1.3.2 函数的奇偶性

1.3.2函数的奇偶性 教学目标：理解函数的奇偶性 教学重点：函数奇偶性的概念和判定 教学过程： 1、通过对函数x

y 1=，2x y =的分析，引出函数奇偶性的定义 2、函数奇偶性的几个性质：

（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；

（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；

（3）)()()(x f x f x f ⇔=-是偶函数，)()()(x f x f x f ⇔-=-是奇函数；

（4）0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ,

0)()()()(=-+⇔-=-x f x f x f x f ；

（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；

（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

3、判断下列命题是否正确

(1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。

(2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如

,

，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且

，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。

（3）是任意函数，那么与

都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数

， 不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言，

不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数

是偶函数。

（4）函数是偶函数，函数是奇函数。

此命题正确。由函数奇偶性易证。

（5）已知函数是奇函数，且有定义，则。

此命题正确。由奇函数的定义易证。

（6）已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的

所有实根之和为零；若

是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。

此命题正确。方程

的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若

，则。对于定义在实数集上的奇函数

来说，必有

。故原命题成立。 4、补充例子 例：定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)1()1(2

<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。

课堂练习：

小结：本节课学习了函数奇偶性的概念和判定

课后作业：