二次函数单调性含答案
二次函数单调性问题
二次函数单调性问题一、 定区间，定对称轴1. 说明函数242-+-=x x y 在区间]3,0[的单调性及最值. 2. 求函数4)43(22-+++-=x a a x y 在区间]1,3[-的单调性及最值. 二、 定区间，动对称轴3. 已知函数3)24(2-++=x a x y 在区间]3,1[单调，求a 的取值范围. 4.已知函数 4)22(2+++=x a ax y 在区间]4,2[上单调递增，求a 的取值范围. 5.求函数222++-=x ax y 在]1,2[-∈x 上的最大值.三、定对称轴，动区间6.已知22)(2++=x x x f ，当],2[a a x -∈时，讨论该函数的单调性.7.已知2()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值.四、 动区间，动对称轴8. 已知函数4)13(2+--=x a x y ，讨论函数在区间]1,[+a a 的单调性.9. 已知函数22y x ax =-，[]4,x a a ∈--+，求函数的最大值()h a . 五、 逆向型（是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值）10. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值.11. 二次函数1)12()(2+-+=x a ax x f 在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求实数a 的值. 求函数值域（最值）的方法：1.配方法----二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型1、21y x =+的值域为_____2、4y x =+的值域为____；函数x x y 21-+=的值域3.单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性 。
高二数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高二数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为xn ,该年的增长量yn和 xn与的乘积成正比，比例系数为，其中m是与n无关的常数，且x1<m，(1)证明：;(2)用 xn 表示xn+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m.【答案】（1）详见解析；（2），证明用数学归纳法，过程详见解析．【解析】（1）由已知可得yn 是xn的一个二次函数，利用配方法，注意到就可证明；（2）由已知有该年的增长量，所以第n+1年年初的的数量xn+1=xn+yn,代入即可用xn 表示xn+1；证明草原上的野兔总数量恒小于m，即证对一切非零自然数n，都有xn<m,可考虑用数学归纳法来证明：当n=1时显然成立；再假设当时，命题成立，则对n=k+1时，由于是xk的一个二次函数，结合二次函数的性质，可证成立，从而有对一切正整数n，，即是草原上的野兔总数量恒小于m.试题解析：（1）由题意知，配方得：∵∴当且仅当时，取得最大值，即（5分）（2）（8分）用数列归纳法证明：当n=1时，由题意知，故命题成立假设当时，命题成立是xk的一个二次函数，有对称轴，开口向下，由，则，于是在上均有=m取，即知，∴当时，命题成立，综上知，对一切正整数n，这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长（13分）【考点】1函数的概念；２．二次函数；３．数学归纳法．2.已知是方程的两根，且，,，求的最大值与最小值之和为()．A．2B．C．D．1【答案】A【解析】设，根据题意，有，即则直角坐标平面内以为坐标的点的集合对应的区域如下图所示：则的值可看作是过动点和定点的直线的斜率；由图可知，，所以，的最大值与最小值之和为2.故选A【考点】1、一元二次方程根的分布；2、二元一次不等式所表示的平面区域；3、直线的斜率；4、数形结合.3.函数在上是增函数，则的取值范围是_【答案】(-∞,-6]【解析】由于函数在上是增函数，那么二次函数对称轴为，即可知只要，故答案为(-∞,-6]【考点】二次函数单调性点评：解题的关键是理解给定的区间是二次函数增区间的子区间，属于基础题。
2019年人教版高中数学必修一考点练习：动轴定区间与定轴动区间(含答案解析)
二次函数动轴定区间与定轴动区间问题一、单调性1. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)2.二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.3. 若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( )A ．(－1,0)B ．[－1,0)C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]二、动轴定区间1. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关2. 求函数在区间上的最小值．()221f x x ax =+-[]0,33. 已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．4.已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．5. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．6. 函数．()23f x x ax =++（1）当时，恒成立，求得取值范围；x R ∈()f x a ≥a （2）当时，恒成立，求的取值范围；[]2,2x ∈-()f x a ≥a 三、定轴动区间1. 若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}2. 已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．来源学*科*网四、综合1.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数()21f x x mx =+-[],1x m m ∈+()0f x <的取值范围是 ．m 2.若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．参考答案二次函数动轴定区间与定轴动区间问题一、单调性1. 解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝，由题意得≥4，解得a ≥8.a2a22.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－，要使m －13得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－＝1，解得m －13m ＝－2.答案：－23. 解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝≤－1，且m <01m ，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．二、动轴定区间1. 解析：选B f (x )＝2－＋b ，(x ＋a 2)a 24①当0≤－≤1时，f (x )min＝m ＝f ＝－＋b ，a 2(－a 2)a 24f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max 与a 有关，与b 无关；{a 24，1＋a ＋a 24}②当－<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，a2∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，a2∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．2.【答案】因为，所以的图像是开口向上的抛物线，对称轴是直()()221f x x a a =+--()f x 线．x a =-如图：当即时，函数在上是增函数，0a -<，0a ≥()f x []0,3所以时，；0x =()min 01f f ==-当时，函数在上先单调递减，在单调递增，03a <-<，30a -<<()f x []0,3所以，即；x a =-()2min 1f f a a =---当时，即时函数在上时减函数，3a ->3a <-()f x []0,3所以时，．3x =()()min 386f x f a ==+综上所述，当时，函数的最小值为；0a ≥()f x 1-当，函数单的最小值为；30a -<<21a --当时，函数的最小值为．a ≤-3()f x 86a +3. 解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝.1a ①当≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，1a ∴f (x )在上递减，在上递增．[0，1a ][1a ，1]∴f (x )min＝f ＝－＝－.(1a )1a 2a 1a②当>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，1a ∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝<0，在y 轴的左侧，1a ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝Error!4. 解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，来源:Z §xx §]设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋，ha ∴|x 1－x 2|＝＝ ＝2，x 1＋x 2 2－4x 1x 2－4h a 解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .∴g (x )的对称轴方程为x ＝，k －22则≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．k －225. 解：f (x )＝2－－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．(x ＋a 2)a 24(1)当－<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，a2∴a ≤.73又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－≤2，即－4≤a ≤4时，a2g (a )＝f＝－－a ＋3≥0，(－a 2)a 24∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，∴－4≤a ≤2.(3)当－>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.a2又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．6. 【答案】恒成立，即恒成立．()f x a ≥230x ax a ++-≥只需，即∴．()2430a a =--Δ≤24120a a +-≤，6a -≤≤2（2）()2223324a a f x x ax x ⎛⎫=++=++-⎪⎝⎭当即时，由∴22a -<-，4a >()()min 227f x f a =-=-+，27a a -+≥，73a ≤，a ∈∅．当即时，得，∴222a-≤-44a -≤≤()2min 34a f x a =-≥，62a -≤≤．42a-≤≤当，即时，，22a->4a <-()()min 227f x f a ==+由得∴．综上得．27a a +≥，7a ≥-，74a -<-≤[]7,2a ∈-三、定轴动区间1.解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4.故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.2. 解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a＋1<1，即a<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为减函数，所以最小值为f(a＋1)＝a2＋1；当a≤1≤a＋1，即0≤a≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f( 1)＝1；当a>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为f(a)＝a2－2a＋2.综上可知，g(a)＝Error!四、综合1. 略2.解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－f(t)＝－2at ＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.答案：8。
2023年高考数学一轮复习第二章函数5二次函数与幂函数练习含解析
二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析 设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－∞，40]∪[160，＋∞)解析 依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x解析 因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4， 所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1， 所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1， 解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析 因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减，所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ，所以b <a <c .(2)已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p ，q 均为奇数，且p q>0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q<0 答案 D解析 因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数， 又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有p q<0， 又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确． 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a－2a －1－－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 教师备选若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )满足条件f (－x )＝f (x )，定义域为R ，值域为(－∞，4]，则函数解析式f (x )＝________. 答案 －2x 2＋4解析 f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a ) ＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (－x )＝f (x )， ∴2a ＋ab ＝0， ∴f (x )＝bx 2＋2a 2.∵f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]， ∴b <0，且2a 2＝4，∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.思维升华 求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 (1)已知f (x )为二次函数，且f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，则f (x )等于( ) A ．x 2－2x ＋1 B ．x 2＋2x ＋1 C ．2x 2－2x ＋1 D ．2x 2＋2x －1答案 B解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解 f (x )＝x 2－tx －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究 本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ，当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析 依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0，∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4]C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( ) A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案 C解析 由于函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( ) A ．－2或1 B ．－2 C ．1 D ．1或2答案 A解析 因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4ac B ．2a －b ＝1 C ．a －b ＋c ＝0 D ．5a <b答案 D解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( ) A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点 答案 ABC解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确； 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确；因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确； 当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确． 6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能 答案 BC解析 因为f (x )＝()2231m m m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )， 所以f (x )＝x 3为奇函数． 因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0， 所以f (a )<f (－b )． 因为y ＝f (x )为增函数， 所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析 因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________． 答案 [2,4]解析 解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2， 解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2， 由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]． 若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调， 则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]， 此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4， 故g (t )∈[0,4]． 所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a x ＋12＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2； 当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6； 当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝2－4m <0，f3＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b等于( )A ．0B ．1C.12D ．2答案 A解析 由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a，y ＝x b， 得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( ) A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 答案 AB解析 设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1； 当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)， 由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1. 因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根． 综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 答案 7解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0， 解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14，且m ≤－2或m ≥1， 所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________． 答案 [－16，＋∞)解析 因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b ) ＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝f 3＝0，f1＝f －1＝0，代入得⎩⎪⎨⎪⎧9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9 ＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0， 则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根， 得b ＝1，从而a ＝－12，所以f (x )＝－12x 2＋x .(2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则有2n ≤12，即n ≤14.又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1， 则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，f m ＝2m ，f n ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在x∈[m,1]上的最小值为1，求实数m的值．【答案】（1）a＝－1，b＝4 （2）1－【解析】(1)由条件得，解得：a＝－1，b＝4.(2)f(x)＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴f(x)在x∈[m,1]上单调递增．∴x＝m时，f(x)＝－m2＋2m＋3＝1，min解得m＝1±.∵m＜1，∴m＝1－.2.设为坐标原点，给定一个定点，而点在正半轴上移动，表示的长，则中两边长的比值的最大值为．【答案】【解析】由题意得：当时，取最大值，为.【考点】二次函数最值3.已知关于x的一元二次函数(1)设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；(2)设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率.【答案】（1）；（2）【解析】(1)考查古典概型，满足条件的是5个，总的基本事件个数是15个，求两者的比即可；（2）考查几何概型，求出满足条件的区域面积比上总的区域面积即可.试题解析：(1)∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且，若=1则=－1；若=2则=－1，1；若=3则=－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为. 6分(2)由（1）知当且仅当且>0时，函数上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分.由∴所求事件的概率为. 12分【考点】(1)古典概型；（2）几何概型.4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则()A．a>0,4a+b=0B．a<0,4a+b=0C．a>0,2a+b=0D．a<0,2a+b=0【答案】A【解析】由f(0)=f(4)>f(1),可得函数图象开口向上,即a>0,且对称轴-=2,所以4a+b=0,故选A.5.对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范围是() A．(1,3)B．(-∞,1)∪(3,+∞)C．(1,2)D．(3,+∞)【答案】B【解析】f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,由题意知即解得x>3或x<1,故选B.6.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是.【答案】(-2,0)【解析】【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.解：由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远,函数值越大, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.7.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；２、每月处理量为400吨时，平均成本最低.【解析】（1）该项目利润等于能利用的生物柴油价值与月处理成本的差，当时，，故，故该项目不会获利，而且当时，获利最大为，故政府每月至少不要补贴元；（2）每吨的平均处理成本为，为分段函数，分别求每段的最小值，再比较各段最小值的大小，取较小的那个值，为平均成本的最小值．试题解析：(1)当时，设该项目获利为，则，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【考点】1、分段函数；2、二次函数的值域；3、基本不等式.8.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值9.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【答案】D【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.10.已知函数若命题“”为真，则m的取值范围是___.【答案】【解析】命题“”为真，即方程有两个不相等的实数根，且至少有一个正根.因为函数为二次函数，开口向上，且.所以.即m的取值范围是.【考点】一元二次方程根的分布、命题11.设函数在区间上是增函数，则实数的最小值为 .【答案】【解析】函数的图象开口向上，对称轴为，由其在上是增函数得，所以，所以实数的最小值为.【考点】二次函数的单调性.12.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题13.已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题考查一次函数与二次函数图像的关系以及作差法比较大小证明不等式问题，考查学生分析问题解决问题的能力.第一问，先求与轴的交点，由已知得此交点同时也在图像上，所以代入到解析式中，解出的值；第二问，作差法比较与的大小，再用作差法比较与的大小.试题解析：(1)设函数图象与轴的交点坐标为，又∵点也在函数的图象上，∴.而，∴.(4分)(2)由题意可知．∵，∴，∴当时，，即．(8分)又，，且，∴，∴，综上可知，.(13分)【考点】1.作差法比较大小；2.一次函数、二次函数.14.已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，当时取最小值2，又.作出其图象如图所示：结合图形可知：的取值范围是.【考点】二次函数的最值.15.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.16.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.17.已知二次函数.（1）若对任意、，且，都有，求证：关于的方程有两个不相等的实数根且必有一个根属于；（2）若关于的方程在上的根为，且，设函数的图象的对称轴方程为，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）先构造新函数，利用证明方程有两个不相等的实数根，然后利用存在定理证明方程必有一个根属于，即利用来证明；（2）将的代入方程得到的表达式，结合证明.试题解析：（1）构造函数，由于函数为二次函数，所以，对于二次函数而言，，若，则有且有，从而有，这与矛盾，故，故方程有两个不相等，由于，，所以，由零点存在定理知，方程必有一个根属于；（2）由题意知，化简得，即，则有，，由于，则，故，即.【考点】1.二次方程根的个数的判断；2.零点存在定理；3.二次函数图象的对称轴18.若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中 ( ) A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1【答案】B【解析】若则不妨设，于是即，作图如图所示，显然可以发现点满足的区域有，于是，即在两个函数值中至少有一个小于1.【考点】本小题主要考查根的分布、零点、函数的图象等知识点，考查学生的理解、分析能力19.已知函数，若,且，则的最小值是 .【答案】【解析】画出函数图象，从图象上可知，所以由可得，所以，设，，当时，，当时，，所以函数在上的最小值为.【考点】二次函数、导数的应用.20.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由二次函数在区间上为减函数，则，即．【考点】二次函数的性质．21.函数在区间上是增函数,则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的增区间为 ,由已知可得⋯①,⋯②由①②得: .【考点】二次函数的单调区间,不等式运算.22.对一元二次方程的两个根的情况，判断正确的是A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于－2，另一根大于2C．两根都小于0D．两根都大于2【答案】A【解析】，所以该方程的两个根一个小于1，一个大于3.【考点】本小题主要考查一元二次方程的根的判断.点评：解决本小题的关键是根据已知条件得出，通过解一元二次不等式即可得根的情况，要注意数形结合的应用.23.（本题满分12分）设函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋5(a＞0)．(1)已知f(x)在R上是单调函数，求a的取值范围；(2)若a＝2，且当x∈[1,2]时，f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) 0＜a≤6 ；(2) [15，＋∞)．【解析】(1)f′(x)＝3x2－ax＋3， 2分其判别式Δ＝a2－36.当0＜a≤6时，f′(x)≥0恒成立， 4分此时f(x)在R上为增函数． 6分(2)a＝2时，f′(x)＝3x2－2x＋3＞0恒成立，因此f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 8分从而f(x)在[1,2]上递增，则f(x)＝f(2)＝15， 10分max要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立，只需15≤m，解得m∈[15，＋∞)．故m的取值范围是[15，＋∞)． 12分【考点】利用导数研究函数的单调性。
高中数学二次函数知识点总结
二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbx ax y ++=2（2）顶点式nm x a y ++=2)(（3）两根式))((21x x x x a y --=1若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11a b c ==-=-B．3,12,11ab c ===C．3,6,11a b c ==-=D．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c=++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x 且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231fx x =--的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24b ac b a a --；对称轴2b x a=-；（2）若a>0，且△=b 2-4ac≤0，那么f (x)≥0，2bx a=-时，2min4()4ac b f x a-=；（3）若a>0，且f (x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x 0∈(-∞，+∞)，使得f (x 0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c=++，如果()()12fx fx =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2b a -B．ba-C．cD．244ac b a -变式2：函数()2fx xp x q=++对任意的x 均有()()11fxfx+=-，那么()0f 、()1f-、()1f的大小关系是（）A．()()()110f f f<-<B．()()()011fff<-<C．()()()101f ff<<-D．()()()101f f f -<<y变式3：已知函数()2fx a x b x c=++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0>a ，x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增当0<a ，x∈(－∞，－b2a ]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x的单调区间；(2)求()fx ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242fx x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是()A．3a ≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-变式2：已知函数()()215fx x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x k x=-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设()()02>++=a c bx axx f，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<<n abm <-<2即[]n m ab,2∈-n m ab<<-2()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,maxminmax ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min（2）若[]nmab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,maxmax =，()()(){}n f m f x f ,minmin=另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2)求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223fx xx =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A．[)1,+∞B．[]0,2C．[]1,2D．(),2-∞变式2：若函数234y x=-+的最大值为M，最小值为m，则M +m 的值等于________．变式3：已知函数()224422fx x a x a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．变式4：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2)定义域为[]2,1-．变式5：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．3220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．()20,4-C．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式6：函数y=cos2x+sinx 的值域是__________．变式7：已知二次函数f (x)=a x 2+bx（a、b 为常数，且a ≠0），满足条件f (1+x)=f (1－x)，且方程f (x)=x 有等根．(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m <n），使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n 的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111fx m x mx =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax xx f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a-．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c=0时，)(x f y =是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
函数单调性经典题目含解析及答案
答案： (3,)或[3,)
3、已知 f (x) x2 2x 3, g(x) f (5 x2 ) ，试求 g(x) 的单调区间
解析：复合函数的单调性，当复合函数内外层单调区间不同时，以外
层函数为界限。
答案：单调减区间为 (,2), (0,2) ，单调增区间 (2,0), (2,) 4、函数 y 2 在区间[2,4] 上的最大值和最小值
答案：[0, 1]
5
8、已知 f (x) | x a |在 (,1) 上是单调函数，则 a 的取值范围 解析： f (x) | x |是偶函数，可以画图像利用图像平移的特点来判断 答案： (,1] 9、若 y (2k 1)x b 是 R 上的减函数，则 K 的取值范围。 解析：利用一元一次函数的图像 答案： (, 1)
x2 2x 1, x [0,)
解析：利用函数图像法求单调区间及最小值
答案：函数的单调增区间为 (,0), (0,) ，最小值为 f (0) 1
7、函数 f (x) ax2 2(a 1)x 2 在区间 (,4] 为减函数，则 a 的取值范围
解析：利用一元两次函数的开口方向及对称轴或一元一次函数
x
解析：利用函数单调性
答案：20。 20、函数 f (x) 2x2 mx 1在区间[1,4]上是单调函数，则实数 m 的取值
范围
解析：二次函数对称轴与区间关系
答案： m 4或m 16
21、若 f (x) x2 bx c ， f (1) 0, f (3) 0
（1）求 b,c 的值
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第四节 二次函数与幂函数 Word版含答案
第四节 二次函数与幂函数2019考纲考题考情1．幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数。
(2)幂函数的图象比较：2．二次函数(1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)。
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。
(2)图象与性质：与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是Error!(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是Error!(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min 。
一、走进教材1．(必修1P 79习题T 1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点，则k ＋α＝( )(12，22)A ．B ．1C ．D ．21232解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1。
又f (x )的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k ＋α＝1＋＝(12，22)(12)221212。
故选C 。
32答案 C2．(必修1P 38B 组T 1改编)函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1，1]，则y 的最小值为________。
解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3＝22－的图象的对称轴为(x －32)32直线x ＝>1，所以函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上为单调递减函32数，所以y min ＝2－6＋3＝－1。
答案 －1二、走近高考3．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x ＋ax 1＋b ，M ＝x ＋ax 2＋b 。
二次函数的增减性及最值的典型试题
二次函数的增减性及最值的典型试题一.选择题1.函数y=-2χ2-8x+m的图象上有两点A(x1，y1),B(x2,y2),若-2VXlVX2，则( )A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.v、、y2的大小不确定2.已知二次函数y=aχ2-2ax+1(a<0)图象上三点A(-1,y1),B(2,y2)C(4,y3),则力、V2、丫3的大小关系为( )A.yι<y2<y3B.y2<yι<y3C.y1<y3<y2D.y3<yι<y23.已知(-1,yι),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2χ2-8x+m上的点，则( )A.y,<y2<y3B.y3<y2<y,C.y3<yι<y2D∙y2<y3<yι4.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线尸一1/2A2+2X上，则下列结论正确的是()A.y,<y2<y3B.y2<y,<y3C.y3<yι<y2D.yι<y3<y25.设A(-2,yι),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+3上的三点，则力，V2,丫3的大小关系为( )A.yι>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y3>y,>y2:6.)A.y,<y2B.y1>y2C.y,≥y2D.y t≤y27.若点A(m,y,),B(m+1,y2)都在二次函数y=ax?+4ax+2(a>O)的图象上，且y,<y2,则m的取值范围是( )A.m>-5/2B.m≥-2C.m<-1D.m≤-38.若二次函数y=aχ2+bx+c(a≠O)的图象上有两点，坐标分别为(x∣,y,),(x2,y2),其中x∣VX2,yy2VO,则下列判断正确的是( )A.a<OB.a>OC.方程aχ2+bx+c=O必有一根X。
2020年高考数学(理)函数与导数 专题04 二次函数及其性质(解析版)
函数与导数04 函数 二次函数及其性质一、具体目标：1.掌握二次函数的图象与性质,2.会求二次函数的最值(值域)、单调区间. 二、知识概述：二次函数1.一元二次方程的相关知识：20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式： ；判别式与根的关系：________________________； 求根公式：_____________________；韦达定理：____________________.ac b 42-=∆；⎪⎩⎪⎨⎧∈<∆==∆≠>∆φx x x x x ,0,0,02121；aac b b x242-±-=；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 2.二次函数的相关知识： 2(0)y ax bx c a =++≠定义域：________________________； 值域：________________________； 对称轴方程：____________________； 顶点坐标：____________________； 与y 轴的交点坐标：______________. 二次函数的顶点式：______________.二次函数的零点式：__________________；与x 轴的交点坐标：_______________________；定义域：R ； 值域：),44[,02+∞->abac a ；]44,(,02ab ac a --∞< 【考点讲解】对称轴方程：ab x 2-=； 顶点坐标：)44,2(2a b ac a b --； 与y 轴的交点坐标：),0(c .二次函数的顶点式：h k x a y +-=2)(.二次函数的零点式：))((21x x x x a y --=；与x 轴的交点坐标：)0,24(2aacb b -±-； 3.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的单调性：当0a >时，单调增区间是___________；单调减区间是__________. 当0a <时，单调增区间是___________；单调减区间是__________.0>a 时),2(+∞-a b ；)2,(a b --∞．0<a 时)2,(a b --∞；),2(+∞-ab4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在某一闭区间上的最值： 首先确定二次函数的顶点：_______________ ①若顶点的横坐标在给定的区间上，则：0a >时，在顶点处取得最____值，为_______，在离对称轴较远的端点取得最____值. 0a <时，在顶点处取得最____值，为_______，在离对称轴较远的端点取得最____值.②若顶点的横坐标不在给定的区间上，则：0a >时，最___值在离对称轴较近的端点处取得，最___值在离对称轴较远的端点处取得. 0a <时，最___值在离对称轴较近的端点处取得，最___值在离对称轴较远的端点处取得.)44,2(2a b ac a b --；①小，a b ac 442-，大；大，ab ac 442-，小 ②小 大 大 小5.考点探析：从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.6.温馨提示：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 7.根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： （1）已知三个点的坐标，可选用一般式；（2）已知顶点坐标、对称轴、最大或最小值，可选用顶点式； （3）已知抛物线与x 轴的两交点坐标，可选用两点式. 【常见题型】1.二次函数的解析式：（1）已知二次函数的图象经过三点错误!未找到引用源。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知，关于的函数，则下列结论中正确的是（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】A【解析】函数=，可知：当时，函数有最大值，故答案选A．【考点】二次函数的值域.2.若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y)是y＝f(x)图象的对称中心，且x∈，求点A的坐标．【答案】(1)m＝－或m＝，a＝2(2)或.【解析】（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为的形式，根据T=可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b 可求m的值．（2）若点A（x0，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈，求出x＝,利用0≤≤，求出点A的坐标．.试题解析：解：.(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝sin2ax＝，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝；由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，由0≤≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的对称性．3.设在上的最大值为p，最小值为q，则p+q=【答案】2【解析】解：因为令，则所以，为上的奇函数，它的图象关于原点对称，设其最大值为，则其最小值为；所以，的最大值为，最小值为所以，故答案应填：2.【考点】函数奇偶性的应用.4.已知函数对任意实数恒有且当时，有且.(1)判断的奇偶性；(2)求在区间上的最大值；(3)解关于的不等式.【答案】(1)奇函数；(2)；(3)当时，当时，当时，当时,【解析】(1)赋值法：先令，再令(2)根据以及当时，有，利用函数单调性的定义判断得出为上的减函数；并由单调性求其最值;(3)由（1）和（2）的结论，先将不等式化为；再由函数的单调性转化为关于的不等式对的不同取值，分别讨论不等式的解.试题解析：解（1）取则取对任意恒成立∴为奇函数.（2）任取，则又为奇函数∴在（－∞，+∞）上是减函数.对任意，恒有而∴在[－3，3]上的最大值为6（3）∵为奇函数，∴整理原式得进一步可得而在（－∞，+∞）上是减函数，当时，当时，当时，当时,【考点】1、赋值法解决抽象函数的有关问题；2、函数单调性的定义；3、分类讨论的思想.5.已知在区间上是增函数，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的图像是开口向上以为对称轴的抛物线，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，故A正确。
函数单调性和二次函数解析版
专题3 函数的单调性【知识回顾】1．函数在区间上增加(减少)的定义2．单调区间、单调性和单调函数的概念 (1)函数的单调区间如果y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)函数的单调性如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．【典例应用】类型一 用定义判断或证明函数的单调性【例1】 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上为减函数．[思路探究] 在(0,1)上任取x 1，x 2且x 1＜x 2，通过作差比较法证明f (x 1)＞f (x 2)． [解] 任取x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1 ＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x 2，由0<x 1<x 2<1，得x 2－x 1>0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0， 所以，f (x 2)－f (x 1)<0， 于是f (x 2)<f (x 1)．根据减函数的定义知，f (x )在(0,1)上为减函数．练习：对于例1中的函数，证明其在区间(1，＋∞)内是增函数．[证明] 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x 2，由x 2>x 1>1，得x 2－x 1>0，x 1x 2－1>0，x 1x 2>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0， 于是f (x 2)>f (x 1)，根据增函数的定义知，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． 类型二 已知函数的单调性求参数的取值范围【例2】 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋1在区间(－∞，4]上单调递减，求实数a 的取值范围．[思路探究] 求出f (x )的单调递减区间，利用集合之间的关系求解． [解] ∵f (x )＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋1. ∴f (x )的单调递减区间是(－∞，1－a ]． 又f (x )在区间(－∞，4]上单调递减， 则(－∞，4]⊆(－∞，1－a ]， ∴1－a ≥4，解得a ≤－3.练习1．设函数f (x )＝(1－2a )x ＋1是R 上的增函数，则有( ) A ．a <12 B ．a >12 C ．a <－12D ．a >－12A [依题意，1－2a >0，解得a <12.]2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1ax ，x >1是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．－3≤a ≤－2 [依题意，⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a1，类型三 利用单调性求函数的最大(小)值【例3】 求函数f (x )＝2x ＋1x ＋1在区间[1,3]上的最大值与最小值．[思路探究] 先判断函数f (x )在区间[1,3]上的单调性，再利用单调性求最值． [解] f (x )＝2x ＋1x ＋1＝2(x ＋1)－1x ＋1＝2＋－1x ＋1.其图像如下：由上图知，f (x )在区间[1,3]上递增， 所以，f (x )max ＝f (3)＝2＋－13＋1＝74； f (x )min ＝f (1)＝2＋－11＋1＝32. 练习 求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最值． [解] f (x )＝x x －1＝(x －1)＋1x －1＝1＋1x －1.其图像如下：由上图知，f(x)在[2,5]上递减，所以，f(x)max＝f(2)＝2；f(x)min＝f(5)＝5 4.【等级过关练】1．函数f(x)的部分图像如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是()A．－1,3B．0,2C．－1,2 D．3,2C[当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.]2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝1x D．y＝－|x＋1|B[y＝3－x，y＝1x，y＝－|x＋1|在(0,2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．]3．已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0 C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0A[因为y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.] 4．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )D [因为a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，所以a 2＋1>a ，又f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a 2＋1)<f (a )．] 5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图像上的两点，那么|f (x ＋1)|<1的解集是( )A ．(1,4)B ．(－1,2)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B [因为|f (x ＋1)|<1，所以－1<f (x ＋1)<1，由题意知，0<x ＋1<3， 所以－1<x <2.]6．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．f (－3)>f (－π) [由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0， 可知函数f (x )为增函数，又因为－3>－π， 所以f (－3)>f (－π)．]7．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{x ＋1,3－x }(x ∈R )的最小值是________．2 [函数f (x )的图像如图(实线部分)，故f (x )的最小值为2.]8．若函数y ＝kx ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则k ＝________.1 [当k >0时，y ＝kx ＋1是增函数，所以，3k ＋1＝4，k ＝1； 当k ＝0时，不合题意；当k <0时，y ＝kx ＋1是减函数，所以，k ＋1＝4，k ＝3(舍去)． 综上得，k ＝1.]9．用定义证明函数f (x )＝1x是减函数． [证明] f (x )的定义域是(0，＋∞)，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝x 1－x 2(x 1＋x 2)x 1x 2，由x 2>x 1>0，得x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0， 所以，f (x 2)－f (x 1)<0， 于是f (x 2)<f (x 1)．根据减函数的定义知，f (x )是减函数． 10．判断函数f (x )＝x －2x ＋1(x ≥0)的单调性，并求出值域． [解] f (x )＝x －2x ＋1＝x ＋1－3x ＋1＝1－3x ＋1，设0≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 2＋1＝3x 2＋1－3x 1＋1＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，因为0≤x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )＝x －2x ＋1在[0，＋∞)上为增函数．f (x )min ＝f (0)＝－2，无最大值． 画出函数的大致图像，如图所示，知函数f (x )＝x －2x ＋1(x ≥0)的值域为[－2,1)． 专题4 二次函数的图像【知识回顾】1．函数y ＝x 2与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像间的关系二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍得到．其中a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小． |a |越大，开口越小．2．函数y ＝ax 2(a ≠0)与函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像 y ＝ax 2――――――――――――→h >0向左平移h 个单位h <0，向右平移|h |个单位y ＝a (x ＋h )2――――――――――――→k >0，向上平移k 个单位k <0，向下平移|k |个单位y ＝a (x ＋h )2＋k .【典例应用】类型一 二次函数图像间的变换【例1】 若把函数y ＝x 2－6x ＋6图像的横坐标缩小到原来的12倍，得到图像C 1，再把C 1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图像为C 2，试写出图像C 2的解析式．[解] y ＝x 2－6x ＋6―――――――→横坐标缩小到原来的12倍y ＝(2x )2－12x ＋6＝4x 2－12x ＋6――――――→纵坐标扩大到原来的2倍y 2＝4x 2－12x ＋6，即y ＝8x 2－24x ＋12.所以图像C 2的解析式为y ＝8x 2－24x ＋12.练习 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝x 2－2x ＋1的图像，则b ＝________，c ＝________.－6 6 [二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数为y ＝(x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ＋3.整理得，y ＝x 2＋(b ＋4)x ＋7＋2b ＋c ， 又y ＝x 2－2x ＋1， 则⎩⎨⎧b ＋4＝－2，7＋2b ＋c ＝1， 解得⎩⎨⎧b ＝－6，c ＝6，∴b ＝－6，c ＝6.]类型二 求二次函数的解析式【例2】 已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且过点P (2,0)，求这个函数的解析式．[思路探究] 已知二次函数的图像的顶点(1，－3)，可设其解析式为y ＝a (x －1)2－3，再利用其图像过点(2,0)求a .[解] 因为二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)， 所以，可设其解析式为y ＝a (x －1)2－3. 又其图像过点P (2,0)， 则a (2－1)2－3＝0， 解得a ＝3.所以，这个函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3.练习1．已知二次函数的图像与x 轴的交点为A (－1,0)和B (1,0)，且与y 轴的交点为(0，－1)，求这个函数的解析式．[解] 因为二次函数的图像与x 轴的交点为A (－1,0)和B (1,0)， 所以，可设其解析式为y ＝a (x －1)(x ＋1)． 又其图像与y 轴的交点为(0，－1)， 则a (0－1)(0＋1)＝－1， 解得a ＝1.所以，这个函数的解析式为y ＝(x －1)(x ＋1)＝x 2－1.2．已知二次函数的图像过点A (1,1)，B (0,2)，C (3,5)，求这个函数的解析式． [解] 设这个函数的解析式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，所以，这个函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2. 类型三 二次函数图像的应用【例3】 求函数f (x )＝x |x －1|的单调区间．[思路探究] 画出函数f (x )的图像，通过观察函数的图像求其单调区间． [解] f (x )＝x |x －1|＝⎩⎨⎧x 2－x ，x ≥1，－x 2＋x ，x <1.其图像如下：观察图像，得f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，[1，＋∞)．递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.练习：如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的一部分，图像过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的序号是________．①④ [由该函数图像与x 轴交于两点，得b 2>4ac .①正确；因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，即2a－b＝0.②错误；结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；因为图像开口向下，所以，a<0，所以5a<2a＝b.④正确．]【等级过关练】1．用配方法将函数y＝12x2－2x＋1写成y＝a(x－h)2＋k的形式是()A．y＝12(x－2)2－1B．y＝12(x－1)2－1C．y＝12(x－2)2－3 D．y＝12(x－1)2－3A[y＝12x2－2x＋1＝12(x2－4x＋4)－1＝12(x－2)2－1.]2．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图，则此函数的解析式可能为()A．y＝12x2－12x－3B．y＝12x2－12x＋3C．y＝－12x2＋12x－3D．y＝－12x2－12x＋3A[由图像可知，抛物线开口向上，a>0，顶点的横坐标为x＝－b2a>0，故b<0，图像与y轴交于负半轴，故c<0.]3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则()A．a＝1，b＝－4，c＝－11B．a＝3，b＝12，c＝11C．a＝3，b＝－6，c＝11D．a＝3，b＝－12，c＝11D [由题意c ＝11，－b 2a ＝2，44a －b 24a ＝－1，所以a ＝3，b ＝－12.]4．将抛物线y ＝2(x －4)2－1如何平移可得到抛物线y ＝2x 2( )A ．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C [抛物线y ＝2(x －4)2－1的顶点是(4，－1)，抛物线y ＝2x 2的顶点是(0,0)，图像平移时，把点(4，－1)平移至(0,0)．故选C.]5．函数y ＝ax ＋1与y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图像可能是( )C [当a >0时，y ＝ax 2＋bx ＋1开口向上，y ＝ax ＋1递增且过(0,1)点，D 不符合，C 符合要求．当a <0时，y ＝ax 2＋bx ＋1开口向下，y ＝ax ＋1递减且过(0,1)点，A 、B 不符合，故选C.]6．若函数f (x )＝ax 2＋2x －4的图像位于x 轴下方，则a 的取值范围是________．a <－14 [依题意，⎩⎨⎧a <0，Δ＝4＋16a <0，解得a <－14.] 7．如果一条抛物线的形状与y ＝13x 2＋2的图像形状相同，且顶点坐标为(4，－2)，则它的解析式是________．y ＝±13(x －4)2－2 [依题意，二次项系数为±13，又顶点为(4，－2)，故其解析式为y ＝±13(x －4)2－2.]8．把函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位长度，得到函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝________.1 [依题意，m －2＝－1，解得m ＝1.]9．通过配方，把二次函数由一般式化成顶点式，并写出对称轴方程与顶点坐标．[解] 设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a 2＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ， 其对称轴方程为x ＝－b 2a ，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a . 10．由函数y ＝2(x －1)2＋1的图像通过怎样的变换可以得到函数y ＝x 2的图像？[解] y ＝2(x －1)2＋1――――――――――→向左平移1个单位长度y ＝2x 2＋1――→向下平移1个单位长度y ＝2x 2――――――――――→横坐标不变纵坐标变为原来的12倍y ＝x 2.。
2函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。
（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。
（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。
二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。
二次函数知识点及重点题练习答案解析
答案
基础训练
1
3
1.函数 y= 的大致图象是( B ).
【解析】取值验证可知,函数
1
y= 3 的大致图象是选项
B 中的图象.
答案
解析
2
2.若二次函数 y=-2x -4x+t 的图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是( C ).
A.-4
B.4
C.-2
D.2
【解析】∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上,∴Δ=16+8t=0,可
2.五种常见幂函数的图象
答案
3.幂函数的性质
(1)当 α>0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (0,0) 和 (1,1) ,在(0,+∞)上
是 增函数 .在第一象限内,当 α>1 时,图象下凹,当 0<α<1 时,图象上凸.
(2)当 α<0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (1,1) ,在(0,+∞)上是 减函数 .
4
2
∴h(m)=
-2m +
2
17 3
4
, < m ≤ 1,
4
3
-3 + 4m + 2,0 < m ≤ .
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
当 a≠0 时,f(x)图象的对称轴为直线
3-
x= ,
函数的单调性例题和答案
函数的单调性【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 【典型例题】例1．(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( D) A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a < 提示：2a -1<0时该函数是R 上的减函数.(2)函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( A )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象(3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 提示：0a b +≤可转化为a b ≤-和b a ≤-在利用函数单调性可得D. (4) 如下图是定义在闭区间上的函数()y f x = 的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5] 提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并. (5) 函数223y x x =+-的单调减区间是(,3]-∞-提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域. 例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和（2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+ 当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=--即22(1)4(13)(1)4(13)x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和(1) (2)例3．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数．证明：设1212,x x R x x ∈<且则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++12x x <因为 210x x ->所以，且在 1x 与 2x 中至少有一个不为0，不妨设 20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以 故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数例4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。
数学函数的单调性与最值试题答案及解析
数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A．B．C．．D．【答案】C【解析】是奇函数，故A错；是偶函数，但是在不具有单调性，故B错；是偶函数，但是的图像在(0,+∞)上是单调递增的，故选择C.【考点】本题考察函数单调性、奇偶性等基础知识，意在考察学生运用数形结合思想的能力.2.定义在上的函数是它的导数，且恒有成立，则（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】构造函数，则．由已知可得在上为增函数，，故选D．【考点】本题考查函数与导数等知识，意在考查应用导数研究函数的单调性，进而比较数式的大小的能力.3.下列函数中，在内单调递增，并且是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由二次函数的图象和余弦函数的图象知，和在无单调性，故A，B错；在单调递增，但无奇偶性，故D错；由的图象知，C正确．【命题意图】本题考查函数的单调性和奇偶性等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力．4.新课标理）若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.5.辽宁理）（已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则A．B．C．D．【答案】B【解析】由得整理得：解得：，可得，又，又图象可知==，-=A-B=-16，故选B【考点】本题考查数形结合的思想，二次函数的性质。
6.湖南理）已知，函数。
（1）记求的表达式；（2）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）（2）存在，a的取值范围是【解析】（1）分类讨论脱掉绝对值以后，利用导数法确定的解析式；（2）利用导数的几何意义以及不等式的性质将问题转化为集合与集合的交集非空即可.（1）当时，；当时，.因此，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；①若，则在上单调递减，；②若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，从而；当时，；当时，，综上所诉，；（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求；当时，在上单调递减，在上单调递增. 若存在，使曲线在、两点处的切线相互垂直，则，且，即，亦即*；由得，故*成立等价于集合与集合的交集非空；因为，所以当且仅当，即时，，综上所诉a的取值范围是【考点】本题考查分段函数、导数与函数的单调性、导数的结合意义、函数与方程思想，考查学生的转化与化归能力以及逻辑推理能力.7.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.8.设函数，则函数的零点个数为个．【答案】3【解析】将的图象向上平移个单位得的图象，由图象可知，有3个零点.9.设函数.（1）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设，若对任意、，有，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）当，，时，，，在区间内存在零点，又当时，，在区间是单调递增的，在区间内存在唯一的零点；（2）当时，，对任意、都有等价于在上的最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：（i）当时，即时，，与题设矛盾！（ii）当，即时，恒成立；（iii）当，即时，.综上所述，.10.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.【答案】（1）（2）当时，在,单调递减，在,单调递增；当时,在单调递减当时，在单调递减，在单调递增；【解析】（1）当时，，此时， 2分，又，所以切线方程为：，整理得：；分（2）， 6分当时，，此时，在,单调递减，在,单调递增； 8分当时，，当即时在恒成立，所以在单调递减； 10分当时，，此时在,单调递减，在单调递增； 12分综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时在单调递减. 13分11.已知a＞0，b R，函数．(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) ．【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。
二次函数单调性
二次函数单调性一、选择题1．抛物线y ＝x 2－mx ＋m －2与x 轴交点的情况是( )A ．无交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．无法确定【解析】 因x 2－mx ＋m －2＝0的判别式Δ＝(－m )2－4(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4>0，故方程有不相等的两个根．【答案】 C2．函数f (x )＝ax 2＋2(a －3)x ＋1在区间(－2，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．(－∞，－3]C ．[－3,0)D ．[－2,0]【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－6x ＋1显然成立；当a ≠0时，要使f (x )在(－2，＋∞)上是减函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2(a －3)2a ≤－2，解得－3≤a <0.综上可知，a 的取值范围是[－3,0]．【答案】 A3．函数f (x )＝x 2－mx ＋4(m >0)在(－∞，0]上的最小值是( )A ．4B ．－4C ．与m 的取值有关D ．不存在 【解析】 由于f (x )的对称轴为x ＝m 2>0，f (x )在(－∞，0]上单调减少，因此，f (x )的最小值是f (0)＝4.【答案】 A4．已知二次函数f(x)＝ax2－6ax＋1，其中a>0，则下列关系中正确的是() A．f(2)<f(3) B．f(2π)>f(π)C．f(5)<f(3) D．f(－1)<f(1)【解析】函数f(x)＝ax2－6ax＋1的对称轴为x＝3，其图像开口方向向上，离对称轴越近，对应的函数值越小．∵2π－3>π－3，∴f(2π)>f(π)．故选B.【答案】 B5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x －0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.56万元C．45.6万元D．45.51万元【解析】设该公司在甲地销售了x辆车，在乙地销售了(15－x)辆车，获得的总利润为y，由题意得y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)．此函数的图像开口向下，对称轴为直线x＝10.2，∴当x＝10时，y取得最大值45.6，即获得的最大利润为45.6万元．【答案】 C二、填空题6．若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于x＝1对称，则b＝________.【解析】由题意知a＋2＝－2，即a＝－4，又1－a＝b－1得b＝6.【答案】 67．(2013·四平高一检测)若f(x)＝－x2＋4x＋k，x∈[0,1]的最大值为2，则f(x)的最小值为________．【解析】由于f(x)＝－x2＋4x＋k＝－(x－2)2＋k＋4，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝k＋3＝2，∴k＝－1，f(x)min＝f(0)＝k＝－1.【答案】－18．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图像与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则下列关于函数f (x )单调性的说法正确的是________(填序号)．①在(－∞，2]上是减少的；②在[2，＋∞)上是增加的；③在(－∞，3)上是增加的；④在[1,3]上是增加的．【解析】 由题意知，f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝0的两根分别x ＝1和x ＝3.所以1＋3＝－a,1×3＝b ，即a ＝－4，b ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，在(－∞，2]上单调减少，在[2，＋∞)上单调增加，故选①②正确．【答案】 ①②三、解答题9．已知：二次函数f (x )与g (x )的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g (x )＝－2x 2－x －2，f (x )图像的对称轴为x ＝－1，且过点(0,6)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )在[－2,3]上的最大值和最小值．【解】 (1)设f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2×(－2)＝－1，c ＝6，∴⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝6， ∴f (x )＝－2x 2－4x ＋6.(2)∵f (x )＝－2(x ＋1)2＋8，x ∈[－2,3]，∴x ＝－1时，f (x )max ＝8，x ＝3时，f (x )min ＝－24.10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R )与销售量(t )的关系可用抛物线表示如图2－4－2.图2－4－2(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．【解】(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋25 2，由t＝0时，R＝0，得a＝－1 2.∴R＝－12(t－5)2＋252(0≤t≤5)；(2)年纯收益y＝－12t2＋5t－0.5－14t＝－12t2＋194t－0.5，当t＝194＝4.75时，y取得最大值10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．11．求二次函数f(x)＝x2－2x＋2在[t，t＋1]上的最小值．【解】∵函数图像的对称轴是x＝1，∴当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1.当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)min＝f(1)＝1.当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t ＋2.∴f (x )min ＝⎩⎨⎧ t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.。
函数的单调性及答案
函数单调性经典例题【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+||【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)axx 21【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小． 2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5) 4°例6是分层讨论，要逐步培养．答案【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+||解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ． 当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x ∈[－1，1]上是．而＝在≥上是增函数．y u 0u∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa--⎧⎨⎪⎩⎪ 若a ＜0时，无解．∴a 的取值范围是0≤a ≤1．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15时为减函数．∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)axx 21- 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()12211222121212211222111111+---+---当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 02112221212121212221221212121222证法一 又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1) 故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，＋∞上是减函数．)【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2．∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出＝＋的图像如图．－．y x 2321x说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小． 2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5) 4°例6是分层讨论，要逐步培养．。
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1．函数 在 上的最小值和最大值分别是（） 1 ,3 ,3（C） ,3（D） , 3
辅导讲义（学生版）
组长签字：
学员编号：年级：高一课时数：3课时
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
授课日期及时段
2015年8月
教学目标
掌握二次函数在闭区间上的最值的求取方法
重点难点
分类讨论思想
教学内容
目录Contents
一、知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
综上，
解析2：由 ，知 ，则 ，
又∵在 上当 增大时 也增大所以
解得
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 ， 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
例9.已知二次函数 在区间 上的最大值为3，求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分 与 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。
（1） ；由图可知
（2） ；由图可知
（3） 时；由图可知
；即
4.轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例6.已知 ，求 的最小值。
解：将 代入u中，得
① ，即 时，
② ，即 时，
所以
（二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
设 ，求 在 上的最大值与最小值。
分析：将 配方，得顶点为 、对称轴为
当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上 的最值：
（1）当 时， 的最小值是 的最大值是 中的较大者。
（2）当 时
若 ，由 在 上是增函数则 的最小值是 ，最大值是
若 ，由 在 上是减函数则 的最大值是 ，最小值是
具体解法为：
（1）令 ，得
此时抛物线开口向下，对称轴方程为 ，且 ，故 不合题意；
（2）令 ，得
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 符合题意；
（3）若 ，得
此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 符合题意。
综上， 或
解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。
图1
如图2所示，若顶点横坐标在区间 上时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值 。
图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间 右侧时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值
综上讨论，
图8
例3.已知 ，当 时，求 的最大值．
解：由已知可求对称轴为 ．
（1）当 时， ．
（2）当 ，即 时，．
根据对称性 若 即 时， ．
例7.已知函数 在区间 上的最大值为4，求实数a的值。
解：
（1）若 ，不符合题意。
（2）若 则
由 ，得
（3）若 时，则
由 ，得
综上知 或
例8.已知函数 在区间 上的最小值是3 最大值是3 ，求 ， 的值。
解法1：讨论对称轴 中1与 的位置关系。
①若 ，则
解得
②若 ，则 ，无解
③若 ，则 ，无解
④若 ，则 ，无解
由 可得 ，显然其顶点横坐标在区间 的左侧或左端点上。
函数的最小值是 ，最大值是 。
图3
例5.(1)求 在区间[-1,2]上的最大值。
(2)求函数 在 上的最大值。
解：(1)二次函数的对称轴方程为 ，
当 即 时， ；
当 即 时， 。
综上所述： 。
(2)函数 图象的对称轴方程为 ，应分 ， ， 即 ， 和 这三种情形讨论，下列三图分别为
例1.函数 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数 是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是 ，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，
如图1所示。函数的最大值为 ，最小值为 。
图1
练习.已知 ，求函数 的最值。
解：由已知 ，可得 ，即函数 是定义在区间 上的二次函数。将二次函数配方得 ，其对称轴方程 ，顶点坐标 ，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 内，如图2所示。函数 的最小值为 ，最大值为 。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当 时
当 时
3、轴变区的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4.已知 ，且 ，求函数 的最值。
解：由已知有 ，于是函数 是定义在区间 上的二次函数，将 配方得：
二次函数 的对称轴方程是 顶点坐标为 ，图象开口向上
图2
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。
解：函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有 ，此时，当 时，函数取得最小值 。
若 即 时， ．
（3）当 即 时， ．
综上，
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。
当 时，可类比得结论。
二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。