湍流的数值模拟方法进展

《高等计算流体力学》课程作业湍流的数值模拟方法进展1概述自然环境和工程装置中的流动常常是湍流，模拟任何实际过程首先遇到的就是湍流问题，而湍流问题本身又是流体力学理论上的难题。

对于某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是各向均匀及各向同性的，可以用经典的统计理论来分析，但实际上的湍流往往是不均匀的，给理论分析带来了极大困难。

湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，表现出非常复杂的流动状态，主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统计性。

传统计算流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes（N-S）方程，根据N-S方程中对湍流处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为：直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。

直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用范围。

雷诺平均方法可以计算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场脉动的细节信息。

大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得到比雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，又比直接数值模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用。

2 雷诺平均方法(RANS)雷诺平均模拟（RANS）即应用湍流统计理论，将非定常的N - S方程对时间作平均，求解工程中需要的时均量。

利用湍流模式理论，对Reynolds应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均Reynolds方程封闭。

2.1控制方程对非定常的N - S 方程作时间演算，并采用Boussinesp 假设，得到Reynolds 方程''21i j i i i j i j j j j ju u u u u p u f v t x x x x x ρ∂∂∂∂∂+=-+-∂∂∂∂∂∂ =0i i u x ∂∂ 式中，附加应力可记为''iji j pu u τ=-，称为雷诺应力。

这种方法只计算大尺度平均流动，而所有湍流脉动对平均流动的影响，体现到雷诺应力ij τ中。

由于雷诺应力在控制方程中的出现，造成了方程不封闭，为使方程组封闭，必须建立湍流模型。

2.2 湍流模型目前工程计算中常用的湍流模型从对模式处理的出发点不同，可以将湍流模式理论分类成两大类：一类引入二阶脉动项的控制方程而形成二阶矩封闭模型，或称为雷诺应力模型，另一类是基于Boussinesq 的涡粘性假设的涡粘性封闭模式，如零方程模型，一方程模型和二方程模型。

2.2.1雷诺应力模型雷诺应力模型(RSM)从Reynolds 应力满足的方程出发，直接建立以''i j u u 为因变量的偏微分方程， 将方程右端未知的项（生成项，扩散项，耗散项等）用平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示出来，并通过模化封闭。

封闭目标是雷诺应力输运方程: ''''''''''i ji j ji k i k j k ij ij ij k k k u u u u u u u u u u u D t x x x φε∂∂∂∂+=--++-∂∂∂∂ （7） 式中ij φ 是雷诺应力再分配项， ij D 是雷诺应力扩散项， ij ε是雷诺应力耗散项。

典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。

这种模式理论，由于保留了Reynolds 应力所满足的方程，如果模拟的好，可以较好地反映Reynolds 应力随空间和时间的变化规律，因而可以较好地反映湍流运动规律。

因此，二阶矩模式是一种较高级的模式，但是，由于保留了Reynolds 应力的方程，加上平均运动的方程整个方程组总计15个方程，应用这样一个庞大的方程组来解决实际工程问题，计算量很大，极大地限制了二阶矩模式的应用。

2.2.2涡粘性模型涡粘性模型在工程湍流问题中得到广泛应用。

这是由Boussinesq 仿照分子粘性的思路提出的，即设Reynolds 应力为，,,,22()33i j T i j j i k k ij ij u u U U U k νδδ=-+++ 这里12i j k u u =是湍动能，T ν称为涡粘性系数，这是最早提出的基准涡粘性模式，即假设雷诺应力与平均速度应变率成线性关系，当平均速度应变率确定后，六个雷诺应力只需要通过确定一个涡粘性系数T ν就可完全确定，且涡粘性系数各向同性，可以通过附加的湍流量来模化，比如湍动能k ，耗散率ε，比耗散率w 以及其它湍流量ετ/k =，ε/2/3k l =，k q =，根据引入的湍流量的不同，可以得到不同的涡粘性模式，比如常见的ε-k ，k-w 模式，以及后来不断得到发展的τ-k ，q-w ，k-l 等模式，涡粘性系数可以分别表示为ενμ/2k C T =ωνμk C T =τνμk C T =ωνμ2q C T = lk C T μν=雷诺平均方法的优点为 (1) 对计算机的要求较低，同时可以得到符合工程要求的计算结果。

(2)一旦给定合理的Reynolds 应力模型，可以很容易地从RANS 方程解出湍流的统计量，所需要的计算资源小。

(3)几乎能对所有雷诺数范围的工程问题求解，并得出一些有用的结果。

其不足之处在于：(1) 对不同类型的湍流，需要采用不同的Reynolds 应力模型，甚至对于同一类型的问题，对应于不同的边界条件需要修改模型的常数。

(2) 由于不区分旋涡的大小和方向性，对旋涡的运动学和动力学问题考虑不足，不能用来对流体流动的机理进行描述。

(3) 对于非定常流动、大分离流动、逆压力梯度数值模拟等问题，受湍流模型条件的限制，很难得到满意的计算结果。

(4)严重依赖流场形状和边界条件，普适性差，计算很大程度上依赖于经验。

2.3 常用的湍流模型常用的湍流模型有：零方程模型：C-S 模型，由Cebeci-Smith 给出；B-L 模型，由Baldwin-Lomax 给出。

一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型。

二方程模型：应用比较广泛的两方程模型有Jones 与Launder 提出的标准k-e 模型，以及k-omega 模型。

1、零方程模型上世纪30年代发展的一系列湍流的半经验理论，如Prandtl 的混合长度理论、Taylor 的涡量输运理论、von Karman 的相似性理论等，本质上即是零方程湍流模型。

零方程模型直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，由于不涉及代数关系故称为零方程模型：''m u u v yρρε∂-=∂ 其中m ε称为涡粘系数，与分子的运动粘性系数ν有相同的量级。

对于一般的三维的情况，上式可写为：''223i j m ij ij u v S K ρεδ-=- K 为单位质量的湍流脉动动能。

为了发展上述方法，需要建立m ε与平均速度之间的关系。

1925年，普朗特提出混合长度理论，认为存在这样的长度l ，在此长度内流体质点运动是自由的，l 称为混合长度。

由于湍流漩涡的作用，到达新位置后他会低于当地周围的平均速度，此即流向脉动速度'10()()u U y U y ≈-，显然，此速度差取决于当地的平均速度梯度U y ∂∂与微团沿y 向跳动的距离l ，即：'U u l y∂≈∂此l 表示在此距离内微团沿y 向脉动时基本不丧失其原有速度。

实际测量表明，虽然一般情况下流向的脉动速度的均方根值大于法向值，但他们有相同的量级，因此有：'U v l y∂≈∂ 所以有：''2u u u v l y yρρ∂∂-=∂∂ 由此可算出涡粘性系数为： 2m u l yε∂=∂ 由此可见，若假设l 不随速度变化，则可得出湍流切应力与平均速度平方成比例，这与实验结果是一致的。

混合长度理论已成功用于研究多种湍流剪切流，如流管、边界层和各种湍流剪切流。

目前应用最广泛的零方程模型是Baldwim-Lomax 模型，该模型对湍流边界层的内层和外层采用不同的混合长度假设，在流体分离不严重的流场计算中结果较好。

但是实际上，零方程湍流模型仅适用于局部平衡状态的湍流流动。

2，、一方程模型一方程模型一般求解湍流动能或涡粘性系数的输运方程，精度较好，鲁棒性也比较好，B-B 模型和S-A 模型是典型的单方程模型。

特别是S-A 模型，从经验和量纲分析出发得出了涡粘性系数的输运方程，采用大量的实验结果标定模型系数，具有良好的鲁棒性和计算准确性，目前已经被集成在各种商业软件和科学计算的代码中，在航空航天领域的空气动力学计算中得到了十分广泛的应用。

S-A 模型常被认为介于B-L 代数模型和两方程模型之间。

由于其容错功能好，处理复杂流动的能力强，已得到广泛应用。

与B-L 模型相比，其湍流涡粘场是连续的。

且容错性好，计算量少。

该湍流的原理是建立在一个附加的涡粘输运方程的解决上。

方程中包含对流项，扩散项和源项，以非守恒形式建立。

S-A 模型不同于其他一些单方程模型，是直接根据经验和量纲分析，从简单流动开始，直接得到最终的控制方程。

该模型具有一些很好的特点，相对于两方程模型计算量小和稳定性好，同时又有较高的精度。

由于模型方程的因变量函数在对数律区内与到壁面的距离成线性关系，所以可以使用相对与低雷诺数模型较粗的网格。

另外，模型是非当地型的，方程中没有诸如y+这类当地型的项在内，所以在有多个物理面的复杂流场中不需要特殊处理，使用方便。

3、两方程模型上世纪70年代，Launder 发展的k-ε模型被称为标准k-ε模型，它求解湍流动能k 及湍流动能耗散率ε的输运方程，能够反映一定的湍流物理量的输运特性，是两方程湍流模型的先驱性工作。

之后研究人员又发展了重整化群k-ε (RNG k-ε)模型、可实现性k-ε模型等，进一步强化了k-ε系列模型的计算性能。

另外一个系列的两方程模型为-k ω模型系列，其中比较有代表性的有标准-k ω模型和SST -k ω模型。

一般来说，k-ε模型对高Re 数充分发展的湍流模拟结果较好，而-k ω模型改进了k-ε模型对受壁面影响湍流模拟的缺陷，对壁面附近的湍流模拟精度较高。

（1）k-ε模型k-ε模型是分别引入关于湍动能k 和耗散率ε的方程：()()()e k k b k k k kk k u k G G t x x x μρρρεσ∂∂∂∂+=++-∂∂∂∂ 12()()()()e k k k k k k u c G c t x x x kεμρεερερεσ∂∂∂∂+=+-∂∂∂∂ 其中：222[2()2()()]k t u v u v G x y y xμ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ ()t t b x y t t T T G g g x yμμβρσσ∂∂=-+∂∂ e t μμμ=+ 2t k C μμρε=模型中各通用常数据计算经验可取为： 120.09, 1.44, 1.92,1, 1.3k C c c εμσσ=====标准K-ε模型的特点：可用于边界层型流动和分离流；近壁需修正或在计算边界上用壁函数（半经验公式）作边界条件；属于涡粘模型；ε方程模化不确定因素多，可靠性差；模型常数通用性差；不能模拟强各向异性流（如矩形槽道中的二次流）；不能计入涡量的影响。