数学建模最短路问题

二部图的匹配
匈牙利算法： (1)设G=(X, Y, E)是二部图，M是一个匹配； (2)若M饱和X的每个顶点，则算法终止，M为最大匹 配；否则，取M-非饱和点u∈X，令S={u}, T=Φ ; (3)若N(S)=T, 由于|T|=|S|-1，所以|N(S)|<|S|, 算法终止， 由定理4（Hall），不存在饱和X每个顶点的匹配；否 则取y∈N(S)\T; (4)若y是饱和的，设yz∈M, 用S∪{z}代替S，T∪{y}代 替T，转(3)（此时|T|=|S|-1仍成立）；否则设P是M增 广路P(u, y), 并令M=MΔE(P)（对称差），转(2)

3. 二部图的匹配
定理3（Kö nig, 1931）若M*和K~分别是二 部图G的最大匹配和最小覆盖，则|M*|=|K~| 定理4 (Hall, 1935)对二部图G=(X, Y, E),G 存在饱和X的每个顶点的匹配的充要条件是： 对任何S X,均有|N(S)|≥|S|，这里N(S)为与S 的顶点相邻的所有顶点的集合。 如果G中所有顶点的度数都为k，则称图G 是k正则的。 推论 若G是k正则二部图（k>0），则G有完 美匹配。
建模案例分析
2000B题
钢管订购和运输
2000B钢管运输分析求解步骤
1.用Floyd算法求出铁道两点间的最短
路长，将路长转成费用。 2.与公路运价组成的矩阵D，再用 Floyd求出S1,…,S7到A1,…,A15的最短 路，将购买单价计入运费之中。
第12章 匹配与覆盖及其应用
§1 匹配与覆盖 1. 基本概念 定义1设若M的边互不相邻，则称M是G的一个 匹配。M的边称为匹配边，E\M的边称为自由 边，若(u, v)∈M，则称u（或v）是v（或u）的 配偶。若顶点v与M的一条边关联，则称v是M饱和的；否则称为M-非饱和的。若M使G中每 个顶点都是M-饱和的，称M是G的完美（理想） 匹配。设M是G的一个匹配，若不存在M' 使 |M'|>|M|，则称M为G的最大匹配。
二部图的赋权匹配
定义：在G的顶点集V=X∪Y上定义一个实 值函数L，使得任何x∈X, y∈Y均有 L(x)+L(y)≥w(x,y) 其中w(x,y)是边(x,y)上的权, 称函数L(v)为该 二部图的一个可行顶点标号。 若用EL表示使上式等号成立的那些边的集 合，即 EL={(x,y)|(x,y)∈E, L(x)+L(y)=w(x,y)} 则称以EL为边集的G的生成子图为G对应于 可行顶点标号L的相等子图，记为GL.
最短路问题求解算法
2. Floyd Algorithm (1962): 求任意两点间的最 短路。 D =（dij）n×n, dij是i到j的最短路长， P =（pij）n×n, pij是i到j的最短路上中间节点的 最大号码，pij=0，表示无中间节点， (1)赋初值：dij= wij, pij = 0, k = 1 (2)更新dij, pij：对所有i, j，若dik+dkj< dij，则 dij = dik+dkj, pij = k (3)若k = n，停止；否则k = k+1, 转(2).

哥尼斯堡城中有七座桥将普雷格尔(Pregel) 河中的两个岛与河岸联结起来，当时人们热 衷于这样一个问题：一个人能否从四块陆地 中的任何一块出发走过七座桥，每座桥恰走 一次，最后回到起点？
A C B (a) D C B (b) A D
图论的基本概念
1. 图的定义 G=(V, E,ψ ) 顶点，边，e与v连接，v与e 关联，相邻，环，重边， 平面图，完全图（完备 图），二部图（偶图）， 子图，生成图。 与一个顶点vi关联的边的数 目称为vi的度（或次）。 路、圈和连通 有向图、赋权图

二部图的基数匹配例
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
二部图的基数匹配例
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
4. 二部图的赋权匹配
G是完全二部图，有两个顶点集
X={x1,x2,…,xn}，Y={y1,y2,…,yn}分别 表示职员和工作，xi和yj之间用边相连， 其权为wij表示职员xi做yj工作时的效率， 对每人分配一件工作，使总效率最大。 可以用Kuhn-Munkres算法求赋权完全 二部图的最佳匹配。
图论是离散数学的重要分支，在物理
学、化学、系统控制、电力通讯、编 码理论、可靠性理论、科学管理、电 子计算机等各个领域都具有极其广泛 的应用。 图论的历史可以追溯到1736年，这一 年发表了图论的第一篇论文，解决了 著名的哥尼斯堡（Kö nigsberg）七桥 问题。
Königsberg七桥问题
图的矩阵表示
关联矩阵
邻接矩阵
1 1 1 v1 A 1 0 2 v2 1 2 0 v 3
v1 v2 v3
2 1 0 0 1 v1 M 0 1 1 1 0 v2 0 0 1 1 1 v e e e e e 3
1 2 3 4 5

二部图的赋权匹配

可行顶点标号总是存在的，如令
L( x X
L( y) 0
y Y
二部图的赋权匹配

定理：设L是G的可行顶点标号，若GL包含 完美（基数）匹配M*，则M*是G的最佳 （最大权）匹配。
由上述定理知，欲求二部图的最佳匹配，只 需用匈牙利（Hungarian）算法求相等子图 GL的完美匹配。若GL不存在完美匹配， Kuhn和Munkres给出了一个修改顶点标号L 的算法，可以使新相等子图的最大匹配扩大， 这样，最终使相等子图具有完美匹配。
0 W
Dijkstra算法的迭代步骤如下

迭代 次数 u0
l(ui)
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12 最后标记： l(v) 0 2 1 7 3 6 9 12 z(v)u0 u0 u0 u5 u1 u4 u3 u4

二部图的匹配
例：如果一个乡村里每位姑娘恰好认识k位 小伙子，而每个小伙子也恰好认识k位姑娘， 则每位姑娘能够和她认识的一个小伙子结婚， 并且每个小伙子也能和他认识的一位姑娘结 婚。此即为“婚姻定理”。 根据上面的定理，Edmonds于1965年提出 了如下的匈牙利算法，解决了二部图的基数 匹配问题，步骤如下：

二部图的赋权匹配
Kuhn-Munkres算法： (1)设G=(X, Y,
E)是二部图，从任一可 行顶点标号L开始，确定GL，并在GL 中选取一个匹配M。 (2)若X是饱和的，则M是GL的完美匹 配，是G的最佳匹配，算法终止；否 则，在GL中取一个M-非饱和点u∈X， 令S={u}，T=Φ ；
图论的一个定理
定理：∑d(v)=2|E|
v∈V
证：因为每一条边提供给点的度为2，
所以图中所有点的度数总和是边数的2 倍。 推论：在任何图中，奇点个数为偶数。
2. 图的矩阵表示
对于任意图G，定义一个n×m阶
矩阵M=（mij）n×m(n为顶点数， m为边数)，其中mij是vi和ej相关联 的次数（0, 1或2等），该矩阵称 为G的关联矩阵。 图的另一种表示形式是邻接矩阵 A=（aij）n×n，其中aij是连接ai和aj 的边的数目。

匹配与覆盖
显然，完美匹配一定是最大匹配，反
之不一定成立。

(a)最大匹配
(b)完美匹配
匹配与覆盖
定义2
设若G的每条边都与K的一个顶 点关联，则称K是图G的一个覆盖。设 K是G的一个覆盖，若不存在覆K'使 |K'|<|K|，则称K是一个最小覆盖。
匹配与覆盖
下图为居民小区，安装消防设施，使每个相 连的街道都有消防设施可用。 覆盖：(v1, v2, v3,v4,v5)，(v1, v2, v3,v4)，(v2, v3,v4)，(v1, v3, v5)，而(v2, v3,v4)，(v1, v3, v5) 是最小覆盖。 v
第11章 最短路问题
问题的提出 2. 图论的基本概念 3. 最短路问题求解算法 4. 建模实例
1.
§1 问题的提出
某学校行政部门u0经
常有人到7个部门办 事，希望在现有的道 路网络中确定他们行 走的路线，使他们到 各部门的路程最短。 图中已经标明了部门 到部门之间的距离。
§2 图论的基本概念
解：D(0)=W, P(0)=(0)n×n
P (1)
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
P ( 2 ) P (1)
0 0 0 0 ( 3) P 0 0 0 3 P (4) P ( 3)
0 0 0 1 0 0 0 0

Floyd Algorithm
例
已知距离矩阵为
0 9 5 8 6 0 6 W 6 5 0 14 7 10 0
求任意两点之间的最短路。
Floyd Algorithm

0 9 5 8 6 0 6 14 (1) D , 6 5 0 14 7 16 10 0 0 9 5 8 6 0 6 14 ( 2) D , 6 5 0 14 7 16 10 0 0 9 5 8 6 0 6 14 ( 3) D , 6 5 0 14 7 15 10 0 D(4) D( 3) ,