴随着禁带的产生，但是对于二维三维晶体而言则不一定，虽然在布里渊区边界产生能量的跳跃，但是由于能量交叠，所以不一定产生禁带。

b.紧束缚模型（原子轨道的线性组合模型）适用于绝缘体电子被紧紧的束缚在原子核周围，当其形成晶体时，各原子核对电子的束缚能力仍然很强，此时晶体中的电子状态和孤立原子中的电子状态很相似，计算晶体能带时，仍然利用微扰理论求解薛定谔方程，波函数的零级近似采用孤立原子的波函数，势能函数为作为微扰，式中为晶体中的所有原子在处的势能函数，为处的孤立原子在处产生的势能函数。

将孤立原子的电子波函数和能量看作零级近似，对于由N个初基原胞组成的晶体（假设为简单晶体），对于每个原子都具有的形式，且每个原子中电子的能量均相同，也就是N重简并的，利用简并微扰理论的处理方法，微扰后的状态时N个简并态的线性组合，即用孤立原子轨道的线性组合来构成晶体中电子运动的轨道，这种方法称为原子轨道的线性组合法。