三视图与体积面积计算
立体几何三视图及体积表面积的求解
立体几何三视图及体积表面积的求解一、空间几何体与三视图1. （吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测）一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）A B C D【答案】C【解析】正视图是含有一条左下到右上实对角线的矩形；侧视图是含有一条从左上到右下的实对角线的矩形，故选C2. (广州2014届高三七校第二次联考)如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（ ） A ．圆锥B ．三棱锥C ．三棱柱D ．三棱台【答案】C【解析】由三视图知，这是一个横放的三棱柱3.（黄冈中学2014届高三十月月考数学试卷）如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（ ）【答案】：D【解析】为。
4. （江西省稳派名校学术联盟2014届高三12月调研考试）如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为，则主视图中三角形的高x 的值为（ ）212 2A32B32 C22 D2A. B. C. 1 D.【答案】C 【解析】5.（石家庄2014届高三第一次教学质量检测）用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形 （2）梯形 （3）直角三角形 （4）矩形 【答案】（1）（2）（4） 【解析】6.（黄冈中学2014届高三十月月考数学试卷）一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为 ．【答案】123432【解析】：设底面的等腰直角三角形的腰长为，则侧棱长也为，则，解得，则其，宽为。
二、空间几何体的体积和表面积1.（湖北省黄冈中学2014届高三数学（文）期末考试）某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A ．48 B ．56 C ．64 D ．72【答案】C【解析】该组合体由两个棱柱组成，上面的棱柱体积为24540创=，下面的棱柱体积为46124创=，故组合体的体积为642.（四川省泸州市2014届高三数学第一次教学质量诊断性考试）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ） A ．B ．C ．D ．a a 3142V a ==2a =2=3. （2014年福建宁德市普通高中毕业班单科质量检查）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）A．8+B．10C．8+．123. （承德市联校2013-2014年第一学期期末联考）把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，连结AC，得到三棱锥C-ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为（）A．32B．12C．1 D．22【答案】B【解析】由两个视图可以得到三棱锥如图：其侧视图的面积即t R ACEV的面积，由正方形的边长为2得==1AE CE，故侧视图面积为125.（安徽省六校教育研究会2014届高三2月联考）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）（A) （B）（C）（D）8【答案】D【解析】由三视图可得三棱锥如图所示：底面是边长为4的正三角形，AD BDC ^平面，故四个面的面积中，最大的面积是ABC V 的面积为142创4. （宁夏银川一中2014届高三年级月考）如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（ ）A ．2+3．2+2．8+5．6+3【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和侧棱垂直于底面的三棱柱组成的组合体，该几何体的表面积．5. （湖南省2014届高三第五次联考数学）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A. 16pB. 4pC. 8pD. 2pπ+π+π+π+1212(1)2S ππ=⨯⨯++32π=+7.（西安铁一中2014届高三11月模拟考试试题）一个几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积是（ ）A. B.【答案】B【解析】由三视图知：该几何体为长方体，长方体的棱长分别为3、4、5，所以长方体的体对角线为，所以外接球的半径为，所以外接球的表面积为。
高中数学讲义：三视图——几何体的体积问题
三视图——⼏何体的体积问题一、基础知识：1、常见几何体的体积公式：（:S 底面积，:h 高）（1）柱体：V S h=×（2）锥体：13V S h =×（3）台体：(1213V S S h =++×，其中1S 为上底面面积，2S 为下底面面积（4）球：343V R p =2、求几何体体积要注意的几点（1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台），另一方面要看好该几何体摆放的位置是否是底面着地。
对于摆放“规矩”的几何体（底面着地），通常只需通过俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积。
（2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础切掉了一部分。
然后再寻找相关要素（3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等， 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相等。
二、典型例题：例1：已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________思路：从正视图，侧视图可判断出几何体与锥体相关（带尖儿），从俯视图中可看出并非圆锥和棱锥，而是两者的一个组合体（一半圆锥+ 三棱锥），所以12V V V =+圆锥棱锥，锥体的高计算可得h =（利用正视图），底面积半圆的半径为6，三角形底边为12，高为6（俯视图看出），所以1126362S =××=三角形，2636S p p =×=圆，则13V S h =×=三角形棱锥，13V S h =××=圆圆锥，所以12V V =+=+圆锥棱锥答案：+例2：已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为 .思路：观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱锥的真正底面体现在正视图（梯形）中，所以()1424122S =×+×=底，而棱锥的高为侧视图的左右间距，即4h =，所以1163V S h =×=底答案：16例3：若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．思路：该几何体可拆为两个四棱柱，这两个四棱柱的高均为4（俯视图得到），其中一个四棱柱底面为正方形，边长为2（正视图得到），所以2112416V S h =×=×=，另一个四棱柱底面为梯形，上下底分别为2,6，所以()2126282S =+×=，228432V S h =×=×=。
几何体外接球表面积及体积的求法有答案
几何体外接球表面积及体积的求法答案1.D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S1=2π×32+2π×3×8=66π；根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足（2R）2=62+82=100，所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．故选：D．【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．2.D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5球半径R=5，故选C．【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．4.D考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．5.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．6.C【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．7.B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．8.B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．11.D12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14.12π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为： =．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．15.【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．16.16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．17.36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．18.；。
专题由三视图求表面积和体积
由三视图求表面积与体积一、方法与技巧1.（括如下: 二（1）梭柱：两矩形和一多边形； —（2）棱锥：两三角形和一多边形； |_ （3）梭台：两梯形和两多边形（多 n 边形相似且顶点相连）；—（4）圆柱：两矩形和一圆；（5）圆锥：两三角形和一个带有圆心的圆；务（6）圆台：两梯形和两同心圆；A.60 （7）球：三个大小相等的圆.【解1•技巧：根据几何体的三视图想 心；象其直观图时，可以从熟知的某 •故选一视图出发，想象出朮观图，再验2. 证其他視图是否正确.图如图P 视图知，三棱锥一条侧枝与底面垂克，结合其直观图判断三视图 的数据在克观图中对应的几何童. 解法阐释二：将三视图还原成直 观图是解决该类问题的关键•其 解题技巧是熟练学握一些简单几 何体的三视图，想象该几何体的 构成，或将三个方向获得的信息 综合,绘制儿何图形，然后检验其 三视图是否与已知相符合•确保 无误后再进行计算. 提醒：以三视图为栽体考查几何 体的表面积、体积，关键是能够对 给出的三视图进行恰当的分析, 小图所示从三视图中发现几何体中务元素A 的三视图也不一致. 【解答】解:由三视图可知，该几何体为放到得直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中得数据可得：四棱柱得高为3,底而为等腰梯形，梯形得上、下底边分别为2、4,高为2, 圆柱得高为3,圆柱底面得半径都就是1,几何体得体积V==,故选:B.4. （2016・广元二模）一个多而体得三视图分别就是正方形.等腰三角形与矩形，其尺寸如图，则该多而体得体积为（）A. 4 8cm'B.2 4cm*C 。
32cm»D ・28cm'二、提醒：简单几何体的三视图可概 4.技巧：本題中根据正视图和侧2.技巧：根据几何体的直观图想 A 6 ;解 象其三视图时，若几何体是某一 其底熟悉的几何图形通过分割形成 故棱 的，可以将几何体还原后求解. 故选3.技巧：同一几何体的三视图，由 3，（2°于几何体放置位置不同，几何体间的位置关系及数量关系. :以俯视图为底面得四棱锥 ，图如图所示，则该几何体得体积为（）I 而向下） ，4,斜【解答】解：由三视图可知该几何体就是平放得直三棱柱，高为4,底面三角形一边长为6,此边上得髙为4 体积V=S h == 4 8cnr故选A5. （20 1 6＜江门模拟）一个几何体得三视图及其尺寸如下，则该几何体得表而积为（）A. 12n B .1 5 H C. 24n D.36n【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底而直径为6,母线长为5, 底而圆得而积s i=nx （） 2=9n・侧面积S 2=nx3x5=15n,表面积为S I+S?=24TI.故选C.6. （2016•安康二模）一空间几何体得三视图如图所示，则该几何体得体积为（）Ao oBeCo D.【解答】解：三视图复原得几何体就是三棱锥，底面就是底边长为2,髙为2得等腰三角形，三棱锥得一条侧棱垂直底而，高为2。
2019数学(理)二轮精选讲义专题五 立体几何 第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积 含答案
专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。
[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。
[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。
［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。
［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。
2020届高考数学(理)课标版二轮课件：重难考点专题三第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
为 7 ,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5 15,则该圆锥的侧面积
8
为
.
答案 40 2 π
解析 因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°,所以圆锥的轴截面为等腰直
角三角形.设底面圆的半径为r,则母线长l= 2 r.在△SAB中,cos∠ASB= 7 ,所以
8
sin∠ASB= 15 .因为△SAB的面积为5 15,即 1 SA·SBsin∠ASB=1 · 2 r·2 r×
A.20π C.28π
B.24π D.32π
答案 C 由三视图知圆锥的高为2 3,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所
以圆锥的侧面积为 1 ×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4×4π=
2
16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.
2.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值
BC=3,AA1=5.设△ABC内切圆半径为r,则S△ABC=
1 2
×3×4=
1 2
×(3+4+5)r,解得r=1,
所以内切球最大半径为1,直径为2,由AA1=5得,最多可加工出2个球.
2.(2019洛阳联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积 为( A )
A.8 2 π
3
B.8 3 π
在△ACD中,AD⊥CD,S△ACD= 5 ;
2
在△BCD中,BD⊥CD,S△BCD=1 ,
2
所以表面积为 3 + 2 + 5 .故选A.
2
2
命题角度二 空间几何体的体积
1.(2018课标全国Ⅱ文,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与
第8讲三视图
第8讲三视图，体积与表面积的计算[知识梳理]1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的表面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．柱、锥、台和球的表面积和体积3．常见几何体的侧面展开图及侧面积题型一空间几何体的三视图(高频考点题，多角度突破)考向一已知几何体，识别三视图1．(东北四市联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1C1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为()考向二已知三视图，判断几何体的形状2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()考向三已知三视图中的两个视图，判断第三个视图3．(石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为()【针对补偿】1．(济南模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是()2．(北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．32B．2 3 C．22D．23．(南昌一模)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为()A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2[知识自测]1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π2．(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π3．正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A B 1DC 1的体积为______．题型一 空间几何体的表面积与侧面积(基础拿分题，自主练透)(1)(课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为______．【针对补偿】1．(全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是( )A．17π B．18π C．20π D．28π2．(黑龙江省大庆中学期中)一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为()A．6 3 B．8 C．8 3 D．12题型二空间几何体的体积(高频考点题，多角突破)考向一求以三视图为背景的几何体的体积1．(课标Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63π C．42π D．36π考向二不规则几何体的体积3．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.23 B.33 C.43 D.32考向三 柱体与锥体的内接问题4．(2015·湖南卷)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝ ⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827π C.24(2－1)3π D.8(2－1)3π【针对补偿】3．(新课标全国Ⅱ卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.134．(山东)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为______．题型三 球与几何体的切接问题 考向一 正方体(长方体)的外接球1．(天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．考向二 直三棱柱的外接球2．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【针对补偿】5．(广州市综合测试)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20π B.205π3C ．5πD.55π6[A 基础巩固练]1．(浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 2．(山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧视图中线段的长度x 的值是( )A.7 B ．27 C ．4D ．53．(课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π45．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋125。
人教版九年级数学下册第3课时 由三视图确定几何体的表面积或体积
2. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体
的A侧.18面cm积2 是（ A ）
B.20cm2
C. 18 6
3 4
10 2
2
cm
D. 18
75 2
3
解析：由三视图可得,几何体是三棱柱，几何体的侧面积 是三个矩形的面积和,矩形的长为3cm，宽为2cm,∴侧面 积为3×3×2=18cm2.
=
300
240
1 2
=36000（cm2
)
S侧面面积= 300 200=60000（cm2 )
S帐篷表面积=36000 +60000 =96000（cm2）
课堂小结
由三视图确定几何体的表面积或体积，一般步骤为： ① 想象：根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状； ② 定形：综合确定几何体（或实物原型）的形状； ③ 展开图：画出展开图，求展开面积。
由三视图描述实物形状，画出物体表面展开图
由三视图确定几何体的表面积或是体积， 首先要确定该几何体的形状。
1.根据下列几何体的三视图，画出它们的展开图。
（1）
（2）
（3）
典例解析
例1 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封
罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所
需钢板的面积．
50
100 50
第3课时 由三视图确定几何体的 表面积或体积
R·九年级下册
复习导入
由三视图描述几何体(或实物原型),一般先根据各视图想象从 各个方向看到的几何体形状, 然后综合起来确定几何体(或实物原 型)的形状, 再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系, 确定轮廓线的位置,以及各个方向的尺寸.
高中数学必修二 空间几何体的三视图如何求其表面积和体积
高中数学必修二空间几何体的三视图如何求其表面积和体积【教学目标】一、知识目标熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。
二、能力目标先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题。
三、德育目标1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力。
2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维。
【教学重点】观察、实践、猜想和归纳的探究过程。
【教学难点】如何引导学生进行合理的探究。
【教学方法】电教法、讲述法、分析推理法、讲练法【教学用具】多媒体、实物投影仪【教学过程】［投影］本节课的教学目标1.熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。
【学习目标完成过程】一、复习提问1.如何求空间几何体的表面积和体积(例如：球、棱柱、棱台等)?2.三视图与其几何体如何转化?二、新课讲解［设置问题］例1：(如下图1)，这是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积(尺寸如图1，单位：cm,π取314，结果精确到1cm３)。
［提出问题］1.空间几何体的表面积和体积分别是什么?2.怎样运用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公式计算几何体的表面积和体积?［学生思考、总结板书］空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算。
［承转过渡］求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积?在例1有没有给出几何体的直观图?［学生讨论、总结板书］例1没有直接给出几何体的直观图，只是给出实物几何体的三视图，要求该几何体的表面积和体积，应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算。
［设问］请问例1的三视图转化为实物几何体是由那几个部分构成?怎样求出该几何体的表面积和体积?［讨论、板书］该实物几何体是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台构成；应先分别求出一个球体、一个四棱柱和一个四棱台的表面积和体积。
专题 由三视图求表面积和体积
由三视图求表面积和体积一、方法与技巧二、常见几何体1．（2016•益阳模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．60 B．54 C．48 D．24【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5．∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60．故选：A．2．（2016•凉山州模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6 B．12 C．24 D．36【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12故选B3．（2016•衡水校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．27﹣3πD．18﹣3π【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2，圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，∴几何体的体积V==，故选：B．4．（2016•广元二模）一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4 体积V=Sh==48cm3故选A5．（2016•江门模拟）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（）A．12πB．15πC．24πD．36π【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，底面圆的面积S1=π×（）2=9π．侧面积S2=π×3×5=15π，表面积为S1+S2=24π．故选C．6．（2016•安康二模）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥，底面是底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为2．三棱锥的体积为：==．故选D．7．（2016•杭州模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．8．（2016•呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2 B．C．D．V=16，n=4【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B9．（2016•广东模拟）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．2【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故选D．10．（2016•延边州模拟）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A．B．C． D．4【解答】解：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是2×=，∴侧视图的面积是2．故选A．11．（2016•江西校级一模）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24 B．π+20 C．2π+24 D．2π+20【解答】解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故选：A．12．（2016•太原二模）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选A．13．（2016•太原校级二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．14．（2016•河西区模拟）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B． C．D．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形∴r=1，h=∴故选：D．15．（2016•岳阳二模）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．16．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．17．（2016•榆林一模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．80 B．40 C．D．【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4，体积为V=．故选D．18．（2016•揭阳一模）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是48．【解答】解：由三视图可知原几何体如图所示，可看作以直角梯形ABDE为底面，BC为高的四棱锥，由三棱锥的体积公式可得V=××（2+6）×6×6=48，故答案为：48．三、常见几何体的组合体19．（2016•佛山模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．20．（2016•乐山模拟）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．64【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，棱柱的体积为4×4×4=64；棱锥的体积为×4×4×3=16；则此几何体的体积为80；故选B．四、常见几何体的切割体21．（2016•茂名一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．22．（2016•威海一模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7 B．C．D．【解答】解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．23．（2016•张掖校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为26【解答】解：由三视图知几何体为为三棱柱，去掉一个三棱锥的几何体，如图：三棱柱的高为5，底面是直角边为4，3，去掉的三棱锥，是底面是直角三角形直角边为4，3，高为2的三棱锥．∴几何体的体积V==26．故答案为：26．24．（2016•商洛模拟）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体是正方体削去一个角，体积为1﹣=1﹣=．故选：D．25．（2016•银川校级一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截去部分的几何体的表面积为54+18．【解答】解：由三视图可知正方体边长为6，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：∴被截去的几何体的表面积S=+×（6）2=54+18．故答案为54+18．26．（2016•哈尔滨校级二模）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【解答】解：根据已知中的三视图，可得几何体的直观图如下图所示：该几何是由一个以俯视图为底面的四棱锥，切去两个棱锥所得的组合体，四棱柱的体积为：×（2+4）×4×4=48，四棱锥F﹣EHIJ的体积为：×（2+4）×4×2=8，中棱锥F﹣HGJ的体积为：=，故组合体的体积V=，故答案为：4．（2011•北京模拟）已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．5.5 C．5 D．4.5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个长方体割去两个三棱锥，三棱锥的底面是一个底面面积可以做出，高是3，做出截去得到三棱锥的体积，长方体的体积也可以做出．【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体割去两个三棱锥，三棱锥的底面是一个底面面积是×1×1=，高是3，∴截去得到三棱锥的体积是2××=1，长方体的体积是3×2×1=6∴几何体的体积是6﹣1=5故选C．。
三视图体积面积计算教师版
..高一直观图三视图及体积面积计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为【答案】D【解析】试题分析：左视图是指从几何体的左边看几何体的投影，如图A的投影为D,E的投影为G,B的投影为C,线段AF的投影为DF,故选D．考点：三视图2．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥 B．三棱锥C．三棱柱 D．三棱台【答案】C【解析】试题分析：该几何体的主视图和俯视图都为矩形，左视图为三角形，可以得到该几何体是一个横着放的三棱柱。
考点：三视图的还原图3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）【答案】D【解析】试题分析：由正视图和侧视图知，几何体可能是两个圆柱的组合体时，俯视图为A，几何体是圆柱与正四棱柱的组合时，俯视图为B，几何体是圆柱与底面为等腰直角三角形的直三棱柱的组合时，俯视图为C，如果俯图是D，正视图和侧视图不可能相同．故选D．考点：三视图．4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2＋．2＋【答案】B【解析】试题分析：根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选B．考点：平面图形的直观图5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）试卷第2页，总20页..【答案】A 【解析】试题分析：根据斜二测画法知， 平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 的线段变为原来的12，∵O ′C ′=1，O ′A ′，∴OC=O ′C ′=1，OA=2O ′A ′= 由此得出原来的图形是A ． 考点：斜二测画法6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A．1+．2+．1+．【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面PAC ⊥平面ABC，PA PC PD AC ==⊥,且1PD =，BA BA ==，所以112AB CAP S S ∆∆===，PAB ∆与PBC ∆，所以1sin 6022PAB PBC S S ∆∆==︒=，故该三棱锥的表面各为12222⨯+⨯=+B ．试卷第4页，总20页AC考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．7．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】试题分析：设正方体棱长为1，由题意得，剩余几何体为一个正方体被一个平面截去一个角，其截去体积为211111326⨯⨯⨯=，因此剩余部分体积为15166-=，比值为15，选D ．考点：三视图，三棱锥体积8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112 【答案】C 【解析】试题分析：根据三视图可该几何体为三棱锥与立方体的组合，如下图所示，故所求体积314443803V =+⨯⨯⨯=，故选C ．..考点：1．三视图；2．空间几何体的体积计算．9．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．83πB ．32πC ．8π D． 【答案】C 【解析】何体的外接球的表面积248S r ππ== ，故答案为：C ．考点：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案．10．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π 【答案】D试卷第6页，总20页【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆锥的半个圆锥，故该几何体的体积为21111236ππ⨯⨯⨯⨯=，故选D ． 考点：空间几何体的三视图．11． 三棱锥S ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，在三棱锥S ABC 中，SC平面ABC ，AB=BC=4，SC=4，所以．故选A ．考点：三视图的应用． 12．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 （ ）ABD【答案】A 【解析】试题分析：：∵边长为1=∴侧视图的底边长为故所求的面积为：12S ==考点：三视图13．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ）..A ．2B ．4C ．6D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此棱锥是底面为直角梯形,高为2的四棱锥．所以()112422432V ⎡⎤=⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦．故B 正确．考点：三视图． 14．一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是（ ）A 、13BD【答案】D【解析】试题分析：由三视图可得四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为h =，且底面积111S =⨯=，所以11133V Sh ==⨯=，故选D ． 考点：三视图．15．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）A ．24－32π B ．24－3π C ．24－π D ．24－2π 【答案】A试卷第8页，总20页【解析】试题分析：该几何体是棱柱，棱柱的高为3，底面为长4宽2的矩形去掉半径为1的半圆，因此底面积为21241822s ππ=⨯-⨯=-，所以体积为3242V sh π==-考点：三视图与棱柱体积16．一个体积为A ．36B ．8C ．38D ．12 【答案】A 【解析】试题分析：设棱柱的高为h，由左视图可知，底面的正三角形高为角形的边长为4，所以底面积为142⨯⨯=以有13h ⨯=3h =，可得左视图的面积为3=，故选择A考点：三视图17．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．31cm B ．32cm C ．33cm D ．36cm 【答案】A 【解析】试题分析：该三棱锥的体积是313212131cm V =⨯⨯⨯⨯=． 考点：三视图18．已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为 （ ）..A ．34B ．4C ．324D ．334【答案】C【解析】=2的正方形，故体积为21233⨯=选C ． 考点：三视图19．如图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ）（A ）403 （B ）323 （C ）163 （D ）283【答案】A【解析】试题分析：由三视图得到其直观图（上图所示），则体积为1140[(14)4]4323⨯+⨯⨯=，故选A .考点：三视图.试卷第10页，总20页20．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知原几何体如图所示：故几何体的体积1004)3421(31636=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ，答案选B ． 考点：空间几何体的三视图与体积21．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h =( )AC．．【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为5和6的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有1563V h =⋅⋅⋅=，解得h =选B ．考点：根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量． 22．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是.A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π 【答案】A【解析】试题分析：此几何体是正方体挖了一个圆锥，所以体积ππ32821312222-=⨯⨯-⨯⨯=V ．考点：1．三视图；2．几何体的体积．23．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中N MFE DCB A①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④ 【答案】C 【解析】试题分析：把展开图还原为正方体，由图可知：①BM 与ED 是异面直线，所以错误；②CN 与BE 是平行直线，所以错误； ③连接图中AN ，AC 知三角形ANC 是等边三角形，所以AN 与CN 夹角为︒60，所以CN 与BM 所成角也为︒60，正确；④因为CN 与AF 垂直，所以DM 与BN 是异面直线．考点：线面位置关系、空间想象能力、异面直线所成的角． 24．（2014•未央区二模）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）A. B. C.D.【答案】B【解析】试题分析：利用俯视图与正视图，由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图．解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，故选B．点评：本题主要考查空间几何体的直观图，以及学生的空间想象能力，是个基础题．二、填空题25．水平放置的某三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，如图，则原三角形的面积是．【答案】【解析】试题分析：根据斜二测画法的规则，分别判断原三角形对应的边长关系，即可求出三角形的面积．解：∵三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，∴根据斜二测画法的规则可知，原三角形为直角三角形，直角边分别为2，4，∴面积为=4，故答案为：．.点评：本题主要考查斜二测画法的应用，熟练掌握斜二测画法的基本原则，灵活应用其中的数量关系．．26．三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于．【答案】3【解析】试题分析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于12133创?．2考点：三视图27．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 cm3．1【答案】6【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是三棱锥，底面三角形是等腰三角形，底边为1，高为1，棱锥的高为1，因此体积为61 考点：三视图及棱锥体积28．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）则该几何体的体积为________3m【答案】4 【解析】试题分析：由三视图可知几何体为三棱锥，底面积63421=⨯⨯=S ，高2=h ，因此体积431==Sh V ，故答案为4. 考点：几何体的体积.29．如图是某几何体的三视图（单位：cm ），则该几何体的表面积是__ ___cm 2，体积为_ __ cm 3．【答案】14+ 【解析】试题分析：解：根据三视图得出：该几何体是三棱锥，2354AB BC DB CD ====，，，，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，∴几何体的表面积是.34325124141112222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+其体积：1113424332S CBD AB ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故答案为：14+． 考点：空间几何体的三视图．30．如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ．【解析】试题分析：该多面体为一个三棱锥ABCD,如图，其中12AB BC CD BD AD ===，，考点：三视图31．某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为___________.【答案】2 【解析】试题分析：三棱锥左视图为三角形，由三棱锥的主视图可知：三棱锥的高为2，所以左视图的高为2，三棱锥的俯视图宽为为2，所以左视图三角形的底面边长为2 所以左视图的面积22221=⨯⨯=s ，所以选A 考点： 三视图32．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm ．【答案】34【解析】由三视图还原成如图所示的几何体，该几何体为四棱锥，其中，底面是边长为3与4的矩形，且⊥1VC 平面1111D C B A ，31=VC ，由图形，可知1VA 最长，在11C VA Rt ∆中，344332221=++=VA .11B 1考点：三视图.33．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的表面积为________________ .正(主)视图俯视图侧(左)视图.【答案】()21533+ 【解析】试题分析：由条件知原几何体是正六棱锥，底面是边长为1的正六边形，侧棱长为2，h ==，一个侧面面积为1112S =⨯=，∴表面积01(11sin 60)662S =⨯⨯⨯⨯+=.考点：三视图.34．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积是_________；【答案】251π【解析】试题分析：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，<br />其表面为S=25142322)23()23(422ππππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯ 故答案为：251π.考点：由三视图求面积、体积.三、解答题35．一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中 M ，N 分别是 AF 、BC 的中点（1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A-CDEF 的体积．【解析】试题分析：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．（1）取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论（2）多面体A-CDEF 的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积． 试题解析：解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB=BC=BF=4，DE=CF=，90CBF ∠=︒ ，连结BE ，M 在BE 上，连结CEEM=BM ，CN=BN ，所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面，所以//MN 平面CDEF （2）取DE 的中点H ． ∵AD=AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中， 平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE∩平面CDEF=DE ．∴AH ⊥平面CDEF ．36．如图，某多面体的直观图及三视图如图所示： E,F 分别为PC,BD 的中点.（1）求证：PAD EF 平面// （2）求证：PAD PDC 平面平面⊥ （3）求此多面体的体积【答案】（1）四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰三角形，2==PD PA ,且ABCD PAD 平面平面⊥.连结AC ，则F 是AC 的中点。
空间几何体的三视图直观图表面积与体积
必修2 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积（2月22日）(一)空间几何体的三视图和直观图1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(2)旋转体的形成2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．空间几何体的结构特征[例1](1)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体(2)下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点空间几何体的三视图1.画三视图的规则长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽．2．三视图的排列顺序先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右方．[例2](1)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形，按正视图，侧视图，俯视图的顺序排列)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤(2)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()空间几何体的直观图直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝24S原图形．(2)S原图形＝22S直观图．[例3]用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上2．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()3．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()4．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm25．如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为()A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2突破点(二)空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh(棱柱和圆柱)锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3空间几何体的表面积[例1](1)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为()A．4π＋16＋4 3 B．5π＋16＋4 3C．4π＋16＋2 3 D．5π＋16＋2 3(2)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2空间几何体的体积柱体、锥体、台体体积间的关系[例2](1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.16 B.13 C.12D．1(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋2π B.13π6 C.7π3 D.5π21．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋23π B.13＋23πC.13＋26π D．1＋26π2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.5π3cm3B．2π cm3 C.7π3cm3D．3π cm33.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．125＋20 B．242＋20C．44 D．12 54．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．155．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．突破点(三) 与球有关的切、接应用问题1.球的表面积和体积是每年高考的热点，且多与三视图、多面体等综合命题，常以选择题、填空题的形式出现.解决此类问题时，一是要善于把空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中处理；二是要将变化的模型转化到固定的长方体或正方体中.2.与球有关的组合体问题主要有两种，一种是内切问题，一种是外接问题.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图.多面体的内切球问题[例1] 若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.多面体的外接球问题处理与球有关外接问题的策略把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[例2](1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210 C.132D．310(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9π D.27π4(3)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．1．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1 B．2 C．3 D．42．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A．200πB．150π C．100π D．50π3．如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A．3π B.32π C．4π D.34π4．设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则S1S2的值等于()A.2π B.6π C.π6 D.π2全国卷5年真题集中演练——明规律1．(2016·全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π2．(2016·全国卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB ⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π33．(2015·全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18 B.17 C.16 D.154．(2015·全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为() A．36π B．64π C．144π D．256π5．(2015·全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2C．4 D．86．(2015全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有() A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．(2014·全国卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727 B.59 C.1027 D.138．(2013·全国卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π9．(2012·全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26 B.36 C.23 D.22。
空间几何体三视图、表面积及体积
面积，h为高)；
4 3 (7)球的表面积和体积公式：S＝4πR ，V＝ πR (R为球的半径)． 3
2
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必记知识 重要结论
1．一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在 正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽 度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”．
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小题 速解
类型一
三视图与直观图的辨识和画法
[ 例1]
某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图 )
不可能是(
(基本法) 从正视图和侧视图想像直观图，再检验答案． 若下部分是圆柱，上部分可以是圆柱或者棱柱，A、B、C适合题意， 若是D答案，其正视图应为(如右图)中间有虚线．
2 1 3 到的，根据三视图可知其表面积为6 2 － ×1×1 ＋2× ×( 2 4
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2．(1)设长方体的相邻的三条棱长为a、b、c则对角线长为 a2＋b2＋c2 (2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即 3a＝2R. (3)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA ＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2，把有关元素“补形”成为 一个球内接长方体(或其他图)．
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高考数学立体几何专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积
专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积【考点点击】1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．3.几何体的三视图与表（侧）面积、体积计算结合；【重点知识】一、空间几何体1．柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥①有一个面是多边形(底面)；②其余各面是有公共顶点的三角形．棱台①底面互相平行；②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)圆柱①有两个互相平行的圆面(底面)；②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直圆台①底面互相平行；②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球①有一个曲面是球面；②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高)S棱柱＝2S底面＋S侧面棱锥V棱锥＝13Sh(S为底面积，h为高)S棱锥＝S底面＋S侧面棱台V棱台＝13h(S＋SS′＋S′)S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面圆柱V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高)S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长)圆锥V圆锥＝13πr2h(r为底面半径，h为高)S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长)圆台V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2球V球＝43πR3(R为球的半径)S球＝4πR2(R为球的半径)3.空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【考点分析】考点一空间几何体的结构【例1】已知正三棱锥PABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【答案】33【解析】正三棱锥PABC 可看作由正方体PADCBEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥PABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC.设正方体棱长为a ，则22,2,1232=====BC AC AB a a ，3223222221=⨯⨯⨯=∆ABC S ，由,PAC B ABC P V V --=得222213131⨯⨯⨯⨯=⋅∆ABC S h ，所以332=h 因此球心到平面ABC 得距离为33考点二三视图、直观图【例2】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【例3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A ．2＋5B ．4＋5C ．2＋25D ．5【答案】C【解析】该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，ABCABD ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆+++=表5225221152115212221+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=考点三几何体的表面积【例4】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222232114,4π14π.R S R =++===【例5】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是（）（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的81,设球的半径为R ,则32834873ππ=⨯=R V ,解得R 2=,所以它的表面积是87的球面面积和三个扇形面积之和πππ172413248722=⨯⨯+⨯⨯=S 故选A ．考点四几何体的体积【例6．】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π24V r h ⎛==⨯⨯= ⎝⎭，故选B.考点五与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.【例7】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．22B ．1C ．212+D ．2解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==11EF AA DD ⊂ 面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =.【例8】正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【例9】在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是.解：如图，正三棱锥对棱相互垂直，即,AC SB ⊥又,,,.SB MN MN AC MN AM MN SAC ∴⊥⊥∴⊥∥又平面于是,,,SB SAC SB SA SB SC ⊥∴⊥⊥平面从而.SA SC ⊥此时正三棱锥S ABC -的三条侧棱互相垂直并且相等，故将正三棱锥补形为正方体.球的半径23,3,436.2R SA R S R ππ=∴=∴==【例10】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A ．12πB ．C ．3πD ．【答案】C【解析】把原来的几何体补成以DA DC DP 、、为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2=R l ，=2R ，234434S R πππ==⨯=球.【例11】在三棱锥P －ABC 中，PA ＝,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．πB.3π C.4πD.43π解：如图所示，过P 点作底面ABC 的垂线，垂足为O ，设H 为外接球的球心，连接,,AH AO 因60,PAO PA ∠== 故2AO =,32PO =又△AHO 为直角三角形，222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+22233344(),1,1.2233r r r V ππ∴=+-∴=∴=⨯=【例12】矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125 B.π9125C.π6125D.π3125解：由题意分析可知，四面体ABCD 的外接球的球心落在AC 的中点，此时满足,OA OD OB OC ===522AC R ∴==,343V R π=1256π=.【总结归纳】1个特征——三视图的长度特征“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽。
【高考数学】第三部分_重点板块_专题三立体几何：第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积
专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019三棱锥的外接球、球的体积·T12空间几何体的结构特征、直观图、几何运算、数学文化·T16空间两直线的位置关系的判定·T8简单几何体的组合体、长方体和棱锥的体积·T16 2018空间几何体的三视图、直观图及最短路径问题·T7圆锥的性质及侧面积的计算·T16三视图与数学文化·T3与外接球有关的空间几何体体积的最值问题·T10 2017空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T8“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．(2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第12或16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．考点一空间几何体的三视图、直观图与截面图[例1](1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(2)(2019·江西八所重点中学联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是()A ．52B ．2C ．355D ．32(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A ．334B ．233C ．324D ．321.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．25C ．3D ．22．已知球O 是正三棱锥A BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝23，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．考点二 几何体的表面积与体积 题型一 求空间几何体的表面积[例2] (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD 为矩形，棱EF ∥AB .若此几何体中，AB ＝4，EF ＝2，△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为( )A ．83B ．8＋83C ．62＋23D ．8＋62＋23(2)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如544≈23，550≈23)( )A ．250平方尺B ．990平方尺C ．1 035平方尺D ．518平方尺题型二 求空间几何体的体积[例3] (1)(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．(2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为______．1．(2019·重庆市学业质量调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.323 B ．643C.1283 D ．16032．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )A ．3034B ．6034C ．3034＋135D ．1353．已知直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的所有棱长都是1，∠ABC ＝60°，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，点H 在线段OB 1上，OH ＝3HB 1，点M 是线段BD 上的动点，则三棱锥M C 1O 1H 的体积的最小值为________．考点三 与球有关的切、接问题 题型一 外接球[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π题型二 内切球[例5] 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A.7π6 B ．4π3C.2π3 D ．π2题型三 与球有关的最值问题[例6] (2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．183C ．243D ．5431．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A ．83πB ．323πC ．16πD ．32π2．(2019·福建五校第二次联考)已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为______．3．已知四棱锥S ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O 的体积为______．4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．2π＋4B ．4π＋2 C.2π3＋4 D ．4π3＋8【课后专项练习】A 组一、选择题1．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )2．(2019·福州市质量检测)棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1木块的直观图如图所示，平面α过点D 且平行于平面ACD 1，则该木块在平面α内的正投影面积是( )A.3 B ．323C.2D ．13．已知矩形ABCD ，AB ＝2BC ，把这个矩形分别以AB ，BC 所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S 1，S 2，则S 1与S 2的比值等于( )A.12 B ．1 C ．2D ．44．设球O 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球，若平面ACD 1截球O 所得的截面面积为6π，则球O 的半径为( )A.32 B ．3 C.32D ．35．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 的中点，则三棱锥A BC 1M 的体积VA BC 1M ＝( )A.12 B ．14C.16 D ．1126．(2019·武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.23π B ．43πC ．2πD ．25π7．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱锥的体积为( ) A. 6 B ．66 C ．6 D ．268．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2 D ．π49．若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切球．已知正四面体的棱长为2，则它的棱切球的体积为( )A ．3π54B ．π6C ．π3D ．3π210．已知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝3，AC ＝3.若三棱锥D ABC 体积的最大值为334，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．16πC ．12πD ．163π11．已知一个半径为7的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则正三棱柱的体积是( )A ．18B ．16C ．12D ．812.(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )A.3π4 B ．2π C.3π2 D ．9π4二、填空题13．(2019·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是2的三棱锥，则该三棱锥的体积为______．14.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为______．15．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为______．16．已知三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且P A ＝8.若平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，则球O 的表面积为______．B 组1.(2019·合肥市第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M PBC 的体积为( )A ．1B ．32C.92 D ．与M 点的位置有关3．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，点N 为线段CC 1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，13 B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．⎣⎡⎦⎤12，234．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA 1，BB 1，CC 1分别交于三点M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )A ．22B ．3C．23D．45．(2019·郑州市第二次质量预测)在△ABC中，已知AB＝23，BC＝26，∠ABC＝45°，D是边AC上的一点，将△ABD沿BD折叠，得到三棱锥ABCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，设BM＝x，则x的取值范围是() A．(0，23)B．(3，6)C．(6，23)D．(23，26)6.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥BACC1D的体积为________．7．已知在正四棱锥SABCD中，SA＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．8．(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V的最大值为________．。
高考数学专题突破学生版-几何体的体积、面积和三视图与直观图(考点讲析)
专题7.1几何体的体积、面积和三视图与直观图（考点讲析）提纲挈领A.4B.8C.12D.16 【典例2】（2018年全国卷II 文）在正方体中，的中点，则异面直线所成角的正切值为（ ）A.C.【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． 热门考点02 空间几何体的直观图1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝4S 原图形，S 原图形＝直观图． 【典例3】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2+ B. 12 C. 22D ．1+ 【典例4】在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________ cm 2.【特别提醒】解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.热门考点03 空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【典例5】（2018·全国高考真题（文））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【典例6】（2018年理新课标I卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在左视图上的对应点为设A.D. 2【典例7】（2018年文北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【总结提升】1.三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．2.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．3.命题的角度一般有：（1）已知几何体，识别三视图；（2）已知三视图，判断几何体；（3）已知几何体三视图中的某两个视图，确定另外一个视图热门考点04 空间几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2=圆柱的表面积 )(2l r r S +=π圆锥的侧面积 rl S π=圆锥的表面积 )(l r r S +=π圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【典例8】（2018届湖北省华师一附中高三9月调研）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A. 22R πB. 294R πC. 283R πD. 232R π 【典例9】（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．【总结提升】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．热门考点05 空间几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π=圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π 球体的体积 334R V π= 正方体的体积 3a V =正方体的体积 abc V =【典例10】（2019年高考全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【典例11】（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．【总结提升】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.热门考点06 三视图与几何体的面积、体积若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【典例12】（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【典例13】（2019·浙江高三月考）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示则该几何体的体积为____3cm ，表面积为_____2cm .【总结提升】求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.热门考点07 几何体的展开、折叠、切、截、接问题解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【典例14】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形ABCD 中， 483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为（ ）A. 5009πB. 2503πC. 10003πD. 5003π【典例15】(2019年高考天津卷理)已知四棱锥的底面是边长的正方形，侧棱长均若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【典例16】（广东省深圳市高级中学2019届高三（6月）适应）在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【典例17】（2019·福建高三月考）已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为3，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____． 【总结提升】 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．巩固提升1．（2018·上海市七宝中学高二期中）一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是（ ）A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形的平行六面体C.底面是正方形且两个相邻侧面是矩形D.每个侧面都是全等的矩形2．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）如图所示的直观图的平面图形ABCD 中，2AB =，24AD BC ==，则原四边形的面积( )A. B. C.12 D.103．（2019·浙江诸暨中学高二月考）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（ ）A. B. C. D.4．（2019·安徽高二月考）在四面体PABC 中，PC PA ⊥，PC PB ⊥，22AP BP AB PC ====，则四面体PABC 外接球的表面积是（ ） A.193π B.1912π C.1712π D.173π 5．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长是（ ）A.4B.6C.D.6．（2019·上海高二期末）已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______.7．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.8．（2019·上海市民办市北高级中学高二期中）在ABC ∆中，3cm AC =，4cm BC =，5cm AB =，现以BC 边所在的直线为轴把ABC ∆（及其内部）旋转一周后，所得几何体的全面积是________2cm .9．（2019·上海高二期末）底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是________10．（2018·上海市行知实验中学高二期中）若三棱锥P ABC -中，PA x =，其余各棱长均为2，则三棱锥P ABC -体积的最大值为______．11．（2019·上海市向明中学高二月考）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是:①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，11 则其中判断正确的个数是_________.12．（2018·上海市南洋模范中学高三开学考试）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为________．13．（2019·上海曹杨二中高二期末）如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.14．（2019·上海曹杨二中高二期末）正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.15．（2018·上海市七宝中学高二期中）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，AED ∆、EBF ∆、FCD ∆分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.16．（2017·上海交大附中高二期中）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，延长1D D 至P ，使得1DD DP =.A C P作正方体的截面图形；（1）经过11（2）求出截面为底面D为顶点的多面体的表面积.12。
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B． 12 D． 8
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为边长 是2的正方形，高为的正四棱锥．易计算得表面积是12.
2.(2010 安徽卷)一个几何体的三视图如图，该几何体的 表面积是 A． 372 C． 292
B． 360 D． 280
解析：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于 下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面面积之和． 故S 2(10 8 10 2 8 2) 2(6 8 8 2) 360.
7．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个
高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解： (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面， 如图所示， 设所求圆柱的底面半径为 r， 它的侧面积 S 圆柱侧＝2πr· x， r H－x R ∵R＝ H ，∴r＝R－Hx， 2πR 2 ∴S 圆柱侧＝2πRx－ H · x (0<x<H)．
(2)∵S 圆柱侧的表示式中 x2 的系数小于零， ∴这个二次函数有最大值， 2πR H 当 x＝－ 2πR＝ 2 时，S 圆柱侧最大． －2× H ∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．
1．三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考 重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握 三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正俯 之间长相等，侧俯之间宽相等，正侧之间高相等， 即“正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等”． 2．解答此类问题，要善于将三视图还原成空间几 何体，再结合三视图进行处理
答案：C
6．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD ＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内， 过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求 旋转体的表面积． 解：如图所示，该几何体是由一个 圆柱、一个圆锥构成的．
在直角梯形 ABCD 中， AD＝a， BC＝2a， AB＝(2a－a)tan 2a－a 60° ＝ 3a，DC＝cos 60 ° ＝2a， 又 DD′＝DC＝2a， 则 S 表＝S 圆柱全＋S 圆锥侧－S 圆锥底 ＝2π· 2a· 3a＋2π(2a)2＋π· a· 2a－πa2 ＝(9＋4 3)πa2.
4．(2011· 安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的表面积为
(
)
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
解析： 由三视图可知本题所给的是一个 底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱， 1 所以该直四棱柱的表面积为：S＝2×2 ×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2× 1＋16×4＝48＋8 17.
9Hale Waihona Puke 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如 图所示，则其侧面积等于（ ）
A. 3 C.2 答案：D
B.2 D.6
3
10
1.(2010 深圳一模)如图，一个简单空间几何体的三视图中， 正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为 正方形，则此几何体的表面积是 A． 44 3 C． 4 3
例1 (2009 珠海二模)一个五面体的三视图如下： 正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图是 直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的 体积为 ________ ．
解析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其 直观图如下图所示．
由直观图结合三视图可知，此四棱锥的底面为直角 1 2 梯形，其面积S 2 3，高为h PA 2.故体 2 1 1 积V Sh 3 2 2. 3 3