正多面体
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M27-01d□ 正多面体 正多面体，或称柏拉图立体， 指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都 是一样的凸多面体。 因此对于每两个顶点来说都有一个等距的映射将其中一点映射到另一点。 命名由来 正多面体的别称柏拉图立体是因柏拉图而命名的。 柏拉图的朋友特埃特图斯告诉柏拉图 这些立体，柏拉图便将这些立体写在《提玛友斯》内。正多面体的作法收录《几何原本》的 第 13 卷。在命题 13 描述正四面体的作法，命题 14 就是正八面体，命题 15 为立方体，命 题 16 是正二十面体，命题 17 是正十二面体。 判断依据 判断正多面体的依据有三条： （1）正多面体的面由正多边形构成 （2）正多面体的各个顶角相等 （3）正多面体的各条棱长都相等 这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体，虽然和正十二 面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不相等因此不是正多面体。 正多边形都是轴对称图形，正偶数边形既是轴对称图形又是中心对称图形 如果 n 是偶数，则这些轴线中有一半经过相对的顶点，另外一半经过相对边的中点。 如果 n 是奇数，则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。例如：正多边形的 周长与它的外接圆的直径的比值，与直径长短无关。古代数学家正是利用这一性质，逐次倍 增正多边形的边数， 使正多边形的周长趋近它的外接圆的周长， 从而求得了圆周率的近似值。 M27-02d□ 柏拉图体 正四面体：表面积、体积、二面角角度、外接球半径、内接球半径 边长为立方体边长的√2，其体积为立方体体积的 1/3 立方体：同上 当正八面体在立方体之内，正八面体体积:立方体体积=1:6 正八面体、正十二面体、正二十面体：同上 M27-03t□ 阿基米德体（半正多面体） 半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体。 半正多面体的每个顶点的情 况相同，共有 13 种。阿基米德曾研究半正多面体（虽然其研究纪录已佚） ，故有人将半正多 面体唤作阿基米德立体。因为面是由正多边形组成的，每个相邻的正多边形的边长相等，故 半正多面体的边均有相同长度。 三六六式多面体 8 面 三八八式多面体 14 面 四六六式多面体 14 面 三四三四式多面体 14 面 四六八式多面体 26 面 三四四四式多面体 26 面 三五三五式多面体 32 面 五六六式多面体 32 面 三十十式多面体 32 面 三三三三四式多面体 38 面 三四五四式多面体 62 面
M27-08t□ 凹的均匀多面体 柏拉图体、阿基米德体、卡塔朗体等都是凸的均匀多面体，另外还有一些凹的均匀多面 体，这里列举两例。
不久（1751 年）欧拉严格证明了上述公式——人称它为欧拉公式。数学界将 V+F-E=2 称为欧拉示性数。 用欧拉公式证明正多面体只有 5 种 证明：对于正多面体，假设它的各面都是正 n 边形，而且每一个顶角处有 r 个边相遇。这样 就有： nF=2E (1) rV=2E (2) (1)的右边系数 2 是因为每边出现在 2 面中， （2）的右边系数 2 是因为每边通过 2 个顶角。 把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：
四六十式多面体 62 面 三三三三五式多面体 92 面 M27-04t□ 对偶多面体 连结任何正多面体的相邻两面的中心，就形成对偶多面体。非常巧的是，除正四面体的 对偶体仍为正四面体外， 正方体与正八面体互为对偶体， 正十二面体与正二十面体也互为对 偶体。 M27-05d□ 卡塔朗体 卡塔朗立体是对偶的半正多面体，都是凸多面体。1865 年比利时数学家欧仁·查理·卡 塔朗最先描述它们。因为其对偶多面体半正多面体点匀称而面不匀称，卡塔朗立体，面匀称 而点不匀称。只有两个边匀称的卡塔朗立体：菱形十二面体和菱形三十面体。目前共计有 13 种卡塔兰立体，其对偶多面体均为半正多面体(阿基米德立体)。 M27-06t□ 会徽上的失误 美国数学会是一个拥有两万多名会员的组织（学术团体） ，在世界上影响较大。 1924 年美数学会会刊《美国数学月刊》创立，创刊号上刊登了美国数学会会徽，这是 一个以正 20 面体为主旨的图案，几十年来人们对它的权威性从未怀疑过。 上个世纪 80 年代初，美国华盛顿大学的布兰高·格林鲍华从当时民主德国的一枚邮票 上，发现票面图案中的正 20 面体图案有误：正 20 面体原本有一个基本特点：同一个平面内 的棱或交于一点或彼此平行，但邮票上的图案不是那样。 格氏立刻想到美数学会会徽上的图案，看后他不禁惊呆了，数学会的会徽上的图案，竟 然绘错了，更令人不解的是：它竟然错了五十多年而无人发现。 当他将问题指出后，美数学会终于将会徽图案作了修正。一个错了近 60 年的象征美国 数学会的会徽终于得以改正。 M27-07d□ 多面体的欧拉公式 欧拉 欧拉 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士， 在那里受教育。 他一生大部分时间在俄罗斯帝国和 普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再 返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计 75 卷。欧拉实际上支配了 18 世纪的数学， 对于当时的新发明微积分， 他推导出了很多结果。 在他生命的最后 7 年中， 欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。 欧拉公式的发现 1750 年一个阴雨连绵的日子，数学家欧拉（Euler,L.）坐在桌前，摊开书本，拿起纸、 笔又在演算数学问题——这是一道涉及长方体的立体几何题目。 演算完毕， 他漫不经心地看 着所画图形且计算着该长方体中顶点数 8、面数 6 和棱数 12 间的关系。 思来算去他发现：8+6-12=2.随后眼睛一亮：这也许正是这类几何体的共性？ 接着欧拉又从去角立方体和三棱锥中发现： 顶点数+面数-棱数=4+4-6=2。 他又找来几个（凸的）几何体一一计算后发现，对（凸）多面体而言： 顶点数（V）+面数（F）-棱数（E）=2，即 V+F-E=2. 随即他便将此发现写信告诉另一位数学家哥德巴赫（Goldbach,C.） ，信中流露出他发现 此公式时的惊喜。
或
（3） 显然 n≥3，r≥3，因为多边形至少有三边，而在每顶角处也至少有三边。但 n＞3，且 r＞3 又
是不可能的，因为那样就要有 于 3。
，可是 E＞0。所以 r 和 n 中至少有一个等
设 ห้องสมุดไป่ตู้=3，那末
，因此 r=3,4,5,由是 E=6，12，30，而 F=4，8，20，这就给出了正
四面体，正八面体和正二十面体。
设 r=3，那末
，因此 n=3,4,5，由是 E=6，12，30，而 F=4，6，12，这就给
出了正四面体，正六面体（即立方体）和正十二面体。 欧拉公式的拓展延伸 事实上， 任何中间没有 “孔” 的多面体 （即拓扑等价于球体的多面体都适用于这一公式。 这种关系称为欧拉公式，它在更高的维度中的泛化在拓扑学中也比较重要。 这个公式也适用于平面上的地图， 假设我们将超出地图的无穷区域看作额外的面， 或者 忽略这个“面”并用等式 F-E+V=1 代替公式，此等式与上面的公式其实是一样的，只不过这 样更直观一些。我们将这个表达式称为“欧拉的地图公式” 。
M27-08t□ 凹的均匀多面体 柏拉图体、阿基米德体、卡塔朗体等都是凸的均匀多面体，另外还有一些凹的均匀多面 体，这里列举两例。
不久（1751 年）欧拉严格证明了上述公式——人称它为欧拉公式。数学界将 V+F-E=2 称为欧拉示性数。 用欧拉公式证明正多面体只有 5 种 证明：对于正多面体，假设它的各面都是正 n 边形，而且每一个顶角处有 r 个边相遇。这样 就有： nF=2E (1) rV=2E (2) (1)的右边系数 2 是因为每边出现在 2 面中， （2）的右边系数 2 是因为每边通过 2 个顶角。 把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：
四六十式多面体 62 面 三三三三五式多面体 92 面 M27-04t□ 对偶多面体 连结任何正多面体的相邻两面的中心，就形成对偶多面体。非常巧的是，除正四面体的 对偶体仍为正四面体外， 正方体与正八面体互为对偶体， 正十二面体与正二十面体也互为对 偶体。 M27-05d□ 卡塔朗体 卡塔朗立体是对偶的半正多面体，都是凸多面体。1865 年比利时数学家欧仁·查理·卡 塔朗最先描述它们。因为其对偶多面体半正多面体点匀称而面不匀称，卡塔朗立体，面匀称 而点不匀称。只有两个边匀称的卡塔朗立体：菱形十二面体和菱形三十面体。目前共计有 13 种卡塔兰立体，其对偶多面体均为半正多面体(阿基米德立体)。 M27-06t□ 会徽上的失误 美国数学会是一个拥有两万多名会员的组织（学术团体） ，在世界上影响较大。 1924 年美数学会会刊《美国数学月刊》创立，创刊号上刊登了美国数学会会徽，这是 一个以正 20 面体为主旨的图案，几十年来人们对它的权威性从未怀疑过。 上个世纪 80 年代初，美国华盛顿大学的布兰高·格林鲍华从当时民主德国的一枚邮票 上，发现票面图案中的正 20 面体图案有误：正 20 面体原本有一个基本特点：同一个平面内 的棱或交于一点或彼此平行，但邮票上的图案不是那样。 格氏立刻想到美数学会会徽上的图案，看后他不禁惊呆了，数学会的会徽上的图案，竟 然绘错了，更令人不解的是：它竟然错了五十多年而无人发现。 当他将问题指出后，美数学会终于将会徽图案作了修正。一个错了近 60 年的象征美国 数学会的会徽终于得以改正。 M27-07d□ 多面体的欧拉公式 欧拉 欧拉 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士， 在那里受教育。 他一生大部分时间在俄罗斯帝国和 普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再 返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计 75 卷。欧拉实际上支配了 18 世纪的数学， 对于当时的新发明微积分， 他推导出了很多结果。 在他生命的最后 7 年中， 欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。 欧拉公式的发现 1750 年一个阴雨连绵的日子，数学家欧拉（Euler,L.）坐在桌前，摊开书本，拿起纸、 笔又在演算数学问题——这是一道涉及长方体的立体几何题目。 演算完毕， 他漫不经心地看 着所画图形且计算着该长方体中顶点数 8、面数 6 和棱数 12 间的关系。 思来算去他发现：8+6-12=2.随后眼睛一亮：这也许正是这类几何体的共性？ 接着欧拉又从去角立方体和三棱锥中发现： 顶点数+面数-棱数=4+4-6=2。 他又找来几个（凸的）几何体一一计算后发现，对（凸）多面体而言： 顶点数（V）+面数（F）-棱数（E）=2，即 V+F-E=2. 随即他便将此发现写信告诉另一位数学家哥德巴赫（Goldbach,C.） ，信中流露出他发现 此公式时的惊喜。
或
（3） 显然 n≥3，r≥3，因为多边形至少有三边，而在每顶角处也至少有三边。但 n＞3，且 r＞3 又
是不可能的，因为那样就要有 于 3。
，可是 E＞0。所以 r 和 n 中至少有一个等
设 ห้องสมุดไป่ตู้=3，那末
，因此 r=3,4,5,由是 E=6，12，30，而 F=4，8，20，这就给出了正
四面体，正八面体和正二十面体。
设 r=3，那末
，因此 n=3,4,5，由是 E=6，12，30，而 F=4，6，12，这就给
出了正四面体，正六面体（即立方体）和正十二面体。 欧拉公式的拓展延伸 事实上， 任何中间没有 “孔” 的多面体 （即拓扑等价于球体的多面体都适用于这一公式。 这种关系称为欧拉公式，它在更高的维度中的泛化在拓扑学中也比较重要。 这个公式也适用于平面上的地图， 假设我们将超出地图的无穷区域看作额外的面， 或者 忽略这个“面”并用等式 F-E+V=1 代替公式，此等式与上面的公式其实是一样的，只不过这 样更直观一些。我们将这个表达式称为“欧拉的地图公式” 。