数值线性代数(徐树芳老师)第一章答案
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
线性代数第一章习题参考答案
解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ， 然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。
线代第一至四章习题及答案
第三讲 线性方程组例11设A 是m ×n 矩阵，r(A )=r ．则方程组AX = β(A)在r=m 时有解. (B)在m=n 时有唯一解. (C)在r<n 时有无穷多解. (D)在r=n 时有唯一解.(B) A 是n ×n 矩阵，缺A 可逆的条件.(C) 缺r(A )=r(A |β)的条件. (D) 缺r(A )=r(A |β)的条件.(A) m=r(A )r(A |β)m,则m=r(A )=r(A |β)=m.例14⎩⎨⎧=+=+0204231x x x x 的一个基础解系为(A)(0,-1,0,2)T . (B) (0,-1,0,2)T , (0,1/2,0,1)T . (C)(1,0,-1,0)T ,(-2,0,2,0)T .(D) (0,-1,0,2)T ,(1,0,-1,0)T .例13当A =( )时，(0，1，-1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX =0的基础解系．(92)(A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112112 . (B)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110102. (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110201 (D)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110201110.例15 已知(1,a,2)T ,(-1,4,b)T 构成次线性方程组⎩⎨⎧=--=-+022022121s s x tx x x x sx 的一个基础解系,求a,b,s,t.方法一：把两个解(1,a,2)T 和(-1,4,b)T 代入方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-=+=-+02420240204b t b s at a s 解出a b s t 2 1 2 -1 -4 -2 821方法二：s=2，n=3，则r(A)=1于是 12221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t s rS=2,t=-1例 AX =0和BX =0都是n 元方程组，判断下列断言的正确性. (1)AX =0和BX =0同解r(A )=r(B ).(2)r(A )=r(B ) AX =0和BX =0同解. (3) AX =0的解都是BX =0的解 r(A )r(B ). (4) AX =0的解都是BX =0的解 r(A )r(B ).(5) r(A )r(B ) AX =0的解都是BX =0的解.AX =0的解都是BX =0的解J A .r(J A )r()即n-r(A )n-r(B ).推论 如果AB =0,n 为A 的列数(B 的行数),则r(A )+r(B )n.证记B =(β1, β2,⋯, βs ),则AB =(A β1, A β2,⋯, A βs )，于是AB =0A βi =0,i=1,2, ,s,即每个βi 都是齐次方程组AX =0的解.即β1, β2,⋯, βs 是J 的部分组。
线性代数第一章习题解答
习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。
《线性代数》第1章习题详解
一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253； （2）3712456； （3）57681234； （4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列 （4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－ （2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－ （3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？ 解 因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解 （1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明 （1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解 含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解 解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。
线性代数第一三四章练习题参考答案
第一章练习题参考答案一、填空题.1.-6d;2. 12;3. 23231414()()a a b b a a b b --;4. 1(1)(1)n n ---;5. -10;6. 0;7.-888;8. 4;-6.9. 132531445213253241541325344251,,a a a a a a a a a a a a a a a . 二、计算题. 1. 14().j k k j D x x ≤<≤=∏-2. 117!(2)27D =-+++.3. (1)(2)2121(1)(1)2n n n n n D x x x ---+=- ;4. 34560;5. 11[1]()nni i i i a x a x a==+⋅∏--∑.6.11024x +.7. 3(2)x x + 三、3(1)2n n -第三章练习参考答案 一、选择题1. C ；2. C ；3. C;4.C. 二、填空题1. (1)m nab -； 2.100122010345⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 3. 2123n --； 4. 108； 5. 2132-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； 6. 0； 7. 301050103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；8. 12； 9. 1100BA B A--⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 10. 3E ；11. 3A E +； 12. 25A ；13. 88000880008808⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 14. 12.三、计算与证明题 1. 600006006060031⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 2. 02100000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 3. (1) T CA , (2) 101214122--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 4. 2a =-； 5. 12345B A A E -=++; 6. -16; 7. 001010100B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 8. 见课堂笔记; 9. 111212132122222331323233114411441144b b b b b b b b b b b b ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦. 10. 22211212513--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 11. 略. 第四章练习参考答案一、选择题1. C ；2. D ；3. B;4.D. 二、填空题1. (1,2,0,4)(0,3,3,10)T T t -+--, 其中t 为任意实数；2. 12,αα; 2；3. 3-；4.122113311441233224423443,,,,,E E E E E E E E E E E E ------; dimV=6;(2,3,1,4,2,2)T--； 5. 极大无关组为12,αα; 3124122,23αααααα=-+=-+;6. 12(1,0,1,1)(1,1,0,1)(1,3,1,0),T T Tk k α=-+-+-- 其中 12,k k 是任意数；7.141113M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 15(,)33TX =-. 三、计算与证明题1.(1) 当1b =时, 极大无关组为124,,ααα, (2) 当1b =时, 4α不能由12,αα线性表示, 3α能由12,αα线性表示(3122ααα=-+).2. (1) 5λ≠时，123,,ααα是基，21311222131222M λλλ⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥--⎣⎦； （2）ξ在基123,,βββ下的坐标为 (1,0,1)T；（3）所有非零向量为 (3,3,2)T k -. 3. (1) 只要证123,,0ααα≠ ,(2) 1232,0),1,1),2,1,5)TTTβββ==-=-;(3)M ⎤⎥⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣; （4）坐标为10)T β=.4. 1)通解为0112233X k k k ξηηη=+++, 其中021(,,0,0,0)33T ξ=-，1(5,2,3,0,0)Tη=，2(1,0,0,1,0)Tη=-，3(1,2,0,0,3)Tη=-， 123,,k k k 为任意数.2）解向量的极大无关组是0010203,,,.ξξηξηξη+++5. 1）过渡矩阵111100010010010M ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦； 2）α在基I 下的坐标为(1,1,1,1)TX =，α在基II 下的坐标为(4,1,1,1)TX =---； 3）(1,1,1,1)Tk β=，k 为任意常数.6. 15,5a b ==, 3121322βαα=+；7. 因为1V 的零元素00000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不在1V 中，所以1V 不是V 的子空间；而2V 是V 的子空间（主要验证运算封闭），2V 的基是2111010,,;dim 3.001001V -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6-10． 证明略。
线性代数课本第一章详细答案
第一章课后习题及解答计算下列二、三阶行列式（用沙路法和定义）：1..02222=-=abab b a babab a2..1)sin sin (cos cos cos sin sin cos =--=-αααααααα3. .)(222))((2222222b a ab b a ab i b a ab bi a bi a bia ab bi a -=-+=--=--+=-+4. .5)3(422)2(351)4(24)4(5)2(2)3(13325214423-=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=--- 5. .0942861753843762951987654321=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=6..1810142199)1(22021119941202)1(210112101199202114122-=⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯=-7. 111222ωωωωωω，其中.2321i+-=ω=36331ωωω-++=0.8..662323213212322233+-=---++⨯⨯=x x x x x x x xxx x xx计算下列数字元素行列式（利用行列式性质展开）：9. .2564)1(123423403400400046=-=10.!.10!10)1(1000009000800020001000)09876543211(=-=ι11.111111111111---)4,3,2,(1=-i r r i=.8)2(20200002011113-=-=---12.3214214314324321（将2,3,4行加到第1行，提取公因子10）=103214214314321111（122334,,r r r r r r ---）=10113113110321--)4,3,2,(1=-i r r i=104040012101111---=102)4(-⨯=160.13.1111021*********-（41r r ↔）=245021*********--（1413125,4,r r r r r r ---）=315423001201111--------（32r r -）=315423043101111-------（24235,3r r r r ++）=1714870043101111-（342r r -）=710870043101111-=-.14. 1111156452243633545246563--（，2413,r r r r --提取第3行公因子2-）=11111210001110035452465632---（21r r -）=11111210001110035452111112---（,,21512r r r r --提取第5行公因子2-）=41121000111001323011111（45r r -）=4121000111001323011111-=4)3(-⨯=.12-15..32)16()2(1531432115310000430021=-⨯-=-⨯=-16. 11010420003100010987654321（,21r r -提取第1行公因子,5-提取第4行公因子2）=10-11010210003100010987611111（233445,,r r r r r r ↔↔↔）=1021310001098761101011111（4513,6r r r r --）=10131000432101101011111-（23r r -）=10131000322001101011111-=10.202-=-17. 8521310421042002030021100--（122334,,r r r r r r ↔↔↔）=8521304200203002110010421---（233445,,r r r r r r ↔↔↔）=04220300211008521310421-- =.6012)5(0422032111321-=⨯-=- 18.0BA*, 其中.0050004000300020*******,321021001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B ABA *(换行)=AB *-0=!.3!5=-A B证明下列恒等式：19. .)1(3332221112333332222211111c b a c b a c b a x c b x a xb ac b x a xb ac b x a xb a -=++++++ 证：333332222211111c b x a xb ac b x a x b a c b x a x b a ++++++=333222111333222111333222111333222111c b xb c b xb c b x b c xa xb c x a x b c x a x b c b a c b a c b a c xa a c x a a c x a a +++ =003332221112333222111+++c a b c a b c a b x c b a c b a c b a =3332221112)1(c b a c b a c b a x - .111111111111111122y x yy x x =-+-+证：yy x x-+-+1111111111111111=yy x x yy x -+-+--11111101110111010010010001=yy x x xy -+-+1111111112=)11110110101001(2yy x yy x xy -+-+-+=))((222y x y x xy ---+=22y x 21. ).)()()((111333b c a c a b c b a cbac b a---++= 证：333322221111dcbad c b a d c b a （范德蒙行列式）=))()()()()((a b a c b c a d b d c d ------，其中，2d -的系数即为333111cbac b a∴ ))()()((111333a b a c b c c b a cbac b a---++=. 22. .111)(111222323232ccb b aa ca bc ab ccb b a a ++= 证：323232321111dddc c c b b b a a a （范德蒙行列式）=))()()()()((a b a c b c ad b d c d ------其中，d 的系数即为323232111ccb b aa ∴ 222323232111)())()()((111ccb b a a ca bc ab a b a c b c ca bc ab ccb b a a ++=---++=.计算下列各题：23.543002201dc b a =540020cb a d -=02ba cd -=.abcd24.dc b a1110011001---=dc dc b a 111001)1(11101------ =dc ddc ba 11)10111(-+-+-=.)1)(1(ad cd ab +++25.2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a=0（因为按照行列式的求和性质展开时，每一项中均有两列成比例）26.1222111b a a c c b b a c a c bc b a +++（将2, 3列加到第1列）=122111b a a c cb a b ac b a a c cb ac b c b a ++++++++++ （第1，4列成比例）=0.27.44332211000000a b a b b a b a （按第1行展开）=00000433221433221b a b b a b a a b b a a - =332241332241a b b a b b a b b a a a -=))((32324141b b a a b b a a --.28.nn 222221222223222222222221-22321,,c c c c c c n ---=2203020001200002000021---n n(按照第1列展开)=22030200120002---n n=)!2(2--n .29.nn n nn a a a an a a a a na a a a)()2()1()()2()1(2111112222---------(范德蒙行列式)=∏≤<≤---ni j j a i a 0))((=∏=+-nk n n k 12)1(!)1(.30.nn n n n n n n n n n nn nn n n nn n n n n b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 111121211111212222222122111121211111+-+++-++-++------(第i 行提取公因子1,,1,+=n i a ni ，然后应用范德蒙行列式)=)(11∏+≤<≤-n i j j i jib a ab .用克拉默法则解下列线性方程组：31. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=++-=++.0,124,12,324543213214321431x x x x x x x x x x x x x x解：,71111021*********-=-=D ,71110211121124031-=-=D ,71110214121124352==D,71110114111123053=-=D ,701111214121134054-=-=D∴ .1,1,1,144332211==-==-====DD x DD x DD x DD x32. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++=+++.5,4,3,1,143215321542154315432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：类似31题求解可得：.45,41,43,47,41154321-=-====x x x x x33. 问：齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+-+=+++=+++0,03,02,04321432143214321bx ax x x x x x x x x x x ax x x x有非零解时，b a ,必须满足什么条件？解：,011131********=-baa 即.4)1(2b a =+34. 求平面上过两点),(11y x 和),(22y x 的直线方程（用行列式表示).解：设直线方程为0=++c by ax ，则其满足：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,02211c by ax c by ax c by ax有非零解，从而所求直线方程为：01112211=y x y x y x . 35. 求三次多项式332210)(x a x a x a a x f +++=, 使得.16)3(,3)2(,4)1(,0)1(====-f f f f解：由题意，得下列线性方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=-+-162793,3842,4,03210321032103210a a a a a a a a a a a a a a a a用克拉默法则求解，得：2,5,0,73210=-===a a a a , 从而，32257)(x x x f +-=.补充题证明下列恒等式：36.∏∑==+=+++ni i ni ina a a a a 1121.)11(111111111（1）用数学归纳法证明之；（2）利用线性性质，将原行列式表示为n 2个行列式之和的方法，计算行列式； （3）利用递推公式，计算行列式.解：（1）1=n 时，左边=1111a a +=+，右边=11a +，结论成立。
线性代数第一章习题答案.pdf
习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。
线性代数习题解答
11第一章no1.用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）baca c bc b a （3）222111c b a c b a ； （4）yxyx x y x y y x yx +++.解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-（2）=baca cb cb accc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=希望以上对你有帮助（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=（4）yxyx x y x y y x y x+++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个227 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p ta a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-260523********12； （3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c ba100110011001 解(1)7110025102021421434327c c c c --010142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯--- =143102211014--321132c c c c ++141717201099-=033(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bfde cd bd ae ac ab---=ecbe c b e c b adf---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d cb a10110011001---21ar r +dcb a ab 10110011010---+=12)1)(1(+--dca ab101101--+23dc c +01111-+-+cd c ad a ab=23)1)(1(+--cdad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bzay byax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay byax +++++++++=yxzx z yz y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ;44(4)444422221111d c b a dcbad c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)122110000010001a x a a a a xx x n n n+-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)0122222221312ab a b a a b a ab ac c c c ------=左边ab ab ab a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bzay byax zby ax bxaz y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bz ay by ax x by ax bxaz zbx az bz ay y b +++++++++++++002ybyax zx bxaz y z bz ay x a 分别再分bzay yxbyax x z bxaz z y b +++zyx y x zx z y b y xz x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(y xzx z y zy x b yx zx z yz y x a (3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c cb b b b b a a a a a 左边559644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c cb b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c cb b b a a a(4) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c ab ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b ++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D661110010001)1(11----+=+-xx a xD D n n n n右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D=,把D 上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转，依次得nnnn a a a a D 11111=， 11112n nn n a a a a D= ，11113a a a a D n n nn=，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明)det(ij a D =nnn n nn nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn nn n a a a a111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；77(2)xaaa x a a a xD n=;(3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nnnn ------=---+;提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4) nnnnnd c d c b a b a D00011112=;(5)ji a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nna a a D +++=11111111121,021≠na a a 其中.解(1) aa aa a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a aa88(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax xa a x xa a x x a a a a x D n ------=0000000再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=000000)1()(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i99(4) nnnnn d c d c b a b a D 011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式： 222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i nD c b d a D 222)(而 111111112c bd a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)ji a ij-=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n1010,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a a D +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---nnn n a a a a a a a a a a +-------1000010010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000224332211111n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221++nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D812073503211111------=14508130032101111---=14214205410032101111-=---=121211215132412211151------=D 1121513290501115----=1121023313090509151------=23313095112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=11235122412111512-----=D 81150731203271151-------=3139011230023101151-=2842841910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D14202132132212151114=-----=D 1,3,2,144332211-========∴DD x DD x DD x DD x(2)5100065100065100065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D1313D D ''-'=65D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+ 6100510656510650061+=703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-=141411000051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+=665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ．9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1．已知线性变换：1515⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B求.23B A A ABT 及-解A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=229420172221321616⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ;(6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635 (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x(333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=1717(6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问：(1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴(2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但=++222B AB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610故2222)(B AB A B A ++≠+(3) =-+))((B A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎪⎭⎫⎝⎛9060而 =-22B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7182故 22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的: （１）若02=A,则0=A ; （２）若A A =2,则0=A 或E A =; （３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.解 (1) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y AY AX =且0≠A 但Y X ≠7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求kA A A ,,,32 . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA1818⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==130********23λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A kk 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=323232303033λλλλλλA A A由此推测⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk kk k kkk k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明:当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k kkk k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB BT也是对称矩阵.1919证明 已知：A AT= 则 AB B B A B A B B AB B TT T T T T T T ===)()(从而 AB B T也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =.证明 由已知：A A T= B B T =充分性：BA AB =⇒A B AB TT =⇒)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.必要性：AB AB T =)(⇒AB A B TT =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵： (1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛5221； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001; (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5221A 1=A1),1(2),1(2,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A *-=A A A 11 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-12251A(2)01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A(3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 而 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A 故*-=A A A 11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=17162132130122020(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121031200210001A24=A 0434232413121======A A A A A A 68122444332211====A A A A12411032001)1(312-=-=A 12421012021)1(413-=-=A3121312021)1(514=-=A 4421012001)1(523-=-=A5121312001)1(624-=-=A 2121021001)1(734-=-=A*-=A AA 11 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4112124581031612100212100011A (5)01≠=A 故1-A 存在而002141312111==-==A A A A005242322212===-=A A A A320043332313-====A A A A850044342414=-===A A A A 从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-85003200005200211A(6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 00212121由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;(3) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;(4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122(3)11110210132141--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4) 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X2222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x (2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14．设O Ak=(k 为正整数),证明121)(--++++=-k A A A E A E .证明 一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E AA A E k -++++=- 两端同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A=--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式: 22=-A A即2=-E A A ,故 0≠A2323所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A=--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒-又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B .解 由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(故A E AB 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3210113301210113321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133017．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求11A . 解 Λ=-AP P 1故1-Λ=P P A 所以11111-Λ=P P A3=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*1141P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P 而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120012001故⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273118．设m 次多项式m m x a x a x a a x f ++++= 2210)(,记m m A a A a A a E a A f ++++= 2210)()(A f 称为方阵A 的m 次多项式.(1)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ2100λλ,证明:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λk kk2100λλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ)(00)()(21λλf f f ; (2)设1-Λ=P P A ,证明: 1-Λ=P P A k k ,1)()(-Λ=P Pf A f .证明(1) i)利用数学归纳法.当2=k时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ212120000λλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222100λλ2424命题成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ=Λ+212110000λλλλk k k k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++121100k k λλ 故命题成立. ii)左边m m a a a E a f Λ++Λ+Λ+=Λ=2210)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mm a a a 21211000001001λλλλ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=m m mm a a a a a a a a 2222210121211000λλλλλλ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)(00)(21λλf f =右边 (2) i) 利用数学归纳法.当2=k 时12112---Λ=ΛΛ=P P P P P P A 成立假设k 时成立,则1+k 时 11111-+--+Λ=ΛΛ=⋅=P P P P P P A A A k k k k 成立,故命题成立,即 1-Λ=P P A k kii) 证明 右边1)(-Λ=P Pf12210)(-Λ++Λ+Λ+=P a a a E a P m m11221110----Λ++Λ+Λ+=P P a P P a P P a PEP a m m m m A a A a A a E a ++++= 2210)(A f ==左边19．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明： (1) 若0=A ,则0=*A ;(2) 1-*=n AA .证明(1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴* 这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时 有0=*A(2) 由于*-=A A A 11, 则E A AA =*取行列式得到: n A A A =*若0≠A 则1-*=n A A 若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立 故有1-*=n A A20．取⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A ,验证DCB A DC B A ≠检验:2525=DCB A =--101010110100101101010100200002--410012002==而01111==D C B A故 DCB A DCB A ≠21．设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故8218⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A OO A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8281A OO A 1682818281810===A A A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A22．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ．解 将1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 分块为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C其中 1C 为n s ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵, 4C 为s n ⨯矩阵 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯O B A O s s n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s n E O O E 由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒==⇒==⇒==⇒=----122111144133)()(B C E BC B O C O BC A O C O AC A C E AC s n 存在存在故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111．2626第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311 )5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022100343112423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000000221003211希望以上对你有帮助2727(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102021 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000410003011020212．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶 子式?解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等 于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000010000100001α3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样?解)(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r，故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x2828故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------152********117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-． (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023010********071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为32929三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x xx x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x3030(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010*********~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x7．求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x (3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有3131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x32328．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R < ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ 由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ得2-=λ时,方程组无解.(3)3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．。
《线性代数》第一章习题及解答
2x x 1 2 例 8 设 f (x) = 1 x 1 − 1 ，则 x 4 的系数为（ ）， x 3 的系数为（ ）．
3 2x 1 1 11 x
分析 此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦
时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．
解 从 f (x) 的表达式和行列式的定义可知，当且仅当 f (x) 的主对角线的 4 个元素的
自身大的数，故这四个数的逆序数为 0；3 的前面比它大的数有 2 个（4、5），故逆序数为 2；
2 的前面比它大的数有 4 个（4、5、3、6），故逆序数为 4；7 的前面比它大的数有 1 个（8），
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t= 0+0+2+4+1= 7，故正确答案为（B）．
例 2 下列排列中（ ）是偶排列.
因此
(−1)t a1n−1a2n−2 Lan−11ann ，其中
t = (n −1)(n − 2) ， 2
( 2007 −1)( 2007 − 2 )
D = (−1) 2 2007!= −2007!．
此题也可以按行(列)展开来计算．
例 11 计算 n 阶行列式
2 1 1L1
1 2 1L1
Dn = 1 1 2 L 1
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
12345
12345
11122
11122
A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1 4 6 r4 + r2 3 2 1 4 6 = 0
22211
33333
线性代数第一章习题答案
习 题 1-11．计算下列二阶行列式： （1）xx 11； （2）ααααsin cos cos sin -．解 （1）()11112-=-=x x xx ．（2）1)cos (sin sin cos cos sin 22=--=-αααααα．2．计算下列三阶行列式：（1）121223112--； （2）00000d c b a ； （3）222111c b a c ba； （4）cb a b a ac b a b a a cb a ++++++232． 解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯=． （2）原式00000000000=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=dc b a c ad b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-．3．证明下列等式：=333231232221131211a a a a a a a a a 3332232211a a a aa 3331232112a a a a a -3231222113a a a a a +．证明 333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=)()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---=3332232211a a a a a =3331232112a a a a a -3231222113a a a a a +．4．用行列式解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=+-1236132321321321x x x x x x x x x ．解 （1）74334==D ，246351==D ，963542==D ，所以 721==D D x ，792==D D y ． （2）23213111132-=--=D ，232111161311-=----=D ， 462131611122-=---=D ，691136111323-=---=D ； 所以 111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．习 题 1-21．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）4321； （2）2314； （3）1243； （4）3142；（5）)2(42)12(31n n -； （6）2)22()2()12(31 --n n n ．解 （1）是标准排列，其逆序数为0； （2）逆序有（4 1），（4 3），（4 2），（3 2），所以逆序数为4． （3）逆序有（3 2），（3 1），（4 2），（4 1）,（2 1），所以逆序数为5． （4）逆序有（2 1），（4 1），（4 3），所以逆序数为3． （5）逆序有（3 2） 1个 （5 2），（5 4） 2个 （7 2），（7 4），（7 6） 3个 …………………（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个所以逆序数为 2)1(21-=+++n n n ． （6）逆序有（3 2） 1个 （5 2），（5 4） 2个 …………………（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个 （4 2） 1个 （6 2），（6 4） 2个 …………………（)2(n 2），（)2(n 4），（)2(n 6），…，（)2(n )22(-n ） )1(-n 个所以逆序数为 )1(12)1()1(21-=+++-+-+++n n n n ．2．写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项．解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p a a a a τ-，其中τ为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++，所以44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.3．在5阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？ （1）5145342213a a a a a ； （2）2544133251a a a a a ； （3）2344153251a a a a a ； （4）4512345321a a a a a ． 解 （1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号． （2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号．（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号． （4) 因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．若n 阶行列式)det(ij a =D 中元素ij a ),,2,1,(n j i =均为整数，则D 必为整数．这一结论对吗？为什么？解 这一结论正确，因整数经乘法运算后仍为整数，而D 为元素的乘法的代数和，因此结果仍为整数．5．证明：若n 阶行列式中有n n -2个以上的元素为零，则该行列式值为零．证明 因n 阶行列式中有2n 个元素，而有n n -2个以上元素为零，故不为零的元素的个数小于n ．从而，在行列式展开式中的n 个元素的乘积项中至少有一个元素为零，所以乘积为零，代数和也为零，故该行列式的值为零．6．用行列式定义计算下列行列式：（1）0001100000100100； （2）0100111010100111； （3）nn 0000000010020001000-； （4）011,22111,111n n n n a a a a a a --． 解 （1）在展开式43214321)1(p p p p a a a a∑-τ中，不为0的项取自于113=a ，122=a ，134=a ，141=a ，而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4=⨯⨯⨯-． （2）在展开式43214321)1(p p p p a a a a∑-τ中，取14344==a a p ，则33p a 取为⎪⎩⎪⎨⎧====1134332333a a a a p p ，则⎪⎩⎪⎨⎧====1122224222a a a a p p ，11p a 取为111=a ，除此之外的项均为0．即行列式 4334221143322411)1()1(a a a a a a a a D ττ-+-=，而 2)1423(=τ，1)1243(=τ， 所以 0)1()1(2=-+-=D ．（3）在展开式n np p p a a a2121)1(∑-τ中，不为0的项取为11,1=-n a ，22,2=-n a ，…，11,1-=-n a n ，n a nn =，而 2)1)(2()1)2)(1((--=--n n n n n τ，所以 !)1(2)1)(2(n D n n ---=．（4）在展开式n np p p a a a 2121)1(∑-τ中，不为0的项取n a 11,2-n a …1n a nn a ．而2)1()1)2)(1((-=--n n n n n τ，所以 11,212)1()1(n n n n n a a a D ---=．习 题 1-31．设0333231232221131211≠==a a a a a a a a a a D ，据此计算下列行列式： （1）131211232221333231a a a a a a a a a ； （2）333231232221131211a ka a a ka a a ka a ； （3）333231131211232221444333222a a a a a a a a a ； （4）323233312222232112121311253225322532a a a a a a a a a a a a ------． 解 （1）a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -=-↔33323123222113121131131211232221333231； （2）ka a a a a a a a a a k k k r a ka a a ka a a ka a =≠÷3332312322211312112333231232221131211)0(， 当0=k 时，结论仍成立．（3）33323123222113121121333231131211232221444222333444333222a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -↔ a a a a a a a a a a r r r 24)24(423333231232221131211321-=-÷÷÷．（4）3233312223211213113232323331222223211212131123223223225253225322532a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a a a a ---------- a a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a c c c 121212)2(3233323123222113121132323331222321121311321=↔-÷÷÷． 2．用行列式性质计算下列行列式：（1）111210321； （2）333222111321321321a a a a a a a a a +++++++++； （3）efcfbfde cd bdaeac ab ---；（4）yxyx x y x y yx y x+++；（5）28947104546333412------； （6）2605232112131412-． 解 （1）0111210000111210321321=--r r r ． （2）02112112113213213213211213333222111=+++--+++++++++a a a cc c c a a a a a a a a a ．（3）0202001321c e ec b adf rr r r e c be c b ec b adf ef cfbfde cd bdae ac ab-++---=---abcdef ec ecbadf r r 420002032=--↔． （4）yxyx x y x y x y x y y x c c c yxyx x y x y y x y x222222321++++++++++xy yy x y x y y x r r r r ---++--00)(21223 2)22()()22(y y x x y x y x +--+=)(2))((23322y x y x xy y x +-=--+=．（5）由于行列式中的第一列和第三列元素对应成比例，所以028947104546333412=------． （6）000002321121314122605232112131412214=----r r r ．3．把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：（1）3351110243152113------； （2）107825513315271391-------．解：（1）2113110243153351335111024315211341-------↔------r r 11101605510019182403351325141312---------+r r r r r r 111016019182401120335155323------↔÷r r r 2000320011203351533200760011203351581243432423-----↔+------+r r r r r r r r 402)2(215=⨯-⨯⨯⨯-=． （2）78130210017251307139121078255133152713*********------++---------r r r r r r r31224000210017251307139117324-=-----++r r r ．4．用行列式性质证明下列等式：（1）yxzx zyz y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax )(33+=+++++++++； （2）333222111333332222211111c b a c b a c b a c c b kb a c c b kb a c c b kb a =++++++； （3）0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ． 证明 （1）bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开列按第左边1bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ bzay y zby ax x y bxaz z xab bz ay x zby ax z ybxaz y xa +++++++22分开列分别再按第bzay y xby ax x z bxaz z y b bz ay x xby ax z zbx az y y ab ++++++++2 z y z y x yx z xab y y z x x y zz xb a z x z y zy xy xb a y xzx z yzy xa 22233+++分开列分别再按第 zy xy x z x z yb y y x x x zzz yab z x xy z zxy yab y xxx z zzy y b a 3222++++ zy x y x zx z yb y x zx z yzy x a 330000+++++= =-+=y x z x zy zy xb y xzx z yzy x a 323)1(右边． （2）左边=-+++-3331221112133331222111132c b a c b a c b a kc c c b kb a c b kb a c b kb a c c 右边． （3）左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 062126212621262123222221312=++++--d d c cb b a ac c c c ．5．计算下列n 阶行列式：（1）)1(3210321102113011321--------------n nn n n n n n；（2）1121122112111211111-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a；（3）a b b b b a b b bb a b bb b a ；（4）11111000000000112211-----n n a a a a a a ； （5）xa a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n -+-+-+-+-------113211232113221132111321．解 （1）)1(3210321102113011321--------------n nn n n n n n!0000210002)1(23002)1(262021321,,3,21n nn n nn n n nn n i r r i =----=+．（2）1121122112111211111-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a∏-=--==-11121121100000001,,3,2n i i n n i b b b b a a a ni r r．（3）a b b b b a b b b b a b bb b a ab b bn a b b a b b n a ba b n a bb b b n ac c n i i)1()1(0)1()1(21-+--+-+-++∑= ni r r i ,,21 =-ba b a b a b b b b n a ----+00000)1()(])1([1b a b n a n --+=-．（4）11111000000000112211-----n n a a a a a a nn a a a n i c c n i i 13210000000000001,,2,11211-----=+-+∏-=--=111)1(n i i n a n ．（5）x a a a a a a a xa a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n -+-+-+-+-------113211232113221132111321xa xa x a x a a a a a a n i r r n n n n i ----=----12211321100000000000,,3,2)())((1211x a x a x a a n ---=- ．6．解下列方程：（1）0913251323221321122=--x x ； （2）0)1(11111)2(111112111111111111=------xn x n x x．解（1）因22341222400051320010*******2513232213211x x r r r r x x ------1221)4)(1(22x x --=0)4)(1(322=--=x x 所以解为 1±=x ，2±=x ．（2）因左边n i r r i ,,3,21 =-xn x n x x ------)2(00000)3(000001000000111110])2[()1(=----=x n x x ，所以解为 2,,2,1,0-=n x ．习 题 1-41．求行列式342102321-=D 中元素3和4的余子式和代数余子式．解 3的余子式8420213==M ，3的代数余子式8)1(133113=-=+M A ． 4的余子式5123132-==M ，4的代数余子式5)1(322332=-=+M A ． 2．已知210004321333231232221131211==a a a a a a a a a D ，求333231232221131211a a a a a a a a a ．解：因为21)1(1000432133323123222113121111333231232221131211=-⋅==+a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ，所以 21333231232221131211=a a a a a a a a a ．3．已知四阶行列式D 的第3行元素依次为1,1,2,2-，它们的余子式依次为4,3,2,5，求行列式D ． 解 将行列式D 按第三行元素降阶展开，有3434333332323131A a A a A a A a D +++=4)1()1(3)1(12)1(25)1(243332313⋅-⋅-+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=++++13=4．设四阶行列式的第二行元素依次为0,1,,2x ，其余子式分别为y ,2,6,2-，第三行的各元素的代数余子式分别为5,1,6,3，求此行列式．解 因03424332332223121=+++A a A a A a A a ，即05011632=⨯+⨯++⨯x ，所以 67-=x ．从而 2424232322222121A a A a A a A a D +++=y x ⋅-⋅+-⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=++++42322212)1(0)2()1(16)1(2)1(2 97262-=--=+-=x ．5．按第三行展开并计算下列行列式：（1）5021011321014321---； （2）00000000052514241323125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a a ． 解：（1）原式501211431)1()1(502210432)1(33213--⋅-+--⋅=++ 021101321)1(0521201421)1()1(4333++-⋅+--⋅-+24181218-=-+-=． （2）原式=0000)1(000000)1(514125242321151413112323524225242322151413121331a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-⋅+-⋅ 353433000A A A ⋅+⋅+⋅+00025242315141341232524231514134231a a a a a a a a a a a a a a a a += 0=．6．证明下列各等式：（1）322)(11122b a b b a ab ab a -=+；（2）444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=； （3）n n n n n n na x a x a x a x a a a a xx x ++++=+-------1111221100000100001．证明 （1）左边122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--==-=3)(b a 右边．（2）方法一左边44444442222222001ad a c a b a a d a c a b a a d a c a b a---------=)()()(4,3,22222222222222221a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b i c c i ---------=-)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b ++++++---=))()((1312a d a c a b c c c c -----)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ ))()()()((b d b c a d a c a b -----=)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-．方法二记D d c b a d c b a d c b a =444422221111，构造矩阵444443333322222111111x d c b a x d c b ax d c b a xd c b aD =，则1D 是范德蒙德行列式，其结果为))()()()()()()()()((1d x c x b x a x c d b d a d b c a c a b D ----------=，其中3x 的系数为))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b +++-------．由行列式的降阶展开法则知，55445335225151A x A x A x xA A D +-+-=，其中3x 的系数D A =-45，所以有))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b D +++------=，即444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=． （3） 用数学归纳法证明 当2=n 时，2121221a x a x a x a x D ++=+-=，命题成立．假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D列展开按第则1n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.7．计算下列各行列式：（1）3214214314321111； （2）ab c d e ed c b a 010000010000010；（3）328814412211111x x x--； （4）nn a a a a a 0100000000000010001321-． 解 （1）原式12312112112341213121200014,3,21------=------=-i c c i12304012112------r r 1613114=----=．（2）依次按第二行、第三行、第四行降阶展开，有abc d e edc ba 0100000100001022e a a e e a -==．（3）由范德蒙德行列式的结果知，328814412211111x x x--)4)(1(12)12)(22)(12)(2)(2)(1(2--=-----+--=x x x x x ． （4）依次按第1,,3,2-n 行降阶展开，有nn a a a a a 000100000000000010001321 -)1(1111321132-==--n n n n a a a a a a a a a a ．8．计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）：(1)xyy x x y x y x n 0000000000000000=D ；(2)n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=1111321321321321D ；(3))det(ij n a =D ，其中||j i a ij -=；(4)nn a a a +++=11111111121D ，其中021≠n a a a ；(5)1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a n n n n n n n ------=---+D ；（提示：利用范德蒙德行列式的结果．）(6)nnnnn d c d c b a b a11112=D ，其中未写出的元素都是０．解 （1）按第１列降阶展开，有yxy y x yy xyx x y x x D n n0000000000)1(00000000001+-+=n n n y x 1)1(+-+=． （2）nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=1111D 3213213213211001010100111,23211---+=-ni a a a a ni r r∑=+ni ic c 211010*********n ni ia a a a ∑=+∑=+=ni i a 11．（3）ji a ij -=0432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n1,,2,11-=-+n i r r i i 0432111111111111111111111 --------------n n n nn i c c i ,3,21=+152423210222102210002100001---------------n n n n n212)1()1(----=n n n ．（4）nn n nn ni na a a a a a a n i c c D +----=--11001001001,,2,1121Xa a a r a a r n n i i i n n 010010010012111--=∑+（其中∑-=++=111n i in n a aa X ）)11()11(12111121∑∑=-=-+=++=ni in n i i n n n a a a a a a a a a a ．（5）对第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第１行，共需交换n 次．再把新的第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第２行，共需交换1-n 次．依次类推，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-⋅-⋅-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i ．（6）nnnnn d c d c b a b a D11112=n n n n n nd d c d c b a b a a 0011111111----展开按第一行)1(1111111112nn n n n nn c d c d c b a b a b ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 展开都按最后一行，由此得递推公式222)--=n n n n n n D c b d a D ，所以 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(，而 111111112c b d a d c b a D -==，所以 ∏=-=ni i i iin c b da D 12)(．习 题 1-51．用克拉默法则解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=--+-=---=+++4326324231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=+++-=+-+=+++25320112324254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 （1）276741212060311512=-----=D ， 8167402125603915181=------=D ，10867012150609115822-=-----=D ， 2760412520693118123-=---=D 2707415120903185124=-----=D ， 由克拉默法则知，方程组的解为311==D D x ，422-==D D x ，133-==D D x ，144==D Dx ． （2）1531321113221133211-=------=D ， 15313241136211432111=---------=D ，15313411162214332112=--------=D ， 014211632241331113=-------=D ，15343216132411312114-=------=D ；由克拉默法则知，方程组的解为111-==D D x ，122-==D D x ，033==D D x ，144==D Dx ． （3）14251321121341211111=----=D ，142513211210412211151=------=D 284512211203412111512=-----=D ， 426523211013422115113=----=D ， 14221320213212151114-=-----=D ，由克拉默法则知，方程组的解为111==D D x ，222==D D x ，333==D D x ，144-==DDx ． 2．设曲线332210x a x a x a a y +++=通过四点),4,2(),3,1(),3,3()3,4(-，求系数3210,,,a a a a ．解 由于曲线过四点，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=+++=+++=+++36416432793484233210321032103210a a a a a a a a a a a a a a a a而126416412793184211111==D ，3664164327933842411131=-=D ，1864163127931844111312-=-=D ， 246434127331842113113=-=D ，6316413931442131114-=-=D ， 所以310==D D a ，2321-==D D a ，232==D D a ，2143-==D D a ． 3．证明：对任意实数k ，线性方程组⎩⎨⎧=-+-=+-0)1(20)1(2121x k x kx x k 只有零解．证明 因系数行列式012)1(12122≠+=+-=---=k k k k k k D ，所以线性方程组只有零解．4．问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(3121321x x x x x x x λλλ有非零解？ 解 系数行列式)210(4)4)(6)(5(402062225λλλλλλλ-----=---=D )8)(2)(5()82410)(5(2---=-+--=λλλλλλ，当0=D 时，即8,2,5===λλλ时，齐次线性方程组有非零解．5．问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式μλμμμλ-==12111113D ， 当0=D 时，即10==λμ或时，齐次线性方程组有非零解．,l β能由,m α线)m α 等于 12,,)m l R αβββ,,,。
[VIP专享]数值线性代数(徐树芳老师)第一章答案
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习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
６．设的定义如下证明A有满足的三角分解。
线性代数习题参考答案
线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。
4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
线性代数习题册(答案)
线性代数习题册答案第一章 行列式 练习 一班级 学号 姓名 1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 . 3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 . 5．计算下列行列式： （1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式：(1)111ab c a b c abc +++ = 1323311011011,0110111111r r r r c c a b c b ca b c a b c-----+-==++++++ (2)xy x y y x y x x y x y +++(3)2151130602121476-----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n x aa a xa D a a x =（每行都加到第一行，并提公因式。
）(2)211131111n +(3)123123123nn n a b a a a a a b a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。
数值线性代数（徐树芳老师）第一章答案
数值线性代数（徐树芳⽼师）第⼀章答案习题1１．求下三⾓阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三⾓矩阵L的逆矩阵为T我们可以使⽤待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运⽤算法1·1·1，逐⼀求解⽅程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三⾓矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三⾓矩阵，⽽且线性⽅程组是⾮奇异的，试给出⼀种运算量为的算法，求解该⽅程组。
[解]因，故为求解线性⽅程组，可先求得上三⾓矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三⾓矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法 1（求解上三⾓矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三⾓矩阵。
运算量⼤约为.（3）⽤回代法求解⽅程组：.运算量为；（4）⽤回代法求解⽅程组：运算量为。
算法总运算量⼤约为：３．证明：如果是⼀个Gauss变换，则也是⼀个Gauss 变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下⾯我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从⽽有４．确定⼀个Gauss变换L，使量的第⼆⾏加上第⼀⾏的2倍；使向量的第三⾏加上第⼀⾏的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三⾓分解，并且是⾮奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯⼀的。
[证明]设，其中都是单位下三⾓阵，都是上三⾓阵。
因为A⾮奇异的，于是注意到，单位下三⾓阵的逆仍是单位下三⾓阵，两个单位下三⾓阵的乘积仍是单位下三⾓阵；上三⾓阵的逆仍是上三⾓阵，两个上三⾓阵的乘积仍是上三⾓阵。
因此，上述等将是⼀个单位下三⾓阵与⼀个上三⾓阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从⽽即A的LU分解是唯⼀的。
６．设的定义如下证明A有满⾜的三⾓分解。
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习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss 变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
６．设的定义如下证明A有满足的三角分解。
[证明]令是单位下三角阵，是上三角阵。
定义如下容易验证：７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式证明仍是对称阵。
[证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss 变换为其中，将A分块为那么即由A的对称性，对称性则是显而易见的。
８．设是严格对角占优阵，即A满足又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式试证：矩阵仍是严格对角占优阵。
由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。
[证明] 依上题的分析过程易知，题中的于是主对角线上的元素满足（1）非主对角线上的元素满足由于A是严格对角占优的，即故从而（2）综合（1）和（2）得即，矩阵仍是严格对角占优阵。
９．设有三角分解。
指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？[解] 用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。
而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有这就是说，方程组和是同解方程。
而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1·1·2求解。
这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。
算法如下：（1）用初等变换化；（2）利用回代法求解方程组。
该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10．A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为的矩阵，证明仍是正定阵。
[证明]不妨设从而有由于非奇异，故对且，构造，及，则由A 的正定性有由x的任意性知，正定。
11．设并且是非奇异的。
矩阵称为是在A中的Schur余阵。
证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss 消去以后，S正好等于（1·1·4）的矩阵[证明] 因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。
即有如下单位下三角矩阵使注意到比较两式便知，，故有12．证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有[证明] 略。
13．利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。
[解]设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。
于是，通过求解下列n 个方程组便可求得于是也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：（1）用列主元Gauss消去法得到：；（2）经求解：得；（3）对X进行列置换得：。
14．假定已知的三角分解：A=LU。
试设计一个算法来计算的（i，j）元素。
[解]求解方程组则x的第i个分量就是的（i,j）元素。
15．证明：如果是严格对角占优阵（参见第8题），那么A有三角分解A=LU并且[证明] 仿照第8题的证明，容易证明：对于是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到其中仍是严格对角占优阵。
A的三角分解A=LU中这样，我们在对A进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元。
因此，16．形如的矩阵称作Gauss-Jordan变换，其中.（1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式。
（2）向量满足何种条件才能保证存在使得?（3）给出一种利用Gauss-Jordan变换求的逆矩阵的算法。
并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底。
[解] 为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质：性质1：.事实上，性质2：Gauss-Jordan变换非奇异的充分必要条件是. （1）运用待定法，首先设的逆矩阵为，则有故应有（2）欲使，则应有即因此，应满足，便可按上述方法得到使得。
（3）设A的逆矩阵，则应有下面我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法。
算法如下：假定A的各阶主子阵非零，记第1步：假若，令，构造，用左乘和，得到其中第2步：假定，令，构造，用左乘和，得到其中照此下去，直到第n步：假定，，构造，用左乘和，得到经上述n步，我们得知：故从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：我们可以仿照定理1.1.2给出下列定理。
定理：的充分必要条件是矩阵的各阶顺序主子阵非奇异。
[证明] 对于用归纳法。
当时，，定理显然成立。
假定定理直到成立，下面只需证明：若非奇异，则非奇异的充要条件是即可。
由归纳假定知因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行步，即可得到个Gauss-Jordan变换使（16-1）由此可知的阶顺序主子阵有如下形式若将的阶顺序主子阵分别记为，则由（16-1）知注意到所以即非奇异的充要条件是17．证明定理1·3·1中的下三角阵L是唯一的。
[证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。
为证明L的唯一性，不妨设有和使那么注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。
因此，只能是对角阵，即从而于是得知18．证明：如果A是一个带宽为2m+1的对称正定带状矩阵，则其Chelesky因子L也是带状矩阵。
L的带宽为多少？[证明] 带宽为2m+1的矩阵的认识：当m=1时，2m+1=3，该带宽矩阵形为：对m为任意一个合适的正整数来说，带宽为2m+1的矩阵元素有如下特征：结合这一特征，对于带宽为2m+1的对称正定带状矩阵Ar的Colicky分解算法，可改写成下列形式：从算法不难看出：Colicky因子L是下三角带状矩阵，L的带宽为m+1.19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i 阶顺序主子阵的Cholesky因子。
[证明] 将A和L作如下分块其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。
显然故有。
即是的Colicky分解。
20．证明：若是对称的，而且其前个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。
[证明] 先证明存在性。
根据定理1·1·2知，存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU，且U的主对角线上元素除外，其余都不为零。
令，则有单位上三角阵使，即有又因为，则从而根据L和的可逆性知：该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。
因此它们等于对角阵。
再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。
因此两端都等于D。
于是从而有再证唯一性。
令，故有。
左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵。
又因，故。
21．给出按行计算Cholesky因子L的详细算法。
[解] 略。
22．利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。
[解] 算法可分为以下几个步骤：（1）首先利用算法1·3·2计算出正定矩阵的如下分解其中，L是单位下三角阵，D是对角阵。
（2）求解矩阵方程其解矩阵.（3）求解矩阵方程其解矩阵（4）求解矩阵方程其解矩阵[注意] 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易。
23．设用平方根法证明A是正定的，并给出方程组的解。
[解] 由Colesky分解可得其中显然，L是非奇异矩阵。
因此，对.于是所以是正定的。
由方程组，解得，再由方程组，解得24．设是一个正定Hermite矩阵，其中证明：矩阵是正定对称的。
试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组[解] 既然是正定的，又对，有，且.且注意到显然H正等价于A、B正定。
对，则有由前面的讨论，知道若H是正定的，则A是正定的，故矩阵C是正定的。
由于于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组其矩阵形式为：由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根算法求解。
21。