三视图与体积面积计算

7．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个
高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解： (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面， 如图所示， 设所求圆柱的底面半径为 r， 它的侧面积 S 圆柱侧＝2πr· x， r H－x R ∵R＝ H ，∴r＝R－Hx， 2πR 2 ∴S 圆柱侧＝2πRx－ H · x (0<x<H)．
答案：C
6．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD ＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内， 过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求 旋转体的表面积． 解：如图所示，该几何体是由一个 圆柱、一个圆锥构成的．
在直角梯形 ABCD 中， AD＝a， BC＝2a， AB＝(2a－a)tan 2a－a 60° ＝ 3a，DC＝cos 60 ° ＝2a， 又 DD′＝DC＝2a， 则 S 表＝S 圆柱全＋S 圆锥侧－S 圆锥底 ＝2π· 2a· 3a＋2π(2a)2＋π· a· 2a－πa2 ＝(9＋4 3)πa2.
例1 (2009 珠海二模)一个五面体的三视图如下： 正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图是 直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的 体积为 ________ ．
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解析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其 直观图如下图所示．
由直观图结合三视图可知，此四棱锥的底面为直角 1 2 梯形，其面积S 2 3，高为h PA 2.故体 2 1 1 积V Sh 3 2 2. 3 3
(2)∵S 圆柱侧的表示式中 x2 的系数小于零， ∴这个二次函数有最大值， 2πR H 当 x＝－ 2πR＝ 2 时，S 圆柱侧最大． －2× H ∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．
1．三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考 重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握 三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正俯 之间长相等，侧俯之间宽相等，正侧之间高相等， 即“正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等”． 2．解答此类问题，要善于将三视图还原成空间几 何体，再结合三视图进行处理
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3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如 图所示，则其侧面积等于（ ）
A. 3 C.2 答案：D
B.2 D.6
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1.(2010 深圳一模)如图，一个简单空间几何体的三视图中， 正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为 正方形，则此几何体的表面积是 A． 44 3 C． 4 3

B． 12 D． 8
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为边长 是2的正方形，高为的正四棱锥．易计算得表面积是12.
2.(2010 安徽卷)一个几何体的三视图如图，该几何体的 表面积是 A． 372 C． 292

B． 360 D． 280
解析：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于 下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面面积之和． 故S 2(10 8 10 2 8 2) 2(6 8 8 2) 360.
本节完，谢谢！
4．(2011· 安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的表面积为
(
)
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
解析： 由三视图可知本题所给的是一个 底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱， 1 所以该直四棱柱的表面积为：S＝2×2 ×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2× 1＋16×4＝48＋8 17.