数学建模最短路问题

2
v1 v4
v3
v5
(c) 居民小区
2. 性质
定义3 设M是图G=(V, E)的匹配，G的M交 错路是指边在E\M和M中交错出现的路，M 可扩路（增广路）是指其起点和终点都是M 非饱和的M交错路。 定理1（Berge1957）设M是G的一个匹配， 则M是最大匹配的充要条件是，G没有M-增 广路。 定理2 设M是G的匹配，K是覆盖，则 (1)|M|≤|K| (2)若|M*|=|K~|，则M*是最大匹配，K~是最 小覆盖。

匹配与覆盖
显然，完美匹配一定是最大匹配，反
之不一定成立。

(a)最大匹配
(b)完美匹配
匹配与覆盖
定义2
设若G的每条边都与K的一个顶 点关联，则称K是图G的一个覆盖。设 K是G的一个覆盖，若不存在覆K'使 |K'|<|K|，则称K是一个最小覆盖。
匹配与覆盖
下图为居民小区，安装消防设施，使每个相 连的街道都有消防设施可用。 覆盖：(v1, v2, v3,v4,v5)，(v1, v2, v3,v4)，(v2, v3,v4)，(v1, v3, v5)，而(v2, v3,v4)，(v1, v3, v5) 是最小覆盖。 v
图的矩阵表示
关联矩阵
邻接矩阵
1 1 1 v1 A 1 0 2 v2 1 2 0 v 3
v1 v2 v3
2 1 0 0 1 v1 M 0 1 1 1 0 v2 0 0 1 1 1 v e e e e e 3
1 2 3 4 5

二部图的匹配
例：如果一个乡村里每位姑娘恰好认识k位 小伙子，而每个小伙子也恰好认识k位姑娘， 则每位姑娘能够和她认识的一个小伙子结婚， 并且每个小伙子也能和他认识的一位姑娘结 婚。此即为“婚姻定理”。 根据上面的定理，Edmonds于1965年提出 了如下的匈牙利算法，解决了二部图的基数 匹配问题，步骤如下：
图论是离散数学的重要分支，在物理
学、化学、系统控制、电力通讯、编 码理论、可靠性理论、科学管理、电 子计算机等各个领域都具有极其广泛 的应用。 图论的历史可以追溯到1736年，这一 年发表了图论的第一篇论文，解决了 著名的哥尼斯堡（Kö nigsberg）七桥 问题。
Königsberg七桥问题
0 W
Dijkstra算法的迭代步骤如下

迭代 次数 u0
l(ui)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12 最后标记： l(v) 0 2 1 7 3 6 9 12 z(v)u0 u0 u0 u5 u1 u4 u3 u4
第11章 最短路问题
问题的提出 2. 图论的基本概念 3. 最短路问题求解算法 4. 建模实例
1.
§1 问题的提出
某学校行政部门u0经
常有人到7个部门办 事，希望在现有的道 路网络中确定他们行 走的路线，使他们到 各部门的路程最短。 图中已经标明了部门 到部门之间的距离。
§2 图论的基本概念
解：D(0)=W, P(0)=(0)n×n
P (1)
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
P ( 2 ) P (1)
0 0 0 0 ( 3) P 0 0 0 3 P (4) P ( 3)
0 0 0 1 0 0 0 0
最短路问题求解算法
2. Floyd Algorithm (1962): 求任意两点间的最 短路。 D =（dij）n×n, dij是i到j的最短路长， P =（pij）n×n, pij是i到j的最短路上中间节点的 最大号码，pij=0，表示无中间节点， (1)赋初值：dij= wij, pij = 0, k = 1 (2)更新dij, pij：对所有i, j，若dik+dkj< dij，则 dij = dik+dkj, pij = k (3)若k = n，停止；否则k = k+1, 转(2).

哥尼斯堡城中有七座桥将普雷格尔(Pregel) 河中的两个岛与河岸联结起来，当时人们热 衷于这样一个问题：一个人能否从四块陆地 中的任何一块出发走过七座桥，每座桥恰走 一次，最后回到起点？
A C B (a) D C B (b) A D
图论的基本概念
1. 图的定义 G=(V, E,ψ ) 顶点，边，e与v连接，v与e 关联，相邻，环，重边， 平面图，完全图（完备 图），二部图（偶图）， 子图，生成图。 与一个顶点vi关联的边的数 目称为vi的度（或次）。 路、圈和连通 有向图、赋权图

最短路问题求解算法

Dijkstra Algorithm (1)赋初值 : 令S {u0 }, l ( u0 ) 0, v S V \ S , 令l ( v ) , z(v ) , u u0
( 2)更新l (v ), z (v ) : v S V \ S , 若l (v ) l ( u) w ( u, v ), 则令l (v ) l ( u) w ( u, v ), u v* (4)若 S , 转( 2); 否则, 停止. z(v ) ห้องสมุดไป่ตู้ u ( 3)设v * 是使l (v )取最小值的S中的顶点, 则令S S {v*},

二部图的赋权匹配
Kuhn-Munkres算法： (1)设G=(X, Y,
E)是二部图，从任一可 行顶点标号L开始，确定GL，并在GL 中选取一个匹配M。 (2)若X是饱和的，则M是GL的完美匹 配，是G的最佳匹配，算法终止；否 则，在GL中取一个M-非饱和点u∈X， 令S={u}，T=Φ ；
建模案例分析
2000B题
钢管订购和运输
2000B钢管运输分析求解步骤
1.用Floyd算法求出铁道两点间的最短
路长，将路长转成费用。 2.与公路运价组成的矩阵D，再用 Floyd求出S1,…,S7到A1,…,A15的最短 路，将购买单价计入运费之中。
第12章 匹配与覆盖及其应用
§1 匹配与覆盖 1. 基本概念 定义1设若M的边互不相邻，则称M是G的一个 匹配。M的边称为匹配边，E\M的边称为自由 边，若(u, v)∈M，则称u（或v）是v（或u）的 配偶。若顶点v与M的一条边关联，则称v是M饱和的；否则称为M-非饱和的。若M使G中每 个顶点都是M-饱和的，称M是G的完美（理想） 匹配。设M是G的一个匹配，若不存在M' 使 |M'|>|M|，则称M为G的最大匹配。

Floyd Algorithm
例
已知距离矩阵为
0 9 5 8 6 0 6 W 6 5 0 14 7 10 0
求任意两点之间的最短路。
Floyd Algorithm

0 9 5 8 6 0 6 14 (1) D , 6 5 0 14 7 16 10 0 0 9 5 8 6 0 6 14 ( 2) D , 6 5 0 14 7 16 10 0 0 9 5 8 6 0 6 14 ( 3) D , 6 5 0 14 7 15 10 0 D(4) D( 3) ,

Dijkstra算法所需时间与n2成正比。
用Dijkstra求解最短路问题

例 求从顶点u0到其余顶点的 最短路。 解：先写出距离矩阵（实际 应为对称矩阵）
2 0 1 0 8 6 7 0 1 5 0 1 3 0 9 2 4 0 9 6 3 0

二部图的基数匹配例
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
二部图的基数匹配例
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
4. 二部图的赋权匹配
G是完全二部图，有两个顶点集
X={x1,x2,…,xn}，Y={y1,y2,…,yn}分别 表示职员和工作，xi和yj之间用边相连， 其权为wij表示职员xi做yj工作时的效率， 对每人分配一件工作，使总效率最大。 可以用Kuhn-Munkres算法求赋权完全 二部图的最佳匹配。

二部图的匹配
匈牙利算法： (1)设G=(X, Y, E)是二部图，M是一个匹配； (2)若M饱和X的每个顶点，则算法终止，M为最大匹 配；否则，取M-非饱和点u∈X，令S={u}, T=Φ ; (3)若N(S)=T, 由于|T|=|S|-1，所以|N(S)|<|S|, 算法终止， 由定理4（Hall），不存在饱和X每个顶点的匹配；否 则取y∈N(S)\T; (4)若y是饱和的，设yz∈M, 用S∪{z}代替S，T∪{y}代 替T，转(3)（此时|T|=|S|-1仍成立）；否则设P是M增 广路P(u, y), 并令M=MΔE(P)（对称差），转(2)

二部图的赋权匹配

可行顶点标号总是存在的，如令
L( x ) max w( x, y )
yY
x X
L( y) 0
y Y
二部图的赋权匹配

定理：设L是G的可行顶点标号，若GL包含 完美（基数）匹配M*，则M*是G的最佳 （最大权）匹配。
由上述定理知，欲求二部图的最佳匹配，只 需用匈牙利（Hungarian）算法求相等子图 GL的完美匹配。若GL不存在完美匹配， Kuhn和Munkres给出了一个修改顶点标号L 的算法，可以使新相等子图的最大匹配扩大， 这样，最终使相等子图具有完美匹配。

3. 二部图的匹配
定理3（Kö nig, 1931）若M*和K~分别是二 部图G的最大匹配和最小覆盖，则|M*|=|K~| 定理4 (Hall, 1935)对二部图G=(X, Y, E),G 存在饱和X的每个顶点的匹配的充要条件是： 对任何S X,均有|N(S)|≥|S|，这里N(S)为与S 的顶点相邻的所有顶点的集合。 如果G中所有顶点的度数都为k，则称图G 是k正则的。 推论 若G是k正则二部图（k>0），则G有完 美匹配。
图论的一个定理
定理：∑d(v)=2|E|
v∈V
证：因为每一条边提供给点的度为2，
所以图中所有点的度数总和是边数的2 倍。 推论：在任何图中，奇点个数为偶数。
2. 图的矩阵表示
对于任意图G，定义一个n×m阶
矩阵M=（mij）n×m(n为顶点数， m为边数)，其中mij是vi和ej相关联 的次数（0, 1或2等），该矩阵称 为G的关联矩阵。 图的另一种表示形式是邻接矩阵 A=（aij）n×n，其中aij是连接ai和aj 的边的数目。
§3最短路问题求解算法
设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负。 1. Dijkstra Algorithm: 求G中从顶点u0到其余顶点 的最短路。 定义： 对每个顶点v，定义两个标号l(v), z(v), 其中l(v)为从 u0到v的路长； z(v)为v的父亲点（前一个点）。 S：具有永久标号的顶集。 算法的过程就是在每一步改进这两个标号，最终 l(v)为u0到v的最短路长。输入带权邻接矩阵（距离 矩阵）w(u, v).
二部图的赋权匹配
定义：在G的顶点集V=X∪Y上定义一个实 值函数L，使得任何x∈X, y∈Y均有 L(x)+L(y)≥w(x,y) 其中w(x,y)是边(x,y)上的权, 称函数L(v)为该 二部图的一个可行顶点标号。 若用EL表示使上式等号成立的那些边的集 合，即 EL={(x,y)|(x,y)∈E, L(x)+L(y)=w(x,y)} 则称以EL为边集的G的生成子图为G对应于 可行顶点标号L的相等子图，记为GL.