导数题型分类大全

导数题型分类（A ）

题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则

（一）导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率x

x f x x f x y

o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/

x f 或0/x x y =，即

x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(0000/

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对

应着一个确定的导数)(/

x f ，从而构成了一个新的函数)(/

x f 。称这个函数)(/

x f 为函数

)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝

x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim

导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0

/

x x y =，就是导函数)(/

x f 在0x 处的函数值，即0

/

x x y =＝)(0/

x f 。

例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ，求

()()t

t a f t a f t 54lim

+-+→。

例2．2

3

33

x y x x +=

=+求在点处的导数。 （二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则 ：

+-∈==N n nx x C C n n ,)(;

)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -==

a a a e e x

x x x ln )(;)(''==； e x

x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==

法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['

''x v x u x v x u x v x u +=

法则3： )0)(()

()()()()(])()([2'

''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （理）复合函数的求导：若(),()y f u u x ϕ==，则'()'()x y f x x ϕ'= 如，sin ()'x

e

=_______________;(sin )'x e =_____________

公式1

/

)(-=n n nx

x 的特例：①=')x (______; ②='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛x 1_______, ③=')x (_________.

题型二：利用导数几何意义及求切线方程

导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.因此，如果)(0x f '存在，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为______________________

例1．若函数()f x 满足，3

21()(1),3

f x x f x x '=

-⋅-则(1)f '的值 例2．设曲线ax

y e =在点(0,1)处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 练习题

1．曲线3

4y x x =-在点

()1,3--处的切线方程是 2y x =-

2．若曲线x x x f -=4

)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）

3．若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（注意解的个数）

（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2

x y =过点P(3,5)的切线；

解：（1）

123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P

所以切线方程为02

11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为)

,(00y x A ，则

2

00x y =①又函数的导数为x y 2/

=，

所以过

)

,(00y x A 点的切线的斜率为

/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有

3

5

2000--=

x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25

5 110

000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为

;

2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分

别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，

或 5．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π

4]，

则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－1

2

]

B ．[－1,0]

C ．[0,1]

D ．[1

2

，1]

6.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）

A.y=sinx

B. x

y xe = C. 3

y x x =- D.y=ln(1+x)—x

7. 设f(x),g(x)是R 上的可导函数，(),()f x g x ''分别为f(x),g(x)的导数，且

()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a

A.f(x)g(b)>f(b)g(x)

B.f(x)g(x)>f(b)g(b)

C.f(x)g(a)>f(a)g(x)

D.f(x)g(x)>f(b)g(a)