文科高等数学试题
(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷 全国甲卷(含部分解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。
做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。
1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。
大学文科高数试题及答案
大学文科高数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 假设函数f(x)在点x=a处可导，那么下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处可能不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是：A. 1B. 0C. 2D. 不存在答案：A3. 以下哪个选项是微分方程的解：A. y = e^x + CB. y = e^(-x) + CC. y = x^2 + CD. y = sin(x) + C答案：A4. 函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的最大值是：A. 0B. 1C. 4D. 2答案：C5. 积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案：B6. 以下哪个函数是偶函数：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|答案：B7. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2的原函数：A. x^3B. 2xC. x^3/3D. x^2/2答案：C8. 如果函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则：A. f(x)在区间(a,b)上一定连续B. f(x)在区间(a,b)上可能不连续C. f(x)在区间(a,b)上一定存在最大值D. f(x)在区间(a,b)上一定存在最小值答案：B9. 以下哪个选项是函数f(x)=ln(x)的导数：A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案：A10. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的不定积分：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. e^x/x + CD. e^x * x + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3在x=1处的导数是________。
答案：32. 极限lim(x→∞)(1/x)的值是________。
答案：03. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是________。
最新普通高等学校招生文科数学全国统一考试试题(江西卷)(含解析)
普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己地准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘帖地条形码地“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目地答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地 .1.复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应地点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]：D[解析]：Z ＝-2i-i 2=1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限2. 若集合A=｛x ∈R|ax 2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a=A.4B.2C.0D.0或4 [答案]：A[解析]： 010a =≠∆当时，＝不合，当a 0时，＝0，则a=43. sin cos 23αα==若（ ） A. 23- B. 13- C. 13 D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin 12233αα=-=-⨯=4.集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4地概率是A B. C. D. [答案]：C[解析]：所有情形有六种，满足要求地只有（2，2）和（3，1）故只能选C5.总体编号为01，02，…19，20地 20个个体组成。
利用下面地随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行地第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来地第5个个体地编号为A.08B.07C.02D.01 [答案]：D[解析]：从第5列和第6列选出地两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20地且不和前面重复地只能是08，02，14，07，01，选D＜2x成立地 x地取6. 下列选项中，使不等式x＜1x值范围是（）A.（，-1）B. （-1，0）C.0，1）D.（1，+）[答案]：A[解析]：令x=-2，不等式成立，只能选A。
2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
高考文科数学试题及答案
高考文科数学试题及答案试题部分一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=2x^3-3x^2+5x-7的导数为：A. 6x^2-6x+5B. 6x^2+6x-5C. 2x^2-6x+5D. 2x^3-6x+52. 若集合A={-1,0,1}，B={x|x<-1或x>1}，则A∩B的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2+b^2=c^2，若a=3, b=4，则c的值为：A. 5B. 6C. 7D. 84. 根据题目所给的统计数据，若某班男生人数为30人，全班人数为50人，则该班男生所占的百分比为：A. 60%B. 50%C. 40%D. 30%5. 已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，求第10项的值：A. 19B. 21C. 23D. 256. 若复数z满足|z-2i|<2，求z的模的最小可能值：A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数g(x)=x^2-4x+3，求函数在区间[1,3]上的最大值：A. 0B. 1C. 3D. 48. 根据题目所给的几何体的三视图，判断该几何体的体积：A. 1B. 2C. 3D. 49. 若直线l: y=kx+b与曲线C: x^2+y^2=1相切，则k与b满足的条件是：A. k^2+1=b^2B. k^2+1=bC. k^2+b^2=1D. k^2-b^2=110. 已知某商品的总成本函数为C(x)=100+20x，总收益函数为R(x)=60x-2x^2，求该商品的盈利函数：A. -2x^2+40x-100B. -2x^2+30x-100C. -2x^2+50x-100D. -2x^2+60x-100答案部分1. 答案：A解析：对函数f(x)求导，得到f'(x)=6x^2-6x+5。
2. 答案：A解析：集合A与B的交集为空集，因为A中的元素均不满足B的条件。
文科高考数学试卷及答案
一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为：A. 5B. 6C. 7D. 82. 若a，b是实数，且|a+b| ≤ 2，则|a-b|的最大值为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知向量a = (2, 3)，b = (1, -2)，则|a+b|的值为：A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(3)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第10项与第15项之和为：A. 14a1 + 19dB. 15a1 + 19dC. 14a1 + 20dD. 15a1 + 20d6. 已知等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则第5项与第8项之积为：A. b1q^4B. b1q^7C. b1q^5D. b1q^87. 若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a+b+c=12，则三角形ABC的面积最大值为：A. 18B. 24C. 36D. 488. 已知函数f(x) = e^x，则f(x)在x=0处的导数为：A. 1B. eC. e^2D. e^39. 已知函数f(x) = sin(x)，则f'(π)的值为：A. 0B. 1C. -1D. sin(π)10. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第n项与第2n项之差的平方为：A. n^2d^2B. (n+1)^2d^2C. (2n-1)^2d^2D. (n-1)^2d^2二、填空题（每题5分，共20分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处的导数为0，则a+b+c=______。
12. 已知向量a = (2, 3)，b = (1, -2)，则a·b的值为______。
13. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=______。
14. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn=______。
文科数学高考试题及答案
文科数学高考试题及答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a+b的坐标为：A. (4,1)B. (-2,3)C. (2,-3)D. (-2,-3)答案：A3. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，3，5，则该数列的通项公式为：A. an=2n-1B. an=n^2C. an=n+1D. an=2n+1答案：A4. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)：A. f'(x)=3x^2-6x+2B. f'(x)=x^2-3x+2C. f'(x)=x^3-3x^2+2D. f'(x)=x^2-3x+1答案：A5. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a>0，b>0，且双曲线C的离心率为e=√2，求a和b的关系：A. a=bB. a=2bC. b=2aD. b=√2a答案：D6. 已知三角形ABC的内角A，B，C满足A+B=2C，且sinA+sinB=sinC，求角C的大小：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C7. 已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域为：A. [3,+∞)B. [1,+∞)C. [2,+∞)D. [0,+∞)答案：C8. 已知抛物线y^2=4x的焦点为F，点P(1,2)在抛物线上，求点P到焦点F的距离：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C9. 已知正方体的棱长为a，求其内切球的表面积：A. 4πa^2B. 6πa^2C. 4π(a/2)^2D. 6π(a/2)^2答案：C10. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，q，q^2，求该数列的前三项和S3：A. 1+q+q^2B. 1+q+q^3C. 1+q^2+q^3D. 1+q+q^4答案：A11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值：A. -1B. 0C. 1D. 3答案：A12. 已知直线l的方程为y=2x+1，求直线l与x轴的交点坐标：A. (-1/2,0)B. (1/2,0)C. (-1,0)D. (1,0)答案：B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f''(x)：答案：f''(x)=6x-614. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，求该圆的圆心坐标：答案：(2,3)15. 已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|的最小值为2，求该函数的值域：答案：[2,+∞)16. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，S6=21，求该数列的公差d：答案：2三、解答题（本题共4小题，共70分）17.（本题满分10分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间。
2024全国高考真题 全国甲卷 文科数学+答案
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题第 21 题为必
考题，每个考题考生必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
15. 已知等比数列{ }的前项和为 ，且2 = 3+1 − 3.
（1）求{ }的通项公式；
【12 题答案】2
【13 题答案】64
【14 题答案】(−2,1)
三、解答题：
（一）必考题：共 60 分．
【15 题答案】
−1
（1） = (5)
3ห้องสมุดไป่ตู้
3 5
3
（2） ( ) −
2 3
2
【16 题答案】
（1）证明见详解；
6√13
（2）
13
【17 题答案】
（1）见解析
（2）见解析
【18 题答案】
）
）
C.
D.
9. 已知
cos
= 3 ，则tan ( + 4 ) =（
cos − sin
A. 2√3 + 1
B. 2√3 − 1
）
C.
√3
2
D. 1 − √3
10. 设、是两个平面，、是两条直线，且 ∩ = .下列四个命题：
.
①若//，则//或//
②若 ⊥ ，则 ⊥ , ⊥
（2）求点到的距离.
17 已知函数() = ( − 1) − + 1．
（1）求() 单调区间；
（2）若 ≤ 2时，证明：当 > 1时， f ( x ) e
18. 设椭圆:
的的
2
2
2
文科高数期末试题及答案
文科高数期末试题及答案【文科高数期末试题及答案】一、选择题1. 题目答案：A2. 题目答案：C3. 题目答案：B4. 题目答案：D5. 题目答案：A二、填空题1. 题目答案：22. 题目3. 题目答案：74. 题目答案：0.55. 题目答案：4三、解答题1. 题目解答：根据题目，首先我们可以列出方程为：2x + 3y = 103x - 4y = 5求解这个方程组，可以使用消元法，其中我们可以通过第二个方程乘以3和第一个方程乘以2，然后相加来消去y的变量：6x + 9y = 306x - 8y = 10然后我们可以消去x的变量，这样得到:17y = 20将y的值带入第一个方程，可以求出x的值：2x + 3 * (20/17) = 102x + 60/17 = 102x = 170/17 - 60/172x = 110/17x = 55/17所以方程组的解为 x = 55/17，y = 20/17。
2. 题目解答：根据题目，我们要求函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1 的最大值和最小值。
首先，我们可以通过求导数得到该函数的导函数 f'(x) = 6x + 2。
然后，我们可以令导函数等于0，求解x的值：6x + 2 = 06x = -2x = -1/3接着，我们可以求函数在该点的值，即 f(-1/3) = 3 * (-1/3)^2 + 2 * (-1/3) - 1 = -4/3 - 2/3 - 1 = -7/3所以，函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1 的最大值为 -7/3，最小值为无穷小。
四、解析几何题1. 题目解答：根据题目，我们要求通过点A(1, 2)和点B(4, 5)的直线方程。
首先，我们可以根据两点间的斜率公式来求解斜率k：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)= (5 - 2) / (4 - 1)= 3/3= 1然后，我们可以利用点斜式来得到直线方程：y - y1 = k(x - x1)y - 2 = 1(x - 1)y - 2 = x - 1y = x + 1所以，通过点A(1, 2)和点B(4, 5)的直线方程为 y = x + 1。
文科数学高考试题及答案
文科数学高考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. 1B. -1C. -5D. 1答案：C2. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A3. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 函数y = x^2 - 6x + 5的对称轴方程为：A. x = 3B. x = -3C. x = 6D. x = -6答案：A5. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则a5的值为：A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A6. 已知sinθ = 1/2，θ∈(0, π)，则cosθ的值为：A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2答案：B7. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a·向量b的值为：A. -1B. 1C. 5D. -5答案：B8. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为：A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A9. 函数y = ln(x)的定义域为：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：A10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)的值为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. -3x^2 + 3D. -3x^2 - 3答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f'(x) = _______。
答案：2x + 212. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则b3的值为_______。
答案：1813. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 5)，则向量a·向量b = _______。
(word版)高考文科数学(全国I卷)试题及答案,文档
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 本卷须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共 12小题，每题 5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合A={0,2}，B={-2,- 1,0,1,2},那么AIBA ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}1 i，那么|z|2．设z 2i1 iA ．0B ．1C ．1D ．223．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 .为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半224．椭圆C ：x2y1的一个焦点为(2,0)，那么C 的离心率为a4A ．1B ．1C ． 2D ．223 22 35．圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数f(x)x 3(a 1)x 2 ax. 假设f(x)为奇函数，那么曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为A ．y 2xB ．y xC ．y2x uuu rD ．yx7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EBA．3uuur1uuurB．1uuur3uuur4AB AC4AB AC44文科数学试题第1页〔共10页〕C．3uuur1uuurD．1uuur3uuu r 4AB AC AB4AC 448．函数f(x)2cos2x sin2x2，那么A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π4，最大值为C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为，最大值为42π9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱外表上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱外表上的点N在左视图上的对应点为B，那么在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．217B．25C．3D．210．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，那么该长方体的体积为A．8B．62C．82D．8311．角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos22，那么3|ab|A．1B．5C．25D．1 5552x,x≤0,1)f(2x)的x的取值范围是12．设函数f(x)x 那么满足f(x1,0,A．(,1]B．(0,)C．(1,0)D．(,0)二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
最新普通高等学校招生文科数学全国统一考试试题(大纲卷)(含解析)
绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 .1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,uU A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅2．已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513（D ）12133．已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2（D ）-14．不等式222x-<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1U （D ）()()-2,00,2U 5．()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112（D ）2246．函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021xx >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21xx R -∈（D ）()210xx ->7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n aa a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+38．已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 地 方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y +=（D ）22154x y +=9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）210．已知曲线()421-128=y xax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 11．已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角地 正弦值等于（A ）23（B ）3 （C ）3 （D ）1312．已知抛物线2:8C yx=与点()2,2M -，过C 地 焦点且斜率为k 地 直线与C 交于,A B 两点，若MA MB =u u u r u u u r g ，则k =（A ）12（B ）2 （C （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 14．从进入决赛地 6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能地 决赛结果共有 种.（用数字作答） 15．若x y、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.16．已知圆O 和圆K 是球O 地 大圆和小圆，其公共弦长等于球O 地 半径，3602OK O K =o，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O地 表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,aa a ==（I ）求{}na 地 通项公式； （II ）设{}1,.nn n nbb n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设ABC ∆地 内角,,A B C 地 对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=。
2024年高考数学甲卷 文科试卷 (含答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(甲卷)一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、集合 A 1,2,3,4,5,9 ， B |1x x A ，则A B =（）A. 1,3,4B. 2,3,4C.1,2,3,4 D.0,1,2,3,4,92、设z ,则z z （）A.-2C. D.23、若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y，则5z x y 的最小值为()A.12B.0C.52D.724、等差数列 n a 的前n项和为S n ，若9S 1 ，则37a a =（）A.-2B.73 C.1 D.295、甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()A.14B.13C.12D.236、已知双曲线 2222C:10,0x y a b a b的左、右焦点分别为 1F 0,4、 2F 0,4 且经过点 P 6,4 ，则双曲线C 的离心率是（）A.135B.137C.2D.37、曲线 631f x x x 在 01 ，处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.2C.12D.28、函数2sin x x y x e e x 在区间 -2.82.8，的图像大致为()AB CD9、已知coscos sin a a a ，则tan 4a（）A.1B.1C.2D.1 10、已知直线20ax y a 与圆22C 410x y y ：交于A ，B 两点，则AB的最小值为（）A.2B.3C.4D.611、设 ， 为两个平面，m ，n 为两条直线，且m ，下述四个命题：①若//m n ，则//n 或//n ②若m n ，则n 或n ③若//n ，且//n ，则//m n ④若n 与 ，所成的角相等，则m n其中所有真命题的编号是()A.①③B.②④C.①②③D.①③④12、在△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c,已知B 3，294b ac，则sin sinA C （）A.13 B.13C.2D.13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
大学文科数学试题(附答案)精选全文完整版
大学文科数学试题（附答案）一、 判断题（对画“√”，错画“×”, 共6题，每题3分,共18分）1.任意修改收敛数列{}n a 的前100项，数列{}n a 仍收敛，且极限不变. ( )2.若0lim[()()]0x x f x g x →−=，则必有00lim ()lim ()x x x x f x g x →→=. ( )3.函数()f x 在某个区间上的极大值一定大于极小值. ( )4.当0→x 时，无穷小量34x x −+是关于x 的4阶无穷小量. ( )5.概率的公理化定义虽然不能用来直接确定事件的概率，但它给了概率所必须满足 的最基本规律，为建立严格的概率理论提供了坚实的基础． ( )6.微分方程xyx y dx dy tan +=的通解是Cx x y =sin . （ ） 二、填空题（共6题，每题3分，共18分）1.已知(sin )cos 12x f x =+，则(cos )2xf =___________.2.直线L 与x 轴平行且与曲线y x e x=−相切，则切点坐标为_____________.3.已知()f x 的一个原函数是2x e −，则'()=xf x dx ⎰________________________.4.利用定积分的几何意义，计算0=⎰_________(0)a >，这个结果表示的是________________________的面积.5.函数1xy x =的极大值点是 ，极大值为 .6.三台机器在一天内正常工作的概率分别为：第一台0.9，第二台0.7，第三台0.6，且它们发生故障是相互独立的，则三台机器同时发生故障的概率________． 三、计算题（要求有计算过程,共6题，每题4分,共24分）1.102030(1)(35)lim (611)n n n n →∞−+−;2.301lim sin 3x x x →+;3.152lim ()1xx x x −→+∞++; 4. 设()y y x =是方程cos()0x y e xy +−=所确定的隐函数，求0x dy =;5.; 6.dxxee⎰1|ln|．四、应用题（共3题，第1题7分，第2题8分,第3题10分，共25分）1.把长度为l的线段分成两段，分别围成正方形和圆形，问如何分该线段可以使得正方形和圆的面积之和最小（即求此时正方形的周长和圆的周长）？2.求曲线3(03)y x x=≤≤分别绕x轴和y轴旋转所得到的旋转体的体积.3.甲、乙、丙三个分厂生产同一批次规格相同的灯管，产量之比为1：2：1.已知甲、乙、丙三个分厂产品的合格率依次是0.93,0.92,0.98.现任取一灯管，求(1) 取到不合格灯管的概率；(2) 若取到不合格灯管,求它是由乙分厂生产的概率.五、问答题（共3题，每题5分，共15分）1.叙述函数)(xfy=在],[ba上的拉格朗日中值定理的作用与几何意义，并画出几何示意图．2.简述古典概型的特点，并举一个古典概型在教育系统的应用实例．3.微分方程研究的内容是什么？举几个微分方程在现实应用中的成功实例．大学文科数学试题 答案一、判断题（对画“√”，错画“×”, 共6题，每题3分,共18分） 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.√ 二、填空题（共6题，每题3分，共18分）1．22sin 2x； 2. ()01,−； 3.22(21)x x e C −−++； 4. 24a π，半径为a 的四分之一的圆的面积； 5. 1,ee e ； 6. 0.012.三、计算题（要求有计算过程, 共6题，每题4分,共24分）1. 203036；2. 16； 3. 5e −； 4. dx −；5. ln 1|C −+；6. 22e−.四、应用题（共3题，第1题7分，第2题8分,第3题10分，共25分） 1. 正方形的周长为44lπ+，圆的周长为4l ππ+. 2.（1）3326021877x V y dx x dx πππ===⎰⎰； （2）22727237295y V x dy y dy πππ===⎰⎰. 3.（1）令B 为任取一件为不合格灯管，i A 分别为任取一件为甲、乙、丙分厂生产的灯管1,2,3i =, 则由全概率公式得)(B P =31()(|)i i i P A p B A ==∑0.250.070.50.080.250.020.0625⨯+⨯+⨯=.（2）利用贝叶斯公式 31()()(|)(|)()()(|)i i i i i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑, 1,2,3i =. 计算得2(|)P A B =0.50.08=64%0.0625⨯.五、问答题（共3题，每题5分，共15分）1.拉格朗日中值定理是联系函数局部性质与整体性质的纽带．其几何意义是：联结两点的一条光滑曲线上至少存在一条切线与这两点的连线平行（示意图从略）.2. 古典概型的特点是：有限性（每次试验有有限个样本点）；等可能性（每次试验，每个样本点出现的可能性相同）．例如，主考教师从装有n道题的袋中随机抽一题进行测试，就属于古典概型．3. 微分方程研究含有未知函数的导数或微分的方程，然后从中求得这个未知函数．19世纪，天文学家利用微分方程发现海王星，20世纪，科学家利用微分方程推断出阿尔卑斯山肌肉丰满的冰人的遇难时间，如今微分方程更是广泛用于预测人口数量，进行天气预报等方面，这些都是微分方程的成功应用实例．。
高三文科数学试卷带答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 3/5C. √9/16D. √2答案：D解析：无理数是不能表示为两个整数比的实数，只有√2是无理数。
2. 函数y=2x+1在定义域内是（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数答案：A解析：函数的斜率为正，所以是增函数。
3. 已知向量a=(2, -3)，向量b=(4, 6)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 120°答案：D解析：向量a与向量b的点积为24 + (-3)6 = -12，向量a的模长为√(2^2 + (-3)^2) = √13，向量b的模长为√(4^2 + 6^2) = √52。
点积公式为a·b =|a||b|cosθ，所以cosθ = -12/(√13√52) ≈ -0.5，夹角θ ≈ 120°。
4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：二次函数的对称轴为x = -b/2a，所以对称轴为x = -(-4)/21 = 2。
5. 已知等差数列{an}的第一项为2，公差为3，则第10项是（）A. 25B. 28C. 31D. 34答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，所以第10项为2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。
6. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：|z-1| = |z+1|表示z到点1和点-1的距离相等，因此z在实轴上。
7. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 25，点P(3, 4)到圆C的最短距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：圆心到点P的距离为√(3^2 + 4^2) = 5，圆的半径为5，所以最短距离为5 - 5 = 0。
文科高等数学练习题一二三四
分)已知曲线
y
=
y(x)
⎧x 的参数方程 ⎨
⎩y
= =
arctan 2t t + ln(1 +
，求
4t 2 )
dy ，d 2 y dx dx 2
．
六．(6 分)求由曲线 y 2 = 2x与y 2 = 1 − x 所围图形的面积．
七．(6 分)设 x ≥ 0 ，证明：
（1） x + 1 − x =
1
，其中θ (x) 满足不等式 1 ≤ θ (x) < 1 ．
2
3
∫ 3π
( A)
2 2π
3
1
+
⎛ ⎜⎝
1 θ
⎞2 ⎟⎠
dθ
∫ 3π
(B)
2 2π
3
1+
⎛ ⎜⎝
−
1 θ2
⎞2 ⎟⎠
dθ
∫ (C)
3π 2
1
θ 2π 2
3
1+θ 2 dθ
∫ 3π
(D)
2 2π
3
1
+
θ
2
d
⎛ ⎜⎝
1 θ
⎞ ⎟⎠
5. 极限 lim(x − x2 + 1) （ ）. x→∞
(A) 0
(B) −∞
二．计算题(每小题 4 分，共 24 分)
1. 求 lim x − sin x
∫ x→0 Sin x ln(1 + t 3 ) dt
0
t
∫3. x2 cos 2xdx
1
2.
求
lxi−m>0⎜⎜⎝⎛
3 − ex x+2
⎟⎟⎠⎞ sin x
高考文科数学试题及答案
高考文科数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x)=x^2-2x+1，则f(1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-5x+6=0}，则A∩B的值为（）A. {1, 2}B. {2}C. {1}D. 空集3. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=1，公差d=2，则a_5的值为（）A. 9B. 11C. 13D. 154. 若直线y=2x+3与x轴的交点为（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)5. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值为（）A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+36. 已知复数z=1+i，则|z|的值为（）A. √2B. 2C. √3D. 17. 已知函数y=sin(2x)的周期为π，则x的取值范围为（）A. x∈RB. x∈[0, π/2]C. x∈[-π/2, π/2]D. x∈[0, π]8. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=1/2，则a_4的值为（）A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/169. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2+b^2=c^2，根据勾股定理，该三角形为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值（）A. -2B. 2C. 8D. 10二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f'(x)的值为______。
12. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_3=9，S_5=15，则d 的值为______。
文科高等数学试题及答案
文科高等数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. π/2D. 23. 以下哪个函数是奇函数（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^54. 曲线y = e^x在点(0,1)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. eD. e^25. 以下哪个级数是收敛的（）。
A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...6. 函数y = ln(x)的不定积分是（）。
A. x ln(x) + CB. x + CC. e^x + CD. 1/x + C7. 微分方程dy/dx = 2x的通解是（）。
A. y = x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x^3 + CD. y = 2x^3 + C8. 以下哪个矩阵是可逆的（）。
A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [2 3; 4 6]9. 以下哪个事件是必然事件（）。
A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面或反面朝上D. 抛一枚硬币，既不正面也不反面朝上10. 以下哪个函数是周期函数（）。
A. f(x) = xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是_________。
12. 极限lim(x→∞) (x^2 - 1)/(x^2 + 1)的值是_________。
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}A．-1B．1C．1-iD．1+iA．B．（2023•甲卷）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，则N∪∁U M=（ ）答案：A解析：由已知结合集合补集及并集运算即可求解．解答：解：因为U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，所以∁U M={2，3，5}，则N∪∁U M={2，3，5}．故选：A．（2023•甲卷）=（ ）5（1+）i 3（2+i ）（2-i ）答案：C解析：直接利用复数的运算法则化简求解即可．解答：解：==1-i.故选：C．5（1+）i 3（2+i ）（2-i ）5（1-i ）5（2023•甲卷）已知向量a =（3，1），b =（2，2），则cos 〈a +b ，a -b 〉=（ ）→→→→→→117√171755答案：B解析：根据题意，求出a +b 和a -b 的坐标，进而求出|a +b |、|a -b |和（a +b ）•（a -b ）的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案．→→→→→→→→→→→→A．B．C．D．A．25B．22C．20D．15解答：解：根据题意，向量a =（3，1），b =（2，2），则a +b =（5，3），a -b =（1，-1），则有|a +b |==，|a -b |==，（a +b ）•（a -b ）=2，故cos 〈a +b ，a -b 〉==故选：B．→→→→→→→→√25+9√34→→√1+1√2→→→→→→→→（a +b ）•（a -b ）→→→→|a +b ||a -b |→→→→（2023•甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）16131223答案：D解析：从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n==6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m==4，由此能求出这2名学生来自不同年级的概率．C 42C 21C 21解答：解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n==6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m==4，则这2名学生来自不同年级的概率为P===．故选：D．C 42C 21C 21m n 4623（2023•甲卷）记S n 为等差数列{a n }的前n项和．若a 2+a 6=10，a 4a 8=45，则S 5=（ ）答案：C解析：由已知结合等差数列的性质及通项公式先求出a 1，d,然后结合等差数列的求和公式可求．A．21B．34C．55D．89解答：解：等差数列{a n }中，a 2+a 6=2a 4=10，所以a 4=5，a 4a 8=5a 8=45，故a 8=9，则d==1，a 1=a 4-3d=5-3=2，则S 5=5a 1+d =10+10=20．故选：C．-a 8a 48-45×42（2023•甲卷）执行下边的程序框图，则输出的B=（ ）答案：B解析：模拟执行程序框图，即可得出程序运行后输出B的值．解答：解：模拟执行程序框图，如下：n=3，A=1，B=2，k=1，k≤3，A=1+2=3，B=3+2=5，k=2，k≤3，A=3+5=8，B=8+5=13，k=3，k≤3，A=8+13=21，B=21+13=34，k=4，k＞3，输出B=34．故选：B．A．1B．2C．4D．5A．y=xB．y=xD．y=x+（2023•甲卷）设F 1，F 2为椭圆C：+y 2=1的两个焦点，点P在C上，若P •P =0，则|PF 1|•|PF 2|=（ ）x 25→F 1→F 2答案：B解析：根据题意，分析可得∠F 1PF 2=，由椭圆的标准方程和定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|2+|PF 2|2=（2c）2，将两式联立可得|PF 1|•|PF 2|的值即可．π2解答：解：根据题意，点P在椭圆上，满足P •P =0，可得∠F 1PF 2=，又由椭圆C：+y 2=1，其中c 2=5-1=4，则有|PF 1|+|PF 2|=2a=2，|PF 1|2+|PF 2|2=（2c）2=16，可得|PF 1|•|PF 2|=2，故选：B．→F 1→F 2π2x 25√5（2023•甲卷）曲线y=在点（1，）处的切线方程为（ ）e xx +1e 2e 4e 2e 23e4答案：C解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程．解答：解：因为y=，y′==，故函数在点（1，）处的切线斜率k=，切线方程为y-=（x-1），即y=x +．故选：C．e xx +1（x +1）-（x +1）′e x e x（x +1）2xe x（x +1）2e 2e 4e 2e 4e 4e 4D．A．1B．C．2D．3（2023•甲卷）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，则|AB|=（ ）x 2a 2y 2b 2√55554√55答案：D解析：利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解|AB|即可．解答：解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c=a,所以b=2a,所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x,一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，所以|AB|=2故选：D．x 2a 2y 2b 2√5√55（2023•甲卷）在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=，则该棱锥的体积为（ ）√6√3答案：A解析：取AB的中点D，连接PD、CD，可得AB⊥平面PCD，再求出△PCD面积，然后利用棱锥体积公式求解．A．b＞c＞aB．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b解答：解：如图，PA=PB=2，AB=BC=2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD=D，PD、CD ⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD=CD==，在△PCD中，由PD=CD=，PC=，得PD 2+CD 2=PC 2，则PD⊥CD，∴=×PD ×CD =××=，∴=×AB=××2=1．故选：A．√-2212√3√3√6S △PCD 1212√3√332V P -ABC 13S △PCD 1332（2023•甲卷）已知函数f（x）=．记a=f（），b=f（），c=f（），则（ ）e -（x -1）2√22√32√62答案：A解析：令g（x）=-（x-1）2，先利用作差比较法及一元二次函数的性质，可得g g g ，再根据y=e x 的单调性，即可求解．222解答：解：令g（x）=-（x-1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x=1，∵-1-（1-）=-，而（+-=9+6-16=6-7＞0，1-（1=＞0，1＞1√62√32+√6√3242√6√3）242√2√2+-4√6√322222A．1B．2C．3D．41-（1=，而（+-=4-8＜0，1＜1gg，综合可得g （）＜g （）＜g （），又y=e x 为增函数，∴a＜c＜b,即b＞c＞a.故选：A．22+-4√6√22√6√2）242√32222√22√62√32（2023•甲卷）函数y=f（x）的图象由y=cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y=f（x）的图象与直线y=x-的交点个数为（ ）π6π61212答案：C解析：利用三角函数的图象变换，求解函数的解析式，然后判断两个函数的图象交点个数即可．解答：解：y=cos （2x+）的图象向左平移个单位长度得到f （x）=cos（2x+）=-sin2x,在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y=f（x）的图象与直线y=x-的交点个数为：3．故选：C．π6π6π21212（2023•甲卷）记S n 为等比数列{a n }的前n项和．若8S 6=7S 3，则{a n 答案：见试题解答内容解析：由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．解答：解：等比数列{a n }中，8S 6=7S 3，则q≠1，所以8×=7×，解得q=-．故答案为：-．（1-）a 1q 61-q（1-）a 1q 31-q1212（2023•甲卷）若f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+）为偶函数，则a=2．π2答案：2．解析：根据题意，先化简函数的解析式，结合偶函数的定义可得关于a的方程，解可得答案．解答：解：根据题意，设f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+）=x 2-2x+ax+1+cosx,若f（x）为偶函数，则f（-x）=x 2+2x-ax+1+cosx=x 2-2x+ax+1+cosx=f（x），变形可得（a-2）x=0在R上恒成立，必有a=2．故答案为：2．π2（2023•甲卷）若x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为 15．{3x -2y ≤3，-2x +3y ≤3x +y ≥1，答案：15．解析：作出不等式组对应的平面区域，结合z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由z=3x+2y得y=-x+，{3x -2y ≤3，-2x +3y ≤3x +y ≥1，32z 2则表示直线在y轴截距，截距越大，z越大，结合图形可知，当直线y=-x+经过点A时，z最大，联立可得A（3，3），此时z取得最大值15．z 232z 2{3x -2y =3-2x +3y =3（2023•甲卷）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，O为AC 1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 [2，2]．√2√3答案：[2，2]．√2√3解析：当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小．解答：解：设球的半径为R，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC 1==4，即2R′=4，R′=2，故R max =2，分别取侧枝AA1，BB 1，CC 1，DD 1的中点M，H，G，N，则四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG=4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径最小，即R的最小值为2，综上，球O的半径的取值范围是[2，2]．故答案为：[2，2]．√++424242√3√3√3√3√2√2√2√3√2√3（2023•甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知=2．（1）求bc；（2）若-=1，求△ABC面积．+-b 2c 2a 2cosAacosB -bcosA acosB +bcosAb c 答案：见试题解答内容解析：（1）由已知结合余弦定理进行化简即可求解bc；（2）先利用正弦定理及和差角公式进行化简可求cosA，进而可求A，然后结合三角形面积公式可求．解答：解：（1）因为==2bc=2，所以bc=1；（2）-=-=1，所以-==1，所以sin（A-B）-sinB=sinC=sin（A+B），所以sinAcosB-sinBcosA-sinB=sinAcosB+sinBcosA，即cosA=-，由A为三角形内角得A=，△ABC面积S=bcsinA=×1+-b 2c 2a 2cosA2bccosA cosA acosB -bcosA acosB +bcosAb c sinAcosB -sinBcosA sinAcosB +sinBcosA sinB sinC sin （A -B ）sin （A +B ）sinB sinCsin （A -B ）-sinB sinC 122π3121224（2023•甲卷）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C⊥平面ABC，∠ACB=90°．（1）证明：平面ACC 1A 1⊥平面BB 1C 1C；（2）设AB=A 1B，AA 1=2，求四棱锥A 1-BB 1C 1C的高．答案：（1）证明见解答；（2）四棱锥A 1-BB 1C 1C的高为1．解析：（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面ACC 1A 1⊥平面BB 1C 1C；（2）利用已知可得A1C=AC，进而可得A1C=AC=，过A1作A1O⊥C1C于O，可得A 1O为四棱锥A1-BB1C1C的高，求解即可．√2解答：解：（1）∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1，又BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面 BCC1B1；（2）∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C⊂平面ACC1，∴BC⊥AC，BC⊥A1C，∵AB=A1B，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，∴A1C=AC，∵A1C⊥底面ABC，AC⊂面ABC，∴A1C⊥AC，∴A1C2+AC2=A1A2，∵AA1=2，∴A1C=AC=，∴A1C1=，过A1作A1O⊥C1C于O，∵A1C=A1C1，∴O为CC1的中点，∴A1O=C1C=A1A=1，由（1）可知A1O⊥平面 BCC1B1，∴四棱锥A1-BB1C1C的高为1．√2√21 21 2（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表；＜m≥m对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K 2=，P（K 2≥k）0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.635n （ad -bc ）2（a +b ）（c +d ）（a +c ）（b +d ）答案：（1）19.8．（2）（i）中位数是23.4；列联表是＜m ≥m 合计对照组61420试验组14620合计202040（ii）有95%的把握认为有差异．解析：（1）根据平均数的定义计算即可．（2）（i）把两组数据合在一起，按从小到大排列后求中位数m,填写列联表即可；（ii）根据列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论．解答：解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为x =×（7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1=19.8．（2）（i）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，…，所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以这组数据的中位数是m=×（23.2+23.6）=23.4；填写列联表如下：＜m ≥m 合计对照组61420试验组1462012012合计202040（ii）根据列联表中数据，计算K 2==6.4＞3.841，所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．40×（6×6-14×14）220×20×20×20（2023•甲卷）已知函数f（x）=ax-，x∈（0，）．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）+sinx＜0，求a的取值范围．sinx co xs 2π2答案：（1）f（x）在（0，）上单调递减；（2）（-∞，0]．π2解析：（1）先求导函数，再判断导函数的符号，即可求解；（2）设g（x）=f（x）+sinx=ax -+sinx ，x∈（0，），利用其二阶导函数的符号可得一阶导函数在（0，）上单调递减，再根据g（x）=f（x）+sinx＜0及g （0），可得g′（0）=a-1+1≤0，再分类讨论验证，即可求解．sinx co xs 2π2π2解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x -，x ∈（0，），∴f′（x）=1-=1-=，令t=cosx,∵x ∈（0，），∴t∈（0，1），∴cos 3x+cos 2x-2=t 3+t 2-2=（t-1）（t 2+2t+2）=（t-1）[（t+1）2+1]＜0，又cos 3x=t 3＞0，∴f′（x）==＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减；（2）设g（x）=f（x）+sinx=ax -+sinx ，x∈（0，），则g ′（x ）=a -+cosx ，x∈（0，），g ″（x ）=--sinx ＜0，∴g′（x）在（0，）上单调递减，若g（x）=f（x）+sinx＜0，又g（0）=0，则g′（0）=a-1+1≤0，∴a≤0，sinx co xs 2π2cosxco x -2cosx （-sinx ）sinxs 2co xs 4co x +2si x s 2n 2co x s 3co x +co x -2s 3s 2co xs 3π2co x +co x -2s 3s 2co xs 3（t -1）（+2t +2）t 2t 3π2sinx co xs 2π21+si x n 2co xs 3π22sinxco x +3（1+si x ）co xsinx s 4n 2s 2co xs 6π2当a=0时，∵sinx -=sinx （1-），又x∈（0，），∴0＜sinx＜1，0＜cosx＜1，∴＞1，∴f （x ）+sinx =sinx -＜0，满足题意；当a＜0时，∵x∈（0，），∴ax＜0，∴f（x）+sinx=ax -+sinx ＜sinx -＜0，满足题意；综合可得：若f（x）+sinx＜0，则a≤0，所以a的取值范围为（-∞，0]．sinx co x s 21co xs 2π21co xs 2sinx co xs 2π2sinx co x s 2sinx co x s 2（2023•甲卷）已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y 2=2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|=4．（1）求p；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且FM •FN =0，求△MFN面积的最小值．√15→→答案：（1）p=2；（2）12-8．√2解析：（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P；（2）设直线 MN：x=my+n,M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），利用MF •NF =0，找到m,n 的关系，以及△MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．→→解答：解：设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，消去x得：y 2-4py+2p=0，∴y 1+y 2=4p,y 1y 2=2p,Δ=16p 2-8p＞0，∴p（2p-1）＞0，∴p＞，|AB|=|y 1-y 2|==4，∴16p 2-8p=48，∴2p 2-p-6=0，∴（2p+3）（p-2）=0，∴p=2，（2）由（1）知y 2=4x,所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x=my+n,M（x 1，y 1），N（x 2，y 2）由，可得y 2-4my-4n=0，所以y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4n,Δ=16m 2+16n＞0→m 2+n＞0，因为MF •NF =0，所以（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2=0，即（my 1+n-1）（my 2+n-1）+y 1y 2=0，即 {x -2y +1=0=2px （p ＞0）y 212√1+4√5√（+-4y 1y 2）2y 1y 2√15{=4x x =my +ny 2→→（+1）+m （n -1）（+）+（n -1=0，将y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4n,代入得4m 2=n 2-6n+1，∴4（m 2+n）=（n-1）2＞0，所以n≠1，且n 2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2．|MN|=|y 1-y 2|====2|n-1|，所以△MNF的面积S=|MN|×d=×|n-1|，又n ≥3+2或n ≤3-2，所以当n=3-2时，△MNF的面积S min =（2-2）2=12-8．m 2y 1y 2y 1y 2）2√2√2√1+m 2√1+m 2√（+-4y 1y 2）2y 1y 2√1+m 2√16+16n m 2√1+m 2√4（-6n +1）+16n n 2√1+m 21212√1+m 2√2√2√2√2√2（2023•甲卷）已知点P（2，1），直线l：（t为参数），α为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，且|PA|•|PB|=4．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．{x =2+tcosα，y =1+tsinα答案：（1）α=；（2）ρ=．3π43sinθ+cosθ解析：（1）先把参数方程化为普通方程，然后求出A，B的坐标，进而可求|PA||PB|，结合已知可求tanα，进而可求α；（2）结合（1）先求出直线l的直角坐标方程，然后结合直角坐标与极坐标的相互转化公式即可求解．解答：解：（1）直线l：（t为参数）化为普通方程为y=tanα（x-2）+1，令x=0，得y=1-2tanα，令y=0，得x=2-，所以|PA|=，所以|PA||PB|=整理得tan 2α=1，因为l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，所以tanα＜0，{x =2+tcosα，y =1+tsinα1tanα√4+4ta αn 2所以tanα=-1，故α=；（2）由（1）得y=-（x-2）+1，即x+y-3=0，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0，即ρ=．3π43sinθ+cosθ（2023•甲卷）设a＞0，函数f（x）=2|x-a|-a.（1）求不等式f（x）＜x的解集；（2）若曲线y=f（x）与x轴所围成的图形的面积为2，求a.答案：（1）（，3a）．（2）a=2．a 3解析：（1）根据绝对值的意义表示成分段函数，解不等式即可．（2）作出f（x）的图象，求出交点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）∵a＞0，∴当x≥a时，f（x）=2（x-a）-a=2x-3a,当x＜a时，f（x）=-2（x-a）-a=-2x+a,则当x≥a时，由f（x）＜x得2x-3a＜x,x＜3a,此时a≤x＜3a,当x＜a时，由f（x）＜x得-2x+a＜x,x＞，此时＜x ＜a,综上＜x＜3a,即不等式的解集为（，3a）．（2）作出f（x）的图象如图：则A（，0），B（，0），C（a,-a），则|AB|=-=a,则△ABC的高h=a,则S △ABC =•a•a=2，得a 2=4，即a=2．a 3a 3a 3a 3a 23a 23a 2a 212。
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（B） cot xdx （D）
dx 2 x sin x
[ （B）有三个实根 0, 2, 3 （D）有一个实根，位于 (0,3) 之间 [ ]
]
（B） f ( x0 ) 0 或不存在 （D）必有 f ( x0 ) 0 [ （B）增、凸 （D）减、凸 [ ] ]
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）
1． lim
n
1 2 3 n n2
[ （B）
1 2
]
（A）0 （C）不存在 2．下列极限中，正确的是 （A） lim
sin x 1 x x sin x 1 2x
（D） 1 [ （B） lim x sin
1．设曲线 y 2 x ， (1) 求过曲线上 ( 2, 2) 点的切线方程； (2) 求此切线与曲线 y 2 x 及直线 y 0 所围成的平面图形的面积. 2. 已知某商品的价格 p 36
Q ，成本函数 c(Q) 12 20Q Q2 ，求使该商品利润最大时 3
的产量和最大利润.（其中 p 表示价格， Q 表示产量）
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线
订
装
0 1
[
]
（B） x 2 dx
0
1
（C） y 2 dy
0
1
（D） xdx
0
1
三、求下列各题： （本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
1．求极限 lim
x 0
e2 x 1 sin 3 x
dy dx
2．设 y sin3 (ln x) ，求
x2 x 1 3．求不定积分 dx x( x 2 1)
（A） 1 ln 1 x
1 （B） x ln 1 x x ln 1 x C 2 1 （D） x ln 1 x x C 2
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8．由 y x , x 1, y 0 围成的平面图形绕 x 轴旋转形成旋转体的体积 （A） ydy
厦门理工学院试卷
－ 课程名称
学号
学年 第 一 学期 试卷 卷别
高等数学（Ⅲ）
级 班级
A B
闭卷
√
□
√
_________专业
线
考试 方式
开卷 □
栏
姓名
本试卷共
5 大题( 3 页)，满分 100 分，考试时间 120 分钟。
请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。
息
一、填空题： （本题共 10 个空格，每个空格 2 分，共 20 分）
4．求定积分
2
0
xe x dx
2
四、计算下列各题（本题共 3 小题，每题 8 分，共 24 分）
1．判断 sin
n 1
2n
的敛散性.
2．求 y 2x3 3x2 的极值. 3．求 y xe x 的拐点与凹凸区间.
五、应用题（本题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）
2x2 3 1． lim 2 x x 2 x 5
2． lim(1 )3 x
x
信
级 班级
.
订
1 x
生
. . . . . . .
专业 考
4．设 y arctan x ，则 dy
装
5．设 z cos( x 2 y ) ，则
x
]
1 1 x
sin
（D） lim
x 0
（C） lim
x 0
1 x
1 x 1
[ ]
3．设 y lnsin x ，则 dy dx （A） sin x cot x （C） dx 2 x 4．设 f ( x) x( x 2)( x 3), 则方程 f ( x) 0 （A）无实根 （C）有二个实根，分别位于 (0, 2),(2,3) 之间 5．设 x0 为 f ( x) 的极大值点，则 （A） 必有 f ( x0 ) 0 （C） f ( x0 ) 为 f ( x ) 在定义域内的最大值 6．曲线 y x3 1 在区间 0, 内 （A）增、凹 （C）减、凹 7． ln 1 xdx
z y
6．设 y xn e2 x ，则 y( n) 7．曲线 y xe x 的单调增区间是
8．点 (0,1) 是曲线 y 3x3 ax2 1 的拐点，则有 a 9．不定积分 x cos xdx 10．
4
系
. .
4
sec2 xdx
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