级数与序列的基本性质
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柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变
函数项级数fn(z) 在E上一致收敛的必要与充分
条件是：任给0，可以找到一个只与 有关
，而与z无关的正整数 NN()，使得当
nN,zE，p=1,2,3,…时，有
|f n 1 ( z ) f n 2 ( z ) . .f n . p ( z ) | .
n1
Cfn(z)d zC (z)d.z
注解：
注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求 导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和 序列；
注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研 究和函数与极限函数的解析性及其导数。
内闭一致收敛：
设函数序列
{fn(z)}n (1,2,...)
在复平面C上的区域D内解析。如果级数 fn(z)
0 , N 0 ,使n 得 N 时 ,有 当
n
|fk(z)f(z)|.
k1
注解2、复变函数序列{fn(n)}收敛于
(z)
的
N定义可以叙述为：
0 , N 0 ,使n 得 N 时 ,有 当
|fn(z) (z)|.
一致收敛
如果任给0，可以找到一个只与 有
Department of Mathematics
第一节 级数和序列的基本性质(2)
复变函数项级数
设{fn(n)}(n=1,2,…),在复平面点集E上有定义，
那么： f1 ( z ) f2 ( z ) . .fn .(z ) ...
是定义在点集E上的复变函数项级数，记为
fn(z)或fn(z)，
连续，并且级数 fn(z) 或序列 {fn(z)}在E上
一致收敛于f(z)或 (z)，那么f(z)或 (z) 在E上
连续。
定理2.2 设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…),
连续，并且级数 fn(z) 或序列{fn(n)}在C上一
致收敛于f(z)或(z) ，那么
Cfn(z)dzCf(z)d,z 或
别法）：设在复平面点集E上{fn(z)}n (1,2,...)
有定义，并且设
a 1a 2 .. .a n ...
是一个收敛的正项级数。设在E上，
|fn(z)|a n (n 1 ,2 ,...),
那么级数 fn(z)在E上一致收敛。
定理1、2：
定理2.1 设复平面点集E表示区域、闭区域或简 单曲线。设在集E上{fn(n)}(n=1,2,…),
序列{fn(n)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧
集）上一致收敛于f(z)或 (z) ，那么我们说此
级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于
f(z)或 (z) 。
定理3：
定理2.3（魏尔斯特拉斯定理）设函数
{fn(z)}n (1,2,...)
在区域D内解析，并且级数 fn(z)或序列{fn(n)}
设函数(z)在E上有定义，如果在E上每一点z， 序 列列在{Ef上n(收z)敛}都（收于敛（(于z)）(，z)）或，者那此么序我列们在说E上此序有 极限函数 (z) ，记作
nl im fn(z)(z),
注解：
注解1、复变函数项级数 fn(z) 收敛于f(z)的
N定义可以叙述为：
因为根据莫勒拉定理，可见(z)在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此 (z)在D内解析。
的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条 简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理
Cf(z)d zCfn(z)d z0, n1
因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。
其次，设U的边界即圆K也在D内，于是
fn(z)
n1 (z z0)k1
注解：
柯西一致收敛原理（复变函数序列）：复变函
数序列{fn(n)}在E上一致收敛必要与充分条件是
：任给 0，可以找到一个只与 有关，而
与z无关的正整数 NN()，使得当 m ,nN ,z E
时，有
|fn(z)fm (z)|.
注解：
注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判
因此，定理中关于级数的部分证明结束。
定理3的证明（序列）：
对于序列，我们也先证明 (z) 在D内任一点z0
取它的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作 一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理
C f ( z ) d C l n z f i n ( z ) m d l n z C i f n ( z m ) d 0 ,z
定对 我理们于有z3 的K证一明致收（敛级于数(z）f (zz0：))k1 。由定理2.2，
2 1 iK (z f( zz 0) )k 1 d zn 12 1 iK (z fn z (0 z))k 1 d,z
也就是
f(k)(z) fn(k)(z),(k1,2,3,...) n1
关，而与z无关的正整数NN()，使得当
nN,zE 时，有
n
|fk(z)f(z)|.
或
k1
|fn(z)(z)|.
那么我们说级数 fn(z)或序列
一致收敛（于f(z)或 (z) ）。
{
Hale Waihona Puke Baidu
fn
(z)}
在E上
注解：
注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也 有相应的柯西一致收敛原理：
n1
设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，
此级数都收敛于f(z)，那么我们说它在E上收敛
（于f(z)），或者此级数在E上有和函数f(z)，记
作
fn(z) f (z),
n1
复变函数序列
设
f1(z)f,2(z),.fn .(.z), ,...
是E上的复变函数列，记作{fn(z)}n1或{fn(z)}。
在D内闭一致收敛于函数f(z)或(z) ，那么f(z)或
(z) 在区域D内解析，并且在D内
f(k)(z) fn(k)(z),
或
n1
(k)(z) n l if m n (k)(z)(k , 1 ,2 ,3 ,...)
定理3的证明（级数）：
证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0
函数项级数fn(z) 在E上一致收敛的必要与充分
条件是：任给0，可以找到一个只与 有关
，而与z无关的正整数 NN()，使得当
nN,zE，p=1,2,3,…时，有
|f n 1 ( z ) f n 2 ( z ) . .f n . p ( z ) | .
n1
Cfn(z)d zC (z)d.z
注解：
注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求 导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和 序列；
注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研 究和函数与极限函数的解析性及其导数。
内闭一致收敛：
设函数序列
{fn(z)}n (1,2,...)
在复平面C上的区域D内解析。如果级数 fn(z)
0 , N 0 ,使n 得 N 时 ,有 当
n
|fk(z)f(z)|.
k1
注解2、复变函数序列{fn(n)}收敛于
(z)
的
N定义可以叙述为：
0 , N 0 ,使n 得 N 时 ,有 当
|fn(z) (z)|.
一致收敛
如果任给0，可以找到一个只与 有
Department of Mathematics
第一节 级数和序列的基本性质(2)
复变函数项级数
设{fn(n)}(n=1,2,…),在复平面点集E上有定义，
那么： f1 ( z ) f2 ( z ) . .fn .(z ) ...
是定义在点集E上的复变函数项级数，记为
fn(z)或fn(z)，
连续，并且级数 fn(z) 或序列 {fn(z)}在E上
一致收敛于f(z)或 (z)，那么f(z)或 (z) 在E上
连续。
定理2.2 设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…),
连续，并且级数 fn(z) 或序列{fn(n)}在C上一
致收敛于f(z)或(z) ，那么
Cfn(z)dzCf(z)d,z 或
别法）：设在复平面点集E上{fn(z)}n (1,2,...)
有定义，并且设
a 1a 2 .. .a n ...
是一个收敛的正项级数。设在E上，
|fn(z)|a n (n 1 ,2 ,...),
那么级数 fn(z)在E上一致收敛。
定理1、2：
定理2.1 设复平面点集E表示区域、闭区域或简 单曲线。设在集E上{fn(n)}(n=1,2,…),
序列{fn(n)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧
集）上一致收敛于f(z)或 (z) ，那么我们说此
级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于
f(z)或 (z) 。
定理3：
定理2.3（魏尔斯特拉斯定理）设函数
{fn(z)}n (1,2,...)
在区域D内解析，并且级数 fn(z)或序列{fn(n)}
设函数(z)在E上有定义，如果在E上每一点z， 序 列列在{Ef上n(收z)敛}都（收于敛（(于z)）(，z)）或，者那此么序我列们在说E上此序有 极限函数 (z) ，记作
nl im fn(z)(z),
注解：
注解1、复变函数项级数 fn(z) 收敛于f(z)的
N定义可以叙述为：
因为根据莫勒拉定理，可见(z)在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此 (z)在D内解析。
的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条 简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理
Cf(z)d zCfn(z)d z0, n1
因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。
其次，设U的边界即圆K也在D内，于是
fn(z)
n1 (z z0)k1
注解：
柯西一致收敛原理（复变函数序列）：复变函
数序列{fn(n)}在E上一致收敛必要与充分条件是
：任给 0，可以找到一个只与 有关，而
与z无关的正整数 NN()，使得当 m ,nN ,z E
时，有
|fn(z)fm (z)|.
注解：
注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判
因此，定理中关于级数的部分证明结束。
定理3的证明（序列）：
对于序列，我们也先证明 (z) 在D内任一点z0
取它的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作 一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理
C f ( z ) d C l n z f i n ( z ) m d l n z C i f n ( z m ) d 0 ,z
定对 我理们于有z3 的K证一明致收（敛级于数(z）f (zz0：))k1 。由定理2.2，
2 1 iK (z f( zz 0) )k 1 d zn 12 1 iK (z fn z (0 z))k 1 d,z
也就是
f(k)(z) fn(k)(z),(k1,2,3,...) n1
关，而与z无关的正整数NN()，使得当
nN,zE 时，有
n
|fk(z)f(z)|.
或
k1
|fn(z)(z)|.
那么我们说级数 fn(z)或序列
一致收敛（于f(z)或 (z) ）。
{
Hale Waihona Puke Baidu
fn
(z)}
在E上
注解：
注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也 有相应的柯西一致收敛原理：
n1
设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，
此级数都收敛于f(z)，那么我们说它在E上收敛
（于f(z)），或者此级数在E上有和函数f(z)，记
作
fn(z) f (z),
n1
复变函数序列
设
f1(z)f,2(z),.fn .(.z), ,...
是E上的复变函数列，记作{fn(z)}n1或{fn(z)}。
在D内闭一致收敛于函数f(z)或(z) ，那么f(z)或
(z) 在区域D内解析，并且在D内
f(k)(z) fn(k)(z),
或
n1
(k)(z) n l if m n (k)(z)(k , 1 ,2 ,3 ,...)
定理3的证明（级数）：
证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0