第三章非稳态热传导

傅里叶数对解的影响
上式可改为
ln m CBi, x
选讲
上式说明：
2 0 . 2 a 当傅里叶数Fo 0.2时，即
平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并 且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非稳态 导热的正规状况阶段。 非稳态导热正规状况阶段的特点：
本章具体内容安排：
3.1 非稳态导热问题的基本概念 3.2 零维问题分析法-----集中参数法
注：非稳态导
3.1 非稳态导热的基本概念
热在热量传递方 向不同位置处， 非稳态导热是指温度场随时间变化的导热过程 导热量处处不同
3.1.1非稳态导热过程的类型及特点
1）周期性的非稳态导热 在周期性变化的边界条件下发生的导热过程 2）瞬态导热 在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程
复习题P151：1. 2. 6. 习题：3-10，3-13
如：热处理工件的加热或冷却等 如内燃机汽 缸壁的导热
瞬态导热过程的特点：
两个阶段： 非正规状况阶段 正规状况阶段
瞬态导热过程的特点：
以“平壁导热为例”
非正规状况阶段特点：
平壁内部的温度分布主要 受初始温度分布的影响
正规状况阶段特点：
非稳态导热进行了一段时间 后，物体内各点的温度变化 遵循相同的规律。 注：本章研究的非稳态导热问题主要讨论
通过量纲分析发现：
h X 1, X
定义：
Fo
a 2
h 为无量纲数
Fo称为傅里叶数
a
a h f ( 2 、 、X )



2
Bi
h

Bi称为毕渥数
确定上式所表达的函数 关系，是求解该非稳态 导热问题的主要任务
傅里叶数的物理意义：
Fo 2 2
0, 0 t 0 t
x 0,
x ,
0 x
h x
引进无量纲过余温度 引进无量纲坐标
0
a 2 2 X 2
X x
0, 0 1
X 0, 0 X
2 a X 2 2
1.初始温度分布的影响已消失 ； 2.物体内所有各点的冷却率或加热率都相同，且不随时间而变化 3.虽然 、 m都随时间而变化，但它们的比值与时间无关，只取决于 毕渥数与几何位置 x
2）毕渥数对解的影响 Bi
h

1. Bi
表明对流换热热阻趋于零，平壁表面 与流体之间的温差趋于零，意味着非稳态 导热一开始平壁的表面温度就立即变为流 体温度 。平壁内部的温度变化完全取决 于平壁的导热热阻。
. 时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对 当Bi 01 流换热热阻，可以忽略，物体内部各点的温度在任一时刻 都趋于均匀，物体的温度只是时间的函数，与坐标无关。 对于这种情况下的非稳态导热问题，只须求出温度随时间 的变化规律以及在温度变化过程中物体放出或吸收的热量。 这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数 法。
式中：
2 n Fo
选讲
1、2、 、是超越方程
t an
Bi

的根
解的函数形式为无穷级数
2 sin n x, x 关于解的讨论： cos n e 0 n 1 n sin n cos n
t an Bi
注：工程上只要 Bi 100 就可以
近似地按这种情况处理。
Bi
2）毕渥数对解的影响 Bi
h

2. Bi 0
意味着平壁的导热 热阻趋于零，平壁内部 各点的温度在任一时刻 都趋于均匀一致，只随 时间而变化，变化的快 慢完全取决于平壁表面 的对流换热强度。 注：工程上只要 Bi 01 . 就可以
2
83.6
3 2 2
c p

83.6 0.05m 3m 1968s 32.8 min 43.2W/(m K) 7790kg/m3 470J/(kg K)


即钢球中心温度达到800℃需要32.8 分钟。
本章小结
重点掌握以下内容：
1） 非稳态导热的特点；
2）非稳态导热的数学描述； 3）求解非稳态导热问题的集总参数法；
解：
e Bi Fo exp BiV FoV 0V V注：式中毕数与傅里 叶数的下角标V表示以
l V A 为特征长度
e 0

hA cV
hA exp cV
称为时间常数
定义： c cV
hA
解表明：当
Bi 01 .
思考题： 试从影响时间常数的主要因素说明如何提 高热电偶 测温时的温度响应特性？
导热量的计算
e 0

hA cV
hA exp cV
物体温度随时间的变化规律确定之后， 0 ~
时间内物体和周围环境之间交换的热量为：
Q cV t0 t cV 0
集总参数法的实质是直接运用能量守恒定律导出物体 在非稳态导热过程中温度随时间的变化规律。
2. 集总参数法温度场的求解 假设：一个任意形状的物体，体积为
V，表面面积为A，密度、比热容c及 热导率为常数，无内热源，初始温度 为。突然将该物体放入温度恒定为的流 体之中，且物体表面和流体之间对流换 热的表面传热系数h为常数。 假设该问题满足的条件 ：Bi 01 .
BiV FoV cV 0 1 cV 0 1 e 0


集总参数法应用例题： 补充例题1：
P121 例3-1
补充例题1：
解：首先判断能否用集总参数法求解：
毕渥数为： BiV
hR 3

50W/(m2 K) 0.05m 3 0.1 0.019 43.3W/(m K) 3
正规状况阶段的温度变化规律
3.1.2. 一维非稳态导热问题的分析解
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却 是工程上常见的一维非稳态导热问题，重点讨论大平壁的导 热问题。
1) 无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解
假设：一厚度为2δ的无限大平壁，材料
的热导率λ、热扩散率a为常数，无内热源， 初始温度与两侧的流体相同为t0，突然将两 侧流体温度降为tf ，并保持不变，假设平壁 表面与流体间对流换热的表面传热系数h为 常数。 考虑到温度场的对称性，选取坐标系 如图 ,是一个一维的非稳态导热
hA exp cV
解的讨论:
式中
hA hV A cV c V A2
集总参数法 分析示意图
令 V Al
具有长度的量纲，称为物体的特征长度
hA hl hl a 2 BiV FoV 2 cV c l l
2 n Fo
1）傅里叶数对解的影响
当傅里叶数Fo 0.2时，取级数的第一项来近似整个级数 产生的误差很小，对工程计算已足够精确。 2 sin 1 x, x 12 Fo 即： cos 1 e 0 1 sin 1 cos 1
Fo a
近似地按这种情况处理。
Bi 0
2）毕渥数对解的影响 Bi
h

3. 01 . Bi 100
平壁的温度变化既取 决于平壁内部的导热热 阻，也取决于平壁外部 的对流换热热阻。
01 . Bi 100
3.2 零维问题分析法----集总（中）参数法
1.什么是集总参数法？（Lumped parameter method)
0
t t e BiV FoV t0 t
可以用集总参数法求解。根据公式： 将已知条件代入上式
800 C 1000C e 0.019 FoV 20 C 1000C
可解得： FoV 83.6 即 由此可得：
83.6R 3
2
R 3
a
a a
分子为从非稳态导热过程开始到时刻的时间
Fo为两个时间之比，是非稳 态导热过程的无量纲时间。
分母为温度变化波及到面积δ2所需要的时间
毕渥数的物理意义:
h Bi 1
h
Bi为物体内部的导热热阻与边界处的
对流换热热阻之比
求解结果：
2 sin n x, x cos n e 0 n 1 n sin n cos n
集总参数法 分析示意图
求解:
引进过余温度
t t
分离变量法 d cV hA d 积分求解
hA cV


d
0
hA d cV 0

e 0
hA exp cV
解： e 0

hA cV

选讲

2
式中
m
2 1
将式子左、右两边取对数，可得： 2 sin 1 x ln m ln 0 cos 1 1 sin 1 cos 1
a
可简写成

2
取决于第三类边界条 件、平壁的物性与几 何尺寸
C Bi, x
只与Bi, x/δ有关， 与时间无关
问题.
导热微分方程： t a 2 t x 定解条件: 初始条件: 0,
2
t t0
边界条件： x 0,
t 0 （对称性 ） x
x ,
求解该导热问题：
引进过余温度
t ht t x
t t
2 a 2 x
集总参数法 分析示意图
问题: 确定该物体在冷却过程中温度随时间的变化规