第三章非稳态热传导
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1.初始温度分布的影响已消失 ； 2.物体内所有各点的冷却率或加热率都相同，且不随时间而变化 3.虽然 、 m都随时间而变化，但它们的比值与时间无关，只取决于 毕渥数与几何位置 x
2）毕渥数对解的影响 Bi
h
1. Bi
表明对流换热热阻趋于零，平壁表面 与流体之间的温差趋于零，意味着非稳态 导热一开始平壁的表面温度就立即变为流 体温度 。平壁内部的温度变化完全取决 于平壁的导热热阻。
a a
分子为从非稳态导热过程开始到时刻的时间
Fo为两个时间之比，是非稳 态导热过程的无量纲时间。
分母为温度变化波及到面积δ2所需要的时间
毕渥数的物理意义:
h Bi 1
h
Bi为物体内部的导热热阻与边界处的
对流换热热阻之比
求解结果：
2 sin n x, x cos n e 0 n 1 n sin n cos n
2
83.6
3 2 2
c p
83.6 0.05m 3m 1968s 32.8 min 43.2W/(m K) 7790kg/m3 470J/(kg K)
即钢球中心温度达到800℃需要32.8 分钟。
本章小结
重点掌握以下内容：
1） 非稳态导热的特点；
2）非稳态导热的数学描述； 3）求解非稳态导热问题的集总参数法；
具有时间的量纲
时，物体的过余温度按指 数函数规律下降，一开始 温差大，下降迅速，随着 温差的减小，下降的速度 越来越缓慢。
讨论: 当 c 时
e 1 0.368 36.8% 0
物体的过余温度达到初始过余温度的36.8%时间常数反映 物体对周围环境温度变化响应的快慢，时间常数越小，物体的 温度变化越快。
BiV FoV cV 0 1 cV 0 1 e 0
集总参数法应用例题： 补充例题1：
P121 例3-1
补充例题1：
解：首先判断能否用集总参数法求解：
毕渥数为： BiV
hR 3
50W/(m2 K) 0.05m 3 0.1 0.019 43.3W/(m K) 3
集总参数法 分析示意图
求解:
引进过余温度
t t
分离变量法 d cV hA d 积分求解
hA cV
d
0
hA d cV 0
e 0
hA exp cV
解： e 0
hA cV
集总参数法的实质是直接运用能量守恒定律导出物体 在非稳态导热过程中温度随时间的变化规律。
2. 集总参数法温度场的求解 假设：一个任意形状的物体，体积为
V，表面面积为A，密度、比热容c及 热导率为常数，无内热源，初始温度 为。突然将该物体放入温度恒定为的流 体之中，且物体表面和流体之间对流换 热的表面传热系数h为常数。 假设该问题满足的条件 ：Bi 01 .
集总参数法 分析示意图
问题: 确定该物体在冷却过程中温度随时间的变化规
律以及放出的热量。
wk.baidu.com 2. 集总参数法温度场的求解
根据能量守恒，单位时间物体热力学能 的变化量应该等于物体表面与流体之间的 对流换热量，即
dt cV hAt t d
初始条件为： 0, 0 t0 t
思考题： 试从影响时间常数的主要因素说明如何提 高热电偶 测温时的温度响应特性？
导热量的计算
e 0
hA cV
hA exp cV
物体温度随时间的变化规律确定之后， 0 ~
时间内物体和周围环境之间交换的热量为：
Q cV t0 t cV 0
傅里叶数对解的影响
上式可改为
ln m CBi, x
选讲
上式说明：
2 0 . 2 a 当傅里叶数Fo 0.2时，即
平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并 且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非稳态 导热的正规状况阶段。 非稳态导热正规状况阶段的特点：
本章具体内容安排：
3.1 非稳态导热问题的基本概念 3.2 零维问题分析法-----集中参数法
注：非稳态导
3.1 非稳态导热的基本概念
热在热量传递方 向不同位置处， 非稳态导热是指温度场随时间变化的导热过程 导热量处处不同
3.1.1非稳态导热过程的类型及特点
1）周期性的非稳态导热 在周期性变化的边界条件下发生的导热过程 2）瞬态导热 在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程
0
t t e BiV FoV t0 t
可以用集总参数法求解。根据公式： 将已知条件代入上式
800 C 1000C e 0.019 FoV 20 C 1000C
可解得： FoV 83.6 即 由此可得：
83.6R 3
2
R 3
a
. 时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对 当Bi 01 流换热热阻，可以忽略，物体内部各点的温度在任一时刻 都趋于均匀，物体的温度只是时间的函数，与坐标无关。 对于这种情况下的非稳态导热问题，只须求出温度随时间 的变化规律以及在温度变化过程中物体放出或吸收的热量。 这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数 法。
如：热处理工件的加热或冷却等 如内燃机汽 缸壁的导热
瞬态导热过程的特点：
两个阶段： 非正规状况阶段 正规状况阶段
瞬态导热过程的特点：
以“平壁导热为例”
非正规状况阶段特点：
平壁内部的温度分布主要 受初始温度分布的影响
正规状况阶段特点：
非稳态导热进行了一段时间 后，物体内各点的温度变化 遵循相同的规律。 注：本章研究的非稳态导热问题主要讨论
注：工程上只要 Bi 100 就可以
近似地按这种情况处理。
Bi
2）毕渥数对解的影响 Bi
h
2. Bi 0
意味着平壁的导热 热阻趋于零，平壁内部 各点的温度在任一时刻 都趋于均匀一致，只随 时间而变化，变化的快 慢完全取决于平壁表面 的对流换热强度。 注：工程上只要 Bi 01 . 就可以
近似地按这种情况处理。
Bi 0
2）毕渥数对解的影响 Bi
h
3. 01 . Bi 100
平壁的温度变化既取 决于平壁内部的导热热 阻，也取决于平壁外部 的对流换热热阻。
01 . Bi 100
3.2 零维问题分析法----集总（中）参数法
1.什么是集总参数法？（Lumped parameter method)
2 n Fo
1）傅里叶数对解的影响
当傅里叶数Fo 0.2时，取级数的第一项来近似整个级数 产生的误差很小，对工程计算已足够精确。 2 sin 1 x, x 12 Fo 即： cos 1 e 0 1 sin 1 cos 1
Fo a
问题.
导热微分方程： t a 2 t x 定解条件: 初始条件: 0,
2
t t0
边界条件： x 0,
t 0 （对称性 ） x
x ,
求解该导热问题：
引进过余温度
t ht t x
t t
2 a 2 x
解：
e Bi Fo exp BiV FoV 0
V V
注：式中毕渥数与傅里 叶数的下角标V表示以
l V A 为特征长度
e 0
hA cV
hA exp cV
称为时间常数
定义： c cV
hA
解表明：当
Bi 01 .
0, 0 t 0 t
x 0,
x ,
0 x
h x
引进无量纲过余温度 引进无量纲坐标
0
a 2 2 X 2
X x
0, 0 1
X 0, 0 X
2 a X 2 2
式中：
2 n Fo
选讲
1、2、 、是超越方程
t an
Bi
的根
解的函数形式为无穷级数
2 sin n x, x 关于解的讨论： cos n e 0 n 1 n sin n cos n
t an Bi
正规状况阶段的温度变化规律
3.1.2. 一维非稳态导热问题的分析解
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却 是工程上常见的一维非稳态导热问题，重点讨论大平壁的导 热问题。
1) 无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解
假设：一厚度为2δ的无限大平壁，材料
的热导率λ、热扩散率a为常数，无内热源， 初始温度与两侧的流体相同为t0，突然将两 侧流体温度降为tf ，并保持不变，假设平壁 表面与流体间对流换热的表面传热系数h为 常数。 考虑到温度场的对称性，选取坐标系 如图 ,是一个一维的非稳态导热
hA exp cV
解的讨论:
式中
hA hV A cV c V A2
集总参数法 分析示意图
令 V Al
具有长度的量纲，称为物体的特征长度
hA hl hl a 2 BiV FoV 2 cV c l l
选讲
2
式中
m
2 1
将式子左、右两边取对数，可得： 2 sin 1 x ln m ln 0 cos 1 1 sin 1 cos 1
a
可简写成
2
取决于第三类边界条 件、平壁的物性与几 何尺寸
C Bi, x
只与Bi, x/δ有关， 与时间无关
通过量纲分析发现：
h X 1, X
定义：
Fo
a 2
h 为无量纲数
Fo称为傅里叶数
a
a h f ( 2 、 、X )
2
Bi
h
Bi称为毕渥数
确定上式所表达的函数 关系，是求解该非稳态 导热问题的主要任务
傅里叶数的物理意义：
Fo 2 2
复习题P151：1. 2. 6. 习题：3-10，3-13
2）毕渥数对解的影响 Bi
h
1. Bi
表明对流换热热阻趋于零，平壁表面 与流体之间的温差趋于零，意味着非稳态 导热一开始平壁的表面温度就立即变为流 体温度 。平壁内部的温度变化完全取决 于平壁的导热热阻。
a a
分子为从非稳态导热过程开始到时刻的时间
Fo为两个时间之比，是非稳 态导热过程的无量纲时间。
分母为温度变化波及到面积δ2所需要的时间
毕渥数的物理意义:
h Bi 1
h
Bi为物体内部的导热热阻与边界处的
对流换热热阻之比
求解结果：
2 sin n x, x cos n e 0 n 1 n sin n cos n
2
83.6
3 2 2
c p
83.6 0.05m 3m 1968s 32.8 min 43.2W/(m K) 7790kg/m3 470J/(kg K)
即钢球中心温度达到800℃需要32.8 分钟。
本章小结
重点掌握以下内容：
1） 非稳态导热的特点；
2）非稳态导热的数学描述； 3）求解非稳态导热问题的集总参数法；
具有时间的量纲
时，物体的过余温度按指 数函数规律下降，一开始 温差大，下降迅速，随着 温差的减小，下降的速度 越来越缓慢。
讨论: 当 c 时
e 1 0.368 36.8% 0
物体的过余温度达到初始过余温度的36.8%时间常数反映 物体对周围环境温度变化响应的快慢，时间常数越小，物体的 温度变化越快。
BiV FoV cV 0 1 cV 0 1 e 0
集总参数法应用例题： 补充例题1：
P121 例3-1
补充例题1：
解：首先判断能否用集总参数法求解：
毕渥数为： BiV
hR 3
50W/(m2 K) 0.05m 3 0.1 0.019 43.3W/(m K) 3
集总参数法 分析示意图
求解:
引进过余温度
t t
分离变量法 d cV hA d 积分求解
hA cV
d
0
hA d cV 0
e 0
hA exp cV
解： e 0
hA cV
集总参数法的实质是直接运用能量守恒定律导出物体 在非稳态导热过程中温度随时间的变化规律。
2. 集总参数法温度场的求解 假设：一个任意形状的物体，体积为
V，表面面积为A，密度、比热容c及 热导率为常数，无内热源，初始温度 为。突然将该物体放入温度恒定为的流 体之中，且物体表面和流体之间对流换 热的表面传热系数h为常数。 假设该问题满足的条件 ：Bi 01 .
集总参数法 分析示意图
问题: 确定该物体在冷却过程中温度随时间的变化规
律以及放出的热量。
wk.baidu.com 2. 集总参数法温度场的求解
根据能量守恒，单位时间物体热力学能 的变化量应该等于物体表面与流体之间的 对流换热量，即
dt cV hAt t d
初始条件为： 0, 0 t0 t
思考题： 试从影响时间常数的主要因素说明如何提 高热电偶 测温时的温度响应特性？
导热量的计算
e 0
hA cV
hA exp cV
物体温度随时间的变化规律确定之后， 0 ~
时间内物体和周围环境之间交换的热量为：
Q cV t0 t cV 0
傅里叶数对解的影响
上式可改为
ln m CBi, x
选讲
上式说明：
2 0 . 2 a 当傅里叶数Fo 0.2时，即
平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并 且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非稳态 导热的正规状况阶段。 非稳态导热正规状况阶段的特点：
本章具体内容安排：
3.1 非稳态导热问题的基本概念 3.2 零维问题分析法-----集中参数法
注：非稳态导
3.1 非稳态导热的基本概念
热在热量传递方 向不同位置处， 非稳态导热是指温度场随时间变化的导热过程 导热量处处不同
3.1.1非稳态导热过程的类型及特点
1）周期性的非稳态导热 在周期性变化的边界条件下发生的导热过程 2）瞬态导热 在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程
0
t t e BiV FoV t0 t
可以用集总参数法求解。根据公式： 将已知条件代入上式
800 C 1000C e 0.019 FoV 20 C 1000C
可解得： FoV 83.6 即 由此可得：
83.6R 3
2
R 3
a
. 时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对 当Bi 01 流换热热阻，可以忽略，物体内部各点的温度在任一时刻 都趋于均匀，物体的温度只是时间的函数，与坐标无关。 对于这种情况下的非稳态导热问题，只须求出温度随时间 的变化规律以及在温度变化过程中物体放出或吸收的热量。 这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数 法。
如：热处理工件的加热或冷却等 如内燃机汽 缸壁的导热
瞬态导热过程的特点：
两个阶段： 非正规状况阶段 正规状况阶段
瞬态导热过程的特点：
以“平壁导热为例”
非正规状况阶段特点：
平壁内部的温度分布主要 受初始温度分布的影响
正规状况阶段特点：
非稳态导热进行了一段时间 后，物体内各点的温度变化 遵循相同的规律。 注：本章研究的非稳态导热问题主要讨论
注：工程上只要 Bi 100 就可以
近似地按这种情况处理。
Bi
2）毕渥数对解的影响 Bi
h
2. Bi 0
意味着平壁的导热 热阻趋于零，平壁内部 各点的温度在任一时刻 都趋于均匀一致，只随 时间而变化，变化的快 慢完全取决于平壁表面 的对流换热强度。 注：工程上只要 Bi 01 . 就可以
近似地按这种情况处理。
Bi 0
2）毕渥数对解的影响 Bi
h
3. 01 . Bi 100
平壁的温度变化既取 决于平壁内部的导热热 阻，也取决于平壁外部 的对流换热热阻。
01 . Bi 100
3.2 零维问题分析法----集总（中）参数法
1.什么是集总参数法？（Lumped parameter method)
2 n Fo
1）傅里叶数对解的影响
当傅里叶数Fo 0.2时，取级数的第一项来近似整个级数 产生的误差很小，对工程计算已足够精确。 2 sin 1 x, x 12 Fo 即： cos 1 e 0 1 sin 1 cos 1
Fo a
问题.
导热微分方程： t a 2 t x 定解条件: 初始条件: 0,
2
t t0
边界条件： x 0,
t 0 （对称性 ） x
x ,
求解该导热问题：
引进过余温度
t ht t x
t t
2 a 2 x
解：
e Bi Fo exp BiV FoV 0
V V
注：式中毕渥数与傅里 叶数的下角标V表示以
l V A 为特征长度
e 0
hA cV
hA exp cV
称为时间常数
定义： c cV
hA
解表明：当
Bi 01 .
0, 0 t 0 t
x 0,
x ,
0 x
h x
引进无量纲过余温度 引进无量纲坐标
0
a 2 2 X 2
X x
0, 0 1
X 0, 0 X
2 a X 2 2
式中：
2 n Fo
选讲
1、2、 、是超越方程
t an
Bi
的根
解的函数形式为无穷级数
2 sin n x, x 关于解的讨论： cos n e 0 n 1 n sin n cos n
t an Bi
正规状况阶段的温度变化规律
3.1.2. 一维非稳态导热问题的分析解
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却 是工程上常见的一维非稳态导热问题，重点讨论大平壁的导 热问题。
1) 无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解
假设：一厚度为2δ的无限大平壁，材料
的热导率λ、热扩散率a为常数，无内热源， 初始温度与两侧的流体相同为t0，突然将两 侧流体温度降为tf ，并保持不变，假设平壁 表面与流体间对流换热的表面传热系数h为 常数。 考虑到温度场的对称性，选取坐标系 如图 ,是一个一维的非稳态导热
hA exp cV
解的讨论:
式中
hA hV A cV c V A2
集总参数法 分析示意图
令 V Al
具有长度的量纲，称为物体的特征长度
hA hl hl a 2 BiV FoV 2 cV c l l
选讲
2
式中
m
2 1
将式子左、右两边取对数，可得： 2 sin 1 x ln m ln 0 cos 1 1 sin 1 cos 1
a
可简写成
2
取决于第三类边界条 件、平壁的物性与几 何尺寸
C Bi, x
只与Bi, x/δ有关， 与时间无关
通过量纲分析发现：
h X 1, X
定义：
Fo
a 2
h 为无量纲数
Fo称为傅里叶数
a
a h f ( 2 、 、X )
2
Bi
h
Bi称为毕渥数
确定上式所表达的函数 关系，是求解该非稳态 导热问题的主要任务
傅里叶数的物理意义：
Fo 2 2
复习题P151：1. 2. 6. 习题：3-10，3-13