北航有限元第4讲 等参元和高斯积分

x = x(ξ )
坐标插值函数：
x(ξ ) = a0 + a1ξ
a0 = ( xi + x j ) / 2 a1 = ( x j − xi ) / 2
节点条件： x(−1) = a0 − a1 = xi x(1) = a0 + a1 = x j
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x(ξ ) = ( xi + x j ) / 2 + ξ ( x j − xi ) / 2
O S
m
τ
n
质点沿切线前进方向的单位矢量为 质点沿切线前进方向的单位矢量为 沿切线前进方向 切向单位矢量(tangential unit vector) 质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 与切向正交且指向轨迹曲线凹侧 单位矢量为法向单位矢量 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
β1 1 1 1 1 y1 β 2 1 −1 1 1 − 1 y2 = β3 4 −1 − 1 1 1 y3 β4 1 − 1 1 − 1 y4
x = α1 + α 2ξ + α 3η + α 4ξη = N1 x1 + N 2 x2 + N 3 x3 + N 4 x4 y = β1 + β 2ξ + β3η + β 4ξη = N1 y1 + N 2 y2 + N 3 y3 + N 4 y4
节点条件： ui = u (ξi ,ηi ) vi = v (ξi ,ηi )
(ξ1 ,η1 ) = (−1, −1) (ξ 2 ,η 2 ) = (1, −1)
(ξ3 ,η3 ) = (1,1) (ξ 4 ,η4 ) = (−1,1)
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u1 = α1 + α 2ξ1 + α 3η1 + α 4ξ1η1 u = α + α ξ + α η + α ξ η 2 1 2 2 3 2 4 2 2 u3 = α1 + α 2ξ3 + α 3η3 + α 4ξ3η3 u4 = α1 + α 2ξ 4 + α 3η4 + α 4ξ 4η4
x(ξ ) = [(1 − ξ ) / 2 xi (1 + ξ ) / 2] x j
x(ξ ) = N(ξ )x e
N(ξ ) = [(1 − ξ ) / 2
局部坐标到物理坐标的变换
(1 + ξ ) / 2]
单元内坐标由节点坐标插值表示
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单元位移函数： u ( x(ξ )) = a0 + a1ξ 节点条件： u ( x(−1)) = a − a = u 0 1 i u ( x(1)) = a0 + a1 = u j
a0 = (ui + u j ) / 2 a1 = (u j − ui ) / 2
ui (1 + ξ ) / 2] u j
u ( x(ξ )) = (ui + u j ) / 2 + ξ (u j − ui ) / 2 = [(1 − ξ ) / 2
1 B(ξ ) = [ − e l
1 ] e l
σ ( x(ξ )) = E eε ( x(ξ )) = E e B(ξ )q e = S(ξ )qe
Ee S(ξ ) = [− e l
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Ee ] e l
单元应变能：
1 1 x2 e T U = ∫ σ ( x(ξ ))ε( x(ξ ))dV = ∫ E ε ( x(ξ ))ε ( x(ξ )) Ae dx 2 Ωe 2 x1
同理可得：
β1 1 1 1 1 v1 β 2 1 −1 1 1 − 1 v2 = β3 4 −1 − 1 1 1 v3 β4 1 − 1 1 − 1 v4
1 N1 = 4 (1 − ξ )(1 − η ) N = 1 (1 + ξ )(1 − η ) 2 4 1 N 3 = 4 (1 + ξ )(1 + η ) N = 1 (1 − ξ )(1 + η ) 4 4
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x N1 = y 0
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当点的运动轨迹已知时，通常采用自然法 确定点的运动规律、速度、加速度。 在自然坐标系中表示质点速度，是非常简 单的，因为无论质点处在什么位置上速度 都只有切向分量，而没有法向分量。
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新途径：建wk.baidu.com局部自然坐标系进行单元分析
xi
xj
局部自然坐标和整体直角坐标可以建立一种映射关系
Ωe Sp
(1 + ξ ) / 2]
Sp
P (1) = ∫ NT (ξ )bx dV + ∫ e NT (ξ ) px dA = ∫ e NT (−1) px dA 1 1 R = ∫ e px dA = R1 = 1 S p 0 0 0 P (2) = ∫ NT (ξ )bx dV + ∫ e NT (ξ ) px dA = ∫ e NT (1) px dA
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平面问题四边形等参单元的推导
坐标映射
( x4 , y4 ) ( x3 , y3 )
P ( x, y )
( x1 , y1 )
P (ξ ,η )
( x2 , y2 )
整体直角坐标
（一般四边形）
P ( x, y )
单元局部自然坐标
（规格化的矩形）
映射
P (ξ ,η )
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P ( x, y )
x1 = α1 − α 2 − α 3 + α 4 x = α + α −α −α 2 1 2 3 4 x3 = α1 + α 2 + α 3 + α 4 x4 = α1 − α 2 + α 3 − α 4
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α1 1 1 1 1 x1 α 2 1 −1 1 1 − 1 x2 = α 3 4 −1 − 1 1 1 x3 α 4 1 − 1 1 − 1 x4
N(ξ ) = [(1 − ξ ) / 2
N(ξ ) = [(1 − ξ ) / 2
(1 + ξ ) / 2]
(1 + ξ ) / 2]
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du ( x(ξ )) d (N(ξ )q e ) dN(ξ ) e ε ( x(ξ )) = = = q = B(ξ )q e dx dx dx
第4讲 等参单元和数值积分
金朝海 jch666@vip.sina.com
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实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整 的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单 元的表达式比较困难（在整体坐标系下构造位 移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度 矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁）。事实 上，形状不规整的单元和形状规整的单元（矩 形单元、正六面体单元）可以建立一种映射关 系，使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标 系中的局部坐标一一对应。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际 等参单元 领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的 一步。
u ( x(ξ )) = N(ξ )q e
N(ξ ) = [(1 − ξ ) / 2 (1 + ξ ) / 2]
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观察： 单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的 形状函数通过插值的方式表示。 形状函数是用自然坐标给出的，表达式很简单
x(ξ ) = N(ξ )xe
u ( x(ξ )) = N(ξ )q e
e 1 e
T
e
e
1 − 1 −1 1
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单元外力功 W = q P e
e eT
等效节点力
P e = ∫ NT (ξ )bx dV + ∫ e NT (ξ ) px dA
Ωe Sp
N(ξ ) = [(1 − ξ ) / 2
对于本例
自然坐标系下的分 析结果与整体直角 坐标系下的分析结 果完全相同。
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
x1 y 1 x2 0 y2 N 4 x3 y3 x4 y 4
x(ξ ,η ) = N(ξ ,η )x e
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位移函数
( x3 , y3 )
u1 = α1 − α 2 − α 3 + α 4 u = α + α − α − α 2 1 2 3 4 u3 = α1 + α 2 + α 3 + α 4 u4 = α1 − α 2 + α 3 − α 4
α1 1 1 1 1 u1 α 2 1 −1 1 1 − 1 u2 = α 3 4 −1 − 1 1 1 u3 α 4 1 − 1 1 − 1 u4
( x4 , y4 )
(−1,1)
(1,1)
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
(−1, −1)
(1, −1)
u ( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) = u (ξ ,η ) = α1 + α 2ξ + α 3η + α 4ξη v( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) = v(ξ ,η ) = β1 + β 2ξ + β3η + β 4ξη
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关于坐标系
直角坐标系( 直角坐标系 x , y , z) 极坐标(r, 极坐标 ϕ) ，2维 维 球坐标系(r,θ, ϕ) 球坐标系 柱坐标系 (ρ, ϕ, z)
自然坐标系
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自然坐标系: 自然坐标系
选轨迹上任一点O为原点 选轨迹上任一点 为原点 用轨迹长度 描写质点位置 轨迹长度S
节点条件： xi = x(ξi ,ηi ) yi = y (ξi ,ηi )
x1 = α1 + α 2ξ1 + α 3η1 + α 4ξ1η1 x = α + α ξ + α η + α ξ η 2 1 2 2 3 2 4 2 2 x3 = α1 + α 2ξ3 + α 3η3 + α 4ξ3η3 x4 = α1 + α 2ξ 4 + α 3η4 + α 4ξ 4η4
Ωe Sp Sp
0 0 0 = ∫ e px dA = F = S p 1 1 F
忽略 单元 间作 用力
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等参单元定义的给出
等参单元：用同样的节点和相同的形状函 数通过插值的方式表示出单元的几何坐标 与位移的单元，称为等参单元。 如果坐标变换节点数多于位移插值的节点 数，称为超参变换。反之，如果坐标变换 节点数少于位移插值的节点数，则称为亚 参变换。 等参单元的插值函数用自然坐标给出。
e
单元刚度矩阵
1 1 e U = ∫ E [B(ξ )q e ] B(ξ )q e Ae (l e / 2)d ξ 2 −1 T 1 eT 1 e e U = q [ ∫ (l / 2)B (ξ ) E e Ae B(ξ )dξ ]q e −1 2 1 eT e e e U = q Kq 2
e
E e Ae K = ∫ (l / 2)B (ξ ) E A B(ξ )d ξ = e −1 l
映射
P (ξ ,η )
x = x(ξ ,η ) y = y (ξ ,η )
构造插值函数 x = α1 + α 2ξ + α 3η + α 4ξη y = β1 + β 2ξ + β 3η + β 4ξη
(ξ1 ,η1 ) = (−1, −1) (ξ 2 ,η 2 ) = (1, −1) (ξ3 ,η3 ) = (1,1) (ξ 4 ,η4 ) = (−1,1)
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4.1 等参单元
简单杆系问题分析的新途径 等参单元定义的给出 平面问题四边形等参单元计算公式 三维问题六面体等参单元计算公式 采用等参单元的优点
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简单杆系问题分析之新途径
F
途经1：在整体直角坐标系下进行单元分析（参看第3讲内容） 途径2：建立局部自然坐标系进行单元分析