矩阵的初等变换ppt课件
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6讲2.6初等矩阵 PPT课件
20
2.6.3 矩阵等价的充要条件
*定理2.4 A可逆 初等阵 P1, , Pk 使:
证 显然
A可逆
A P1 Pk
r(A)=n A 初E
即存在初等阵 P1, P2 , , Ps , Q1, Q2, , Qt
使 P1P2…PsAQ1Q2…Qt=E
A
P P 1 1 s s1
P11 EQt1Qt11
A
E
列
E A1
26
例3 用初等行变换求矩阵A的逆矩阵:
0 2 1
A
1
1
2
1 1 1
解 先将A化为行阶梯阵,再化为单位阵
27
0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0
[A
E]
1
1
2
0 1 0 0 2 1 1 0 0
a24
a21
a22
a23
a24
2
a31 a32 a33 a34 a31 a32 a33 a34 3
3 6
31
预习完 2.8
(^-^) Bye!
32
例6
将
A
1 1
1
1
表示成为初等方阵
之积.
解
A
1 1
1
1
1 0
1
2
1 0
1
1
E
33
E(1,2(1))E(2(1))E(2,1(1))A E
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
线性代数课件--05矩阵的初等变换与初等矩阵-PPT精品文档
课件 7
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
西北工业大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的初等变换
1 0 0 0
1 0 0 0
c2
1 4
1
1
0
0
c2 c1
0
1
0 0
3 2 0 0
1 2 0 0
列 最 简 形
定理秩3.为3 r的 矩阵m A，n 经过有限次初等变
换，总可化为如下等价标准形
O(
Er
mr
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
mn
即有
A
Er O
O O
推论1 设A是n阶方阵，A满秩 A En
24
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
2
①
2
x1
③
1①
2
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
2 x1 x2 3x3 1 ①″
③'
1 8
②'
4 x2 x3 2 ②″
3 8
x3
9 4
③″
x1 x2
则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
规定：零矩阵的秩为0,即 rankO 0 .
➢ 矩阵秩的含义 A的所有r＋1阶子式都为0
1 1 2
A
2
2
4
3
6
DAr的2 所?有r＋2阶子式也都为0 1 1 2 3
A的所有大于r＋2阶的子式也都为0
数r=rankA是矩阵A中子式不为0子式的最高阶数
0 0 1 1 3
A有一个三阶子式
免费第3章课件 线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是
什么？
A B , 如何把它们用等号联系起来？
-17-
T 回顾 ei A ? Ae j ?
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 r1 r3 a 23 a 33
a 31 a 32 a 21 a 22 a11 a12
( 2) kci ( k 0) ( 3) ci kc j
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
-6-
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 kri ri 逆变换 k ri krj 逆变换 ri kr j
初等列变换也有类似的结果
-7-
B [ Ae1 , Ae2 , A( ke3 )] A[e1 , e2 , ke3 ]
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的右边！
方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 1 2 4 ~ A 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程
组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里
就不区分了)
2 1 2 4 ~ r1 r2 A 1 1 2 1 4 1 4 2
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
什么？
A B , 如何把它们用等号联系起来？
-17-
T 回顾 ei A ? Ae j ?
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 r1 r3 a 23 a 33
a 31 a 32 a 21 a 22 a11 a12
( 2) kci ( k 0) ( 3) ci kc j
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
-6-
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 kri ri 逆变换 k ri krj 逆变换 ri kr j
初等列变换也有类似的结果
-7-
B [ Ae1 , Ae2 , A( ke3 )] A[e1 , e2 , ke3 ]
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的右边！
方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 1 2 4 ~ A 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程
组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里
就不区分了)
2 1 2 4 ~ r1 r2 A 1 1 2 1 4 1 4 2
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
高中数学《矩阵及其初等变换》课件
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。
《λ矩阵的初等变换》课件
02
03
步骤
适用范围
首先将λ矩阵化为列阶梯形矩阵 ，然后通过求解线性方程组得到 λ的值。
适用于求解具有多个未知数的线 性方程组。
求解实例解析
实例1
给定一个3x3的λ矩阵，通过 初等行变换法将其化为行阶梯 形矩阵，并求解得到λ的值。
实例2
给定一个4x4的λ矩阵，通过 初等列变换法将其化为列阶梯 形矩阵，并求解得到λ的值。
性质
初等列变换不改变矩阵的秩，且如果两个矩阵等价，则它们可以通过一系列初 等列变换相互转换。
初等变换的应用实例
在线性方程组求解中的应用
通过初等变换将系数矩阵化为行最简形或列最 简形，便于求解方程组。
在矩阵求逆中的应用
通过初等变换将可逆矩阵化为单位矩阵，便于 求逆矩阵。
在矩阵相似变换中的应用
通过初等变换将矩阵化为标准型，便于研究矩阵的相似变换。
λ矩阵的特征多项式是一个关于λ的n 次多项式，其根称为特征值，对应的 线性组合称为特征向量。
λ矩阵的应用场景
λ矩阵在数值分析和计算物理等领域 有广泛应用，如求解线性方程组、计 算矩阵的逆和行列式等。
λ矩阵在控制理论和信号处理等领域也 有应用，如系统稳定性分析和滤波器 设计等。
03
λ矩阵的初等变换
3
λ矩阵的理论价值
λ矩阵的研究对于数学理论的发展，特别是对线 性代数理论的完善和深化，具有重要的理论价值 。
λ矩阵未来的研究方向和趋势
λ矩阵的进一步理论探讨
随着数学理论的发展，对λ矩阵的性质和结构的深入研究将有助于揭示其更深层次的数学 规律。
λ矩阵的应用研究
随着科学技术的进步，λ矩阵在解决实际问题中的应用将更加广泛，需要进一步研究如何 更好地利用λ矩阵解决实际问题。
《线性代数(修订版)》教学课件 1.3 初等矩阵与初等变换
5x2 5x3 3 x4 6,
1 2 3
(B2 )
3x2 3 x3 4 x4 3, 4
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
(1)
1 2 3 2
2
2
x1 x1
x2 3 x2
x3 x3
x4 x4
2, 2,
2 3
(B1 )
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 2x2 2x3 2x4 0,
即x
c
1 1
3 0
0
3
其中c为任意常数.
小结
1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；
（ i 与 j 相互替换） （2）以不等于0的数乘某个方程；
（以 i k 替换 i）
（3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
（以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j 若( A) i k (B), 则(B) i k 若( A) i k j (B), 则(B) i k j
( A); ( A); ( A);
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
4 23
x2 x3 x4 0, 2 x4 3, 3
0 0, 4
1 2 3
(B2 )
3x2 3 x3 4 x4 3, 4
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
(1)
1 2 3 2
2
2
x1 x1
x2 3 x2
x3 x3
x4 x4
2, 2,
2 3
(B1 )
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 2x2 2x3 2x4 0,
即x
c
1 1
3 0
0
3
其中c为任意常数.
小结
1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；
（ i 与 j 相互替换） （2）以不等于0的数乘某个方程；
（以 i k 替换 i）
（3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
（以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j 若( A) i k (B), 则(B) i k 若( A) i k j (B), 则(B) i k j
( A); ( A); ( A);
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
4 23
x2 x3 x4 0, 2 x4 3, 3
0 0, 4
线性代数课件_第3章_矩阵的初等变换与线性方程组
-13-
定理 (等价标准形定理 等价标准形定理) 等价标准形定理 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形 等价标准形（ 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称 相抵标准形）： 相抵标准形）：Er Fra bibliotek O O
等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
-14-
例2
（接例1） 接例 ）
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 3 6 9 7
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
-10-
只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 定理 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一， 唯一。 唯一。
-8-
在 m × n 的矩阵集合 R 中的一个等价关系? 中的一个等价关系
m×n
A r 中, 如果
B ,
具有行相抵的关系,问行相抵是不是 行相抵的关系 则称 A 与 B 具有行相抵的关系 问行相抵是不是 R m × n
Gauss消元法的思想又可表述为 在与方程组增 消元法的思想又可表述为, 消元法的思想又可表述为 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的 找一个最简单的,然后求解 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组. 这个最简单的矩阵所对应的方程组 以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行 最简阶 以后我们把这个最简单的矩阵叫做 行)最简阶 梯形矩阵. 梯形矩阵
a11 = a 21 a 31
a12
a 22 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
经济数学课件 11.2矩阵的初等行变换及应用
第二节 矩阵的初等行变换及应用
一 矩阵的初等行变换 定义1 初等行变换
（1） 互换任意两行的位置： ri rj
（2） 用非零数乘某行： k ri
（3） 用一个常数乘矩阵的某一行，再
加到另一行上去： ri k rj
定义2 把满足下列条件的矩阵称为行阶梯矩阵 （简称阶梯形）
（1）如果第i行元素全为零，则当时 j i ，第j 行（如果有的话）的元素也都为零；
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 （2）aam211xx11aam222xx22 aa2mnnxxnn bb2m
b1, b2 ,, bm
的常数项
不全为零，则方程
组 （2）称为非齐次线性方程组
若 b1, b2 ,, bm 全为零，即
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 （3）aam211xx11aam222xx2 2 aa2mnnxxnn00
4
0
都是行最简形矩阵。
例1
将矩阵 A
1 3
2 1
3 5
1 3
16化为阶梯形矩阵
2 1 2 2 8
解： 1 2 3 1 1
1 2 3 1 1
A 3 1 5 3 6 (3)r1r2 ,(2)r1r3 0 5 4 0 3
2 1 2 2 8
0 5 4 0 6
1 2 3 1 1 (1)r2r3 0 5 4 0 3
的秩。
2 1 0 2 3
例8 求矩阵
的秩。
1 2 1 1 B 0 1 2 0
1 3 3 1
3. 用初等变换解线性方程组——高斯消元法
定义 线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
一 矩阵的初等行变换 定义1 初等行变换
（1） 互换任意两行的位置： ri rj
（2） 用非零数乘某行： k ri
（3） 用一个常数乘矩阵的某一行，再
加到另一行上去： ri k rj
定义2 把满足下列条件的矩阵称为行阶梯矩阵 （简称阶梯形）
（1）如果第i行元素全为零，则当时 j i ，第j 行（如果有的话）的元素也都为零；
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 （2）aam211xx11aam222xx22 aa2mnnxxnn bb2m
b1, b2 ,, bm
的常数项
不全为零，则方程
组 （2）称为非齐次线性方程组
若 b1, b2 ,, bm 全为零，即
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 （3）aam211xx11aam222xx2 2 aa2mnnxxnn00
4
0
都是行最简形矩阵。
例1
将矩阵 A
1 3
2 1
3 5
1 3
16化为阶梯形矩阵
2 1 2 2 8
解： 1 2 3 1 1
1 2 3 1 1
A 3 1 5 3 6 (3)r1r2 ,(2)r1r3 0 5 4 0 3
2 1 2 2 8
0 5 4 0 6
1 2 3 1 1 (1)r2r3 0 5 4 0 3
的秩。
2 1 0 2 3
例8 求矩阵
的秩。
1 2 1 1 B 0 1 2 0
1 3 3 1
3. 用初等变换解线性方程组——高斯消元法
定义 线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
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B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
942
显然 交换B的第1行与第2行即得B1
2
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
4 4 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
B3
0 1 4 3
3 1
6 6
3 2
2 9
1 1
2 7
46 94
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
4
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
与B行等价 记作 A ~r B 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A
与B列等价 记作 A ~c B 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B
等价 记作 A ~ B ❖等价关系的性质
(i)反身性 A~A (ii)对称性 若A~B 则B~A (iii)传递性 若A~B B~C 则A~C
1 1
4 0Βιβλιοθήκη r43r10 5 0 3
5 3 6 3 4 3
r43r2
0 0
0 0
0 2 6 0 1 3
~ ~ r3r4
r42r3
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r1r2 r2r3
1 0
0 1 1 1
0 0
4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 20 06
0 0 0 0 0
4 2 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
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B2
21 23
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
3
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①2②
①2②
3x2 3x3 x4 6
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7x4
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
❖初等变换的符号 rirj(cicj)对调i j两行(列) 换法变换 rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k 倍法变换 ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上 消法变换 这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等
变换
6
❖矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A
7
❖矩阵初等变换举例
2 1 1 1 2 r1r2 1 1 2 1 4
~ 1 1 2 1 4 r32 2 1 1 1 2
4 3
6 6
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2 3 1 1 2 3 6 9 7 9
~ ~ r2r3
r32r1
1 0
1 2 2 2
1 2
4 0
r22 r35r2
1 0
1 2 1 1
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
8
行阶梯形矩阵特点：
行最简形矩阵特点：
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；
非零行的第一个非零元为1，且这
每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行 些非零元所在列的其它元素都为0．
数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）
后面的第一个元素为非零元，也就是非零行 的．第一个非零元
1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
行最简形矩阵
行阶梯形矩阵
9
❖矩阵初等变换举例
2 1 1 1 2 r1r2 1 1 2 1 4
~ 1 1 2 1 4 r32 2 1 1 1 2
4 3
6 6
2 9
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2 3 1 1 2 3 6 9 7 9
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完
全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩
阵的三种初等变换
5
❖矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨 中都可起重要的作用
1
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
~ ~ r2r3
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1 0
1 2 2 2
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