关于中点的联想

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「初中数学」中点相关的几何解法探究

「初中数学」中点相关的几何解法探究中点是几何中的一个重要概念，体现了对称、和谐之美，是中考的核心考察对象之一，在命题中占着重要的一席之地.本文拟从与中点有关的基本定理、基本图形等入手，以学生检测中的一道中考真题为例，对中点问题展开解法探究.一、基本图形先谈谈与中点有关的基本定理与基本图形，如图1所示：1.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；2.等腰三角形底边上的中线、底边上的高线以及顶角的平分线重合，简称“三线合一”；3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；5.平行四边形的对角线互相平分；由这些基本定理及其相关逆定理衍生出的基本图形，是我们处理中点问题的常见策略，如倍长中线等方法.结合面积问题，还会有“三角形的中线平分其面积”等结论.二、例题呈现（2015年辽宁省抚顺市中考题）如图2，四边形ABCD为矩形，E为边BC的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与⊙O相切；(2)若AD=2，F为AE的中点，求AB的长.三、解法探究首先解决第(1)小问：思路一：如图3，要证CF与⊙O相切，必定要连接半径OF，只要证出OF⊥CF即可.由题易知OD⊥CD，连接OC，若能证明△OCD≌△OCF便可解决问题.要证△OCD≌△OCF，已经有OD=OF，OC=OC，还缺一个条件，如何寻找呢？注意到在矩形ABCD中，点O、E分别为AD、BC的中点，易证四边形AOCE为平行四边形，从而有OC∥AE.故∠COF=∠OFA=∠OAF=∠COD，即∠COF=∠COD.因此△OCD≌△OCF （SAS），问题得解.思路一构造平行四边形，通过导角，寻找到了所需的最后一组有关角的条件.除此之外，还可以考虑证明CD=CF，再利用“SSS”得到全等.下面提供“倍长中线”的思路来证明CD=CF.思路二：如图4，延长AE交DC的延长线于点G，由E为边BC 的中点，易证△ABE≌△GCE（ASA），从而有AB=GC=DC；由直径AD联想到连接DF，则∠AFD=∠DFG=90°；识别到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”基本型，可得FC=DC；至此，除了全等法之外，还可以简化过程如下：由OF=OD得∠OFD=∠ODF，再由FC=DC得∠CFD=∠CDF，从而有∠OFC=∠ODC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.课堂上笔者介绍了这两种思路，学生直呼过瘾.就这样结束了吗？不！爱动脑筋，总会有意想不到的收获！下课铃声一响，班里一学生兴高采烈的堵住我：“老师，我还有一种解法，……”.思路三：如图5，连接OF、DF、OE、OC、DE，设OC与DE交于点M，再连接FM.易证四边形ODCE为矩形，且∠AFD=∠DFE=90°，则FM=1/2DE=1/2OC=OM=CM.由FM =OM=CM，可推出∠OFC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.此解法看似复杂，但构图充满美感，不自觉间形成了一个极其有趣的“★”结构，让人不禁感叹几何构造之神奇！而解法来源于学生，又不禁让教者惊叹于学生无限的创造力!若用共圆的眼光来看，此解法将更有趣.如图6，易知O、D、C、E、F五点共圆，再借助圆中相关知识，此图中还会有非常多的等角.四、解后反思“学而不思则罔，思而不学则殆”，解题后反思是是一种意识，一种习惯，更是一种能力.几何的学习重在基本图形的识别与构造，学会联想，将残缺的图形补成已学过或已解决的基本图形，这就是所谓常见辅助线的构造.反思解题过程，重在反思基本图形.1.“铁三角结构”思路一中可抽离一个基本图形：如图6，由OA=OF及OC∥AF可推出∠1=∠2，即“等腰三角形＋平行角平分线”.事实上，对于条件①：OA=OF；条件②：OC∥AF；条件③：∠1=∠2，其中任意两个成立，第三个一定成立，两两组合，共三个真命题.笔者称其为“铁三角结构”，它经常会出现在中考题里，应予以广泛的关注.2.“倍长中线法”思路二中，由中点E联想到倍长AE至点G，如图7，构造出一组“平行8字型”全等，此法即为“倍长中线法”，是解决与中点相关问题的重要方法，需引起高度重视.此外，倍长中线之后，思路二还结合了一个重要的定理，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如图8所示.这条中线了不得，它将直角三角形分割成了两个等腰三角形，实现了两种特殊三角形之间的相互转化.值得一提的是，该定理还有一些重要的逆定理，比如“若FC=CD=CG，则∠DFG=90°”，再比如“若∠DFG=90°且FC=CD，则CD=CG”，也经常会在中考题里出现.3.几个有趣的结论(1)如图9，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，DF⊥AE，则CF=CD.简析：该结论就是从例题图中抽离出来的，其中圆被隐去了.其证明，从例题来看，至少有两种证法：一是取AD的中点，采取全等法；二是延长AE，采取倍长中线法.此外，还可以建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用解析法，经过一番“惨无人道”的计算，验证出CF=CD成立.这既是解析法的优势，也是其劣势之所在.它不需要联想到几何构造的“天马行空”，仅仅只要实施暴力计算的“脚踏实地”.几何法是证明，而解析法就是验算.通过证明不难发现，矩形条件实属多余，只需要四边形ABCD为平行四边形，其余条件不变，如图10所示，依然有CF=CD成立.(2)如图11，在正方形ABCD中，E、M分别为边BC、AB的中点，则CF=CD.简析：易证Rt△ADM≌Rt△BAE（SAS），导角可得DM⊥AE，转化为结论(1)，下略.图11中，两个中点可导出：DM⊥AE，DM=AE，CF=CD.这是一个极其有趣的结构，可称为正方形中“十字架”模型，借助相似，该模型也可以推广到矩形中，是一个经典的几何图形，常出现在考题中.(3)如图12，在正方形ABCD中，F为边AB的中点，CF与以AB 为直径的半圆交于点G，连接AG并延长交BC于点E，则E必为边BC的一个黄金分割点.简析：如图13，由直径AB联想到连接BG，则BG⊥AE；联想到正方形中“十字架”模型，延长BG交边CD于点M，则易得Rt△ABE≌Rt△BCM（AAS）；又由边AB的中点F知，GF=AF=BF，导角易得∠1=∠3=∠4=∠2，∠5=∠8=∠7=∠6；由∠1=∠2知△CGE∽CBG，从而易得CG2=CE×CB；又由∠5=∠6，易得CG=CM=BE，因此有BE2=CE×CB，即点E必为边BC的一个黄金分割点，问题得解.此结论脱胎于2017年安徽省中考压轴题，是一个极其有趣的结果，它提供了一种用尺规作图寻找线段黄金分割点的趣法，值得大家用心揣摩.五、类题巩固（2017年黑龙江省鹤岗市中考题）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．(1)如图14所示，求证：OH＝1/2AD且OH⊥AD；(2)将△COD绕点O旋转到图15，图16所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．简析：(1)如图17，易证Rt△AOD≌Rt△BOC（SAS），则AD=BC，∠1=∠2；又由H为BC的中点，易得OH=1/2BC=BH，从而∠1=∠3；故OH＝1/2AD，再由∠2=∠3导角可得OH⊥AD；对于第(2)小问，下面给出几种方法，供大家参考：方法一：如图18，延长BO至点B′，使OB′=BO，连接B′C.由点H为BC中点，得OH∥B′C且OH=1/2B′C.又易证△AOD≌△B′OC （SAS），则有AD=B′C，于是有OH＝1/2AD.另外，由△AOD≌△B′OC还可得∠OAD=∠OB′C，导角易得B′C⊥AD，从而有OH⊥AD，问题得解.方法一通过倍长BO的手段，将目标线段OH变为中位线，从而转化为B′C，只要证明B′C与AD的关系即可.既然可以倍长BO，同理可以倍长CO，如图19所示，“它们是一伙的”，不再赘述.方法二：如图20，延长AO至点E，使OE=AO，连接DE，再取DE的中点F，连接OF，则OF∥AD且OF=1/2AD.又易证△BOC≌△EOD（SAS），其中△EOD可看成由△BOC绕着点O按逆时针方向旋转90°而来.由点H为BC中点，易知点H与点F是对应点，再结合旋转的性质，可得OF=OH且OF⊥OH，从而有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.方法二通过倍长AO的手段，再取一个中点，将目标线段AD转化为中位线OF，只要证明OF与OH的关系即可.既然可以倍长AO，同理可以倍长DO，如图21所示，“它们也是一伙的”，不再赘述.上面两种方法都用到了一个重要的基本图形，如图22及图23所示，可直观地称其为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”.在该模型中，易得△BOD≌△AOC（SAS），这个全等往往是解题的关键之所在，还可以用旋转的眼光来看待，从而易得AC=BD且AC⊥BD.方法三：如图24，延长中线OH至点E，使HE=OH，连接BE，则有△COH≌△BEH（SAS），从而易知BE=CO=DO，且易得BE∥CO，故∠EBO+∠COB=180°.又因为∠AOD+∠COB=（∠AOB+∠DOB）+∠COB=∠AOB +(∠DOB +∠COB）=∠AOB+∠DOC=180°，所以有∠EBO=∠AOD.于是有△EBO≌△DOA（SAS），则OE=AD且∠EOB=∠DAO.再导角可得OE⊥AD，因此有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.该解法巧施“倍长中线”策略，通过全等，结合导角等方法解决问题.如图25，倍长中线OH至点E，再连接CE，也可解决问题。

第四节线段中点的应用-学而思培优

第四节线段中点的应用一、课标导航二、核心纲要线段的中点是几何图形中一个特殊的点，他关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形、三角形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么？常见的联想路径有以下几种．1．倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形与平行线2．作直角三角形斜边中线3．构造中位线4．构造等腰三角形三线合一5．三角形的中线可以等分三角形的面积若D 是BC 边上的中点，则ACD ABD s s ∆∆=6．中点四边形(1)定义：顺次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形． (2)常见的中点四边形①任意四边形的中点四边形是平行四边形； ②平行四边形的中点四边形是平行四边形； ③矩形的中点四边形是菱形；④菱形的中点四边形是矩形；⑤正方形的的中点四边形是正方形； ⑥等腰梯形的中点四边形是菱形．本节重点讲解：一个应用（中点的应用），一个四边形（中点四边形）．三、全能突破基础演练1．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( )．A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形2．如图18 -4—1所示，在△ABC 中，,6,5===BC AC AB 点M 为BC 中点，AC MN ⊥于点N ，则MN 的长为( )．56.A 59.B 512.c 516.D3．如图18-4-2所示，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BD 中点，F 为CE 中点，若△ABD 的面积为4，则△BFC 的面积为( )．2.A 1.B 5.1.C 5.0.D4．如图18-4-3所示，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且.CD AB =下列结论：①EG ⊥FH ，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分=∠EG EHG ④,),(21AD BC -⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是( )．1.A2.B3.C4.D5．如图18-4-4所示，在四边形ABCD 中，M BCD DAB ,90=∠=∠为BD 中点，N 为AC 中点，求证：.AC MN ⊥6．如图18-4-5所示，在等边△ABC 中，P 为AB 的中点，Q 为AC 的中点，R 为BC 的中点，M 为RC 上任一点，△PMS 为等边三角形，求证：.QS RM =7．如图18-4-6所示，在△ABC 中，AC>AB ，D 点在AC 上，、E CD AB ,=F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若,60=∠EFC 连接GD ，判断△AGD 的形状并证明．能力提升8．如图18-4-7所示，已知△ABC 周长为1，连接△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2013个三角形的周长为．9．如图18-4-8所示，在矩形ABCD 中，AB=24，BC=26.先顺次连接矩形各边中点得菱形，又顺次连接菱形各边中点得矩形，再顺次连接矩形各边中点得菱形，以此类推，…，第10次连接的图形的面积是10.如图18-4-9所示，△ABC 中，,90=∠ACB 点D 在BC 上，点E 、F 分别是AD 、AB 的中点，.BD AD = 求证：CF 是∠ECB 的平分线，11.如图18 -4 -10所示，在四边形ABCD 中，AB AB CD ,>与CD 不平行，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，求证：).(21AB CD EF ->12.如图18 -4 -11所示，在△ABC 中，AD 是三角形的高，D 为垂足，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求证：四边形EFGD 是等腰梯形．13．如图18-4-12(a)所示，在△ACB 和△AED 中，,90,,=∠=∠==AED ACB DE AE BC AC 点E 在AB 上，F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE.(1)请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；(2)将图18-4-12(a)中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边AC 在同一条直线上(如图18-4-12 (b)所示），连接BD ，取BD 的中点F ，问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由；(3)将图18-4-12(a)中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度(如图18-4-12(c)所示），连接BD ，取BD 的中点F ，问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由．14.如图18-4-13(a)所示，在矩形ABCD 中，BC=2AB ，M 为AD 的中点，连接BM. (1)请你判断并写出∠BMD 是∠ABM 的几倍；(2)如图18-4-13(b)所示，在平行四边形ABCD 中，BC=2AB ，M 为AD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，连接EM 、CM ，请问：∠AEM 与∠DME 是否也具有(1)中的倍数关系？若有，请证明；若没有，请说明理由，15．如图18 -4 -14所示，正方形ABCD 和正方形),(BC CG CGEF >连接AE ，取线段AE 的中点M.求证：.,MD FM MD FM =⊥且16.小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图18-4-15(a)所示，点P 是线段AB 的中点，分别以AP 和BP 为边在线段AB 的同侧作等边三角形APC 和等边三角形BPD ，连接AD 和BC ，他想到了四边形ABDC 的中点四边形一定是菱形，于是，他又进一步探究：如图18-4-15(b)所示，若P 是线段AB 上任一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD，使,PA PC = ,,BPD APC PB PD ∠=∠=连接CD ，设点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，顺次连接E 、 F 、G 、H ．请你接着往下解决三个问题：(1)猜想四边形ABDC 的中点四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由； (2)当点P 在线段AB 的上方时，如图18-4-15 (c)所示，在△APB 的外部作△APC 和△BPD，其他条件不变，(1)中结论还成立吗？说明理由；(3)如果(2)中，,90=∠=∠BPD APC 其他条件不变，先补全图18-4-15(d)所示，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．17.已知：在△ABC 中，以AC 、BC 为边分别向形外作等边三角形ACD 和BCE ，M 为CD 中点，N 为CE 中点，P 为AB 中点． (1)如图18-4-16(a)所示，当120=∠ACB 时，∠MPN 的度数为(2)如图18-4-16 (b)所示，当<<=∠αα0(ACB )180时，∠MPN 的度数是否变化？给出你的证明．18．在平行四边形ABCD 中，,DBC A ∠=∠过点D 作,DF DE =且,ABD EDF ∠=∠连接EF 、EC ，N 、P分别为EC 、BC 的中点，连接NP.(1)如图18-4-17(a)所示，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2)如图18-4-17(b)所示，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在(1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明(1)中的结论．19．(1)如图18-4-18(a)所示，以等腰直角△ABC 的直角边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD，M 是BC 的中点，则DE 与AM 之间的数量关系为；(2)如图18-4-18(b)所示，以任意直角△ABC 的直角边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD，M 是BC 的中点，则DE 与AM 之间的数量关系为；(3)如图18-4-18(c)所示，以任意非直角△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD，M 是BC 的中点，试判断DE 与AM 之间的数量关系，并说明理由；(4)如图18-4-18(d)所示，若以△ABC 的边AB 、AC 为直角边，向内作等腰直角△ABE 和△ACD，其他条件不变，请直接写出线段DE 与AM 之间的数量关系．中考链接20.（2012．贵州黔西南）如图18 -4 -19所示，在△ABC 中，D ACB ,90=∠是BC 的中点，,4,2//,==⊥CE AC AD CF BC DE 若则四边形ACEB 的周长为21.（2012．毕节地区）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm 和8cm 的菱形，它的中点四边形…的怼角线长是 cm 。

图形的中点问题

2012中考数学专题复习5图形的中点问题一.知识要点：线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。

涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)三角形中位线定理；(3)等腰三角形三线合一的性质；(4)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）；(5)平行四边形的性质与判定.二.例题精选1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。

例1. 如图，已知△ABC中，∠B =90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE , M是AC的中点，求证：△DEM是等腰直角三角形.提示：连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,则∠DME=,得ΔMDM为等腰直角三角形2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三角形一边的中点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。

例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F．求证：∠DEN＝∠F．提示：连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。

则MG=NG，MG∥BC，NG∥AD。

∴∠MGN＝∠F ,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM. ∴∠DEN＝∠F．3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个三角形全等。

例3. 已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF提示：延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.例4. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为．提示：延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF，∴FH=MF=5、有关面积的问题中遇到中点，常用“等底等高的两个三角形面积相等”的性质。

专题——中点的妙用（初三数学）

专题——中点的妙用（初三数学）方法专题 :中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图 1 所示，在△ ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6，点 M为 BC 中点，MN ⊥AC 于点 N，则 MN 等于（）691216A ．B．C． D ．5555二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”A2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠ A=90 ° ,AC=AB,M 、N 分别在AC 、MAB 上。

且 AN=BM.O为斜边 BC 的中点 .试判断△ OMN 的形状，并说明理由 .NB OC3、如图，正方形ABCD的边长为 2, 将长为 2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点 Q 从点A出发，沿图中所示方向按A B C D A滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发，沿图中所示方向按B C D A B 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为（）A DA. 2B.4－C. D.1QM三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”D4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）A如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且AC=BD ，E F NMM 、N 分别是 AB 、CD 的中点， MN 分别交 BD 、AC 于点 E、F.你能说出OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？B图2-1C5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC 中， AD 是三角形ABC ∠ BAC 的角平分线，BD ⊥ AD ，点 D 是垂足，点 E 是边 BC 的中点，如果AB=6,AC=14 ，求 DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示，AB ∥ CD ，BC∥AD，DE⊥ BE，DF=EF，甲从B出发，沿着 BA 、 AD 、 DF 的方向运动，乙 B 出发，沿着BC 、CE、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达 F 点？7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）D C如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线 AC 、 BD相交于点O，SACD 60，点 S、 P、Q 分别是 DO、 AO 、 BC 的中点 .求证：△ SPQ 是等边三角形。

提分微课(01)中点问题

到点 C 时,点 M 所经过的路线长为 (
2
A. π
4
2
B. π
2
)
C.1
图W1-10
D.2
[答案] C
[解析]连接 OM,CM,OC.
1
∵OQ⊥OP,且 M 是 PQ 的中点,∴OM= PQ.
2
1
∵△ABC 是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM= PQ,∴OM=CM,
2
∴△OCM 是等腰三角形,∴M 在 OC 的垂直平分线上.
∵AD 是△ABC 的中线,BC=2BD=2 13.
在 Rt△AEG 中,AE= 2 + 2 = 22 + 12 = 5,
∵DF 是△BCE 的中位线,GE 是△ADF 的中位线,∴AE=EF=CF= 5,∴AC=3 5.
类型三直角三角形斜边中点
构造
斜边上的中线
9.[2018·南充]如图 W1-9,在 Rt△ABC 中,
1
1
2
2
∵BE 是∠ABC 的平分线,BE⊥AD,∴AG=GD= AD= ×4=2,AB=BD,
1
1
∴GE 是△ADF 的中位线,∴GE=2DF=2×2=1,
∵BE=4,∴BG=BE-GE=4-1=3,
在 Rt△ABG 中,AB= 2 + 2 = 22 + 32 = 13,∴BD=AB= 13,
19
2
[解析]连接 DE,∵D,E 分别为 AB,BC 的中点,∴DE∥AC,2DE=AC=4,EC=2,
∵EF⊥AC,∴DE⊥EF.∴△DEG 为直角三角形,
在 Rt△EFC 中,EC=2,∠C=60°,∴EF= 3.
3
∵G 为 EF 的中点,∴EG= .

初中数学培优专题学习专题22 关于中点的联想

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2009年河北省中考试题)
12．在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1＝B1E1．求证：∠CDE＝∠AFE．
求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN．
(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3) )若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）

由中点想到什么

初三数学培优之：由中点想到什么由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．5.三角形等积熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点， AB=10cm ，则MD 的长为．【例2】如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD ，另一组对边AD ≠BC ，分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连结MN ．则AB 与MN 的关系是( )A ．AB=MNB ．AB>MNC ．AB<MND ．上述三种情况均可能出现【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：CD=2EC ．【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．【例5】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ．学历训练1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ． 2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )A ．40B ．48C 50D ．566．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，若AD=6cm ，BC=18㎝，则EF 的长为( )A ．8cm D ．7cm C ． 6cm D ．5cm7．如图，矩形纸片ABCD 沿DF 折叠后，点C 落在AB 上的E 点，DE 、DF 三等分∠ADC ，AB 的长为6，则梯形ABCD 的中位线长为( )A ．不能确定B ．23C ．3D ．3+18．已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ ，给出以下6个命题：①若所得四边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 为菱形；②若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 为矩形；③若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC=BD ；⑤若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB=AD ．以上命题中，正确的是( )A ．①②B ．③④C ．③④⑤⑥D ．①②③④9．如图，已知△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：(1)G 是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ．10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( ) A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -=18．如图，已知在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE=∠PBF．19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，试判断AB+CD与AD+BC的大小，并证明你的结论．20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE，设M为D正的中点．(1)求证：MB=MC；(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB；MC是否还能成立?并证明其结论．21．如图甲，平行四边形ABCD外有一条直线MN，过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂线AA1、BB1、CC l、DD l，垂足分别为A l、B1、C l、D1．(1)求证AA1+ CC l = BB1 +DD l；(2)如图乙，直线MN向上移动，使点A与点B、C、D位于直线MN两侧，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD l之间存在什么关系?(3)如图丙，如果将MN再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD1之间又存在什么关系?。

初中数学_微专题探究：中点问题教学设计学情分析教材分析课后反思

义务教育教科书（五.四学制）九年级数学微专题探究:中点问题《中点问题》教学设计《中点问题》——教学设计【学习目标】知识与技能：1．熟记有关中点的基本定理；2．运用中点的知识解决面积的计算或线段的证明与计算.数学思考：鼓励学生独立思考，抽象有关中点问题的基本图形，体会模型思想，培养学生几何直观素养.问题解决：掌握分析问题和解决问题的一些基本方法，发展学生的推理能力.情感态度：鼓励学生敢于发表自己的想法，培养学生思考、倾听、合作的学习习惯.【学习重点】灵活运用中点的知识解决面积的计算或线段的证明与计算.【学习难点】抽象有关中点问题的基本图形，培养较强的发散性思维能力和知识应用能力.【教学过程】一、导入大家都知道线段的中点是一个特殊点，它关联着许多丰富的图形知识.那么，如何运用中点的特殊位置解决问题呢？这节课我们进行一个微专题探究——中点问题.【设计意图】开门见山，教师说明本节课的探究内容，并利用课件出示课题，学生明确本节课的探究任务.BB 二、复习过程（一）出示引例由中点想到的……如图，△ABC 中，D 是边BC 上的中点.教师提出问题：由中点你能想到什么？【学生活动】学生积极思考，并说出自己的想法： ⑴连接AD ，AD 是△ABC 的中线，分三角形两部分面积相等； ⑵中位线定理；⑶若△ABC 为直角三角形，则斜边上的中线等于斜边的一半； ⑷等腰三角形三线合一.【设计意图】让学生集思广益，回忆与“中点”有关的性质定理，形成以“中点”为中心的知识框架，找到几个定理之间的联系与区别.（二）好题推荐一如图，已知AD 是△ABC 的中线， AB=8, AC=6,求中线AD 的取值范围.【设计意图】此题是利用“中点”条件构造基本图形的典型例题，启发学生用多种方法解答，由此师生总结出碰到“中点”时常见的添加辅助线的方法，对中点问题进行数学抽象，培养学生的几何直观素养，同时也为下面的两个变式做好铺垫.主要方法有：⑴见中点，取中点⑵遇中点，作平行⑶倍长中线法⑷平行线+中点，构造全等教师在引导学生逻辑推理的过程中，逐渐帮助他们建立数学的思E F D C A B QG E F D C A B E F D C A B P 维模式，教学生会用数学的思维想.变式一：如图，已知AD 是△ABC 的中线， F 是AD 的中点，连接BF 并延长交 AC 于点E ．试判断AE 与EC 的数量关系．【学生活动】学生先独立思考，然后再与同伴交流自己的解答思路.方法一：见中点，取中点，构造中位线解析：取BE 中点G ,连接DG ,可得DG =EC ,DG ∥EC ,再证得△AEF ≌△DGF ，即可得出AE =DG =EC .方法二：倍长中线，构造全等解析：延长AD 至P ，使AD =PD ,连接BP ，证得△ADC ≌△PDB ,得到BP =AC ，再证得△AEF ∽△PBF ，可得==，进而得出=,即可得到AE =EC .方法二F E A CD 方法三方法三：倍长类中线，构造全等解析：延长FD 至Q ，使FD =QD ,连接CQ ，证得△QDC ≌△FDB ,得到∠DQC =∠DFB ，可得BE ∥CQ ，进而得出=,即AE =EC .变式二：如图，已知AD 是△ABC 的中线， F 是AD 上一点，连接BF 并延长交 AC 于点E ，且AE =EF ．求证：AC =BF ．【设计意图】变式练习中条件发生变化，难度逐渐增加，但是问题本质依然是“中点”. 通过课上交流探索，使学生在思考问题过程中巩固利用中点构造辅助线的方法，并能熟记常用的基本图形，有利于强化学生的化归转化的数学思想.变式教学有助于学生加深对重要知识、方法和重要技能的理解、消化，培养学生灵活应用知识的能力，从而达到举一反三、触类旁通的效果.（三）好题推荐二如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD的中点. 若∠ABC =∠ADC =90°，EF 与BD 有怎样的位置关系,并说明你的理由.【学生活动】学生快速思考，口述自己的解答过程.【设计意图】此题是运用等腰三角形三线合一的性质、直角三角形斜边中线的性质，题目不难，关键是让学生通过分析条件归纳出“直角+中点”、“等腰+中点”的基本图形，学会添加适当的辅助线解决问MC AMCAMA题.通过两个典型例题，引导学生对“中点”问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型，逐步培养学生建模、用模的核心素养.（六）拓展提高如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）（选作）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．【学生活动】学生分析条件，找出图形中所隐含的基本图形，教师利用几何画板演示基本图形.⑴三角形的中位线⑵等腰三角形三线合一⑶直角三角形斜边上的中线【设计意图】此题可以作为课堂上的机动练习题，如有时间，则引导学生分析题中所隐含的基本图形，帮助学生分析条件，从而由易到难逐层解决压轴问题；如课堂上没有时间处理，则留作课后拓展习题由学生独立完成.三、课堂小结教师提问：当问题中出现中点时你会如何添加辅助线，构造有关中点的哪些基本图形呢？【学生活动】学生自由发言，谈谈自己如何应用“中点”条件.【设计意图】利用课件演示由“中点”构造的基本图形，让学生能找到常规的思路.总结有利于加深对知识的内化整合，为今后学习指明方向，在今后应用中能触景生情，建立快捷思维.中线中位线平行线+中点直角三角形斜边上的中线性质等腰三角形三线合一性质义务教育教科书（五.四学制）九年级数学微专题探究：中点问题《中点问题》学情分析《中点问题》——学情分析对于学情，我主要从以下三个方面进行分析，分别是知识维度、能力维度、素质维度。

中点问题六大模型

模型三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”性质
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N.
12
则MN的长为____5____．
例3题图
模型分析
模型四遇到三角形一边垂线过这边中点时，考虑垂直平分线的性质
当三角形一边的垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到（如图）： BE＝CE.
......
针对训练
1.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为_____8___．
2. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆O于点D、E，且E为 BC的中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
2
例1题图
模型分析
模型二已知直角三角形斜边中点，联想斜边中线
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝AD＝BD＝1 AB，来证明线段间的数量关系，
2
而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD
模型二已知直角三角形斜边中点，联想斜边中线
倍长线段构造全等．
......
模型分析
模型一见三角形一边的中点，联想三角形中位线
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质可得：
DE∥BC，且
DE＝
1 2
BC
，△ADE∽△ABC.
模型一见三角形一边的中点，联想三角形中位线
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5 ，BC＝3，点D、E分别是AB、AC 的中点，延长BC至点F，使 CF＝1 BC，连接DF、EF，则EF的长为____1_4___．

中点的八大用法(一)

中点的八大用法(一)中点的八大用法中点是一个常用的标点符号，在中文书写中有着多种使用方法。

下面介绍中点的八大用法。

1. 连接词语中点可以用来连接两个或多个词语，表示它们是一个整体。

例如：•身心健康•父母亲戚•男女平等2. 省略号的替代符号中点可以代替省略号，表示语意的联想或文意的铺陈。

例如：•生死相依、天长地久，这是最动人的爱情故事。

•满树桃花，盛开着无数的希望和憧憬……3. 时间表示中点可以用来表示时间，表示年、月、日之间的间隔。

例如：•2018.1.1伊始•12.25圣诞节4. 排除特定内容中点可以用来排除特定内容或限定范围。

例如：•本公司员工——不包括实习生•有素质的学生——不是面瘫5. 表示口语化中点可以用来表示口语化，用于表达感叹、疑问等情感。

例如：•你知道吗·这是我最喜欢的歌•你刚才说的是什么·我听不懂啊6. 首尾修饰中点可以用来表示首尾修饰，起到一种点缀的作用。

例如：•书山有路·学海无涯•秋天的爱情·那些心醉的日子7. 代替分号中点可以用来代替分号，将两个独立的句子连贯起来，既不影响阅读也有时候表现更为轻松自然的读书。

例如：•我们从小学就是同学·如今已风雨同舟了十几年8. 表示比较中点可以用来表示比较，表示两者之间的对比或平衡，传达了相对重视的情感基调。

例如：•镜头对准了我·思绪又被带到了岁月的那个角落•一望无垠的草地·让人不禁想起那片美丽的童话天堂这些都是中点常见的用法，掌握好这些用法，对于提高中文水平也有帮助。

如何正确使用中点中点虽然有着多种用法，但也需要注意一些使用方法。

下面介绍几点正确使用中点的注意事项。

1. 不可与其他标点符号连用中点在使用时不能和其他标点符号连用，如句号、问号、感叹号等。

例如：•错误用法：这是我最喜欢的歌！·你不要说它不好听•正确用法：这是我最喜欢的歌·你不要说它不好听！2. 不能作为句首或句末中点不能作为句子的开头或结尾，只能用在词语之间，否则会导致语义混乱。

关于中点的知识点

中点是几何学中一个基本概念，它在许多数学和几何问题中都有重要的应用。

在本文中，我们将探讨中点的定义、性质和一些常见的应用。

一、中点的定义中点是指一条线段的两个端点之间的中间位置点。

在一条线段AB上，记中点为M，则AM=MB。

简而言之，中点就是将一条线段分成两个相等部分的点。

二、中点的性质 1. 中点分割线段中点将一条线段分割成两个相等的部分。

这意味着，如果AM=MB，则M是线段AB的中点；反之亦然，如果M是线段AB的中点，则AM=MB。

2.中点和线段长度的关系线段的长度等于两个端点之间的距离。

如果线段AB的长度为d，则AM=MB=d/2。

也就是说，线段长度的一半就是线段中点到任一端点的距离。

3.中点构成的线段平行于原线段如果线段AB的中点为M，构造线段MC，使得MC与AB重合，那么MC与AB平行。

这是因为中点将线段分成两个相等的部分，所以MC和AB有相同的长度和方向，因此它们平行。

三、中点的应用 1. 平行线的构造中点的概念常用于线段平行线的构造中。

给定线段AB和一点C，在点C处通过线段AB的中点M，可作出平行于线段AB的线段MC。

2.三角形的性质中点在研究三角形的性质时也起到关键作用。

例如，在等腰三角形中，中点是底边的中点；在等边三角形中，中点是边的中点。

3.证明几何定理中点的概念在证明几何定理时也经常被使用。

例如，证明平行线与三角形内一条边的中点连线构成平行线。

四、中点的推广除了线段，中点的概念还可以推广到其他几何图形中。

例如，三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点构成的线段的中点。

总结：中点是几何学中一个基本的概念，它具有许多重要的性质和应用。

通过了解中点的定义、性质和应用，我们能够更好地理解和应用几何学中的一些基本概念和定理。

无论是在解决几何问题还是在证明几何定理时，中点都扮演着重要的角色。

因此，对中点的认识和理解是进行几何学学习的基石之一。

2018几何问题之中点问题

几何问题之——中点问题1、掌握三角形的内角和定理；2、了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3、学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4、学习分析问题、解决问题的能力。

知识结构一、中点有关联想归类：1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线。

二、与中点问题有关的四大辅助线：1、出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3、出现三角形边上的中点，作中位线；4、出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。

三、几何证明之辅助线构造技巧：1、假如作一条辅助线，能起到什么作用；2、常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。

一、基础回顾1、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

2、若点C 是线段AB 的中点，则： ① 从线段来看：12AC BC AB ==； ② 从点与点的相对位置来看：点C 在点A B 、之间，且点A B 、关于点C 对称。

3、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。

① 一个三角形有三条中线； ② 每条中线平分三角形的面积；③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段； ④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。

二、如何延长三角形的中线1、延长1倍的中线：如图，线段AD 是ABC ∆的中线，延长线段AD 至E ，使DE AD =（即延长1倍的中线），再连接BE CE 、。

微专题三角形中点问题五大方法

模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用．
针对训练
2. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，且CD＝5，则△ABC
的中位线EF的长是( C )
A. 4
B. 5
2 C. 5
D. 12
5
第2题图
方法三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
“例 3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N.
12
则MN的长为____5____．
例3题图
【思考】在等腰三角形中遇到底边上的中点，你想到了哪些学过的知识： ______等__腰__三__角__形__底__边__中__线__、__高__线__、__顶__角__的__平__分__线__“_三__线___合__一__”_______.
方法一
微专题中点问题五大方法
(宿迁6考，盐城3考)
见三角形一边的中点，常考虑构造中位线
“例 1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC 的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为__1_4_____．
【思考】在一般三角形中看到中点，你想到了哪些学过的知识：
针对训练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别为AB，AC， AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为( B ) A. 1
2
B. 1

微专题中点问题六大方法

第3题图
方法四遇到三角形一边垂线过这边中点时，利用垂直平分线的性质例 4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点
7 D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE 的长为____6____．【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB，你想到了哪些学过的知识：D__E_是__线__段__A_B__的__垂__直__ _平__分__线__，__线__段__垂__直__平__分__线__上__的__点__到__线__段__两__端__点__的__距__离__相__等__．_
W
点击链接至综合提升
针对训练
5. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为
(B)
A
第5题图
6. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆于D，E，且E为BC的中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
例5题图
方法总结如图，(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直构造中位线解题； (2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题； (3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题．
点E是弦AB的中点
点C是 »AB 的中点
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
∵∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，
∴△ADC≌△GDB(SAS)．
∴AC＝GB，∠G＝∠EAF. 又∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF.
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠G＝∠BED.
例6题解图①
∴BE＝BG.
∴BE＝AC.
【思考】聪明的你还能想到哪些作辅助线的方法，至少再写出一种并解答．

初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题22 关于中点的联想

专题22关于中点的联想阅读与思考线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：例题与求解【例1】如图，△ABC 边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值为___________．(安徽省竞赛试题)解题思路：∠A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P 可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．【例2】如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在的平面上移动，始终保持EF ∥AB ，线段CF ，DH 的中点分别为M ，N ，则线段MN 的长度为()(北京市竞赛试题)A ．102B ．172C ．173D ．2103解题思路：连接CG ，取CG 的中点T ，构造三角形中位线、梯形中位线．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连接CE，CD，求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．例3图【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（营口市中考试题）图①图②图③解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．【例5】如图，以△ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，M是BC的中点，求证：DM＝EM．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：显然△DBM不全等于△ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM＝EM．例5图【例6】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高CH与△ABC的两条内角平分线AM，BN 分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EF∥AB．（全国初中数学联赛题）解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．例6图○能○力○训○练A级1．如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是____________．(1)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_______________________；(2)如果把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_______________________．（湖北省黄冈市中考试题）第1题图第2题图2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）4．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为________________．（北京市中考试题）第3题图第4题图第7题图5．A′，B′，C′，D′顺次为四边形ABCD的各边的中点，下面条件中使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是（）A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形C．四边形ABCD是等腰梯形D．四边形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD 6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（）A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．112cm27．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BD，AC的中点，若AD＝6cm，BC＝18cm，则EF 的长为（）A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm8．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，则EF＋GH＝（）A．40B．48C．50D．56（泰州市中考试题）第8题图第9题图9．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，M是BC的中点，求证：DM＝1AB．210．如图，在△ABC 中，BD ＝CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P ，Q ，求证：AP ＝AQ ．第10题图11．在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM =MH ，FM ⊥MH ；（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）(2009年河北省中考试题)图1A H C (M )D E B F G (N )G 图2A HC DE BF NM A H C D E 图3B F G M N 12．在六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥FA ，AB ＋DE ＝BC ＋EF ，A 1，B 1，D 1，E 1分别是边AB ，BC ，DE ，EF 的中点，A 1D 1＝B 1E 1．求证：∠CDE ＝∠AFE ．第12题图B级1．如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，∠CAD的平分线AF交DE于点G，交DC于点F，若GE＝24，则FC＝_________________．2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，则AC＝_________．（重庆市竞赛试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则∠MPN＝_________．（北京市竞赛试题）4．如图，已知A为DE的中点，设△DBC，△ABC，△EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S2＝32(S1＋S3)B．S2＝12(S3―S1)C．S2＝12(S1＋S3)D．S2＝32(S3―S1)5．如图，在图形ABCD中，AB∥DC，M为DC的中点，N为AB的中点，则()A．MN＞12(AD＋BC)B．MN＜12(AD＋BC)C．MN＝12(AD＋BC)D．无法确定MN与12(AD＋BC)的关系第4题图第5题图第6题图第7题图6．如图，凸四边形ABCD的面积是a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，那么图中的阴影部分的面积为()A．18a B．16a C．14a D．12a（江苏省竞赛试题）7．如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE＝DF，过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE＝∠PBF．（全国初中数学联赛试题）8．如图，锐角△ABC中，作高BD和CE，过顶点B，C分别作DE的垂线BF和CG，求证：EF＝DG．（全俄奥林匹克数学竞赛试题）第8题图9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN＝(AB2＋AC2)．（北京市竞赛试题）90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝14第9题图10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图1，连接DE，设M为DE的中点．(1)求证：MB＝MC；(2)设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置，试问：MB＝MC是否还成立?请说明理由．（江苏省竞赛试题）11．已知△OAB，△OCD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．(1)如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OM⊥BC．(2)如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转α(α为锐角)，M为线段AD的中点．①求证：OM＝12 BC；②OM⊥BC是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．12．如图1，在△ABC中，点P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．(1)延长MP交CN于点E(如图2)．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN．(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3))若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）专题22关于中点的联想例1、6例2B 提示：取CG 的中点T ，连MT ，NT ，则12MT =，2NT =，∠90MTN =°例3提示：取AC 中点F ，连BF ，证明BF CE=例4（1）四边形EFGH 为菱形；（2）成立，连AD ，BC ，由APD D ≌CPB D ，得AD BC =，又12EF BC =，12FG AD =，12HG BC =，12EH AD =，则EF FG GH HE ===，故四边形EFGH 为菱形；（3）四边形EFGH 是正方形例5证明：延长BD 至P ，使DP DB =，延长CE 至Q ，使EQ EC =，连AP ，AQ ，PC AB AP = ，AC AQ =，∠PAC =∠BAQ ，ABQ \D ≌APC D ，有PC BQ =，又MD ，ME 分别是BPC D 与BQC D 的中位线，12MD PC \=，12ME BQ =，故MD ME =例6（1）如图a ，b ，CPM D ，CNQ D 皆为等腰三角形，连CE ，CF ，则CE ⊥PM ，CF ⊥NQ（2）如图c ，分别延长CE ，CF 交AB 于S ，R ，则EF ∥12RSA 级1.平行四边形（1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）对角线互相垂直、对角线相等、对角线互相垂直且相等2.303.64.30230cm5.D6.C7.C8.C9.提示：取AC 中点N ，连结MN ，DN ，则12MN AB =，证明DM MN =10.提示：取BC 中点R ，连结MR ，NR ，则MR NR=11.（1）略（2）连MB ，MD ，则四边形BCDM 为平行四边形，可证明FBM D ≌MDH D ，则FM MH =，∠BFM =∠DMH ，延长AC 交MH 于S ，则∠DMH =∠CSM ∠BFM ，则∠FBC =∠90FMH =°，故∠FMH 是等腰直角三角形（3）是12.如图，作□ABPF ，连接DP ，取DP 的中点M ，则四边形BCDP 是梯形，连接1B M ，1E M ，由梯形中位线定理知，1B M ∥CD ∥BP ∥AF ，1ME ∥DE ∥FP ∥AB ，且122BP CD AF CD B M ++==，122PF DE AB DE E M ++==，同理作□BCDO ，取OF 的中点N ，连接1A N ，1D N ，由梯形中位线定理知，1A N ∥AF ∥BO ∥CD ，1ND ∥EF ∥OD ∥BC且122AF BO AF CD A N ++==，1222EF OD EF BC AB DE D N +++===，在11B ME D 与11A ND D 中，11B M A N =，11E M D N =。

中点的联想

３如图８在 △ 舳Ｃ中，．，
Ｂ的平分线与ＢＣ边上的中
图７
答案１略。２ＭＮ＜Ａ理由略．．．Ｂ，
所以Ｆ上ＡＣ．Ｅ
一
２ＧＦ．
Ⅳ
２由中点想到中位线．
‘
证明延长Ｇ到Ｈ，ＤＤ使Ｈ
—
图４
例２如图２，在四边形
Ｄ连接Ｂ，Ｈ．Ｇ，ＨＣ
Ｂ —Ｃ，ＤＤ
ＡＢＣＤ中，ＡＢ — Ｃ，Ｆ分别ＤＥ、为ＡＤ，Ｃ的中点，长Ｆ分别Ｂ延Ｅ交ＢＡ、Ｄ的延长线于Ｇ，ＣＨ．
因为
所以
Ｄ／Ｂ，Leabharlann Ｇ／ＡＧ一ＥＨＢ，
ＧＣＥ一Ｂ，
又因为
所以
Ｃ —Ｂ，ＥＥ
△０ＧＥ △ ＢＨＥ．
证明连接Ｆ，Ｃ，ＡＦ因为
ＢＡＤ一ＢＣＤ一９，０
于是Ｓ形ＢＤ — ＳＡＧ — Ａ－Ｆ．梯Ａｃ口ＨＤＤＥ４由中点想到平行四边形．
Ｂ
且点Ｆ是Ｂ的中点，以Ｄ所
ＡＦ — ＣＦ一ＢＤ
Ｚ
Ａ
例４如图４在 △Ａ，ＢＣ中，三
条中线Ａ，Ｅ，Ｆ相交于点Ｇ．ＤＢＣ
求证：ＡＧ一２ＧＤ，Ｇ一２ＢＧＥ， ∞
、
、
又因为Ｅ为ＡＣ的中点，
ＫＦＥ一ＣＨＦ，

看到中点可以联想到的知识点

看到中点可以联想到的知识点
1. 嘿，看到中点能想到啥？那可不就是一场比赛的中途呀！就像跑步比赛，跑到中点时，哎呀，这前面的努力有没有白费可就看这了！比如咱参加的那次长跑，到中点时真觉得累得不行了，但咬咬牙还是坚持下去了。

2. 看到中点，会不会想到人生旅程的中间呀？这时候回头看看走过的路，哇塞，感慨好多啊！就像朋友小李，在中年这个中点时刻，常常回忆过去，他说那都是珍贵的记忆呢！
3. 哎呀呀，说到中点，不就是那部电视剧中间的精彩转折嘛！剧情到了中点，各种冲突都爆发出来了。

就像那部超火的剧，看到中点的时候，人物关系变得特别复杂，看得人揪心啊！
4. 你们说，中点是不是像计划执行到一半的时候呀？这时候得看看进度咋样了。

就像上次我们做项目，到了中点发现有些滞后，赶紧调整策略呢！
5. 嘿，中点不就是一天时间的中午嘛！这可是个重要的节点呢。

比如每天到了中午，都得思考要吃啥好吃的，这可太让人纠结了！
6. 看到中点啊，还能想到友谊的中间阶段呢。

相处到中点的时候，彼此的了解已经很多了，是更加亲密还是会有矛盾呢？像我和那谁，在中点的时候真的经历了一些考验呢！
我的观点结论：中点是个很有意思的概念，能让我们联想到好多不同的方面和经历呀！。

专题十(中点的幻想)

专题十（中点的幻想）板块一：构造三角形中位线、梯形中位线。

1.（2004•遂宁）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，直线BE交AC于点F，求证：FC=2AF.2.（2004•上海）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使2AD=AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．3．如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长。

1.（2008•白云区一模）如图所示，四边形ABCD中，E、F分别为AD、BD的中点（1）当AB∥CD,而AD不平行BC时，四边形ABCD称为________形，线段EF叫做其_______，EF与AB+CD数量关系为____________（2）当AB与CD不平行，而AD也不平行BC时，猜想EF与AB+CD数量关系，并证明你猜想由中点联想到什么………?角平分线，AB<AC，在AC上截取CE=AB,M、N分别为BC、如图，已知AD为ABCAE的中点，求证：MN∥AD（太原市竞赛）方法一：方法二：方法三板块二：直三角形斜边中点和中位线的默契联系！ 1已知：如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边中点，AG 是BC 边上的高，求证：四边形DGEF 是等腰梯形．2.ABC 2,,10,B C AD BC D M BC AB cm ∆∠=∠⊥=如图，在中，于为的中点，则MD 的长。

3.如图,以△ABC 的AB 、AC 为斜边向外作Rt △ABD 和Rt △ACE,，且使∠ABD=∠ACE,M 是BC 的中点，求证：DM=EM.中考热身：1 如图，在△ABC内取一点P,使∠PBA=∠PCA,作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M。