曲线积分与曲面积分PPT课件

2、 x 2 yzds,其中 L为折线 ABCD,这里 A , B , C , D 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；
3、 ( x 2 y 2 )ds,其中 L为曲线 L
x a(cos t t sin t)

y

a(sin
t

Байду номын сангаас
t
cos
2
2
例3 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
z k的一段. (0 2)
解
I
2
a2 cos sin k
a2 k 2d
0
1 ka2 a2 k2 . 2
例3 求I x2ds, 其中为圆周 x2 y2 z2 a2 , x y z 0.

L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.


其中 F Pi Qj , ds dxi dyj .
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n

P( x,
y, z)dx

lim
0
i 1
P(i ,i
解 由对称性, 知 x2ds y2ds z2ds.



故 I 1 ( x2 y2 z2 )ds 3
a2

ds 2a3 . (2a
ds, 球面大圆周长)
3
3

练习题
1、 e x2 y2 ds,其中 L为圆周 x 2 y 2 a 2 ,直线 y x L 及 x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
t
)
(0 t 2 )；
练习题答案
1、ea (2 a) 2； 4
2、9；
3. 22a3 (1 22 )；
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义:
函数 P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标 x 的曲线积分
n
L
P( x,
y)dx

lim
0
i 1
P(i ,i
对弧长的曲线积分L f ( x, y)ds 存在.
3.推广
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的 曲线积分为
n

f ( x, y, z)ds

lim
0
i 1
f (i ,i , i ) si .
4.性质
(1) L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. (2) L kf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数).

ab a2 b2
a u2du
b
(令u
a2 sin2 t b2 cos2 t )
ab(a2 ab b2 ) . 3(a b)
例2 求I L yds,
y2 4x
其中L : y2 4x,从(1,2)到(1,2)一段.
解
I
2
y
1 ( y)2dy 0.
,
i
)xi
.
n
Q( x,
y,
z)dy

lim
0
i 1
Q(i
, i
,i
)yi
.
n

R(
x,
y,
z)dz

lim
0
i 1
R(i
, i
,i
)zi
.
5.性质
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
L Pdx Qdy L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy.
曲线积分与曲面积分
一、对弧长的曲线积分的概念
1. 定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分
n
L
f (x,
y)ds
lim 0
i 1
f (i ,i ) si .
y
A o
B L Mn1
(i ,i ) Mi M2 M1 Mi1
x
2.存在条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,
续,
L的参数方程为
x y

( t ), ( t ),
当参数t单调地由变
到时,点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具有一阶连
续导数,且 2 (t) 2 (t) 0,则曲线积分
L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
(2) 设 L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
6、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
例1
求I

L xyds,
L
:
椭圆
x y
a cos t, bsin t,
(第象限).

解 I 2 a cos t b sin t (a sin t)2 (b cos t)2dt 0

ab 2 sin t cos t a2 sin2 t b2 cos2 tdt 0
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L
L1
L2
(L L1 L2 ).
5、对弧长曲线积分的计算
定理
设 f ( x, y)在曲线弧L上有定义且连续,
L的参数方程为
x y


( t ), ( t ),
( t )其中
)xi
n
类似地定义
Q(
L
x,
y)dy

lim
0
i 1
Q(i
,i
)yi
.
其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段.
2.存在条件： 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧L 上连续时, 第二类曲线积分存在.
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
(t), (t)在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2 (t) 2 (t)dt
L

( )
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.