罚函数 原理与应用

例题
例3.24 用罚函数法(外点法)求解：
要求以X(0)=(1,1)为初始点，C=10,迭 代3次
min f ( X ) x 2 x 2 x1 x1 x2 1 0 s.t.
2 1 2 2
例题
2 F ( X , μ k ) x12 2 x2 2 x1 μ(x1 x 1) 2
例题
而原问题的精确极小点与极小值为
1 2 15 X * ( ， )，f ( X *) 1.6666 3 3 9
X (4)已经很接近X*。同时可以看出， F(Xk+1，μk) 单调上升，并趋于f（X*）
我的讲课结束
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例题
2 k 1, μ1 10, F ( X , μ1 ) x12 2 x2 2 x1 10( x1 x2 1) 2
以X(1)为出发点，可求得F(X, μ 1)的极小点为
X ( 2) (0.32,0.625), F ( X ( 2) , μ1 ) 1.5237
(3-98)
(3-99)
而把新目标函数F(x,μ )=f(x)+P(x,μ )称之为 增广目标函数
基本原理
增广目标函数的性质与参数μ 有密切的联系：μ 越大，F(x,μ )的无约束极小点就越接近于f(x) 的约束极小点xμ ，可得
1 Xμ 2 2 μ Xμ 2，当μ
而利用图解法不难看出，原问题的约束极小 点正是X=2
2 X ( 0) (1,1), μ 0 1, F ( X , μ 0 ) x12 2 x2 2 x1 ( x1 x2 1) 2
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ 0)的无 约束极小点为
X (1) (0.2,0.4), F ( X (1) , μ 0 ) 1.5237
例题
2 k 2, μ 2 100, F ( X , μ 2 ) x12 2 x2 2 x1 100 ( x1 x2 1) 2
以X(2)为出发点，可求得F(X, μ 2)的极小点为
X (3) (0.325,0.662 ), F ( X (3) , μ 2 ) 1.537
解题步骤
一般情况下： 设原问题为 minf(x) (3-100) s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101) hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102) 则可以构造无约束极小化问题： minF(x,μ )=f(x)+μ α (x) (3-103) m l 其中 2 2
α ( x) [max( 0, g i ( x)] [hi ( x)]
F(X )

f ( x ),当 x 20 ,当 x 20
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式： F(x,μ )=x+μ [max(0,-0+2)]² 其中，μ 是一个充分大的正数。记 α (x)=[max(0,-x+2)]² 通常将μ α (x)称之为罚函数，记为 P(x,μ)=μα(x)
i 1 j 1
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ ,F(x,μ ) 的无约束极小值为xμ 。那么，xμ 成为f(x) 的约束极小点的充要条件是：xμ 是原问题 的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
(1) 取初始点X0为非可行点,μ 0＞0(通常取μ 0=1), ε ＞0,c＞1(通常取c=10),k=0 (2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题： minF(X,μ k )=f（X）+μ kα (X) 设无约束极小点为Xμ k (3) μ kα (Xμ k)≤ε ，输出Xμ k，计算停止；否则， 转(4) (4)μ k+1=cμ k，k=k+1，转(2)
1.罚函数法的基本原理
例3.23 求解：
minf(x) x s.t. – x 2 0
基本原理
利用无约束极小化的算法来求解这个不 等式，假设存在这样一个函数F(x),当x是原 约束的可行域中点时，F(x)与f(x)的值相同； 当x不属于可行域时，则F(x)→∞,所以问题 转化为：
minF(x)
第十三节
罚函数法wenku.baidu.com障碍函数法
主要内容：
1
罚函数法（外点法）
2
障碍函数法（内点法）
混合罚函数法
3
罚函数的功能
在原目标函数中加上一个罚（障碍） 函数，而得到一个增广目标函数，罚 （障碍）函数。罚（障碍）函数的功 能是对非可行点或企图穿越边界而逃 离可行域的点赋予一个极大的函数值。
基本原理
一. 罚函数法（外点法）
例题
2 k 3, μ 3 1000 , F ( X , μ 3 ) x12 2 x2 2 x1 1000 ( x1 x2 1) 2
以X(3)为出发点，可求得F(X, μ 3)的极小点为
X ( 4) (0.3324 ,0.6662 ), F ( X ( 4) , μ 3 ) 1.663