解线性代数方程组的直接方法

a x a x a x a b (1) (1) (1) L (1) (1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x a b (2) (2) L (2) (2)
22 2
23 3
2n
2
a x a b (3) L (3) (3)
33 3
3n
3
M
a x a b (3) L (3) (3)
22 2
23 3
2n n
2
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
32 2
33 3
3n n
3
LL
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
n2 2
n3 3
nn n
n
A b 得到新同解方程组： （2）x （2）
a a (1)
(1)
11
12
n3 3
nn
n
若 a(333) ≠0，则此消去过程可依次进行下去。
第 n 1 步消去过程后，得到等价三角方程组。
A b (n)x (n)
a x a x a x a x b (1) (1) (1) L (1) (1)
11 1
12 2
13 3
1n n
1
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
22 2
23 3
2n n
2
a x a x b (3) L (3) (3)
33 3
3n n
3
LL
a x b (n)
(n)
nn n
n
系数矩阵与常数项：
a a a (1)
(1)
(1) L
11
12
13
A(n)
0
0
M
a(2) 22 0 M
a(2) 23
a (3) 33 M
L L
0 0 0 L
§2. Gauss 消去法
a x a x a x b
L
11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b 对n阶线性方程组：
21
1
L
22 2
2n n
2
L
a x a x a x b
n1
1
L
n2 2
nn n
n
转化为等价的（同解）的三角形方程组。
b x b x b x g
L
11 1
12 2
1n n
1
b x L 22 2
b2nxng 2Βιβλιοθήκη Baidu
L
bnn xn g n
称消元过程。逐次计算出xn , xn1,L , x1称回代过程。
一、Gauss 消去法计算过程
统一记号： aij → a(ij1) , bi → b(i1)
A b A a b ( b ,L , b ) 原方程 (1)X (1) : (1) [ (1)] , (1) (1)
b ， (3) =
b( 1 ) 1
b( 2 ) 2
b( 3 ) 3
a( 3 ) nn
b( 3 ) n
ai(j3) ai(j2) mi2 a(22j) mi2 ai(22) a(222)
b b b m i, j ( 3 ) ( 2 ) ( 2 )
i
i
2
i2
3,4, L ,n
得到同解方程组 A( 3) x = b( 3)
a b (k)
(k)
kn
k
0
a L (k 1) ij
M
b(k 1) j
0
k 1 i,j n
a a a ( a a ) (k1) ij
( k)
( k)
( k)
( k)
ij
kj
ik
kk
b b b ( a a ) (k1) i
i
i
1
i1
2,3, L ,n
第二步消元： 若
a ≠ (2) 22
0
，对除第一行第一列外
的子阵作上计算：
a a a (1)
(1)
(1)
11
12
13
0 a a ( 2 )
(2)
22
23
A = ( 3 ) 0
a 0
( 3 )
33
0
a 0
( 3 )
n3
a(1 ) 1n
a( 2 ) 2n
a( 3 ) 3n
如果线性方程组的系数行列式不为零，即det( A) 0, 则该方程组有唯一解。由克莱姆(cramer)法则，其解为
xi
det( Ai ) det( A)
(i 1, 2,L , n)
这种方法需要计算n 1个n阶行列式并作 n次除法，而每个
n阶行列式计算需作(n 1) n!次乘法，计算量十分惊人。
上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第 n 个方程全消去了变量 1，而系数 和常数项全得到新值：
a x a x a x a x b (1) (1) (1) L (1) (1)
11 1
12 2
13 3
1n n
1
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
a(1)
1n
(2)
a2n
(3)
a b 3n
M
，
(n)
a(n)
nn
b (1)
1
(2)
b
2
(3)
b
3
M
b (n)
n
计算出 A( n )，b( n ) 的过程称消去过程。
a (1) 11 O
消去过程算法
L
a (1) 1n
b (1) 1
MM
a a (k)
(k) L
kk
kk 1
如n 30,需2.381035次乘法。可见其在理论上是绝对正确，
但在n较大时，在实际计算中确实不可行的。
解线性方程组的两类方法：
直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不 计舍入误差!)
迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列 去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）
A a 其中 = ( 2 ) 0
( 2 )
22
a(1 ) 1n
b(1 ) 1
(2)
(2)
a b b ， = 2n
(2)
2
0 a a ( 2 )
(2)
n2
nn
b( 2 ) n
这里 a a m a ( 2 )
(1)
ij
ij
(1) i1 1 j
m a a (1)
(1)
i1
i1
11
b b b m i, j ( 2 ) (1) (1)
ij
1
(1) T n
若
a(1) 11
≠
0
:
( 第二行
)
（第一行）
a( 1 ) 21
a1(11)→(新第二行 )
(第三行 ) (第一行 ) a(311) a1(11)→ (新第三行 )
(第n行)
（第一行）
a( 1 n1
)
a( 1 ) 11
→
( 新第n行
)
相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方
程—同解！第一方程不动！
解线性代数方程组的直接方法 §1.引言
n 阶线性方程组：
a x a x a x b
L
11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b
21
1
L
22 2
2n n
2
L
a x a x a x b
n1
1
L
n2 2
nn n
n
矩阵表示记为 AX b
这里 a A [ ]ij nn , X (x1 , L , xn )T ,b (b1 , L ,bn )T