3.2.2函数模型的应用实例
课件9：3.2.2 函数模型的应用实例
似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于
1
15 + , (0 ≤ ≤ 10)
2
f(t)＝൞
(元)．
1
25 − , (10 < ≤ 20)
2
典型例题
类型3 分段函数模型的应用
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表
10−6
代入得Y＝10lg −12
10
＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．
(2)当Y＝0时，即为10lg
10−12
＝0，所以
I＝10－12 W/m2，
则能听到的最低声强为10－12 W/m2.
10−12
＝1，
典型例题
−7
5×10
(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg −12
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元
或150元．
名师指导
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实
际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别
式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，
从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
跟踪训练
1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池
即 S＝
2
－10x
＋1 200x－15 000，30<x≤75.
跟踪训练
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15 000为增函数，
所以x＝30时，Smax＝12 000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1 200x－15 000
3.2.2函数模型应用实例1
h (t )
1
(t 3 5 0 ) 1 0 0
2
,所以当
t 300
8 7 .5
综上,由 1 0 0 8 7 .5 可知, h ( t ) 在 [0, 3 0 0 ] 上可以取得最大值 100,此时 t =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益 最大.
中学数学网（群英 学科）提供
3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时
y kx b(k 0) 直 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条 ____线，
当________时，一次函数在 ( ,) 上为增函数，当_______时， 一次函数在 (,) 上为减函数。
2
y ax bx c(a 0) 2.二次函数的解析式为_______________________,
v
90 80 70
60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5
解(1)阴影部分的面积为 50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km (2)根据图形可得：
S
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型） 予以解答，求得结果。 第四步：再转译为具体问题作出解答。
实际问题
抽象概括
数学模型 推理 演算
实际问题 的解
还原说明
数学模型的 解
布置作业 1 . (必做)课本第107页 习题1,2
2.（选做）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查， 提供了两个方面的信息，如下图：
r6≈0.0223, r7≈0.0276, r8≈0.0222, r9≈0.0184. 可得,1951-1959年期间我国人口的平均增长率分为 r ( r1 r2 r9 ) 9 0 .0-1959年期间我国的人口增长模型为 0.0221 t y 55196 e , t N.
3.2.2 函数模型的应用实例
m≠0
a≠0，n≠1
首页
上一页
下一页
末页
[小试身手]
结束
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．
(√ )
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调
性．
(√ )
首页
上一页
下一页
末页
结束
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费
首页
上一页
下一页
末页
结束
分段函数模型
[例2] 某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水 量不超过4吨时，每吨1.80元；当每户每月用水量超过4吨 时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已 知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．
(1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙 两户该月的用水量和水费．
为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普
通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数
关系式为
()
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
的函数关系式，可得 0＝5log210，解得 Q ＝10，即燕子静止 时的耗氧量是 10 个单位． (2)将 Q ＝80 代入题中给出的函数关系式，得 v＝5log28100＝ 5log28＝15，即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的 飞行速度为 15 m/s.
人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)
3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
课件5：3.2.2 函数模型的应用实例
图 3－2－8
【解】 OB 所在的直线方程为 y＝ 3x.当 x∈(0,1]时，由 x ＝t，求得 y＝ 3t，所以 f(t)＝ 23t2；
当 t∈(1,2]时，f(t)＝ 3－ 23(2－t)2； 当 t∈(2，＋∞)时，f(t)＝ 3，
23t2，t∈0，1]，
∴f(t)＝
3－ 232－t2，t∈1，2]，
3，t∈2，＋∞.
指数(对数)型函数建模问题
例 3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的 游速为 v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究中发现 v 与 log31Q00成正比，且当 Q＝900 时，v＝1.
24x－9.6 x>34.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当 x∈0，45时，y≤f45<26.40； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.40； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.40， 得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
【自主解答】 (1)设 y＝kx＋b(k≠0)， ∵x＝8 时，y＝400；x＝10 时，y＝320. ∴430200＝ ＝810k＋k＋b， b， 解之得kb＝＝－72400，， ∴y 关于 x 的函数关系式为 y＝－40x＋720(x>0)． (2)该班学生买饮料每年总费用为 51×120＝6 120(元)． 当 y＝380 时，380＝－40x＋720，得 x＝8.5， 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 380×8.5＋ 228＝3 458(元)， 所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．
3.2.2函数模型应用实例
60266
61456
62828
64563
65994
67207
y y0e
n (1)如果以各年人口增长平均值l作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数 据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口 的年平均增长率。
0
y y0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／ 万人55196 Nhomakorabea56300
57482
58796
3.2.2 函数模型的应用实例
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示，
（1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。
由图4可以看出,所 得模型与 1950~1959年的实 际人口数据基本吻 合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
将y=130000代入 y 55196e0.0221t .t N.
由计算可得
t 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.
3.2.2 函数模型的应用实例训练
3.2.2函数模型的应用实例一、基础达标1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为()答案 C解析由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．2．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是() A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元答案 C解析由题意可知，当x＝1 200时，y＝7.00元．3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为() A．30 B．40C．50 D．60答案 C解析 设安排生产x 台，则获得利润 f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x ＜A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是 ( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析 由题意知，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16. 5．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋1102，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有 ( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，则y ＝xQ －P ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋xb －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.∴⎩⎨⎧－a －52⎝⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝－30.6．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好． 答案 甲解析 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 解 设报摊主每天买进报纸x 份，每月利润为y 元(x 为正整数)． 当x ≤250时，y ＝0.1×30×x ＝3x . 当250≤x ≤400时，y ＝0.1×20×x ＋0.1×10×250－(x －250)×0.32×10 ＝2x ＋250－3.2x ＋800 ＝1 050－1.2x . 当x ≥400时，y ＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x －400)×0.32×20－(x －250)×0.32×10 ＝800＋250－6.4x ＋2 560－3.2x ＋800 ＝－9.6x ＋4 410.当x ≤250时，取x ＝250，y max ＝3×250＝750(元)． 当250≤x ≤400时，取x ＝250，y max ＝750(元)． 当x ≥400时，取x ＝400，y max ＝570(元)．故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．二、能力提升8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50答案 C解析 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝⎛⎭⎪⎫49150.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1， ∴827＝(e －k)t 1＝⎝⎛⎭⎪⎫49t 150， ∴t 150＝32，t 1＝75. 9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)． 答案 36.72解析 当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59144(lg 5－2lg 3)＝36.72.10．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t ，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．答案①②解析由图象知，t＝2时，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正确．当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确，当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23.t2－t1＝log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额．(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L ，则由题设得： L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000.①由销量图易得：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20＜P ≤26，代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600，14≤P ≤20，(－32P ＋40)(P －14)×100－5 600，20＜P ≤26，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450(元)， 此时P ＝19.5(元)；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503(元)，此时P ＝613(元)．故当P ＝19.5(元)时，月利润余额最大，为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫． 三、探究与创新12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12th ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多少时间？ 解 由题意知40－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ， 即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h . 解之，得h ＝10.故T －24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10. 当T ＝35时，代入上式，得 35－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10， 即⎝⎛⎭⎪⎫12t 10＝1164.两边取对数，用计算器求得t ≈25. 因此，约需要25 min ，可降温到35℃.13．(2014·成都高一期末)今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P (t )＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物． (1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.) 解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝90%P 0. 于是有90%P 0＝P 0e －5t .解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)．(2)由(1)得，知P ＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.9t . 当P ＝40%P 0时，有0.4P 0＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎫15t . 解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×(－0.11)＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．。
3-2-2 函数模型的应用实例
探究：已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题 考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型， 列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 解决此类型函数应用题的基本步骤是：
第三章
3.2
3.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
第一步，阅读理解，审清题意； 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述 所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，求什 么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步，根据所给模型，列出函数关系式； 根据问题已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此 基础上将实际问题转化为一个函数问题． 第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学 模型)予以解答，求得结果；
第三章
3.2
3.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
如果所建数学模型是函数问题，就成了函数模型，函数 模型是数学模型的一个重要组成，是一类广泛的应用． 总结：实际问题→表示模型→模型的解→实际问题． 问题 2：我们如何来应用函数模型解决实际问题呢？
第三章
3.2
3.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
第三章
3.2
3.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
命题方向 2 二次函数模型问题与函数的图象
由函数的图象求出函数解析式，这是最基本的题型． [例 2] 甲、 乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规
模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如下图． 甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲 鱼上升到第 6 年 2 万只．
商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个 5 元，该商店推出两种优惠办法： ①买一个茶壶送一个茶杯， ②按购买总价的 92%付款． 某 顾客购买茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若购买茶杯数 x 个，付款为 y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y 与 x 的函 数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯 40 个，应选择哪 种优惠办法？
人教A版必修一3.2.2函数模型的应用实例
类型一：难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题？. 思路点拨：利用所给函数关系式解决有关问题
规律方法：本题是常数函数、一次函数、二次函数混合在一起的分段函数，自变量的取值 不同函数解析式可能不一样，这一点要特别注意.另外，函数的最值也是通过先求每一段 的最值，然后再作比较而求得. 变式训练1－1：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为 了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产 量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或指数型函数，已知4月份该产品的产 量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
思路点拨：解答本题可首先根据表中数据作出散点图，然后通过观 察图象判断问题所适用的函数模型.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x.作出函数图象如图（乙），可以发现，这 个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关 系. （3）由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷. 规律方法：对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题 ，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题. 函数拟合与预测的一般步骤是：
类型二：自建函数模型解应用题 【例2】 某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上 九点）的电价为0.55元/kW·h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元 /kW·h.对于一个平均每月用电量为200 kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kW·h？
3.2.2函数模型的应用实例
时间的关系如图所示：
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面
积的实际含义； v
(2)假设这辆汽车的 90
里程表在汽车行驶 80 70
这段路程前的读数 60 50
为2004 km，试建立
40 30
汽车行驶这段路程时 20 10
汽车里程表读数s km
1 2 3 4 5t
与时间t h的函数解析式，并作出图象.
由y=a(1+r)x 得 y=1131.4 答：5期后本利和是1131.4元。
【总一总★成竹在胸】
解决实际问题的步骤：
实际问题 问 题 解 决
抽象概括
数学模型
数学化
(设、列)
数
(解)
学 解
答
推 理 演 算
实际问题 的解
还原说明
符合实际 (答)
数学模型 的解
买进 卖出 退回
数量(份)
30x 20x+10*250
10(x-250)
价格(元)
0.20 0.30 0.08
金额(元)
6x 6x+750 0.8x-200
解: 每月获利润:
y 6x 750 0.8x 200 6x
0.8x 550 (250≤x≤400)
∴x＝400份时，y取得最大值870元 答：每天从报社买进400份时，每月获的利润 最大，最大利润为870元．
就可获得最大的利润
解2:设每桶水定价x元时，日均利润为y元,
则日均销售量为 480 40(x 6) 720 40x 桶
y (720 40x)(x 5) 200
40x2 920x 3800
40(x 11.5)2 1490
而 x 5,且720 40 x 0,即5 x 18 当x 11.5时，y 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，
3.2.2函数模型的应用实例2
7. 依法纳税是每个公民应尽义务. 国家征收个人工薪 所得税是分段计税的. 总收入不超过1600元的免征个 人工薪所得税. 设全月纳税的所得额(指工薪中应纳税 部分)为x, x = 全月总收入-1600. 税率如右：
级别 全月纳税的所得额 不超过500元部分 税率 5%
2 y f (x) 52 ) (0.5 0.25x) (5 5 2 (x 5)
9. 某厂生产某种零件, 每个零件的成本为40元, 出厂 单价定为60元, 该厂为鼓励销售商订购, 决定当一次 订购量超过100个时, 每多订购一个, 订购的全部零件 的出厂单价就降低0.02元, 但实际出厂单价不能低于 51元. (1) 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价 60 - 0.02(x-100) = 51 恰降为51元？ (2) 设一次订购量为x个, 零件的实际出厂单价为P元, 写出函数P=f(x)的表达式；
y 1 4 4 5 5
x x
4 1 x > 10 10 5
x
11. 某工厂产值连续三年持续增长, 这三年的年增长率 分别为x1, x2, x3, 这三年的年平均增长率为P, 则( ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 (B) P (A) P = 3 3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 (C) P (D) P与 的大小不定 3 3 该年产值 = 前一年产值 · (1+x%)
(2) 为使公司今年按新价让利后的获利总额不低于5万元, 则该公司在今年至少应销售多少台这种电脑？
y 3000 2880 1 25% n 50000
3. 甲、乙两个粮库要向A、B两地调运大米, 已知甲库 可调出100吨大米, 乙库可调出80吨. A地需70吨, B地 需110吨, 两库到两地的路程及运费如下表：
高中数学人教A版必修1课件：3.2.2函数模型的应用实例
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)求总利润 y 的最大值.
分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)
转化为求(1)中函数的最大值.
-12-
3.2.2
题型一
函数模型的应用实例
题型二
题型三
M 目标导航
-3-
3.2.2
函数模型的应用实例
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.
记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发
现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时,v=1.
100
(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;
米)的关系式为 p=1 000·
7
100
ℎ
3 000
, 则海拔6 000 米处的大气压强为
百帕.
解析:当 h=6 000 米时,p=1 000·
7
100
6 000
3 000
= 4.9(百帕).
答案:4.9
推荐-高中数学人教A版必修1课件3.2.2函数模型的应用实例
当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数.
f(x)<60 000-100×400<25 000(元).
∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000 元.
故每月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25 000 元.
探究一
探究二
探究三
思维辨 析
合作学习
反思感悟应用一次函数与二次函数的有关知识,可解决生产、生 活实际中的最大(小)值的问题.解答时需遵循的基本步骤是:(1)反 复阅读理解,认真审清题意;(2)依据数量关系,建立数学模型;(3)利 用数学方法,求解数学问题;(4)检验所得结果,译成实际答案.
合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨 析
解(1)已知仪器的月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x,
从而
f(x)=
-
1 2
������
2
+
300������-20
000,0
≤
������
≤
400,
60 000-100������,������ > 400.
(2)当 0≤x≤400 时,
f(x)=-12(x-300)2+25 000, ∴当 x=300 时,f(x)有最大值 25 000 元;
y=a+bx(a,b 为常数,b≠0).
取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
代入
y=a+bx,得
21.1 45.8
= =
������ ������
+ +
10.4������, 24.0������,
自然状态下的人口增长模型
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
自然状态下的人口增长模型： y=y0ert 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口 的年平均增长率. 下表是1950～1959年我国的人口数据资料： （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模 型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得 模型与实际人口数据是否相符；
0.0221t rt y 55196 e ,t N. 自然状态下的人口增长模型： y=y0e 1951~1959年的人口增长模型为
. . . . . . . . . . 解：设 1951~1959年的人口增长率分别为r 所以，如果按 ,r ,…,r 55000
1 2 9.
表的增长趋势，大 由55196(1+r1)=56300,可得1951年的人口增长率r10.0200 50000 约在1950年后的39 于是， O 1 1951~1959 2 3 4 年期间，我国人口的年均增长率为 5 6 7 8 9 t 年（即1989年）我 国的人口就已达到 （ 2）如果按表的增长趋势，大约 r=(r +r + …+r ) 9 0.0221 1 2 9 13亿。
销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价 才能获得最大利润？ 解：根据上表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。设 在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的 日均销售量就为： 480－40（x－1）=520－40x（桶）
高中数学3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例
x12 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
()
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
2.(2014·大连高一检测)某工厂今年1月,2月,3月生产某产品 分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了预测以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与 月份数x的关系,模拟函数可选用二次函数或指数型函数y=mnx +p(其中m,n,p为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请 问选择以上哪个函数作为模型较好?并说明理由.
11%gx，x 4 000.
如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所
以稿费应在800～4 000元之间,
所以(x-800)×14%=420,所以x=3 800.故选C.
2.(1)当0<x≤10时，
f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，
【拓展延伸】解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择 模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号 语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际问题的结论.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题 中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问 题即可获解. (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表 格中的数据先列式,然后进行比较.
高中数学 第三章 §3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
第五页，共22页。
小结 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增
第十一页，共22页。
跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票 数为多少？ 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 票数 x 张之间的函数关系是：y＝31..7255xx＋0≤1 0x0≤0440000<x≤600 . ①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200. ②当 400<x≤600 时，由 1.25x＋1 000＝750，得 x＝－ 200(舍去)． 综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张． 答 当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
第十七页，共22页。
当 y＝10 时，解得 t≈231. 所以，1881 年世界人口约为 10 年的 2 倍．
(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长 情况.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.2.2函数模型的应用实例
一、教学目标：
1、能够收集图表数据信息，建立适合函数解决实际问题，体验收集图表数据信息的过程与方法，能建立适合函数解决实际问题
二、教学重难点
1、重点：将收集图表数据信息，建立函数模型解决实际问题。
2、难点：建立起函数模型，并进行模型修正
三、教学过程
（一）复习旧知，揭示课题.
解决实际问题的步骤：
实际问题读懂问题将问题抽象化数学模型解决问题
现实生活中有些实际问题给出了图表数据信息,对这类问题就要求我们能够收集图表数据信息，建立适合的函数模型来解决问题。
请看下面的例子：
（二）实例尝试，探求新知
例1(见P104例5)、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
请根据以上根据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
分析：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480－40（x－1）
＝520－40x（桶）由于x＞0，所且520－40x＞0，即0＜x＜13
于是得：y＝（520－40x）x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13
由二次函数的性质，易知，当x＝6.5时，y有最大值。
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。
2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
先让学生探索以下问题：
1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图；
2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？
3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系比较合适？
4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.
5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可考虑用y＝a·b x作为刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm关系的函数模型。
不妨取其中的两组数据（70，7.90），（160,47.25）代入y ＝a ·b x
得：
⎪⎩⎪⎨⎧•=•=1607025.479.7b a b a ，用计算器解得：⎩⎨⎧≈≈02.12b a 这样，我们就得到一函数模型：x y 02.12⨯=
将已知数据代入上述函数解析式，或作出函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系。
（2）将x ＝175代入x y 02.12⨯=，得：17502.12⨯=y ≈63.98
（3）由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖。
总结：课本106页函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：
符合
实际
不符合实际
(三)、练习实践,巩固提高
练习：P106 1、2
（四）、课堂小结
利用函数思想解决实际问题的基本过程。