电大微积分初步复习题与答案

微积分初步复习试题

一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)

2ln(1

)(的定义域是 ]4,1()1,2(-⋃-- ．

⒉若24sin lim

0=→kx

x

x ，则=k 2 ．

⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y

．

⒋

=+⎰e 12

d )1ln(d d x x x

0 ．

⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ．

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．

A ．偶函数

B ．奇函数

C ．非奇非偶函数

D ．既奇又偶函数

⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0

,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．

A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.

B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.

C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.

D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）．

A . )cos d(d sin x x x = B. )1

d(d ln x

x x =

C. )d(d x x a x a =

D. )d(2d 1

x x x

= ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ）

A. 2；

B. 3；

C. 4；

D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分）

⒈计算极限238

6lim 222+-+-→x x x x x ．

原式21

4

lim )1)(2()2)(4(lim

22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .

)sin (cos 31

2x x x y -+=

' x x x x

y d )cos sin 31

(d 2-=

⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-

x x d )12(10

⎰

-= c x x x +-=--⎰11

10)12(22

1)12(d )12(21 ⒋计算定积分

x x d ln 2

e 1

⎰

x x d ln 2

e 1

⎰-

=2

1ln e x x 1e 1e e 2d 2

22e 12

+=+-=⎰x x x 四、应用题（本题16分）

欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108

,108x

h h x ==

x x x

x x xh x y 432

108442222+=⋅+=+= 令0432

22=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，

且0432

226

3>⨯+

=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336

108

==h

一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x

．

⒉当→x 0 时，x

x x f 1

sin

)(=为无穷小量. ⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-

．

⒋=+-⎰-x x x d )135(1

13 2 ．

⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)

1ln(1

)(-=

x x f 的定义域是（ C ）．

A ．),1(+∞

B ．),1()1,0(+∞⋃

C ．),2()2,1(+∞⋃

D ．),2()2,0(+∞⋃

⒉曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（D ）． A ．2 B ．2e C ．4e D ．42e

⒊下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点

B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0

C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点

D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 ⒋下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰

∞+-0

2d e x x B ． ⎰

∞

+1

d 1x x

C ． ⎰

∞

+1

d 1

x x

D ． ⎰∞+0d in x x s

⒌微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D

4

6lim 222----→x x x x 45

23lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4

三、计算题（本题共44分，每小题11分）

⒈计算极限4

6

lim 222----→x x x x ． ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y d .

)sin (cos 35cos 52x x x y -+='

x x x 2cos sin 35cos 5-=

x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= ⒊计算不定积分⎰

+-x x x

x x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 32

3

⒋计算定积分⎰π0d sin 2

x x x

⎰

π

d sin 2x x x

2sin 212d cos 21cos 210

00πππ

ππ=+=+-=⎰x x x x x 四、应用题（本题16分）

用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24

x

h =