正多面体
正十二面体折法
正十二面体折法
正十二面体是一种由 12 个面组成的正多面体，它由一个正方体切割而来。
以下是一种简单的折法:
1. 将一张方形纸对角线对折，然后展开，使对角线相交于一点。
2. 将纸张沿着相交点对折，使得纸张中心线与对角线重合。
3. 将纸张向左侧折叠一半，然后向右侧展开。
4. 将纸张向右侧折叠一半，然后向左侧展开。
5. 将纸张向上方折叠一半，然后向下方展开。
6. 将纸张向下方折叠一半，然后向上方展开。
7. 将纸张向左侧折叠一半，然后向右侧展开。
8. 将纸张向右侧折叠一半，然后向左侧展开。
9. 将纸张向上方折叠一半，然后向下方展开。
10. 将纸张向下方折叠一半，然后向上方展开。
11. 将纸张向左侧折叠一半，然后向右侧展开。
12. 将纸张向右侧折叠一半，然后向左侧展开。
完成后，正十二面体就会出现啦！。
UG 正多面体建模
UG6.0正多面体建模正多面体又称柏拉图立体,由欧拉定理可证明正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共五种，均由古希腊人发现。
根据正多面的性质我用UG6.0整理出了建模方法,文中多处运用编辑对象显示和隐藏命令而又没说明，请大家不要奇怪，除此之外任一命令都有说明，有不妥之处希望大家批评指正。
1.计算法2.拉伸法一.正四面体 3.通过曲线组法4.正方体对角线法1.计算法正多面体具有高度对称性,从立体几何角度解析,很容易理解面夹角的关系,也算是从几何中找到了根本吧。
为便于分析构建了如上图正四面体线框,正四面体各面夹角相等,只要求出任两面夹角,在UG6.0中通过两次旋转,N 边曲面再缝合后便能得到正四面体.由上图知线段DF 垂直于线段AD 且∠CAD 就是面1与面2的夹角。
求出∠BAD 再乘以2就是面1与面2的夹角。
线段AB 是正四面体棱切球半径等于4/2a ,线段BD 等于内切球半径12/6a (注a 是正四面体棱长)。
所以∠BA D＝Arcsin 4/212/6a a ＝35.2644°，再乘以2等于70.5288°。
（如若计算的不够精确在UG 6.0里可能不能有效缝合)①引用几何体在草图里创建任一正三角形，而且还要确定出过中心的矢量，下一步作为矢量，角度栏里是计算的角度值。
②引用几何体③N边曲面④缝合2.拉伸法选择拉伸命令进入拉伸草图环境,画任一正三角形,完成草图。
拉伸参数如上图。
这种方法操作少面且结果直接是实体简单,只要明白70.5288度的由来,这种方法使用性更广。
3.通过曲线组在草图环境下画任一正三角形,通过派生曲线,找到三角形中心,完成草图。
建模环境下过中心画一直线垂直于正三角形且长度为边长的3/6倍,这条直线就是正四面体的高。
通过曲线组法建立的也是实体正四面体,这种方法操作起来有点小麻烦,但这种方法本身具有鲜明的特点。
4.正方体对角线法画任一正方体,连接DE,EB,BD,DG,EG,BG。
几种正多面体的相互呼应
几种正多面体的相互呼应南师附中江宁分校 韦恩培近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。
1、 常用的三种正多面体的呼应众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。
在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2） 在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3） 在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。
图（1） 图（2） 图（3）图（4）图（6）相互转化的目的。
2、应用呼应解题在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。
例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。
例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为 （ ） A ．2a πB ．222a π C ．221a πD ．241a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为a 22的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。
例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为 。
正多边形展开图
正多面体的制作- -
所谓正多面体是指多面体的各个面均呈全等正多边形、每个正多面体的各边的长和顶角的交角均相等。
常见正多面体有：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，数学家尤拉(Euler)，在1752年发现各种正多面体均有的关系：面数＋顶角数＝边数＋２；学生也可经由实际折纸来「验证一下」。
制作方法：
(1) 材料：如「西卡纸」之类的厚纸板、双面胶、圆规（利用其针尖戳洞）、剪刀（或美工刀）、铅笔（或原子笔）
(2) 步骤：
1.将「各种平面展开图」（可先影印放大）覆盖于西卡纸上
2.以圆规针尖将「展开图」各顶点戳刺复制在西卡纸上
3.用铅笔将西卡纸上的各点连起来（即将「平面展开图」画出来）
4.将「平面展开图」用美工刀或剪刀裁剪下来
5.用刀背在各折线位置画上一刀，可使折纸的动作好作些
6.将各舌边内折之后贴上适当宽度的双面胶，逐一将各多面体黏合起来
多
透视图平面展开图动画
面
体
正
四
面
体
正
六
面
体
八面体
正十二面体
正二十面体
角正二十面体。
数学必修二多面体知识点
数学必修二多面体知识点
数学必修二中关于多面体的知识点包括：
1. 多面体的定义：多面体是由平面多边形围成的立体图形，其中每个多边形都与它相
邻的多边形共有一条边，并且任意两个平面多边形都可以通过共有的边连接起来。
2. 多面体的分类：根据面的形状和特点，多面体可以分为正多面体和非正多面体。
3. 正多面体：所有面都是相等的正多边形，并且每个顶点都是以同样长度的棱相交的。
常见的正多面体有四面体、六面体和八面体。
4. 非正多面体：其中至少有一个面不是正多边形。
例如，五边形棱锥和五边形棱台就
是非正多面体。
5. 多面体的性质：
- 多面体的面数、顶点数和边数满足欧拉公式：面数 + 顶点数 - 边数 = 2。
- 正多面体的晶体系统有限个，非正多面体的晶体系统无穷个。
- 正多面体的所有内角相等，非正多面体的内角不等。
- 定理：正多面体的面数、顶点数和边数都是可以正整数的。
6. 多面体的展开图：将多面体的各个面展开到一个平面上，连接相邻的面的边，形成
的图形称为多面体的展开图。
展开图可以帮助我们计算多面体的表面积和体积。
7. 多面体的表面积和体积计算：
- 表面积：正多面体的表面积等于每个面积乘以面的个数，非正多面体的表面积等于每个面积乘以面的个数再除以2。
- 体积：对于正多面体，可以使用公式V = (1/3) * S * H来计算体积，其中S为底
面积，H为高。
对于非正多面体，需要将其分解为等腰三角形棱锥或棱台来计算体积。
以上是数学必修二中关于多面体的一些主要知识点，希望能对你有所帮助。
正六十四面体有哪些性质
正六十四面体有哪些性质正六十四面体是一种在几何学中相对较为复杂和罕见的多面体。
要了解正六十四面体的性质，我们首先需要明确什么是多面体。
多面体是由若干个平面多边形围成的几何体。
而正多面体，则是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体。
正六十四面体具有以下一些显著的性质：其一，对称性。
正六十四面体具有高度的对称性。
它的对称性不仅体现在旋转对称上，还体现在镜像对称上。
这意味着无论我们将其绕着某个轴旋转一定角度，或者通过某个平面进行镜像反射，它的外观看起来都不会发生变化。
这种对称性使得正六十四面体在美学和数学研究中都具有独特的价值。
其二，面的数量和形状。
正六十四面体拥有 64 个面。
每个面都是全等的正三角形。
这些正三角形的边长相等，内角也都相同，均为 60 度。
其三，顶点和棱的数量。
正六十四面体的顶点数量众多，棱的数量也相应不少。
通过数学计算和推导，可以得出其顶点数和棱数。
顶点数决定了多面体的结构复杂度，而棱数则反映了面与面之间的连接关系。
其四，体积和表面积。
计算正六十四面体的体积和表面积需要运用复杂的数学公式。
由于其形状的特殊性，计算过程并不简单，但通过数学方法可以得出精确的结果。
体积和表面积的数值能够帮助我们更好地理解正六十四面体的大小和规模。
其五，内角和。
正六十四面体的内角和是一个固定的值。
这个值可以通过面的数量和每个面的内角大小来计算得出。
其六，在空间中的填充性质。
正六十四面体在空间中具有一定的填充能力。
也就是说，如果我们用许多相同的正六十四面体来填充空间，可以达到一定的紧密程度。
其七，与其他正多面体的关系。
正六十四面体虽然相对复杂，但它与其他常见的正多面体，如正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体之间存在着一定的数学关联。
通过比较它们的性质和特点，可以更深入地理解多面体的多样性和统一性。
其八，数学推导和证明。
对于正六十四面体的许多性质，都可以通过严格的数学推导和证明来得出。
第八节 空间正多面体
第八节空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。
此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。
何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。
对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。
那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。
【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。
因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。
因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的），当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。
①正三角形，三棱共顶点：设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体；②正三角形，xx顶点：同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体；③正三角形，五棱共顶点：同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体；④正方形，三棱共顶点：同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体；⑤正五边形，三棱共顶点：同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。
【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
简单正多面体问题探究
1、正六面体的截面图
把一些简单的多面体沿着多面体的某些棱 将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多 面体的平面展开图
正十二面体的平面展开图
五 个 正 多 面 体 的 平 面 展 开 图
2、正六面体的平面展开图
B B A
B
A
正六面体的平面展开 图有多少种形状呢？
由于正方体共有12条棱、6个面，剪开表面展成一个 平面图形后，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱） 有5条，因此须且仅须剪开7条棱.尝试各种可行的组合方 式，可以发现正六面体共有下列11种侧面展开方式：
B O C
F
6 同理有， EC BD a ， 4
∴ EA=EB=EC=ED， 高线AO的四等分点E是中心.
问题四
AB、BC、CD、DA各边中点 E、F、G、H 构成正方形四个顶点.
A H D B F C G
证明：∵EF是三角形ABC中位线，
∴ 2EF＝AC,且 EF∥AC，
E
同理2GH＝AC,且 GH∥ AC ， ∴ EF＝HG，且 EF ∥ HG ∴ EFGH是平行四边形. 由问题一知AC⊥BD, AC＝ BD, ∵EF、FG是三角形ABC与BCD的中位线， ∴ EF⊥FG， EF＝FG. ∴ 四边形EFGH是正方形.
正多面体是由古希腊哲学家柏拉图发现的，所以又称正多 面体为柏拉图体，它由全等的正多边形构成．柏拉图证明了宇 宙间只存在五种正多面体．它们的面数分别是四、六、八、十 二和二十．
柏拉图（前４２７—前３４７年），是 古希腊最著名的唯心论哲学家和思想家。据 说，柏拉图在雅典曾开办了一所学园，一边 教学，一边著书，他的学园门口挂着一个牌 子：“不懂几何学者免进”.没有几何学的知识 是不能登上柏拉图的哲学殿堂的.
正多面体的施莱夫利符号
正多面体的施莱夫利符号
正多面体的施莱夫利符号（Schläfli symbol）用于描述和表示不同种类的正多面体的拓扑结构。
它由一组数字构成，每个数字表示每个顶点周围的边的数量。
以下是一些常见正多面体的施莱夫利符号：
1.正四面体（tetrahedron）：{3, 3}，每个顶点周围有3条边。
2.正六面体（hexahedron 或cube）：{4, 3}，每个顶点周围有
4条边。
3.正八面体（octahedron）：{3, 4}，每个顶点周围有3条边。
4.正十二面体（dodecahedron）：{5, 3}，每个顶点周围有5
条边。
5.正二十面体（icosahedron）：{3, 5}，每个顶点周围有3条
边。
施莱夫利符号通过明确和简洁的方式表示了正多面体的拓扑结构，它揭示了每个顶点周围边的数量和种类，对于研究和描述正多面体非常有用。
立体几何同步训练14多面体及欧拉公式
立体几何同步训练14多面体及欧拉公式欧拉公式是在立体几何中一个非常重要的定理，它描述了一个多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。
欧拉公式的形式可以用如下的式子表示：V-E+F=2其中，V代表多面体的顶点数，E代表多面体的边数，F代表多面体的面数。
多面体是指一个由平面多边形所围成的立体体积，根据多边形的数量和形状不同，可以得到不同的多面体，例如正多面体、凸多面体和凹多面体等。
首先，我们来讨论一些常见的多面体。
1.正多面体：所有的面都是相等的正多边形，且每个顶点都相等，例如正方体、正八面体和正二十面体等。
所有的正多面体都具有着完全相同的顶点、边和面的数量。
2.非正多面体：所有的面不都是相等的正多边形，例如长方体、八面体和十二面体等。
相比于正多面体，非正多面体的顶点、边和面的数量可以有所不同。
3.凸多面体：多面体内部的所有点都位于多面体表面的同一侧。
一个常见的例子是立方体，它是一个边相等、面相等且角相等的凸多面体。
4.凹多面体：多面体内部的一些点位于多面体表面的两侧。
一个常见的例子是镂空的球。
根据欧拉公式，我们可以通过任意两个量确定多面体的第三个量。
假设我们知道多面体的顶点数和面数，我们就可以通过欧拉公式计算出边数。
同样地，如果我们知道多面体的边数和面数，我们也可以计算出顶点数。
例如，我们考虑一个正四面体。
它有4个面，因此F=4、每个面都是一个等边三角形，有3条边，所以E=3x4/2=6、通过欧拉公式，我们可以计算出这个正四面体有多少个顶点：V-6+4=2，因此V=4同样地，我们可以计算其他正多面体的顶点数、边数和面数。
欧拉公式在立体几何中有着广泛的应用。
它不仅可以用来计算多面体的未知量，还能帮助我们理解多面体的结构和性质。
在数学研究和实际应用中，欧拉公式发挥着重要的作用，例如在蛋白质结构的研究中，欧拉公式可以用来计算蛋白质的拓扑特性。
总结起来，欧拉公式是立体几何中的一个重要定理，它描述了多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。
正多面体
足球上黑皮是正五边形的，而白皮是正六边形的，如 果其中黑皮有12块，白皮有多少块？
每块黑皮周围有5个白皮， 十二块黑皮共有5×12=60个白皮， 每块白皮用了3次， 因此白皮共有 60÷3=20块。
足球上黑皮是正五边形的，而白皮是正六边形的，如 果其中白皮有20块，黑皮有多少块？
每块白皮周围有3个黑皮， 20块白皮共有3×20=60个黑皮， 每块黑皮用了5次， 因此皮共有 60÷5=12块。
面数 正四面体 正六面体 棱数 顶点数 每顶点 棱数 每面的 形状
正八面体
正十二面体 正二十面体
欧拉公式：面数+顶点数-棱数=2
每顶点 棱数 每面边 数
面数 正四面体
棱数
顶点数
4
6
4
3
3
正六面体
正八面体 正十二面体
6
8 12
12
12 30
8
6 20
3
4 5
4
3 5
正二十面体
20
30
12
3
3
欧拉公式：面数+顶点数-棱数=2
一个多面体有13个面，有34个顶点，这 个多面体有多少条棱边？
13+34-（ 45）=2
答：45条棱边。
一个多面体有15个顶点，31条棱边，这 是一个几面体？
一个8面体有24条棱边，这是在牛、猪的尿脬（suīpāo）里充气或是
在动物的皮囊里塞毛发， • 1872年由英格兰足协首次规定“足球，必须用以 “皮革制作”。 • 足球是通过世界杯的使用而快速发展起来了。
思考： 每个小组实行单循环赛，四支队伍 可以踢几场？
德国 波兰 厄尔瓜多 哥斯达黎加
德国 —— 波兰 德国 —— 厄尔瓜多 德国 —— 哥斯达黎加
用欧拉公式证明只有五种正多面体
用欧拉公式证明只有五种正多面体
正多面体只有正四面体、正八面体、正六面体、正二面何等和正二面体五种。
我们现在来证明，最多只有5个正多面体（如图）
至于确有5个正多面体存在，那是早就知道的事（古希腊柏拉图(Plato)时候）。
图形以及制造模型方法，可以参看史泰因豪斯（Steinhaus）著《数学万花镜》。
①证明对于正多面体，假设它的各面都是正n边形，而且每一个顶角处有r个边相遇。
这样就有：
nF=2E (1)
rV=2E (2)(1)的右边系数2是因为每边出现在2面中，（2）的右边系数2是因为每边通过2个顶角。
把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：
或
（3）显然n≥3，r≥3，因为多边形至少有三边，而在每顶角处也至少有三边。
但n＞3，且r＞3又是不可能的，因为那样就要有，可是E＞0。
所以r和n中至少有一个等于3。
设n=3，那末，因此r=3,4,5,由是E=6，12，30，而F=4，8，20，这就给出了正四面体，正八面体和正二面体。
设r=3，那末，因此n=3,4,5，由是E=6，12，30，而F=4，6，12，这就给出了正四面体，正六面体（即立方体）和正二面体。
正多面体的展开图
兩個不能在同一邊。
參考資料
正多面體
/~cyclcc/science/maths/polyhedron.htm /~leeleung/geom _001.html
報告完畢 謝謝大家
A點
圖一
正四面體
正六面體
正八面體
討論
.正四面體的展開圖總共有兩種
.正六面體的展開圖共有11種 .由四個正三角形所拼成的圖共有三種 .由六個正方形所拼成的圖共有37種
結論
正四面體每個頂點只能接三面正三角形
正六面體每個頂點只能接三面正方形 當正六面體有四個正方形連在一起時，另外
研究方法
1.
2. 3. 4. 5.
電腦、積木、紙、筆在網路上查明正多面體 的特性和資料 用積木拼成其正多面體 用不同的角度切割成展開圖 紀錄其展開圖 觀察其規律
研究過程
我們一開始打算用地毯式的方法,舉例來說：正八面體是要怎 麼找呢？首先從一個三角形慢慢的增加到兩個、三到……… 八個，找出所有展開圖的拼法，又因為正八面体的畫所有頂 點只能圍接4個面，所以我們在展開時會把頂點連結五個面 的圖形停止衍生，如5個三角形可拼成圖一但在A點以連了5 個面，所以停止去拼之後的圖形，列出有可能的圖，最後試 著去拼所有的圖形，把不能拼成正八面體的圖刪除，列出所 有可能性，結果我們發現正八面體的展開圖只有12個，而其 他正多面體也使用此方法。
正多面體ห้องสมุดไป่ตู้展開圖
製作人: 劉廷揚、宋智翰 陳勝峰、林彥男 指導老師: 王嘉瑛
研究目的
了解各個正多面體的展開圖找出共有幾
種，有沒有其規律。 怎樣的展開圖不能拼成正多面體。
研究動機
經常看到生活中有許多和正多面
正多面体及其自同构群
正多面体及其自同构群本文主要应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
标签：正多面体；自同构群；对称一、前言群论是研究对称的学科，正因为如此，它在物理，化学，生物，晶体学等诸多学科中才有着重要的应用。
因此利用群论来研究几何的组合的方法是非常重要的。
从古代希腊时代，人们就已经知道只有五种正多面体，即正四面体，正六面体，正八面体，正是二面体，正二十面体。
我们先给出关于这些正多面体的一些基本事实。
1.正多面体的诸面都是全等的正多边形，正六面体是正方形，正十二面体的面是正五边形，而其他三种正多面体的面是正三角形。
2.正多面体的诸多面角也彼此全等。
3.每个正多面体都内接于一个球，如果它的两个定点的连线经过球心，则称这两个顶点是互相对极的顶点。
4.以一个正多面体诸面的中心作为顶点，相邻两个面中点连线作为边，得到的多面体也是正多面体，叫作原正多面体的对偶。
容易看出，正四面体自对偶，正六面体和正八面体互相对偶，正十二面体和正二十面体互相对偶。
5.正多面体的一个旋转变换如果保持三个顶点不动，则它是恒等变换。
而本文正是通过应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
二、定理设A，B，C，D，E 分别为欧几里得空间中的正四面体，正方形，正八面体，正是二面体，正二十面体。
记Aut（x）为X的旋转变换群。
这样我们就有以下结果：1.Aut（A）= Alt（4），即四次交错群；2.Aut（B）= Sym（4），即四次对称群；3.Aut（C）= Sym（4），即四次对称群；4.Aut（D）= Alt（5），即五次对称群；5.Aut（E）= Alt（5），即五次对称群。
若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献【1-7】。
三、预备知识在本文的证明过程中，我们将要用到以下群论的熟知结果，所以我们列为引理而略去证明。
我们把三维欧式空间理解为实数域上定义了距离函数的三维向量空间，记做R 。
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不久（1751 年）欧拉严格证明了上述公式——人称它为欧拉公式。数学界将 V+F-E=2 称为欧拉示性数。 用欧拉公式证明正多面体只有 5 种 证明：对于正多面体，假设它的各面都是正 n 边形，而且每一个顶角处有 r 个边相遇。这样 就有： nF=2E (1) rV=2E (2) (1)的右边系数 2 是因为每边出现在 2 面中， （2）的右边系数 2 是因为每边通过 2 个顶角。 把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：
四六十式多面体 62 面 三三三三五式多面体 92 面 M27-04t□ 对偶多面体 连结任何正多面体的相邻两面的中心，就形成对偶多面体。非常巧的是，除正四面体的 对偶体仍为正四面体外， 正方体与正八面体互为对偶体， 正十二面体与正二十面体也互为对 偶体。 M27-05d□ 卡塔朗体 卡塔朗立体是对偶的半正多面体，都是凸多面体。1865 年比利时数学家欧仁·查理·卡 塔朗最先描述它们。因为其对偶多面体半正多面体点匀称而面不匀称，卡塔朗立体，面匀称 而点不匀称。只有两个边匀称的卡塔朗立体：菱形十二面体和菱形三十面体。目前共计有 13 种卡塔兰立体，其对偶多面体均为半正多面体(阿基米德立体)。 M27-06t□ 会徽上的失误 美国数学会是一个拥有两万多名会员的组织（学术团体） ，在世界上影响较大。 1924 年美数学会会刊《美国数学月刊》创立，创刊号上刊登了美国数学会会徽，这是 一个以正 20 面体为主旨的图案，几十年来人们对它的权威性从未怀疑过。 上个世纪 80 年代初，美国华盛顿大学的布兰高·格林鲍华从当时民主德国的一枚邮票 上，发现票面图案中的正 20 面体图案有误：正 20 面体原本有一个基本特点：同一个平面内 的棱或交于一点或彼此平行，但邮票上的图案不是那样。 格氏立刻想到美数学会会徽上的图案，看后他不禁惊呆了，数学会的会徽上的图案，竟 然绘错了，更令人不解的是：它竟然错了五十多年而无人发现。 当他将问题指出后，美数学会终于将会徽图案作了修正。一个错了近 60 年的象征美国 数学会的会徽终于得以改正。 M27-07d□ 多面体的欧拉公式 欧拉 欧拉 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士， 在那里受教育。 他一生大部分时间在俄罗斯帝国和 普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再 返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计 75 卷。欧拉实际上支配了 18 世纪的数学， 对于当时的新发明微积分， 他推导出了很多结果。 在他生命的最后 7 年中， 欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。 欧拉公式的发现 1750 年一个阴雨连绵的日子，数学家欧拉（Euler,L.）坐在桌前，摊开书本，拿起纸、 笔又在演算数学问题——这是一道涉及长方体的立体几何题目。 演算完毕， 他漫不经心地看 着所画图形且计算着该长方体中顶点数 8、面数 6 和棱数 12 间的关系。 思来算去他发现：8+6-12=2.随后眼睛一亮：这也许正是这类几何体的共性？ 接着欧拉又从去角立方体和三棱锥中发现： 顶点数+面数-棱数=4+4-6=2。 他又找来几个（凸的）几何体一一计算后发现，对（凸）多面体而言： 顶点数（V）+面数（F）-棱数（E）=2，即 V+F-E=2. 随即他便将此发现写信告诉另一位数学家哥德巴赫（Goldbach,C.） ，信中流露出他发现 此公式时的惊喜。
M27-08t□ 凹的均匀多面体 柏拉图体、阿基米德体、卡塔朗体等都是凸的均匀多面体，另外还有一些凹的均匀多面 体，这里列举两例。
或
（3） 显然 n≥3，r≥3，因为多边形至少有三边，而在每顶角处也至少有三边。但 n＞3，且 r＞3 又
是不可能的，因为那样就要有 于 3。
，可是 E＞0。所以 r 和 n 中至少有一个等
设 n=3，那末
，因此 r=3,4,5,由是 E=6，12，30，而 F=4，8，20，这就给出了正
四面体，正八面体和正二十面体。
设 r=3，那末
，因此 n=3,4,5，由是 E=6，12，30，）和正十二面体。 欧拉公式的拓展延伸 事实上， 任何中间没有 “孔” 的多面体 （即拓扑等价于球体的多面体都适用于这一公式。 这种关系称为欧拉公式，它在更高的维度中的泛化在拓扑学中也比较重要。 这个公式也适用于平面上的地图， 假设我们将超出地图的无穷区域看作额外的面， 或者 忽略这个“面”并用等式 F-E+V=1 代替公式，此等式与上面的公式其实是一样的，只不过这 样更直观一些。我们将这个表达式称为“欧拉的地图公式” 。
M27-01d□ 正多面体 正多面体，或称柏拉图立体， 指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都 是一样的凸多面体。 因此对于每两个顶点来说都有一个等距的映射将其中一点映射到另一点。 命名由来 正多面体的别称柏拉图立体是因柏拉图而命名的。 柏拉图的朋友特埃特图斯告诉柏拉图 这些立体，柏拉图便将这些立体写在《提玛友斯》内。正多面体的作法收录《几何原本》的 第 13 卷。在命题 13 描述正四面体的作法，命题 14 就是正八面体，命题 15 为立方体，命 题 16 是正二十面体，命题 17 是正十二面体。 判断依据 判断正多面体的依据有三条： （1）正多面体的面由正多边形构成 （2）正多面体的各个顶角相等 （3）正多面体的各条棱长都相等 这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体，虽然和正十二 面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不相等因此不是正多面体。 正多边形都是轴对称图形，正偶数边形既是轴对称图形又是中心对称图形 如果 n 是偶数，则这些轴线中有一半经过相对的顶点，另外一半经过相对边的中点。 如果 n 是奇数，则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。例如：正多边形的 周长与它的外接圆的直径的比值，与直径长短无关。古代数学家正是利用这一性质，逐次倍 增正多边形的边数， 使正多边形的周长趋近它的外接圆的周长， 从而求得了圆周率的近似值。 M27-02d□ 柏拉图体 正四面体：表面积、体积、二面角角度、外接球半径、内接球半径 边长为立方体边长的√2，其体积为立方体体积的 1/3 立方体：同上 当正八面体在立方体之内，正八面体体积:立方体体积=1:6 正八面体、正十二面体、正二十面体：同上 M27-03t□ 阿基米德体（半正多面体） 半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体。 半正多面体的每个顶点的情 况相同，共有 13 种。阿基米德曾研究半正多面体（虽然其研究纪录已佚） ，故有人将半正多 面体唤作阿基米德立体。因为面是由正多边形组成的，每个相邻的正多边形的边长相等，故 半正多面体的边均有相同长度。 三六六式多面体 8 面 三八八式多面体 14 面 四六六式多面体 14 面 三四三四式多面体 14 面 四六八式多面体 26 面 三四四四式多面体 26 面 三五三五式多面体 32 面 五六六式多面体 32 面 三十十式多面体 32 面 三三三三四式多面体 38 面 三四五四式多面体 62 面