罚函数 原理与应用
第二节 罚函数法
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
惩罚函数法
k k 1
r k 1 cr k
否
X 0 X *(rk )
开始
输入 X 0、r0、c、
k←0
求 min(X , rk )
满足收敛条件？ 是
X * X *(rk ) f ( X *) f X *(rk )
结束
3.外点惩罚函数法
求解策略
外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点相反，
3.外点惩罚函数法
外点法程序框图：
Yes
X * X *(rk )
Yes
f ( X *) f X *(rk )
结束
开始
输入 X 0, r0, c,1,2
k 0
求 min ( X , rk ) 得X *(rk )
Q max g j ( X *(rk ))
Q 1 ?
No
X * (r k ) X * (r k1) 2
(X , r) f (X ) rmax 0, g j (X ) rhk (X )
j 1
k 1
式中：r为惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列
3.外点惩罚函数法
l
2m
2
即 r0＜r1＜r2＜··· ,hk (X ) 、max 0, g j (X )分别对
应为对应于不等式约束和等k式1 约束函数j1的惩罚项， 其中
当 r , lim(1 1 ) 1。
r 4r
当逐步增大r值，直至趋近于无穷时，逼近原问题的约束最优
解，当r=0.25,0.5,1,2时，惩罚函数 (X , r) 的等值线图
下如
3.外点惩罚函数法
当r逐渐增大时，极值
点 X *(r)的序列将沿一直线轨 迹 ( X *(r), r) 1 X *(r) 在可 行域外逐步逼近2 最优2 点。
罚函数法与障碍函数法
罚函数法与障碍函数法罚函数法与障碍函数法罚函数法与障碍函数法是求解约束极⼩化问题的较好的算法，其基本原理是在原⽬标函数中加上⼀个罚（障碍）函数，⽽得到⼀个增⼴⽬标函数。
罚（障碍）函数的功能是对⾮可⾏或企图穿越边界⽽逃离可⾏域的点赋予⼀个极⼤的函数值。
可以作⼀个形象的⽐喻：在约束极⼩化问题中，约束条件是⼀条“法律”，凡是不服从这条“法律”的点被处以“罚款”的“经济制裁”，⽽且“罚款”的数额极⾼。
这样，在对新的⽬标函数进⾏⽆约束极⼩化的过程中，就会迫使迭代点逐步逼近（当迭代点在可⾏域外时）或者不能离开可⾏域（当迭代点在可⾏域内时），这样所得的关于增⼴⽬标函数的⽆约束极⼩化的解就会逼近于原⽬标函数的约束极⼩化的解。
也就是说，可以将约束极⼩化问题通过增⼴⽬标函数⽽化成⽆约束极⼩化问题，⽽后者可以⽤前⼏节所介绍的算法来求解。
⼀、罚函数法（外点法）1．罚函数法的基本原理定理4.12 设对给定的参数µ,F(X,µ)的⽆约束极⼩点为Xµ, 那么Xµ成为f(X)的约束极⼩点的充要条件是：Xµ是原问题的可⾏点。
证明必要性显然成⽴，下⾯证明充分性。
设原问题的可⾏域为D,Xµ∈D，则由a(X)的构造可知：a(Xµ)=0, Xµ∈D由于已知Xµ是F(X,µ)的⽆约束极⼩点，故存在Xµ的⼀个领域N(X,ε)，使得F(Xµ,µ)≤0,X∈D∩N(Xµ,ε)所以F(Xµ,µ)= f(Xµ)+µa(Xµ)=f(Xµ)F(X,µ)= f(X)+ µa(Xµ)=f(X)因此f(Xµ)≤f(X)，当X∈D∩N（Xµ,ε）表明，Xµ是原问题的约束极⼩点。
2．罚函数法算法在⽤计算机求解F(X,µ)的⽆约极⼩点时，必须事先给µ的值，例如，令µ=µ0，才能求出F(X,µ)的极⼩点Xµ0。
罚函数-原理与应用
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ,F(x,μ)的无约
束极小值为xμ。那么，xμ成为f(x)的约束极小点的
充要条件是：xμ是原问题的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
1) 取初始点X0为非可行点,μ0＞0(通常取μ0=1), ε＞0,c＞1(通常取
c=10),k=0
2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题：
= 12 + 222 + 21 + (1 + 2 − 1)2
(, )
= 12 + 222 + 21
+ (1 + − 1)2
例题
= 2, 2 = 100
(1) = (−0.2,0.4), ( (1) ,μ0 ) = 1.5237
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ0)的
问题转化为：
minF(x)
min() = 12 + 222 + 21
..
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式：
F(x,μ)=x+μ[max(0,-0+2)]²
其中，μ是一个充分大的正数。记
α(x)=[max(0,-x+2)]²
(3-98)
(3-99)
通常将μα(x)称之为罚函数，记为
点正是X=2
解题步骤
一般情况下：
设原问题为
minf(x)
(3-100)
s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101)
hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102)
则可以构造无约束极小化问题：
minF(x,μ)=f(x)+μα(x) (3-103)
罚函数详解范文
罚函数详解范文罚函数是在优化算法中使用的一种数学函数，用于表示目标函数所需最小化或最大化的约束条件。
它用于惩罚不满足约束条件的解，使优化算法能够到符合约束条件的最优解。
罚函数通常在约束条件无法直接融入目标函数时使用。
罚函数的基本思想是引入惩罚项，将违反约束条件的解的目标函数值增加一个惩罚项，从而避免到不满足约束的解。
罚函数的形式多种多样，可以根据具体问题的约束条件和优化目标灵活选择。
一般来说，罚函数可以分为外罚函数和内罚函数。
外罚函数是将约束条件转化为约束项，增加到目标函数中。
内罚函数则是将罚项直接添加到目标函数中。
外罚函数的一种常见形式是将约束项乘以一个罚系数加到目标函数中，如：F(x)=f(x)+c*g(x)其中，F(x)为带罚函数的目标函数，f(x)为原始目标函数，g(x)为约束函数，c为罚系数。
当约束条件不满足时，g(x)的值较大，从而使罚函数的值增加，从而对目标函数进行惩罚。
目标函数的最小化过程中，在使得f(x)值小的前提下，也要尽量减小g(x)的值。
内罚函数则可以通过定义一种惩罚项，将违反约束的解进行惩罚。
一种常见的内罚函数是将约束条件的差值平方作为罚项，如：F(x)=f(x)+c*g(x)^2其中，F(x)为带罚函数的目标函数，f(x)为原始目标函数，g(x)为约束函数，c为罚系数。
当约束条件不满足时，g(x)的值较大，从而使罚函数的值增加，从而对目标函数进行惩罚。
罚系数c的选择需根据具体问题进行调整，较大的c会对不满足约束条件的解进行更大的惩罚。
除了上述的外罚函数和内罚函数，还有一种常见的罚函数是逻辑约束罚函数。
逻辑约束罚函数是通过引入逻辑变量，并将约束条件转化为逻辑约束，来对边界违反条件进行惩罚。
例如，对于变量x的约束条件0<=x<=10，可以定义逻辑变量y和z，并引入逻辑约束y=0并且z=0，再对y和z进行罚函数处理。
当x违反约束条件时，y或z的值会违反逻辑约束，从而增加罚函数值。
罚函数课件
CHAPTER
06
罚函数的未来发展与研究方向
罚函数的改进与优化
动态调整罚因子
根据问题的复杂性和数据特性，动态调整罚因子的大小，以获得 更好的优化效果。
多目标优化罚函数
将多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过设计合理的罚函 数，实现多个目标的平衡优化。
引入机器学习算法
利用机器学习算法对罚函数进行训练和优化，提高罚函数对复杂 问题的适应性。
02
在机器学习中，罚函数常用于解决模型的过拟合问题。通过在损失函数中加入 正则化项（即惩罚项），使得模型在训练过程中不仅要最小化损失函数，还要 尽量满足某些正则化条件（如参数的范数约束）。
03
常见的正则化项包括L1正则化、L2正则化以及弹性网正则化等。这些正则化项 在模型训练过程中起着重要的角色，能够有效地防止过拟合，提高模型的泛化 能力。
罚函数在深度学习中的实现方式
软阈值化
在优化过程中，将权重向量的元素值与阈值进行比较，将 超过阈值的元素置为零，实现L1正则化。
权重衰减项
在损失函数中添加权重衰减项，使得权重向量的平方和变 小，实现L2正则化。
自定义罚函数
根据具体问题定义自己的罚函数，并在损失函数中添加该 罚函数项，以实现特定的正则化效果。
系数估计
Ridge回归使用L2范数作为 惩罚项，对系数进行估计， 能够得到更平滑、更稳定的 模型。
模型选择
Ridge回归在选择模型时， 通常需要预先设定一个阈值 或交叉验证来确定惩罚参数 的大小。
L1与L2罚函数的比较
稀疏性
Lasso回归具有稀疏性，能够自动选 择重要变量，而Ridge回归则不具备 这一特性。
罚函数与其他算法的结合
与进化算法结合
罚函数详解
罚函数详解
罚函数是一种用于优化问题中的约束的技术。
通常，在优化过程中，
我们面临许多约束问题，其中一些可能会使优化问题变得更加复杂。
罚函
数的目的是将这些约束问题转换为约束条件。
罚函数的基本思想是在原优化问题中添加一个“惩罚”项，在该项下
违反约束条件的解将被“惩罚”，而在该项下满足约束条件的解将不受影响。
这将使优化问题在满足约束条件的情况下更容易求解。
一般来说，罚函数是由三个因素组成的：
1.目标函数：它是优化问题的主要部分，尝试最大化或最小化其价值。
2.约束条件：这些条件规定了目标函数的值必须满足的限制条件。
3.罚项：这是一个额外的项，它在目标函数的基础上对约束条件进行
惩罚，以防止超出约束条件而导致的不良解。
罚函数通常采用两个步骤：
1.定义罚函数：在目标函数的基础上添加“惩罚”项，该项惩罚解决
方案违反约束条件的行为，使其不受欢迎。
2.解决优化问题：将添加“惩罚”项的目标函数与约束条件一起考虑，并确定最佳解决方案。
罚函数的主要优点是可以将约束条件集成到目标函数中，从而简化问
题的解决方案。
此外，它还可以帮助避免无法满足约束条件的解决方案，
并确保生成的解决方案符合所有要求。
第五章 惩罚函数法
入口 给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2 k←0 用无约束优化方法求罚函数 * 的优化点 x k F F ( x k* )
x* x k , F * F ( x k )
* *
内 点 法 流 程 图
出口
+
K=0?
-
F F0 F0
2
+
r
( k 1)
Cr
(k )
F0 F x k 1 x k
x∈Rn 任选初始点x(0)，初始法罚因子r(0)>0,罚因子递增系数C>1 对于r(k)为某一值，同过对惩罚函数的无约束求优，可 得最优点 。随着k的增大，得无约束最优点列
在k←∞的过程中，点列将趋近于原问题的最优点
实线为原目标 函数等值线
虚线为罚函数 等值线
总结 由上图可见，两种等值线在可行域内部及边界上是重合 的；而在非可行域中，罚函数的等值线升高了。即只有在 可行域外部惩罚项才起到惩罚的作用。r(k)值越大，惩罚作 用越大。 由上b图可知，在起作用约束边界处罚函数等值线变得越 密集和越陡峭。随r(k)的增大，最优点列将越接近于原约束 优化问题的最优点x*。但须注意，近似的最优点是落在边 界处非可行域一侧。
(0) *
-
k k 1ຫໍສະໝຸດ ㈦内点罚函数的特点内点法只适用于解不等式约束优化问题。由于内点法 需要在可行域内部进行搜索，所以初始点必须在可行域 内部选取可行设计点。 内点法的突出优点在于每个迭代点都是可行点 因此，当迭代达到一定阶段时，尽管尚没有达到最优点， 但也可以被接受为一个较好的近似解。
5.3.4.2 外点法
出口
外 点 法 流 程 图
k←0
用无约束优化方法求罚函数 * 的优化点 x k F F ( x k* )
python 外点罚函数
python 外点罚函数外点罚函数是一种在优化算法中常用的数学工具，用于衡量优化目标与候选解之间的距离或差异程度。
在机器学习、数据挖掘、图像处理等领域中，外点罚函数被广泛应用于解决各种优化问题。
本文将从概念、原理、应用以及优化算法中的具体案例等方面进行介绍。
一、概念外点罚函数（Outer penalty function）是在优化问题中引入的一种约束处理方法。
当问题存在约束条件时，通常需要将约束条件转化为目标函数的罚项，以便在优化中考虑约束条件。
外点罚函数的基本思想是通过引入罚项来惩罚不满足约束条件的解，从而将优化问题转化为无约束问题。
二、原理外点罚函数在数学上的定义通常包括两部分：目标函数和罚项。
目标函数是优化问题中的主要目标，而罚项则用于惩罚不满足约束条件的解。
罚项可以通过不同的方式来设计，常见的有线性罚函数、二次罚函数和指数罚函数等。
在外点罚函数的优化过程中，目标函数的取值与罚项的大小紧密相关。
当解满足约束条件时，罚项的取值为0，目标函数的取值即为原始目标函数的取值。
而当解不满足约束条件时，罚项的取值大于0，目标函数的取值则会受到罚项的影响而增大。
这样一来，优化算法就会更加倾向于选择满足约束条件的解作为最优解。
三、应用外点罚函数在实际应用中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 优化问题中的约束处理：在很多优化问题中，存在各种约束条件，如线性约束、非线性约束、等式约束和不等式约束等。
通过引入外点罚函数，可以将这些约束条件转化为目标函数中的罚项，从而解决约束问题。
2. 数据挖掘中的异常检测：在数据挖掘任务中，异常检测是一个重要的问题。
外点罚函数可以用于定义异常点与正常点之间的差异程度，从而识别出异常点。
3. 图像处理中的边缘检测：图像边缘检测是图像处理中的一项基本任务。
外点罚函数可以用于定义图像中不同区域之间的边缘程度，从而实现边缘检测。
四、优化算法中的具体案例外点罚函数在各种优化算法中都有广泛的应用。
利用二次罚函数法解等式约束优化问题
利用二次罚函数法解等式约束优化问题二次罚函数法是一种常见的约束优化算法，在求解等式约束优化问题时具有较好的适用性。
它通过将等式约束引入目标函数构造二次罚函数，并通过逐步逼近的方式求得最优解。
本文将详细介绍二次罚函数法的原理和应用，以及一些常见的改进算法。
一、二次罚函数法的原理二次罚函数法的核心思想是将等式约束引入目标函数中，构造一个包含等式约束的二次罚函数。
通过对这个罚函数进行最小化，可以获得满足等式约束的优化解。
假设目标函数为f(x)，等式约束为g(x)=0，其中x=(x1,x2,...,xn)表示待求最优解的变量。
通过引入拉格朗日乘子法，可以将等式约束转化为目标函数加上一系列封闭约束，得到拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中λ为拉格朗日乘子。
接下来，我们可以构造二次罚函数P(x)来表示目标函数与约束函数的关系。
一个典型的二次罚函数形式为P(x)=f(x)+ρg(x)²，其中ρ为罚函数参数，用于控制罚项的大小。
在二次罚函数的基础上，可以应用一些求解优化问题的算法进行求解。
一般来说，可以通过牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等等求解罚函数的极小值点，直到得到满足等式约束的最优解。
二、二次罚函数法的应用二次罚函数法在等式约束优化问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.最小二乘法问题：在最小二乘法中，我们需要找到一条曲线使其与给定数据点的误差平方和最小。
当问题存在等式约束时，可以使用二次罚函数法求解。
2.非线性优化问题：在非线性优化问题中，目标函数和约束函数都是非线性的。
通过二次罚函数法可以将非线性优化问题转化为二次罚函数的最小化问题。
3.机器学习中的支持向量机：支持向量机是一种主要用于分类问题的机器学习算法。
在支持向量机的优化问题中，存在一系列等式约束。
通过二次罚函数法可以求解这些约束。
4.数学建模中的约束条件问题：在数学建模中，有很多经济、物理、生物等问题需要求解一系列约束条件下的最优解。
惩罚函数法概述_内点法
一 基本原理
惩罚函数法是应用广泛,非常有效的间接解 法.又称为序列无约束极小化方法(SUMT法). 该方法通过将原约束优化问题中的等式和 不等式约束函数加权处理后与原目标函数结合, 得到新的目标函数(惩罚函数).原问题转化为新的 无约束优化问题,求解该新的无约束优化问题,间 接得到原约束优化问题的最优解.
内 点 法 程 序 框 图
举例
用内点法求最优点:
2 min f ( x) x12 x2
解： r ( x, r ) f ( x ) g ( x) r 2 2 ( x, r ) x1 x2 1 x1
s.t.g ( x ) 1 x1 0
or ( x, r ) f ( x) r ln( g ( x))
r1 , r2
加权因子(惩罚因子)
原约束优化问题转化为无约束优化问题:
min ( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)]
j 1
m
r2 H [hk ( x)]
k 1
l
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
min f ( x) g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m) hk ( x) 0 (k 1,2,...,l)
( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)] r2 H [hk ( x)]
j 1 k 1 m l
障碍项
惩罚项
二 惩罚函数法分类
内点惩罚函数法(内点法)
外点惩罚函数法(外点法) 混合惩罚函数法(混合法)
最优化方法之罚函数法讲解
contents
目录
• 引言 • 罚函数法基本原理 • 经典罚函数法介绍 • 改进型罚函数法探讨 • 数值实验与案例分析 • 结论与展望
01 引言
最优化问题概述
01
02
03
最优化问题的定义
最优化问题是在一定条件 下，寻找一组参数值，使 得某个或某些目标函数达 到最优的问题。
混合罚函数法
• 基本思想：混合罚函数法结合了外点罚函数法和内点罚函数法的特点，通过同时构造包含原目标函数、等式约 束和不等式约束的辅助函数，将约束问题转化为无约束问题进行求解。
• 辅助函数构造：混合罚函数法的辅助函数通常包括原目标函数、等式约束的二次惩罚项以及不等式约束的对数 障碍项。其中，二次惩罚项用于处理等式约束，对数障碍项用于处理不等式约束。
内点罚函数法
• 基本思想：与外点罚函数法类似，内点罚函数法也是通过构造辅助函数将约束问题转化为无约束问题。不同之 处在于，内点罚函数法要求迭代点始终保持在可行域内部，并在可行域边界上对原目标函数进行惩罚。
• 辅助函数构造：内点罚函数法的辅助函数通常取为原目标函数加上一个障碍项，该障碍项在可行域内部为零， 在可行域边界上取正值，且随着接近边界程度的增加而趋于无穷大。
• 迭代过程：从满足所有约束条件的一个点出发（通常通过其他方法获得），通过求解无约束问题的极小化序列 来逼近原问题的最优解。在迭代过程中，根据当前点违反约束的情况动态调整惩罚因子和障碍参数，以保证算 法的稳定性和收敛性。
• 优缺点：混合罚函数法能够同时处理等式和不等式约束，具有较广泛的适用性。然而，由于需要同时考虑多种 类型的约束和惩罚项，算法的复杂性和计算量相对较大。此外，惩罚因子和障碍参数的选择对算法效果也有一 定影响。
第五章惩罚函数法详解
㈣关于几个参数的选择
⑴初始罚因子r(0)的选取
如果 值选得太大，则在一开始罚函数的惩罚项的 值将远远超出原目标函数的值，因此，它的第一次无约束极 小点将远离原问题的约束最优点。在以后的迭代中，需要很 长时间的搜索才能使序列无约束极小点逐渐向约束最优点逼近。
如果 值选得太小，则在一开始惩罚项的作用甚小，
而在可行域内部惩罚函数
与原目标函数F(x)很相近，
只在约束边界附近罚函数值才突然增高。这样，使其罚函数
在在约束边界附近出现深沟谷地，罚函数的性态变得恶劣。
如下图，对于有深沟谷地性态差的函数，不仅搜索所需的 时间长，而且很难使迭代点进入最优的邻域，以致极易使 迭代点落入非可行域而导致计算的失败。
或
r（0）=1~50
函数
的一系(x,列r(k最) ) 优点，
xk* (k 0,1,2, )
显见，无约束最优点序列将逐渐趋近于原约
束优化问题的最优点x*。
㈡内点罚数法的形式及特点
⑴具有不等式约束的优化问题的数学模型
S.T. :
u=1，2……，p
⑵构造如下形式的内点罚函数
p
(x, r (k) ) F (x) r (k)
而且，当x越趋近于约束边界时，由于惩罚项 r(k) 1
增大，所以罚函数 (x, r(的k) )值越大。当x←b时，罚g１函(x)
数的值将趋近于+∞。因此，当初始点取在可行域内，求
函数 (x, r(k)的) 极小值时，只要适当控制搜索步长，
防止迭代点跨入非可行域，则所搜索到的无约束极小点 x*必可保持在可行域内。
⑹由终止准则，若满足则转步骤⑺，否则转⑸⑺,输出最优解(x*,F*)
入口
给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2
惩罚函数法的基本原理
惩罚函数法的基本原理惩罚函数法（Punishment-based approach）是一种优化算法，在求解约束最优化问题时有着重要的应用。
它通过将约束条件与目标函数进行结合，将问题转化为无约束最优化问题来求解。
惩罚函数法的核心思想是通过在目标函数中添加惩罚项来使得违反约束的解变得不可行，从而达到求解约束最优化问题的目的。
惩罚函数法的基本原理可以简单地概括为以下几个步骤：1. 确定目标函数：首先需要确定原始约束最优化问题的目标函数。
目标函数是对问题的数学形式化表达，在优化中主要追求最小化或最大化。
2. 引入惩罚项：将约束条件表示为等式或不等式形式，在目标函数中引入一个或多个惩罚项。
惩罚项的设计通常是一个与约束条件违背程度相关的函数，通过量化违背的程度。
惩罚项的选择需要根据具体问题进行合理设计，以确保能够有效地将约束违背的解变得不可行。
3. 调整惩罚参数：惩罚函数法中的一个重要参数是惩罚参数，它用于控制惩罚项在目标函数中的影响程度。
适当的惩罚参数选择可以保证优化算法在搜索解空间时能够在违反约束与优化目标之间取得平衡，避免过度收敛到局部最优解。
4. 构建新的目标函数：将原始目标函数和惩罚项进行加权结合，构建新的目标函数。
这一步通常是将惩罚项与原始目标函数进行加权线性组合，其中加权系数可以根据问题的特性进行调整。
目标函数的设计应该能够准确地描述问题，并能够引导优化算法在搜索过程中逐渐减小约束违背的程度。
5. 优化求解：使用优化算法，通过对构建的新目标函数进行求解，寻找最优解。
常用的优化算法有梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等。
在求解过程中，通过迭代更新变量值，直到达到停止条件。
6. 解的后处理：在获得原始问题的近似最优解后，需要进行结果验证和后处理。
验证结果是否满足原始约束条件，对于不满足约束条件的解进行修正或调整。
惩罚函数法的优点之一是可以将约束问题转化为无约束问题，扩大了求解问题的搜索空间。
同时，通过合理选择和调整惩罚项以及惩罚参数，可以在一定程度上平衡约束与目标之间的矛盾，找到满足约束条件的最优解。
lasso问题 罚函数
lasso问题罚函数一、引言Lasso问题是一种在统计学习领域中常用的回归分析方法，它通过惩罚回归系数，使得回归系数绝对值的和最小，同时保留重要的解释变量。
罚函数是一种优化方法，用于解决Lasso问题中的约束优化问题。
本篇文档将详细介绍Lasso问题和罚函数的基本概念、应用场景、算法原理以及优缺点。
二、Lasso问题Lasso问题是一种线性回归分析方法，通过添加L1正则项来惩罚回归系数，使得回归系数绝对值的和最小。
Lasso问题的数学形式为：min 损失函数(y, xβ) + 惩罚项(β)s.t. β ≤ λ其中，y为观测数据，x为特征矩阵，β为回归系数，λ为惩罚参数。
损失函数通常采用均方误差（MSE）或对数损失等常见损失函数。
惩罚项通常采用L1正则项，即β的绝对值的和。
三、罚函数罚函数是一种优化方法，用于解决包含约束条件的优化问题。
对于Lasso问题中的约束条件β ≤ λ，可以使用罚函数方法进行求解。
罚函数方法的思路是将约束条件转化为一个目标函数的极值问题，通过对目标函数进行优化，逐步增加罚分值，最终得到无约束条件下的最优解。
四、算法原理1. 将约束条件β ≤ λ转化为一个罚分值φ(β)，当β超过λ时，φ(β)取极大值。
通常采用阶梯函数或对数函数作为罚分值函数。
2. 将原问题转化为一个无约束条件的优化问题，即：min 损失函数(y, xβ) + 惩罚项(β) + φ(β)s.t. β ≤ λ3. 采用梯度下降法等优化算法求解该问题，逐步减小惩罚项的系数，直到达到停止条件或得到满意解。
五、应用场景Lasso问题和罚函数方法在许多领域都有应用，如生物信息学、市场营销、金融分析等。
在数据稀疏性较强的情况下，Lasso方法可以通过添加L1正则项来抑制噪声和无关变量，提高模型的解释能力。
同时，罚函数方法可以用于解决包含约束条件的优化问题，如Lasso问题中的β ≤ λ约束条件。
六、优缺点优点：1. 提高模型的解释能力：Lasso方法通过添加L1正则项来抑制噪声和无关变量，提高模型的解释能力。
最优化理论第五章-惩罚函数法
课堂练习：
外点法求解
称为SUMT方法 基本步骤：
序列无约束极小化方法
收敛于
1.3. 外点法收敛性
定理2： 定理3：
的最优解。
2. 内点罚函数法
2.1 思想：从内点出发，保持在可行域内部进行搜索。
只适用于不等式约束问题
两种形式：
原始问题的解
2.2 r如何取值？
r太大，问题的解不精确
计算步骤： ∆例题： 解得：
2.3. 收敛性
例：乘子法求解：
3.3. 不等式约束的乘子法
转化为
等式
定义增广Lagrange函数。 求得原问题的解
用配方法整理则有： 增广Lagrange函数变为
一般问题
例题：
则
作业：
1. 阅读MATLAB中optimization toolbox 中的Quasi-Newton Method 和 Least-Squares Method 算法，用Lsqnonlin（）函数 求解
有约束最优化：
可行域
定义：局部极小点，局部严格极小点
一阶条件（必要条件） 二阶条件（必要条件）
惩罚函数法 可行方向法，二次规划
1. 外点罚函数法
1.1 罚函数概念
a 对于等式约束：
对于线性约束可 消元处理
第2项很大
很大的正数
b. 不等式约束
转化为 c.一般情况：
罚回来
过大，计算困难 太小，远离约束问题的最优解
定理：问题
∆ 外点法 内点法
应用序列无约束极小化方法，简单
成为病态矩阵 无法求解
增大
3. 乘子法（Hestenes, Powell）提出
罚函数法求解问题
罚函数法求解问题
罚函数法是一种最优化方法，用于解决约束优化问题。
该方法将约束条件融入目标函数，通过引入惩罚项对违反约束条件的解进行惩罚，从而将约束优化问题转化为无约束优化问题。
具体而言，罚函数法将原始的约束优化问题转化为带有惩罚项的目标函数：
$$\min_x f(x) + P(h(x))$$
其中，$f(x)$是原始的目标函数，$h(x)$是约束函数，
$P(h(x))$是惩罚项。
罚函数法的关键是选择合适的惩罚函数，常用的有线性惩罚函数和二次惩罚函数等。
罚函数法的求解思路是先将原始目标函数与惩罚项结合起来，得到一个无约束优化问题。
然后使用最优化算法，如梯度下降法或牛顿法等，对该无约束问题进行求解。
在求解过程中，惩罚项的作用是使违反约束条件的解在优化过程中被惩罚，进而逼近满足约束条件的解。
需要注意的是，罚函数法的求解结果可能只是一个近似解，而不是真正的最优解。
因此，在使用罚函数法求解问题时，需要根据具体情况判断结果的可靠性。
综上所述，罚函数法是一种用于求解约束优化问题的方法，通过引入惩罚项将约束条件融入目标函数，转化为无约束优化问题。
罚函数课件
在线性回归中，L2罚函数将模型参数的平方和作为惩罚项加入到损失函数中。通 过调整惩罚项的系数，可以控制模型复杂度。较小的系数会导致模型复杂度较高 ，容易过拟合；较大的系数则会使模型复杂度降低，提高泛化能力。
支持向量机中的L1罚函数
总结词
L1罚函数，也称为Lasso回归，通过对模型参数施加L1惩罚项，实现特征选择和稀疏表示。
02
罚函数通过对不满足约束条件的解进行惩罚，使得在优化过程中，不满足约束条 件的解逐渐被淘汰，最终得到满足所有约束条件的优化解。
罚函数的分类
根据罚因子是否可调，罚函数可以分为固定罚因子罚函数和 可调罚因子罚函数。固定罚因子罚函数中，罚因子是固定的 ，不可调整；而可调罚因子罚函数中，罚因子可以根据具体 情况进行调整。
Chapter
梯度下降法的基本概念
梯度下降法是一种优化算法，通过迭代地沿着函数梯度 的负方向寻找最小值，从而找到全局最优解。
在机器学习中，梯度下降法常用于训练模型参数，使得 损失函数达到最小值。
梯度下降法的核心是计算损失函数的梯度，并根据梯度 的信息更新模型参数。
梯度下降法的优缺点
优点
简单易行，适用于大规模数据集 ，能够快速收敛到局部最小值。
L1和L2罚函数的比较
01
差异
L1罚函数和L2罚函数的主要差异在于惩罚项的形式不同，L1罚函数对
绝对值进行惩罚，而L2罚函数对平方进行惩罚。此外，L1罚函数会产
生稀疏解，而L2罚函数不会。
02
适用场景
L1罚函数适用于特征选择和稀疏性要求较高的场景，例如变量众多且大
部分无用的回归问题。L2罚函数适用于需要正则化来减少过拟合的场景
在机器学习中，罚函数常用于正则化 ，通过在损失函数中增加对模型复杂 度的惩罚项，以防止过拟合。
惩罚函数法概述-内点法
min f (x) g j (x) 0 ( j 1,2,...,m) hk (x) 0 (k 1,2,...,l)
m
l
(x, r1, r2 ) f (x) r1 G[g j (x)] r2 H[hk (x)]
j 1
k 1
障碍项
惩罚项
r1, r2 加权因子(惩罚因子)
➢原约束优化问题转化为无约束优化问题:
|| X * (r1 ) X * (r 0 ) || 0.1994
X 0 [4.983 2.983 ]T
当r 2 cr1 0.01时，X * (r 2 ) [4.998 2.998 ]T
|| X * (r 2 ) X * (r1 ) || 0.0212
X 0 [4.998 2.998 ]T
第五节 惩罚函数法
一 基本原理
惩罚函数法是应用广泛,非常有效的间接解 法.又称为序列无约束极小化方法(SUMT法).
该方法通过将原约束优化问题中的等式和 不等式约束函数加权处理后与原目标函数结合, 得到新的目标函数(惩罚函数).原问题转化为新的 无约束优化问题,求解该新的无约束优化问题,间 接得到原约束优化问题的最优解.
m
min (x, r1, r2 ) f (x) r1 G[g j (x)] j 1 l r2 H[hk (x)] k 1
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
二 惩罚函数法分类
1
|| x * (rk ) x * (r k1) || 2
x* x *(rk ) f (x*) f (x *(rk ))
内点法的计算步骤和程序框图 1) 选择 • 可行的初始点; • 惩罚因子的初始值; • 缩减系数; • 收敛精度; • 取迭代次数k<-0. 2) 构造惩罚函数,选择无约束优化方法求解方法,求出无约束极值. 3) 判断所得极值点是否满足收敛条件 满足:取极值点为最优点,迭代终止 不满足:缩小惩罚因子,将极值点作为初始点,增加迭代 次数,转步骤2),直到满足收敛条件为止.
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F(X )
f ( x ),当 x 20 ,当 x 20
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式： F(x,μ )=x+μ [max(0,-0+2)]² 其中，μ 是一个充分大的正数。记 α (x)=[max(0,-x+2)]² 通常将μ α (x)称之为罚函数，记为 P(x,μ)=μα(x)
例题
2 k 3, μ 3 1000 , F ( X , μ 3 ) x12 2 x2 2 x1 1000 ( x1 x2 1) 2
以X(3)为出发点，可求得F(X, μ 3)的极小点为
X ( 4) (0.3324 ,0.6662 ), F ( X ( 4) , μ 3 ) 1.663
例题
2 k 1, μ1 10, F ( X , μ1 ) x12 2 x2 2 x1 10( x1 x2 1) 2
以X(1)为出发点，可求得F(X, μ 1)的极小点为
X ( 2) (0.32,0.625), F ( X ( 2) , μ1 ) 1.5237
i 1 j 1
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ ,F(x,μ ) 的无约束极小值为xμ 。那么，xμ 成为f(x) 的约束极小点的充要条件是：xμ 是原问题 的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
(1) 取初始点X0为非可行点,μ 0＞0(通常取μ 0=1), ε ＞0,c＞1(通常取c=10),k=0 (2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题： minF(X,μ k )=f（X）+μ kα (X) 设无约束极小点为Xμ k (3) μ kα (Xμ k)≤ε ，输出Xμ k，计算停止；否则， 转(4) (4)μ k+1=cμ k，k=k+1，转(2)
1.罚函数法的基本原理
例3.23 求解：
minf(x) x s.t. – x 2 0
基本原理
利用无约束极小化的算法来求解这个不 等式，假设存在这样一个函数F(x),当x是原 约束的可行域中点时，F(x)与f(x)的值相同； 当x不属于可行域时，则F(x)→∞,所以问题 转化为：
minF(x)
例题
2 k 2, μ 2 100, F ( X , μ 2 ) x12 2 x2 2 x1 100 ( x1 x2 1) 2
以X(2)为出发点，可求得F(X, μ 2)的极小点为
X (3) (0.325,0.662 ), F ( X (3) , μ 2 ) 1.537
解题步骤
一般情况下： 设原问题为 minf(x) (3-100) s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101) hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102) 则可以构造无约束极小化问题： minF(x,μ )=f(x)+μ α (x) (3-103) m l 其中 2 2
α ( x) [max( 0, g i ( x)] [hi ( x)]
(3-98)
(3-99)
而把新目标函数F(x,μ )=f(x)+P(x,μ )称之为 增广目标函数
基本原理
增广目标函数的性质与参数μ 有密切的联系：μ 越大，F(x,μ )的无约束极小点就越接近于f(x) 的约束极小点xμ ，可得
1 Xμ 2 2 μ Xμ 2，当μ
而利用图解法不难看出，原问题的约束极小 点正是X=2
2 X ( 0) (1,1), μ 0 1, F ( X , μ 0 ) x12 2 x2 2 x1 ( x1 x2 1) 2
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ 0)的无 约束极小点为
X (1) (0.2,0.4), F ( X (1) , μ 0 ) 1.5237
例题
例3.24 用罚函数法(外点法)求解：
要求以X(0)=(1,1)为初始点，C=10,迭 代3次
min f ( X ) x 2 x 2 x1 x1 x2 1 0 s.t.
2 1 2 2
例题
2 F ( X , μ k ) x12 2 x2 2 x1 μ(x1 x 1) 2
例题
而原问题的精确极小点与极小值为
1 2 15 X * ( ， )，f ( Xห้องสมุดไป่ตู้*) 1.6666 3 3 9
X (4)已经很接近X*。同时可以看出， F(Xk+1，μk) 单调上升，并趋于f（X*）
我的讲课结束
Thank you all ！
第十三节
罚函数法与障碍函数法
主要内容：
1
罚函数法（外点法）
2
障碍函数法（内点法）
混合罚函数法
3
罚函数的功能
在原目标函数中加上一个罚（障碍） 函数，而得到一个增广目标函数，罚 （障碍）函数。罚（障碍）函数的功 能是对非可行点或企图穿越边界而逃 离可行域的点赋予一个极大的函数值。
基本原理
一. 罚函数法（外点法）