1.3.2 函数的奇偶性
1.3.2函数的奇偶性
教学课题 教学时长 1.3.2《函数的奇偶性》 15 分钟 课型 授课人 高一新课 景琦
教学目标
【知识与技能】 1. 了解奇偶函数的概念及表达式，能判断一些简单函数的奇偶性 2. 能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题 【过程与方法】 经过奇偶性概念的形成过程， 提高观察抽象能力以及从特殊到一般地 归纳概括能力 【情感态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美 一、教学重点 函数奇偶性的概念和几何意义 二、教学难点 会判断一个函数的奇偶性 探究教学法 （一） 新课导入 出示一组轴对称和中心对称的图片 （二） 新课讲授 探究一 观察下图，思考并讨论以下问题 （1） 这两个函数图像有什么共同特征吗？
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
f −3 = 9 = f 3 , f −2 = 4 = f 2 , f −1 = 1 = f(1) 对 于 R 内 任 意 的 一 个 x ， 都 有 f −x = (−������)2 = ������ 2 = ������(������) , 则 称 函 数 f x = ������ 2 为偶函数 定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做偶函数 思考？ 请你仿照这个过程，说明函数 f(x)=|x|也是偶函数 （三） 例题讲解 例：判断下列函数是否为偶函数? f(x)=������ 4 解：对于函数 f(x)=������ 4 ，其定义域为（ − ∞， + ∞）） 因为对定义域内的每一个 x，都有f −x = (−������)4 = ������ 4 = ������(������) 所以，函数f x = ������ 4 为偶函数 （四） 课堂练习 判断下列函数是否为偶函数 （1） f x = 2������ 4 + 3������ 2 （2） f x = ������ 3 − 2������ （五） 课后小结 这节课你学到了什么？ （六） 布置作业 课后练习 1-（4） 1.3.2 函数的奇偶性 板书设计 1. 偶函数的定义 2. 例题 3. 课堂练习 多 媒 体 投 放 区
第一章 1.3.2 第1课时 奇偶性的概念
第一章 1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.2.重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( )2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.()3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.()4.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.()题型一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝1x； (2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.反思感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，－x 也一定属于定义域.其次验证f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.题型二 利用函数的奇偶性求函数值(参数)例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( )A.13B.98C.1D.无法确定 (2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________.延伸探究1.本例(1)的条件改为“f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数”，求f ⎝⎛⎭⎫12的值.2.把本例(2)的条件“f (－3)＝－3”换为“f (d )＝10”，求f (－d )的值.(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )(f (x )为奇函数)或f (－x )＝f (x )(f (x )为偶函数)列式，比较系数即可求解.跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________. 答案 1解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋x ，即ax 2＋x ＝x 2＋x ，∴a ＝1.题型三 奇、偶函数图象的应用例3 定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f (x )的图象；(2)解不等式xf (x )>0.反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练3 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出函数f (x )在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.1.下列函数是偶函数的是( )A.y ＝xB.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1,1]2.函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y ＝－x 对称C.坐标原点对称D.直线y ＝x 对称 3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )4.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.5.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________.1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1.下列函数中奇函数的个数为( )①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x 2. A.1 B.2 C.3 D.42.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A.(3，－2)B.(3,2)C.(－3，－2)D.(2，－3)3.设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数4.f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A.f (－x )＋f (x )＝0B.f (－x )－f (x )＝－2f (x )C.f (－x )·f (x )≤0D.f (x )f (－x )＝－1 5.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A.－3B.－1C.1D.36.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A.f (x )＋|g (x )|是偶函数B.f (x )－|g (x )|是奇函数C.|f (x )|＋g (x )是偶函数D.|f (x )|－g (x )是奇函数7.若f (x )＝a －22x ＋1是定义在R 上的奇函数，则a 的值为( ) A.0 B.－1 C.1 D.2答案 C解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0即f (0)＝a －220＋1＝0，∴a ＝1.8.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()A.－2B.2C.1D.09.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.10.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________.11.函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c x＋5，满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________.三、解答题12.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.13.(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值.(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并比较f (1)与f (3)的大小.14.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 15.函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明.。
1.3.2函数的奇偶性
是偶函数但不是奇函数
既是奇函数又是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数.
(3)奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶
练习:
–3
思考：
如图，给出了偶函数 2 y＝f (x)的局部图象， 试比较f (-1)与 f (3) 的 –1 O x 大小.
y
已知偶函数 f (x )在 [ 3,1] 上是减函数， 试问：它在 [1,3] 上是增函数还是减函数？
x f(x)= x2
-3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9
x
f(x)=|x|
-3 -2 -1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3
一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域内 的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x), 那么称函 数 y f ( x) 是偶函数（even function）；
小结：
• 1.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称 然后在找f(x)与f(-x)间的关系 • 2.奇函数，偶函数作一些简单运算后会 出现一些规律 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶
y
3 2 1
y
f(x) = x
3 2 1
1 f ( x) xxFra bibliotek1 2
x
-2 -1
O
1
2
-2
-1
O
这两个函数图象有什么共同特征？
一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域 内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x), 那么 称函数是奇函数（odd function）；
判断函数f (x)＝x2，x∈[－2, 1] 的奇偶性
高中数学：第一章 1.3.2 函数奇偶性 (42)
1.3.2奇偶性课标要点课标要点学考要求高考要求1.奇函数、偶函数的概念b b2.奇函数、偶函数的性质c c知识导图学法指导1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系．3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.知识点奇、偶函数1．偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象关于(0,0)对称．()(2)奇函数的图象关于y轴对称．()(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－x C．y＝1x3D．y＝－x2＋14解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为()A．－2 B．2 C．0 D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．答案：(2)(4)(1)(3)类型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－1，x<0，0，x＝0，x＋1，x>0.【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由⎩⎨⎧1－x2≥0，x2－1≥0得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－1，－x<0，0，－x＝0，－x＋1，－x>0，即f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x＋1)，x>0，0，x＝0，－(x－1)，x<0.于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝1－x2x；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x>0，－x＋1，x<0.解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝1－(－x)2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．根据函数奇偶性定义判断．类型二函数奇偶性的图象特征例2设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．【解析】由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}．【答案】{x|－2<x<0或2<x≤5}根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集．方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．跟踪训练2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．由图象可知f (1)<f (3)．方法二 由图象可知f (－1)<f (－3)． 又函数y ＝f (x )是偶函数， 所以f (－1)＝f (1)，f (－3)＝f (3)，故f (1)<f (3)．方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小； 方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图象判断大小．类型三 利用函数奇偶性求参数例3 (1)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________； (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________.【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知 f (－x )＝－f (x )，即(－x ＋1)(－x ＋a )－x＝－(x ＋1)(x ＋a )x . 显然x ≠0得，x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 故a ＋1＝0，得a ＝－1.方法二(特值法) 由f (x )为奇函数得 f (－1)＝－f (1)，即(－1＋1)(－1＋a )－1＝－(1＋1)(1＋a )1， 整理得a ＝－1.(2)(特值法) 由f (x )为奇函数， 得f (－1)＝－f (1)，[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝2x 2－3 B ．y ＝x 3 C ．y ＝x 2，x ∈[0,1] D ．y ＝x解析：对于A ，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴f (x )是偶函数，B ，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )解析：选项A 中的图象不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故排除；选项C ，D 中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B 中的函数图象关于y 轴对称，是偶函数，故选B.答案：B4．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必过(－a ，f (a ))．表述正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：偶函数的图象一定关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，例如，函数f (x )＝x 0，其定义域为{x |x ≠0}，故其图象与y 轴不相交，但f (x )＝x 0＝1(x ≠0)是偶函数，从而可知①是错误的，③是正确的． 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过坐标原点，例如，函数f (x )＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，可知其图象不经过坐标原点，但f (x )＝1x 是奇函数，从而可知②是错误的．若点(a ，f (a ))在奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象上，则点(－a ，－f (a ))也在其图象上，故④是错误的．答案：A5．如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0解析：由图知f (1)＝12，f (2)＝32，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则k 等于________．解析：由于函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，因此k －1＝0，k ＝1.答案：17．给出下列四个函数的论断： ①y ＝－|x |是奇函数；②y ＝x 2(x ∈(－1,1])是偶函数；解得b＝0.答案：0三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x2x－1；(2)f(x)＝x2－x3；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．解析：(1)∵函数f(x)＝x3－x2x－1的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．(3)方法一(定义法)函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．方法二(根据图象进行判断)f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x≥2，－2x，－2<x<2，4，x≤－2，画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象．解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x，(x>0)0，(x＝0)－x2－2x，(x<0)(2)图象如图：[能力提升](20分钟，40分)11．定义两种运算：a b＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，则函数f(x)＝2x(x⊗2)－2为()A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数解析：由定义知f(x)＝4－x2(x－2)2－2＝4－x2|x－2|－2，由4－x2≥0且|x－2|－2≠0，得－2≤x<0或0<x≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，关于原点对称；f(x)＝4－x22－x－2＝－4－x2x，f(－x)＝－4－x2－x＝－f(x)．故f(x)是奇函数．故选A.答案：A12．若f(x)是[－2,2]上的偶函数，在(0,2]上为增函数，且f(m－1)>f(m＋1)，则m的取值范围为________．解析：∵f(x)为偶函数，。
1.3.2函数奇偶性
§1．3．2函数的奇偶性学习目标：1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养自己观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养自己从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 重点和难点分析：重点：函数的奇偶性及其几何意义难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 问题导学：预习教材P 33----P 36, 并找出疑惑之处。
1. 明确偶函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否偶函数2. 明确奇函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否奇函数预习自测：判断下列函数的奇偶性1.2()f x x =2. ()||1f x x =-3. 21)(x x f =4. 2432)(x x x f +=5. x x x f 2)(3-=6. xx x f 1)(2+=7. 1)(2+=x x f学习过程：学习探究思考：“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？1.观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()f x=通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为 ————的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为———— 的折线；函数21()f x x=是定义域为 ————的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于————对称．2.观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳问题：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -是否也在函数图象上?即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标是否一定相等？归纳定义：函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有 ————，那么()f x 就叫做奇函数． 注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．典型例题：例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=-例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x =（2）5()f x x =（3）1()f x x x =+（4）21()f x x=小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系； ③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．判断下列函数的奇偶性：2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材P 35思考题规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例5．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．课堂训练：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+④())f x lg x =（五）归纳小结，整体认识． 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．。
精品教案 1.3.2 奇偶性
1.3.2 奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝x与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y ＝x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课新知探究提出问题(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图1(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？(3)(4)偶函数的图象有什么特征？(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？(6)偶函数的定义域有什么特征？(7)观察函数f(x)＝x和f(x)＝1x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：(1)观察图象的对称性．(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．(3)利用函数的解析式来描述．(4)偶函数的性质：图象关于y轴对称．(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称．(2)f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(4)偶函数的图象关于y 轴对称． (5)不是偶函数．(6)偶函数的定义域关于原点对称．(7)一般地，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．应用示例思路1例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 4； (2)f (x )＝x 5；(3)f (x )＝x ＋1x ；(4)f (x )＝1x2.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )．解：(1)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )， 所以函数f (x )＝x 4是偶函数．(2)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )5＝－x 5＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x 5是奇函数．(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－x ＋1－x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x ＋1x是奇函数．(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )，所以函数f (x )＝1x2是偶函数． 点评：本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数－x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系； ③作出相应结论：若f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0，则f (x )是偶函数；，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝__________.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．利用偶函数的性质f (x )＝f (－x )，将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．解析：当x ∈(0，＋∞)时，则－x ＜0. 又∵当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4， ∴f (x )＝f (－x )＝(－x )－(－x )4＝－x －x 4. 答案：－x －x 4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性．已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]；(2)f (x )＝x 3－x 2x －1；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；(4)f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1.活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x ∈R ，有1＋x 2＞x 2＝|x |≥－x ，则1＋x 2＋x ＞0.则函数的定义域是R .解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵它的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}，并不关于原点对称，∴函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x ＝±2，即f (x )的定义域是{－2,2}． ∵f (2)＝0，f (－2)＝0，∴f (2)＝f (－2)，f (2)＝－f (2)．∴f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )．∴f(x)既是奇函数也是偶函数．(4)函数的定义域是R.∵f(－x)＋f(x)＝1＋x2－x－11＋x2－x＋1＋1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1＝1＋x2－(x＋1)2＋1＋x2－(x－1)2 (1＋x2－x＋1)(1＋x2＋x＋1)＝1＋x2－x2－2x－1＋1＋x2－x2＋2x－1 (1＋x2－x＋1)(1＋x2＋x＋1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(－x)＋f(x)1212)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f ⎝⎛⎭⎫－52与f ⎝⎛⎭⎫74的大小． 活动：(1)转化为证明f (－x )＝f (x )，利用赋值法证明f (－x )＝f (x )；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f ⎝⎛⎭⎫－52和f ⎝⎛⎭⎫74转化为同一个单调区间上的函数值． (1)证明：令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，∴2f (－1)＝0. ∴f (－1)＝0.∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (2)证明：设x 2＞x 1＞0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1. ∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1.∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＞0，即f (x 2)－f (x 1)＞0. ∴f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)解：由(1)知f (x )是偶函数，则有f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫52. 由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f ⎝⎛⎭⎫52＞f ⎝⎛⎭⎫74.∴f ⎝⎛⎭⎫－52＞f ⎝⎛⎭⎫74. 点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性内的任意(课本本节练习，1,2. 【补充练习】1．设函数y ＝f (x )是奇函数．若f (－2)＋f (－1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，则f (1)＋f (2)＝__________.解析：∵函数y ＝f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，f (－1)＝－f (1)． ∴－f (2)－f (1)－3＝f (1)＋f (2)＋3.∴2[f (1)＋f (2)]＝－6.∴f (1)＋f (2)＝－3. 答案：－32．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝__________，b ＝__________.解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a －1＋2a ＝0.∴a ＝13.∴f (x )＝13x 2＋bx ＋1＋b .又∵f (x )是偶函数，∴b ＝0.答案：133．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝－f (2＋2)＝f (2)＝f (2＋0)＝－f (0)． 又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. ∴f (6)＝0.故选B. 答案：B 拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y ＝kx (k ≠0)是奇函数；反比例函数y ＝kx(k ≠0)是奇函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，当b ＝0时是奇函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数； 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数．课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．作业课本习题1.3A 组 6，B 组 3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料 奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立． (3)f (－x )＝f (x )⇔f (x )是偶函数，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )是奇函数． (4)f (－x )＝f (x )⇔f (x )－f (－x )＝0，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )＋f (－x )＝0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数． 奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的奇偶性相同，那么复合函数y ＝f [g (x )]是偶函数，如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的奇偶性相反，那么复合函数y ＝f [g (x )]是奇函数，简称为“同偶异奇”．(6)如果函数y ＝f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有相同的单调性；如果函数y ＝f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有相反的单调性．(7)定义域关于原点对称的任意函数f (x )可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f (x )＝f (x )－f (－x )2＋f (x )＋f (－x )2.(8)若f (x )是(－a ，a )(a ＞0)上的奇函数，则f (0)＝0； 若函数f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)＝f (－|x |)． 若函数y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，则有f (x )＝0.。
人教A版必修一1.3.2函数的奇偶性
链接一：轴对称图形：一个图形绕一条直线翻转180°后，能与原图形重合， 则这个图形称为轴对称图形，这条直线称为这个图形的对称轴. 中心对称图形：一个图形绕一个点旋转180°后，能与原图形重合，则这个 图形称为中心对称图形，这个点称为这个图形的对称中心. 链接二：抛物线 双曲线 直线y=2x的图象（如图所示）都具有对称性.
3.既奇又偶函数的表达式是
定义域A是关于原点对称的非空数集.
4.若奇函数在原点处有定义，则有f（0）=0. 探究要点二：利用定义判断函数奇偶性的步骤 1.求函数f（x）的定义域； 2.判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既 不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； 3.结合函数f（x）的定义域，化简函数f（x）的解析式； 4.求f（－x）； 5.根据f（－x）与f（x）之间的关系，判断函数f（x）的奇偶性. 判断函数奇偶性时要注意： 1.{0}是关于原点对称的，如函数 定义域是{0}，f（x）=0，所以该函数既是奇函数又是偶函数. 2.函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数. 3.有时也根据下面的式子判断函数f（x）的奇偶性：对于定义域内的任意一个x， 若有f（x）－f（－x）=0成立，则f（x）为偶函数；对于定义域内的任意一个x，若 有f（x）+f（－x）=0成立，则f（x）为奇函数.
变式训练2－1：已知f（x）是定义在 上的奇函数，且x>0时， 求x＜0时，f（x）的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0，
类型三：利用函数奇偶性作函数图象 已知函数
（1）如图，已知f（x）在区间
上的图象，请据此在该坐标系中
补全函数f（x）在定义域内的图象，请说明你的作图依据； （2）求证：f（x）+g（x）=1（x≠0）.
1.3.2函数的奇偶性
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1 ) (3) f (x) = x
4
(2) (4)
f (x) = x5 1 f (x) = x2
1 f (x) = x + x
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
(2)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)5=-x=-f(x) 即f(-x)=-f(x)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于 内任意的一个 都有f(-x)=-x=-f(x),这时 内任意的一个x,都有 实际上，对于R内任意的一个 都有 这时 我们称函数y=x为奇函数 我们称函数 为奇函数.
2．奇函数 ．
一般地，对于函数 的定义域内的任意一个x， 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 ， 的定义域内的任意一个 都有f(－ 就叫做奇函数 都有 －x)=-f(x)，那么 就叫做奇函数． ，那么f(x)就叫做奇函数． 注意： 注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的整体性质 整体性质； 函数的奇偶性是函数的整体性质； 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的 由函数的奇偶性定义可知， 一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x， 一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 ，则 也一定是定义域内的一个自变量（ －x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关 也一定是定义域内的一个自变量 于原点对称）． 于原点对称）．
2 , 例如，函数 f (x) = x +1 f (x) = x2 +1都是偶函数，
2
它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
1.3.2 函数的奇偶性
1 1
y=f(x) (x，f(x)) x
-1 O -1 (-x，f(-x))
奇函数的图象特征 以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？
y = x3 (x≠0) y = x3 (x≠1) y = x3 (x≥0) y=x3 (－1≤x≤1)
例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= x5 ； 1 （2）f（x）= x
解: （1）∵函数 f（x）= x5的定义域为 R
∴函数 f（x）= x5的定义域关于原点对称
又∵ f（-x）= (-x)5= - x5 = - f（x）
∴ 函数f（x）= x5为奇函数
例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= x5 ； 1 （2）f（x）= x
函 函数 数 1.3.2 函数的y
f (x) = x3
y f (x) = x2
1 1 -1 O -1
1
x
-1 O -1
1
x
y
3 2 1 2 1 1 2
f (x) = x3
O 1 2 3
x
中心对称图形
y f (x) = x2
1 -1 O -1 1 x
又∵ f ( x )
1 ( x)
2
1 x
2
f (x)
1 ∴ 函数f（x）= x2 为偶函数
1. 函数的奇偶性
定 义
奇函数 偶函数 2. 判断或证明函数奇偶性的步骤 S1 S2
图象特征
求函数定义域，判断定义域关于原点是否对称； 若定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；
函数的奇偶性
1.3.2函数的奇偶性1.3.2函数的奇偶性（第一课时）●课前预习●【知识情景】"对称"是大自然固有的、天然的一种美，也是人类在创造和谐社会中积极打造的一种美，这种"对称美"在数学中有大量的存在，这就奠定了本节所要学习的"函数的奇偶性"的基础。
请同学们阅读教材，然后完成下面的任务.【知识梳理】1. 奇偶函数的定义：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．思考：判断函数的奇偶性．解析：函数是非奇非偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．温馨提示：①定义中的"定义域内的任意一个"说明：函数的奇偶性是函数的整体性质，而非同单调性的区间性质；②定义中的"都有"说明：函数具有奇偶性必须首先满足一个先决条件，即对于定义域内的任意一个，也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数，其中，函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性．④等式的等价形式：．；.据此，可把逻辑推理转换为代数运算.2. 奇偶函数的图象特征：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．思考：函数y＝f(x)(x∈[－2,2])的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)＝.解析：由图象可知f(x)为定义域上的奇函数．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.温馨提示：若一个函数的图象关于轴对称，则此函数是偶函数；若关于原点对称，则为奇函数.3. 奇偶性性质：①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域（非空）上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．②已知函数是奇函数，且有定义，则.●课堂互动●【疑难导析】1．函数的奇偶性的判定例1．判断下列函数的奇偶性（1）；（2）思路分析：根据定义，先验证函数定义域的对称性，再考察．解：（1）函数的定义域为，所以解析式可以化简为，因为所以，函数在上为奇函数。
课件6：1.3.2 第1课时 奇偶性的概念
图象特征
图象关于原点或y轴对称
函数奇偶性的判断
例 1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋1； (2)f(x)＝ x－1＋ 1－x (3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(4)f(x)＝12－x212＋x21－，1x，＞x0＜0
.
[思路分析] (1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么 特点？
1.偶函数和奇函数
偶函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内_任__意___一个x，都有
定 条件
f(－x)＝_f(_x_)_
f(－x)＝－__f_(_x)
义
结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数
图象特征 图象关于_y_轴__对称
图象关于_原__点_对称
2．奇偶性
定义
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么 就说函数f(x)具有_奇__偶__性_
是奇函数．
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1x； (2)f(x)＝－3x2＋1； (3)f(x)＝xx2－＋xx2， ，xx<>00， ； (4)f(x)＝0； (5)f(x)＝2x＋1； (6)f(x)＝xx3－－1x2.
[分析] 根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否 关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条
[解析] (1)因为 f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称， 如图所示．
(2)观察图象，知 f(3)＜f(1)．
当堂检测
1．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： (1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于 原点对称； (2)确定f(－x)与f(x)的关系； (3)作出相应结论． 2．若f(－x)＝f(x)或 f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数． 3．若f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数 4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数 的奇偶性是函数的整体性质．
课件2：1.3.2 第2课时 奇偶性的应用
答案 B
解析 ∵f(x)＝x3是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x3也是奇函 数，∵f(x)＝x3单调递增，∴f(x)＝－x3单调递减，故选B.
3．f(x)为偶函数且在[－4,0]上单调递减，比较f(－π)， f(2)，f(4)的大小________．
x2－2x＋3 x>0， f(x)＝0 x＝0，
－x2－2x－3 x<0.
先画出函数在 y 轴右侧的图像，再根据对称性画出 y 轴左边 的图像．如下图．
由图像可知函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]， [1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
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§1.3.2 函数的奇偶性(第2课时) 奇偶性的应用
题型一 利用奇偶性求值
例 1 已知 f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若 f(－3)＝Fra bibliotek0，则 f(3)＝
()
A．26
B．18
C．10
D．－26
【思路点拨】 观察 f(x)的表达式易发现 g(x)＝x5＋ax3＋bx
为奇函数，可构造函数，由奇偶性求解．
【解析】 设x>0，则－x<0. ∴f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4. ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x－x4.
【答案】 －x－x4
思考题2 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时f(x)＝ －x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，又∵f(x)在(－∞，－1] 上单调递增，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(1.5)>f(2)， 即 f(－1)>f(－1.5)>f(2)．故选 C.
§1.3.2函数的奇偶性
问题3：为什么强调任意和一般？ （说明具有一般性，避免特殊性） 问题4：奇函数的图像有什么特点？ 函数的图像关于)的图像关于原点对称
问题5：如何判断f(x)是奇函数？
1 形----函数图像关于原点对称（图像容易画出的 函数） 2数----利用定义 （1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域 是否关于原点对称 （2） 确定f(x)于f(-x)的关系 （3） 若f(-x)= -f(x)，则f(x)是奇函数 问题6：你能举一些奇函数吗？ 试一试
f ( x) x 1 x
f ( x) x
1 1 ( x ) f ( x ) x x
所以函数
1 f ( x) x x
为奇函数。
（3）函数 f ( x) x2 ，其定义域为 1, 2 ，不关于原 2 点对称，所以函数 f ( x) x , x 1,2 ，既不是奇函 数也不是偶函数。
归纳：函数奇偶性的判断
1形——通过观察函数图像的对称性（对于易画出图 像的函数）
2数-----利用定义
求定义域
定义域是否关于 原点对称 是 在定义域中任取x, 计算 f(-x)，并和f(x)比较 否
偶函数
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x)
非奇非偶
（4）函数 f ( x) x 2 1 1 x 2
函数定义域为：
1,1
x2 1 0 ，由 得： 2 1 x 0
关于原点对称，且f(1)=0,
f(-1)=0,f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0 ，即有： f ( x) f ( x), f ( x) f ( x) ，所以函数 2 2 f ( x) x 1 1 x 既为奇函数，又为偶函 数。
§1.3.2 函数的奇偶性
§1.3.2 奇偶性审核：高一数学组 编号013 时间：2018.10理解函数的奇偶性及其几何意义；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. P 33~ P 36，找出疑惑之处）点(x 0，y 0)关于原点的对称点为(－x 0，－y 0)，关于y 轴的对称点为(－x 0，y 0). 复习1：指出下列函数的单调区间及单调性. （1）2()1f x x =-； （2）1()f x x=复习2：对于f(x)＝x 、f(x)＝x 2、f(x)＝x 3、f(x)＝x 4，分别比较f(x)与f(－x).二、新课导学※ 学习探究：探究任务：奇函数、偶函数的概念 思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x=、3()f x x =； （2）2()f x x =、()||f x x =.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称. 试试：已知函数21()f xx =在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.※ 典型例题：例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x = （2）()f x = （3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x . 小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较.试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f(x)＝x ＋1x； （3）f(x)＝21xx+； （4）f(x)＝x 2, x ∈[-2,3]. 例1、判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x 4； （2）f(x)=x 5； （3）f(x)=x+x1； （4）f(x)=21x. （5）f(x) = x 2，x ∈[–1，3]； （6）f(x) = 0. 活动：利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)4=x 4=f(x)，偶函数.（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)5=-x 5=-f(x), 奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-x+x -1=-(x+x 1)=-f(x)，所以函数f(x)=x+x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=)(12x -=21x =f(x)，所以函数f(x)= 21x 是偶函数.（5）非奇非偶函数， （6）既奇又偶函数。
1.3.2函数的奇偶性
2、如果定义在区间［3－a,5]上的函数f(x)为奇函数， 则a=_____ 8 3、己知函数y=f(x)是偶函数，且在（－∞，0）上是增 函数，则y=f(x)在（0，＋∞）上是（ B ）
A. 增函数
C. 不是单调函数
B. 减函数
D. 单调性不确定
7. 回归拓展，布置作业
两个定义: 对于函数f(x)定义域内的任意一个x
O
x
例1、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴 右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边 的图象. y 解:
O
x
练习 ：已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图 补充完整。
.
.
y
.
0
.
.
y
. f(x)
x
. . . .
0
. . g(x)
x
例2.判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x
1 2 3 x
y
f(x)=x
-2 -1 0 -1 -2 -3
1 f ( x) ( x 0) x
x0
O x0 x
概括猜想，揭示内涵
作出函数f(x)=x2图象，再观察表，你看出了什么？
x y x2
f(1) = 1
f(-1) = 1
… …
－3 9
－2 4
－1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
… …
定义域关于原点对称.
x
3.讨论归纳，形成定义
——偶函数
一般地，如果对于 函数f(x)的定义域内任
f(-x)=f(x)
偶函数
意一个x，都有f(－x)
=f(x)，那么函数f(x)就 叫做偶函数．
1.3.2函数奇偶性修改版 必修一 数学 优秀课件
否
f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函 数或既奇又偶函数。
结论
课堂练习
1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
. . .
y
.
0
.
y
. f(x)
x
. . . .
0. . g(x)x2.判断下列函数的奇偶性：
1 3 (1) f ( x) x 2 ； (2) f ( x) x x； x 2 (3) f ( x) x 1 x [1,3]； (4) f ( x) 0.
例2.判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x) x x 1 (2) f ( x) 2 x
1 1 , 其定义域为{x | x 0} 解： (2) 对于函数 f ( x ) 解：(1)对于函数f(x)=x+ 2 , 其定义域为{x | x 0} xx 因为对于定义域内的每一个 x, 都有 因为对定义域内的每一个 x,都有 1 1 1 1 f ( x) =-(x+2 f ( x) f(-x)=-x+ )=-f(x) 2 -x ( x) x x 1 所以，函数 f(x) 为奇函数 所以，函数f ( x ) 2 为偶函数. x
y
0
x
y
0
x
偶函数定义：如果对于函数定义
任意一个x x,都有 , f(-x)=f(x) 。那 域内的任意一个 么f(x)就叫偶函数。
y
x
f ( x) x 2 1
x [2, 2]
数学中的对称图像：
观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
1.3.2函数的奇偶性
(3). f(x)=x+1
(4). f(x)=2x2 x∈[- 1 , 3]
解: (3)定义域为R ∵ f(-x)= -x+1
解: （4）∵定义域不关于原 点对称
- f(x)= -x-1
∴f(-x)≠f(x)
∴f(x)为非奇非偶函数
且f(-x)≠ –f(x)
y
∴f(x)为非奇非偶函数
y
-1 o
3x
函数为偶函数 函数图象关于y轴对称
2、奇函数定义:
作业：P36 练习1；P44A10
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(－x)= －f(x),
那么函数f(x)就叫奇函数.
函数为奇函数 函数图象关于原点对称
3、奇、偶函数的定义域关于原点对称！
4、判断函数奇偶性的步骤: (1)先求定义域,看是否关于原点对称; (2)求出f(－x)并化简,判断f(－x)与f(x)关系; (3)作结论.
奇函数
{ 3、函数按奇偶性分类 偶函数 非奇非偶函数 既是奇函数又是偶函数f(x)=0
注意：
4、
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) x 1 ; x
(2)
f(x)
1 x2
练习. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+2(-x)
函数为偶函数 函数图象关于y轴对称
思考(5.1)函数 f (x) x2, x [1, 2]是偶函数吗？偶函数
的定义域有什么特征？
y
x o
图（1）
偶函数的定义域 关于原点对称！
考察下列两个函数：
(1) f (x) x ;
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1.3.2函数的奇偶性 教学目标：理解函数的奇偶性 教学重点：函数奇偶性的概念和判定 教学过程： 1、通过对函数x
y 1=，2x y =的分析，引出函数奇偶性的定义 2、函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；
（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
（3）)()()(x f x f x f ⇔=-是偶函数，)()()(x f x f x f ⇔-=-是奇函数；
（4）0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ,
0)()()()(=-+⇔-=-x f x f x f x f ；
（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3、判断下列命题是否正确
(1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。
如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
(2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。
一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如
,
，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且
，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。
（3）是任意函数，那么与
都是偶函数。
此命题错误。
一方面，对于函数
， 不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言，
不能保证它的定义域关于原点对称。
如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数
是偶函数。
（4）函数是偶函数，函数是奇函数。
此命题正确。
由函数奇偶性易证。
（5）已知函数是奇函数，且有定义，则。
此命题正确。
由奇函数的定义易证。
（6）已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的
所有实根之和为零；若
是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。
此命题正确。
方程
的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若
，则。
对于定义在实数集上的奇函数
来说，必有。
故原命题成立。
4、补充例子 例：定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)1()1(2
<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。
课堂练习：
小结：本节课学习了函数奇偶性的概念和判定
课后作业：。