第七章 小波变换编码的基本方法(上)

图是 j=0, 1 和 2 时尺度函数的部分波形图。
( x) 00 ( x) 的波形
1 0 ( x) 和 11 ( x) 的波形
02 ( x) 、 12 ( x) 、 22 ( x) 和 32 ( x) 的波形
图 哈尔基函数所对应尺度函数的波形
矢量空间 V j 定义为由尺度函数 k (x) 的线性组合生成的函数空
这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析
傅立叶变换（3）
如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质， 一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t)
傅立叶变换（4）
但是，在t＝a，b处存在间断，这会使得傅 立叶变换附加新的高频成分。这种人为引 入的高频成分显然不是我们希望的。
窗口傅立叶变换（1）
小波变换简介
小波变换是Morlett与其他一些学者于1980年针对地震波的分析研究 而共同提出的。
傅立叶变换的缺点在于其时频“窗口”的宽度不随频率的变化而变化。
在实际应用中，窄的时间窗可以更精确的描述信号的高频成分；宽的 时间窗口则有利于对信号低频特性的分析。
在对信号进行时频局部化分析中，需要一个自动随频率变化的时频窗 口。 与傅立叶变换一样，小波变换的基本思想是将信号展开成一族基函数 之加权和，即用一族函数来表示或逼近信号或函数。这一族函数是通 过基本函数的平移和伸缩构成的。
小波变换简介
小波变换的理论基础
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅
立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化
信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩
放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，
通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放
和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小 波和局部信号之间的相关程度。
1, 0 x 1 ( x) 0, 其他
其对应的尺度函数为
k 1 k 1, j x j ，k = 0, 1, 2, ..., 2 j-1 kj ( x) (2 j x k ) 2 2 0, 其他
可见，原始的哈尔基函数 (x ) 相比，由于尺度因子 2 j 的作用， 非 0 区间的长度为 1/2 j 会随着 j 的增加而成倍缩少，面积也以同样的 速度缩小；由于平移因子 k 的作用，非 0 区间会随着 k 平移 k/2 j。
另外有：
Vj1 Vj Wj Vj-1 Wj-1 Wj Vj-2 Wj-2 Wj-1 Wj ... Vj-s Wjs Wj-s 1 ... Wj1 Wj
例：1）哈尔基函数
最简单的基函数是匈牙利数学家 Alfré Haar（哈尔）在 1909 年 d 提出的哈尔基函数——框函数(box function)：
二进制伸缩平移系：
j j j 2 k ( x ) 2 ( 2 x k )
就是 1986 年 Meyer 构造出的平方可积函数空间 L2 的规范正交函数基，其中的 (x) 为基函 数，2
– j
为伸缩因子，k 为平移因子。若固定 j，则函数基中所有函数 k (x) 的形状大小都
连续小波变换
连续小波变换(CWT = Continuous wavelet transform)的定义为：
1 x W f ( a , b) f ( x ) | a | a
dx
其中， a 为缩放因子（对应于频率信息）， τ 为平移因子（对应于时空信息）， (x) 为小波函数（又叫基本小波或母小波），
但随着应用和研究的不断深入，分块DCT变换编码的缺点逐步暴 露出来，尤其在低比特率环境下，压缩图像不可避免地出现了方块效 应和飞蚊噪声。 将小波变换应用于编码，可取得较好效果，其中最经典的算法有：
嵌入式小波零树编码（EZW） SPIHT EBCOT编码方法
傅立叶变换（1）
将信号分解为不同频率的正弦波的叠加
பைடு நூலகம் 小波母函数
设 为一平方可积函数，若其傅立叶变换 满足条件： （可容许性条件） 称 为一个基本小波或者小波母函数。 特点：小；波动性
小波
小波是一个衰减的波形，在有限的区域里 存在，即不为零。且其均值为零。
常见的小波母函数
Haar小波
1, 0 x 0.5 ( x ) 1, 0.5 x 1 0, 其他
傅立叶变换（2）
架起了时域和频域的桥梁
但是经过傅立叶变换之后，信号失去了时 间信息。
FT在信号处理中的局限性
用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时 域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分 的变化情况。例：傅立叶变换频谱图
在不少实际问题中，我们关心的是信号在 局部范围中的特征, 例如： 在音乐信号中人们关心的是什么时刻演 奏什么样的音符； 对地震波的记录人们关心的是什么位置 出现什么样的反射波； 图像识别中的边缘检测关心的是信号突 变部分的位置，即纹理结构。
窗口傅立叶变换（3）
窗口傅立叶变换（4）
另一个缺点是：无论怎样离散化，都不能 使Gabor变换成为一组正交基； 而傅立叶变换经离散化后可得到按正交函 数展开的傅立叶级数。
实际中信号分析的要求：
信号高频部分对应时域中的快变成分，如 陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对 时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分 析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要 求高。
。
2）哈尔小波函数 由框函数所构成的函数基虽然能生成函数空间，但框函数本身并 不是小波函数，因为它不满足无穷积分为 0 的条件。与框函数相对应 的 小 波 函 数 为 前 面 已 经 介 绍 过 的 哈 尔 小 波 函 数 (Haar wavelet functions)：
第七章 小波变换编码的基本方法
7.1 FFT与小波变换 7.2 嵌入式小波零树编码（EZW）
7.3 SPIHT
7.4 EBCOT编码方法
参考文献
S. Mallat. A theory for multiresolution signal decomposition: The wavelet representation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1989, 11 (7) : 674-693 Shapiro, J. M. Embedded Image Coding Using Zerotrees of Wavelet Coefficients, IEEE Trans. SP, vol. 41, no. 12, Dec. 1993, pp. 34453462. A. Said and W. Pearlman, A new, fast and efficient image codec based on set partitioning in hierarchical trees, IEEE Trans. Circuits System, Video Technology, vol. 6, pp. 243–250,June 1996. David Taubman, High performance scalable image compression with EBCOT, Image Processing, IEEE Transactions on , Volume: 9 Issue: 7 , July 2000, Page(s): 1158 - 1170.
(x ) 表示 (x) 的复共轭。
图1 连续小波变换的过程
如同三角函数 sin x 和 cos x 及 e-jx 可以缩放构成函数空间的基底 {sin nx, cos nx}及{ e-jwx }一样，母小波也可以缩放和平移而构成 函数空间的基底：
j 1 x b j 2 j ,k ( x) 2 ( 2 x k ) 及 | a | a
图5 Morlet小波函数(C=5)及其Fourier变换
连续小波基函数
将小波母函数 函数 进行伸缩和平移后得到
称为依赖于参数a,τ的 小波基函数。
例子（1）
可以看到，小波基函数的窗口随着尺度因 子的不同而不同。a增大，时间窗口随着增 大，对应的频域窗口减小，中心频率变低 （见前一页图）。
通常j<=0,因此Vj空间频率小,而Vj+1空间频率大
频率越大分辨率越高
１）多尺度分析MRA（Multi-Resolution Analysis）
(4)
f (t ) Vj f (t k ) Vj
k Z 平移不变性
这里所描述的MRA，实质上是人类视觉系统对物体认识的数学描述。 如， Vj是在某种尺度下我们观察到的物体信息，则当尺度变到到j+1 时(分辨率变高)，我们所观测到的信息是Vj+1，这是可以认为是我们 更靠近所观察的物体，所以Vj+1表示的信息更丰富。
j j
相同，仅有平移，只能表示固定尺度的函数空间 V j，所以也称 j 为尺度因子，称 k (x) 为 尺度函数(scaling function)。
时频窗口形状与参数a的关系。 当a下降时：中心频率上升，频域窗口变宽，时域窗口变窄。 当a上升时：中心频率下降，频域窗口变窄，时域窗口变宽。
这里a=2j ,因此2j 越大,频率越小;2j 越小,频率越大 2j 越大,2-j 越小,频率越小;2-j 越大,频率越大
又称为短时傅立叶变换或Gabor变换 取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，在 有限区间外恒等于0，或者很快的趋近于0
窗函数的举例
Gaussian 函数
1
窗口傅立叶变换（2）
优点： 确实包含了f(t)的全部信息， 并且窗口位置随 而变，符合研究信号局 部性质的要求； 缺点：Gabor窗口的大小和形状保持不变， 与频率无关。但是，在实际中，窗口的大 小应该随着频率的变化而变化。
j
间（显然是分段的等间隔台阶函数，每段的长不小于 1/2 j）：
V j SP{ kj ( x)}, k 0,1,2,..., 2 j 1
因为 j 越大，尺度函数越窄（分段 1/2 j 越细），能表示的函数就 越多，所以有 V j V
j 1
，即矢量空间 V j 是嵌套的：
j 1
V 0 V1 V j V
小波变换的特点有： 时频局域性、多分辨分析、数学显 微镜 自适应窗口滤波：低频宽、高频窄
时频窗口形状与参数a的关系。 当a下降时：中心频率上升， 频域窗口变宽，时域窗口变窄。 当a上升时：中心频率下降， 频域窗口变窄，时域窗口变宽。
图2 窗口傅立叶变换与小波变换的时频特征
小波系数的意义
图3 Haar小波函数及其Fourier变换
墨西哥草帽(Mexican hat)小波：
d ( x) 2 e dx
2 x2 2
图4 墨西哥草帽小波函数及其Fourier变换
Morlet小波(Jean Morlet，1984年)：
( x) e
jC x
e
x2 2
,C 5
小波变换可以被看作是傅立叶变换的发展，它是空间（时间）和频率 的局部变换。
小波变换与编码
基于分块DCT变换的压缩编码技术是已有图像和视频压缩标准JPEG、 MPEG-1、MPEG-2的核心技术，这主要有两个方面的原因：
(1)DCT具有良好的去相关性和能量集中特性；
(2)DCT变换存在快速算法。
表示信号与尺度a小波的相关程度。小波系 数越大，二者越相似。
连续小波变换的简单步骤
选择尺度a确定的小波，与信号开始的一段 比较 计算小波系数 向右移动小波，重复以上两步，直至处理 完所有信号 增大尺度因子a，重复上述三步
图示
离散小波变换
将连续小波变换的缩放因子a离散化，得到二进小波变换；再将其平 移因子Ʈ也离散化，就得到离散小波变换。