高中数学必修四《解三角形中的取值范围问题》
高中数学。三角形中的最值、范围问题。练习题(含答案)
高中数学。
三角形中的最值、范围问题。
练习题(含答案)解三角形问题是高考高频考点。
主要利用三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识解题。
在解题过程中，需要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”。
另外，要注意a+c。
ac。
a+c三者的关系。
高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题。
如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。
而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式。
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。
例如：（1）sinA+sinB-sinAsinB=sinC。
可化为a+b-ab=c；（2）bcosC+ccosB=a 可化为sinBcosC+sinCcosB=sinA（恒等式）；（3) bcsinBsinC/2=asinA/2.余弦定理为a²=b²+c²-2bccosA。
变式为a=(b+c)-2bc(1+cosA)。
此公式在已知a,A的情况下，配合均值不等式可得到b+c和bc的最值。
在三角形中，任意两边之和大于第三边。
在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。
在求最值时使用较少。
另外，在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系。
例如a>b则A>B，则sinA>sinB，cosAB 则cosAB则sinA>sinB仅在一个三角形内有效。
解三角形中处理不等关系的几种方法包括：（1）转变为一个变量的函数；（2）利用均值不等式求得最值。
例如，已知四边形面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的最大值为多少？答案】1) $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；2) $a+b+c$ 的最大值为 $2\sqrt{3}+\sqrt{6}$。
浅析解三角形中的最值与范围问题解题方法
浅析解三角形中的最值与范围问题解题方法作者：沈燕云来源：《神州·下旬刊》2019年第10期摘要：解三角形是高中数学中的教学重点之一，是高考的高频考点，而其中的最值与范围问题的综合性较强，是学生解题中的一大难点。
本文旨在浅析解三角形中的最值与范围问题的解题方法，帮助学生较好的理解和掌握这类问题的做题技巧。
关键词：解三角形;不等式;最值与范围问题知识储备：1、正弦定理：，其中R为ΔABC外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为方程或分式关于边或者角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。
2、余弦定理：变式：此公式在已知a， A的情况下，配合均值不等式可得到b+c和bc的最值。
3、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少。
（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.4、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）问题。
（2）利用均值不等式求最值。
例1.已知锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ΔABC的面积最大值为_____.[分析]先化简得，，则只需求bc的最大值，此时既可以用余弦定理结合均值不等式解决，也可以用正弦定理将边化为角的正弦，利用三角函数的有界性解决。
具体解法如下：解法一：由余弦定理，即，当且仅当时取得等号，即，所以ΔABC面积的最大值为.解法二：由正弦定理，则因为ΔABC为锐角三角形，则则，所以ΔABC的面积即ΔABC面积的最大值为[总结]容易看到解法一简洁，解法二复杂，但解法一中无法体现三角形是锐角三角形，只能求出三角形面积的最大值，解法二则非常清晰地体现了锐角三角形中角的取值范围，可以求出面积的下限。
解三角形中取值范围的求解策略例谈
技法点拨摘要：解三角形是高考数学考查的重点内容，从历年高考真题来看题型难度中等。
有关取值范围的问题是一个难点，涉及的问题主要有三角形边或边的比值的取值范围、角的取值范围、面积和周长等几类。
关键词：解三角形；取值范围；高考解三角形是普通高中数学重要的内容之一，主要研究三角形中边和角的关系，其中有关取值范围的考题是历年高考的重点和热点。
解三角形中的取值范围问题通常有三类，一是边或边的比值的取值范围；二是角的取值范围；三是三角形的周长或面积的取值范围。
本文结合实例，分析求解解三角形取值范围的常用策略。
一、运用函数思想方法求解取值范围函数思想方法，是破解取值范围和最值问题的强大武器。
运用函数思想方法的关键是合理选择自变量，在解三角形的取值范围中，主要以角为自变量，通过三角函数的有界性求解。
例1.（2020年浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知2b sin A -3a =0.（1）求角B 的大小；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围.解：（1）B =π3（过程略）.（2）由A +B +C =π得C =2π3-A ，由△ABC 是锐角三角形，得ìíîïïïï0<A <π20<C <π2，即ìíîïïïï0<A <π20<2π2-A <π2，解得π6<A <π2.由cos C =cos(2π3-A )=-12cos A+A ，得cos A +cos B +cos C=A +12cos A +12=sin(A +π6)+12，因为π3<A +π6<2π3，sin(A +π6)≤1，<sin(A +π6)+12≤32，得cos A +cos B +cosC∈(32].故cos A +cos B +cosC ∈(3+12,32].点评：本题把求解的式子转化为关于角A 的三角函数，也可以转化为角C 的三角函数，无论转化为哪一种都有求出角的范围。
三角形中的范围问题
三角形中的范围问题
在三角形中，范围问题通常涉及到角度、边长、高、中线等元素的取值范围。
以下是一些常见的三角形中的范围问题：
1.角度范围：根据三角形的性质，一个三角形的三个内角之和为180度。
因此，
三角形的每个角都有一个范围，例如一个角最小为30度，那么其余两个角的和最大为150度。
2.
3.边长范围：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
因此，可以根据已知的两边长来计算第三边的可能范围。
4.
5.高范围：三角形的高是从顶点垂直到对应的底边的线段。
根据三角形的形状
和大小，高可以有一个范围。
例如，在直角三角形中，斜边上的高可以通过毕达哥拉斯定理计算出来，并有一个特定的范围。
6.
7.中线范围：三角形的中线是从顶点垂直到对应的底边的中点的线段。
中线的
长度也有一个范围，可以使用中线的性质来计算。
8.
解决三角形中的范围问题时，通常需要结合三角形的基本性质和几何知识，通过逻辑推理和数学计算来确定元素的取值范围。
高中数学复习提升专题03 解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题03 解三角形中的最值、范围问题高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕解三角形中的最值、范围问题精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.【热点难点突破】例1.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.例2.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.详解：，，即，，则，为钝角，，，故.例3.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.（1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）当为正三角形时，周长的最大值为6.【解析】（1）由正弦定理，得，再结合，得，解得，由为锐角三角形，得.（2）由、及余弦定理，得，即，结合，得，解得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），故当为正三角形时，周长的最大值为6.例4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a =，242cos sin 25B C A ++=. （1）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，求b 的取值范围； （2）当ABC ∆的周长取最大值时，求b 的值. 【答案】（1）10(0,2]{}3；（210【解析】 （1）2442cossin 1cos()sin 255B C A B C A ++=⇒+++=，即1sin cos 5A A -=-， 又∵0A π<<，且22sin cos 1A A +=，有3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，若满足条件的ABC ∆有且只有一个，则有sin a b A =或a b ≥，则b 的取值范围为10(0,2]{}3；（2）设ABC ∆的周长为l ，由正弦定理得 10(sin sin )2[sin sin()]sin 3a l abc a B C B A B A =++=++=+++102(sin sin cos cos sin )22(3sin cos )2210)3B A B A B B B B θ=+++=++=++， 其中θ为锐角，且10sin 10310cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，max 2210l =+10cos B =，310sin B = 此时sin 10sin ab B A==例5. 【2016年北京卷】在∆ABC 中，2222+=a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（22cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）1. 【解析】（1）由余弦定理及题设得22222cos 222a cb ac B ac ac +-===，又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=， 32cos 2cos()4A C A A π+=+-22222A A A =-+ 22cos()4A A A π==-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=2cos A C +取得最大值1.例6. 如图，有一码头P 和三个岛屿,,A B C ， 303,90mi ,30PC mile PB n le AB n mile ===，0120PCB ∠=， 090ABC ∠=.（1）求,B C 两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P .问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.【答案】（1）3mile （2）(30603307n mile +【解析】（1）在PBC ∆中， 090,3,120PB PC PCB ==∠=，由正弦定理得，sin sin PB PCPCB PBC=∠∠，即0903sin120sin PBC =∠， 解得1sin 2PBC ∠=， 又因为在PBC ∆中， 00060PBC <∠<，所以030PBC ∠=， 所以030BPC ∠=，从而303BC PC == 即,B C 两个岛屿间的距离为3mile ；（2）因为090,30ABC PBC ∠=∠=，所以000903060PBA ABC PBC ∠=∠-∠=-=， 在PAB ∆中， 90,30PB AB ==，由余弦定理得，2202212?cos609030290303072PA PB AB PB AB =+-=+-⨯⨯⨯= 根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”，其航程为3073030330330603307S PA AB BC CP =+++=+=+所以应按航线“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”航行， 其航程为(30603307n mile +. 【方法总结】1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解4．在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B ⇔a ＞b .5.已知三边(a b c 如、、），由余弦定理求A B 、，再由180A B C ++=求角C ，在有解时只有一解. 已知两边和夹角(a b C 如、、），余弦定理求出对对边.5．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．【精选精练】1. ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,，满足1≥+++ba cc a b ，则角A 的范围是（ ） A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ 【答案】A 【解析】由1≥+++ba cc a b ，得()()()()b a c a c a c b a b ++≥+++，整理得bc a c b ≥-+222，由余弦定理得2122cos 222≥≥-+=bc bc bc a c b A ，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴3,0πA . 2.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒， BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A. 312⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭米 B. 2米 C. (13米 D. (23+米 【答案】D【解析】由题意设(1)BC x x =>米， (0)AC t t =>米，依题设0.50.5AB AC t =-=-米，在ABC 中，由余弦定理得： 22202cos60AB AC BC ACBC =+-，即()2220.5t t x tx -=+-，化简并整理得：20.25(1)1x t x x -=>-，即0.75121t x x =-++-，因1x >，故0.7512231t x x =-++≥+-312x =+时取等号），此时t 取最小值23，应选答案D 3.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足222b c a bc +-=，0AB BC >，3a = 则b+c 的取值范围是（ ） A. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】由222b c a bc +-=得：2221cos 22b c a A bc +-==，则A=3π，由0AB BC >可知：B 为钝角， 21sin aR A==，则sin ,sin b B c C ==，sin sin sin b c B C B +=+=+2sin(3π)B -33=sin cos 3sin()226B B B π+=+，由于223B ππ<<，25366B πππ<+<，所以13sin()23B π<+<332b c <+<，选B 4.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++，3a S 为ABC ∆的面积，则3cos S B C 的最大值为（ ）（A ）1 （B 31+ （C 3 （D ）3 【答案】C【解析】∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=，设ABC ∆外接圆的半径为R ，则3222sin sin 3a R A π===，∴1R =， ∴133cos sin 3cos 3cos 2S B C bc A B C B C ==+ 3sin 3cos 3)B C B C B C =+=-，故3cos S B C 3C ．5.已知,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，其面积满足214ABC S a ∆=，则cb的最大值为（ ） A.21 B. 2 C. 21 D. 22+【答案】C【解析】根据题意，有211sin 42ABC S a bc A ∆==，应用余弦定理，可得222cos 2sin b c bc A bc A +-=，于是212cos 2sin t t A t A +-=，其中c t b =．于是22sin 2cos 1t A t A t +=+，所以122sin 4A t t π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，从而122t t+≤，解得t 21．选C.6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为32S =，则ab 的最小值为__________． 【答案】12【解析】由正弦定理可得()2sin cos 2sin sin 2sin sin C B A B B C B =+=++，即2sin cos 2sin cos 2sin cos sin C B B C C B B =++，∴2sin cos sin 0B C B +=，∴1cos 2C =-， 23C π=，由133sin 2S ab C =⋅==，∴12c ab =，再由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅，整理可得2222134a b a b ab ab =++≥，当且仅当a b =时，取等号，∴12ab ≥故答案为12. 7.在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】626+2）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF =62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.8. 在中，内角的对边分别为，且满足，为锐角，则的取值范围为__________． 【答案】【解析】分 由结合正弦定理可得：，且，为锐角，则：，即，据此有：，，，，即，，据此可得：，则的取值范围为.9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A m cos ,cos =，()b c a n -=2,，且n m //．（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）3π；（2）34． 【解析】 n m //，所以()0cos 2cos =--A b c B a ，由正弦定理得-B A cos sin ()0cos sin sin 2=-A B C ，A C AB B A cos sin 2cos sin cos sin =+∴()A C B A cos sin 2sin =+∴，由π=++C B A ，A C C cos sin 2sin =∴由于π<<C 0，因此0sin >C ，所以21cos =A ，由于π<<A 0，3π=∴A （2）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622，因此16≤bc ，当且仅当4==c b 时，等号成立；因此ABC ∆面积34sin 21≤=A bc S ，因此ABC ∆面积的最大值34． 10. 已知3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f B =，且3b =2ca -的取值范围. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）33⎛ ⎝ 【解析】试题分析： （1）3x π=是函数()f x 的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质，即可求出单调性；（2）()2f B = 可得3B π=，又3b =由正弦定理得： 2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由230,3sin 3362A A ππ⎛⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即可求出结果. 试题解析： （1）3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭⇒增区间： (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()2f B = sin 2163B B ππ⎛⎫⇒-=⇒= ⎪⎝⎭ 又3b =2sin ,2sin 2sin 3a A c C A π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫⇒-=-- ⎪⎝⎭ 210,,sin ,1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33sin 36A π⎛⎛⎫⇒-∈ ⎪ ⎝⎭⎝，即332c a ⎛⇒-∈ ⎝ 11. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值； （2）若3b =b a ≤，求a 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) )3,3a ∈.【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 044B A B B ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭化简得3sin 2A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 3A π=. （2）∵3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<， 63B ππ<≤由正弦定理得： sin sin a b A B =即： 3sin 32a B =，即32sin a B =由13sin ,22B ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦知)3,3a ⎡∈⎣. 12. 如图，是两个小区所在地，到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对的张角与对的张角相等，试确定点的位置；（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对所张角最大，试确定点的位置.【答案】（1）4；（2）. 【解析】试题分析：(1)利用张角相等的相似性即可确定点P 的位置；(2)由题意得到三角函数，换元之后结合对勾函数的性质可得当时满足题意. 试题解析：（1）张角相等，∴，∴ (2)设，∴， ∴，， ，设，，，， ∴，，当且仅当时，等号成立，此时，即。
解三角形中的取值范围与最值问题
作者：张洁
来源：《理科爱好者(教育教学版)》2019年第04期
【摘要】与解三角形相关的最值（范围）问题在高中数学中经常遇见，但是它涉及的知识面广，灵活性大，综合性强。本文结合具体的例题，归纳了求解三角形的角、边长、面积、周长这几类常见的取值范围与最值问题。
【关键词】解三角形;取值范围;最值
3; ;周长的范围或最值
【例3】【2017年三水一中三模第17题】在△ABC中，。
（1）求∠A的大小;
（2）若，求△ABC的周长的Байду номын сангаас值范围。
在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，可以将所有边的关系转化为角的关系，也可以将角的关系转化为边的关系;这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，借助于三角函数的有界性，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值。
解三角形中常见的不等关系很多，如0c2等，解题中充分利用这些关系，结合不等式的相关性质，可以求出相关变量或解析式的范围或最值.本文结合具体的例题，归纳了以下几类常见的题型。
1; ;角的范围或最值
【例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，设S为△ABC的面积，满足。（1）求角C的大小;（2）求sinA+sinB的最大值。
[2]高一数学提优学案，吉林大学出版社.
[3]张锡花.浅谈解三角形中的范围问题[J].读写算-素质教育论坛，2015（5）.
[4]吉冬林.知其然，知其所以然——浅谈解三角形问题的思路[J].中学课程辅导：高考版，2011（11）.
tanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥
三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题(解析版)-高中数学
三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6，又ω>0，由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到-2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω,k∈Z，所以函数y=3sinωx+cosωx的单调增区间为-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，依题有-π4,2π3⊆-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，则2π3≤π3ω-2π3ω≤-π4，得到0<ω≤12，故选：B.2(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0≤x≤π，所以-2π3≤ωx-2π3≤ωπ-2π3，因为函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ-2π3<3π，解得83≤ω<113，故选：B.3(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①因为f7π12=-f3π4 且7π12+3π42=2π3，所以f2π3=0.①正确.②因为f5π6-x=f(x)所以f(x)的对称轴为x=5π62=5π12,2π3-5π12=π4=T4⇒T=π.②正确.③在一个周期内f x =1只有一个实数解，函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3.当T=2π3时，f x =sin3x，f x =1在区间0,2π上实数解最多为π6,5π6,3π2共3个.③正确.④函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，2T<13π6-2π3≤5T2⇒2⋅2πω<13π6-2π3≤52⋅2πω，解得83<ω≤103；又因为函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3，即2πω≥2π3⇒ω≤3，所以ω∈83,3.④错误故选：C4(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞ B.32,73 ∪52,+∞ C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 【答案】A【解析】令2sin ωx -π6 -1=0得sin ωx -π6 =12，因为ω>0，所以ωx -π6>-π6，令sin z =12，解得z =π6+2k π,k ∈Z 或z =5π6+2k 1π,k 1∈Z ，从小到大将sin z =12的正根写出如下：π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6⋯⋯，因为x ∈π,2π ，所以ωx -π6∈ωπ-π6,2ωπ-π6，当ωπ-π6∈0,π6 ，即ω∈16,13 时，2ωπ-π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，当ωπ-π6∈π6,5π6 ，即ω∈13,1 时，2ωπ-π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，当ωπ-π6∈5π6,13π6 ，即ω∈1,73 时，2ωπ-π6≥17π6，解得ω≥32，故ω∈32,73，当ωπ-π6∈13π6,17π6 ，即ω∈73,3 时，2ωπ-π6≥25π6，解得ω≥136，故ω∈73,3，当ω≥3时，2ωπ-π6-ωπ-π6=ωπ≥3π，此时f x 在π,2π 上至少有两个不同零点，综上，ω的取值范围是32,+∞ .故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin C ，所以2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin A cos B (2cos B -1)+cos A sin B (2cos B -1)=0，即(2cos B -1)sin (A +B )=0，由0<A +B <π，可知sin (A +B )≠0，所以2cos B -1=0，即cos B =12，由0<B <π，知B =π3.(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即16=a 2+c 2-ac ，所以16=a +c 2-3ac ，即ac =13a +c 2-16 ，因为S =12ac sin B =34ac ，L =a +b +c ，所以S L =3ac 4a +c +4=3a +c 2-1612a +c +4，所以S L=312a +c -4 ，又ac ≤a +c 24(当且仅当a =c 时取等号)，所以16=a +c 2-3ac ≥a +c24(当且仅当a =c =4时取等号)，所以a +c ≤8(当且仅当a =c =4时取等号)，所以S L=312a +c -4 ≤312×8-4 =33(当且仅当a =c =4时取等号)，即S L的最大值为33.2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．【解析】(1)选条件①，由3AB ⋅AC =2S ，得3bc cos A =2×12bc sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.选条件②，由a sin B =b cos A -π6 及正弦定理，得sin A sin B =sin B cos A -π6，而sin B >0，则sin A =cos A -π6 =32cos A +12sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.(2)由(1)知A =π3，由正弦定理得b sin B =c sin C =a sin A =6sin π3=22，因此b +c =22sin B +22sin C =22sin B +sin π3+B =2232sin B +32cos B=26sin B +π6由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，解得π6<B <π2，因此π3<B +π6<2π3，则32<sin B +π6≤1，于是32<b +c ≤26，32+6<a +b +c ≤36，所以△ABC 周长的取值范围是(32+6,36].3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD 中，∠A +∠C =180°,BC =3.(1)若AB =6,AD =3,CD =4，求BD ；(2)若∠ABC =120°,△ABC 的面积为932，求四边形ABCD 周长的取值范围.【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠A =32+62-BD 22×3×6，在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠C =32+42-BD 22×3×4，因为∠A +∠C =180°，所以cos ∠A +cos ∠C =0，即32+62-BD 22×3×6+32+42-BD 22×3×4=0，解得BD =33.(2)由已知S △ABC =12×3×AB ×32=932，得AB =6，在△ABC 中，∠ABC =120°，由余弦定理得AC 2=32+62-2×3×6×cos120°=63，则AC =37，设AD=x,CD=y,(x,>0,y>0)，在△ACD中，由余弦定理得372=x2+y2-2xy⋅cos60°=x+y2-3xy，则x+y2=63+3xy≤63+3×x+y22，得x+y24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号，又x+y>AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为37+9,67+9.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为△ABC中，sin B=23cos2A+C2，即2sinB2cos B2=23cos2π-B2=23sin2B2，而0<B<π,∴sin B2>0，故cos B2=3sin B2，故tan B2=33，又0<B<π,∴0<B2<π2，则B2=π6,∴B=π3；(2)由(1)以及题设可得S△ABC=12ac sin B=34a；由正弦定理得a=c sin Asin C=c sin2π3-Csin C=c sin2π3cos C-cos2π3sin Csin C=32cos C+12sin Csin C=32tan C+12，因为△ABC为锐角三角形，0<A<π2，0<C<π2，则0<2π3-C<π2,∴π6<C<π2，则tan C>33,∴0<1tan C<3，则12<32tan C+12<2，即12<a<2，则38<S△ABC<32，即△ABC面积的取值范围为38,32 .03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C= 3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．【解析】(1)在△ABC中，由3b-a sin C=3a cos C及正弦定理，得3sin B-sin A sin C=3sin A cos C，则3sin A cos C+sin A sin C=3sin(A+C)=3sin A cos C+3cos A sin C，即sin A sin C=3cos A sin C，而sin C>0，于是tan A=3，又0<A<π，所以A=π3.(2)由(1)知，A=π3，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sin2π3-Csin C=3cos C+sin Csin C=3tan C+1，由△ABC为锐角三角形，得0<C<π20<2π3-C<π2，解得π6<C<π2，则tan C>13，∴1tan C<3,则1<b<4，所以b的取值范围是1<b<4.2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．【解析】(1)因为2sin B sin C+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sin B sin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sin B sin C-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A∈0,π2，故A=π3，由A+B+C=π，故B+C=π-A=2π3=2A；(2)由(1)得sin A=32,cos A=12，因为sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c-ba=sin C-sin Bsin A=23sin C-32cos C-12sin C=2312sin C-32cos C=23sin C-π3，又锐角△ABC中，有0<C<π20<π-π3-B<π2，解得π6<C<π2，所以-π6<C-π3<π6，则-12<sin C-π3<12，所以-33<23sin C-π3<33，即-33<23sin C-π3<33，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.【解析】(1)∵a2=-233S+ab cos C，∴a2=-33ab sin C+ab cos C，即a=-33b sin C+b cos C，由正弦定理得，sin A=-33sin B sin C+sin B cos C，∴sin B+C=-33sin B sin C+sin B cos C，∴cos B sin C=-33sin B sin C，∵sin C≠0，∴tan B=-3，由0<B<π，得B=2π3.(2)由(1)知，B=2π3，因为AB⊥BD，所以∠ABD=π2，∠DBC=π6，在△BCD中，由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsin C，即DC=2sinπ6sin C=1sin C，在Rt△ABD中，AD=BDsin A=2sin A，∴2 AD +1CD=22sin A+11sin C=sin A+sin C，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3,∴2 AD +1CD=sin A+sin C=sinπ3-C+sin C=sinπ3cos C-cosπ3sin C+sin C=sin C+π3，∵0<C<π3，∴C+π3∈π3,2π3，∴sin C+π3∈32,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且a≠c．(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又a≠c，即a-c≠0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，整理得c=a-2c cos B，由正弦定理得sin C=sin A-2sin C cos B，故sin C=sin B+C-2sin C cos B，即sin C=sin B cos C+sin C cos B-2sin C cos B，整理得sin C=sin B-C，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈0,π2,B∈0,π2，可得B-C∈-π2,π2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，即BM平分∠ABC，又B=2C，所以∠C=∠CBM，则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C，在△MCB中，由正弦定理得BCsin∠BMC=BMsin C，所以BM=BC sin Csin∠BMC=8sin Csin2C=8sin C2sin C cos C=4cos C，因为△ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0<C<π20<2C<π20<π-3C<π2，解得π6<C<π4.故22<cos C<32，所以833<BM<42.因此线段BM 长度的取值范围833,42.1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b =a sin B sin A =3sin B sin60°=23sin B ，又△ABC 为锐角三角形，C =180°-A -B =120°-B ，又0°<B ,C <90°，则0°<120°-B <90°，解得30°<B <90°，而当30°<x <90°时，y =sin x 单调递增，故sin B ∈12,1，所以b =23sin B ∈3,23 .故选：C2已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163；则正确的个数为()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，因为x =π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sin ωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，得到ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故①错误；对于②，根据题意，有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，得出ω=-12(2k1-k2)+617,k1,k2∈Z0<ω≤127，即ω=-12k+617,k∈Z0<ω≤127，得到ω=617或1817，故②正确；对于③，令ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π2,8π3ω>π2,，解得ω∈4,16 3，故③正确，故选：C．3设函数f x =sin2ωx-cos2ωx+23sinωx cosωxω>0，当x∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,13 3B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知f x =3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx-π6，当x∈0,π2时2ωx-π6∈-π6,πω-π6，所以要满足题意有5π2≤πω-π6<9π2⇒ω∈83,143.故选：C4将函数f x =sinωx-cosωx(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得f x =222sinωx-22cosωx=2sinωx-π4，所以将f x 的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数h x =2sin ωx +π4 -π4=2sin ωx +ωπ4-π4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x =2sin 2ωx +ωπ4-π4的图象，因为点π2,0 是g x 图象的一个对称中心，所以πω+ωπ4-π4=k π,k ∈Z ，解得ω=45k +15,k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为15．故选：C5已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23.故选：A6(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】ABD【解析】对于A ，因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23×12bc sin A ，则tan A =33，因为A ∈0,π ，所以A =π6，故A 正确；对于B ，因为b =2=a ，则B =A =π6，C =2π3，故△ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若△ABC 为锐角三角形，则B ∈0,π2 ，C ∈0,π2，则0<B <π20<π-π6-B <π2，则π3<B <π2，即sin B ∈32,1，由正弦定理可知：b =a sin Bsin A=4sin B ∈23,4 ，故C 错误；对于D ，若D 为BC 边上的中点，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2=14b 2+c 2+3bc由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，得b 2+c 2=3bc +4，又b 2+c 2=3bc +4≥2bc ，所以bc ≤42-3=43+8，当且仅当b =c =2+6时取得等号，所以AD 2=14b 2+c 2+3bc =144+23bc ≤144+23×43+8 =7+43，即AD ≤7+43=2+3，故D 正确.故选：ABD .7已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．【答案】56,43【解析】因为f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx =32sin2ωx -12cos2ωx =sin 2ωx -π6，因为f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，所以3π2≤2ωπ-π6<5π2，解得56≤ω<43，所以ω的取值范围是56,43 ．故答案为：56,43.8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.【答案】ω=32或ω≥52【解析】设θ=ωx，x∈π3,π，则θ∈π3ω,πω，所以问题转化为y=sinθ在θ∈π3ω,πω上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+π2+π≤πω，解得k+32≤ω≤3k+32，所以k≥0,k∈Z，当k=0时，32≤ω≤32，∴ω=32；当k=1时，52≤k≤92，当k=2时，72≤ω≤152，当k=3时，92≤ω≤212，当k=n，n∈N*时，n+32≤ω≤3n+32，当k=n+1时，n+52≤ω≤3n+92，而n+52-3n+32=-2n+1<0，即n+52<3n+32，所以k∈N*时，所有情况的ω范围的并集为ω≥52；综上，实数ω的取值范围是ω=32或ω≥52.故答案为：ω=32或ω≥52.9已知函数f x =sinωx+φω>0满足f x ≥fπ12，且f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．【答案】125,4【解析】因为f x ≥fπ12，所以fπ12 =sinπ12ω+φ=-1，所以π12ω+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ-π12ω+3π2，k∈Z，所以f x =sinωx+2kπ-π12ω+3π2 =-cosωx-π12．当-π3≤x≤π3时，-5πω12≤ωx-π12≤πω4ω>0．因为f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，且-5πω12>πω4 ，所以ω>0-2π<-5πω12≤-π0<πω4<π，解得125≤ω<4．故答案为：125,4．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4 (ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x ∈π3,π时， ωπ3-π4<ωx -π4<ωπ-π4，又y =-sin x 的单调递减区间为2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z )，所以ωπ3-π4≥2k π-π2ωπ-π4≤2k π+π2(k ∈Z )，解得6k -34≤ω≤2k +34(k ∈Z )，且2k +34≥6k -34(k ∈Z )，解得k ≤38，又ω>0，所以k =0，所以ω的取值范围为0,34.故答案为：0,3411若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3内单调递减，则ω的最大值为．【答案】74【解析】由题得：12T ≥2π3-π3⇒0<ω≤3，令t =ωx -π6⇒t ∈πω3-π6,2πω3-π6，则y =cos t 在t ∈πω3-π6,2πω3-π6单调递减，故πω3-π6≥2k π2πω3-π6≤2k π+π⇒6k +12≤ω≤3k +74，由0<ω≤3，故ω∈12,74，所以ω的最大值为74，故答案为：74.12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．【答案】0,2π8【解析】依题意，函数f (x )的值域为[-4,4]，g (x )的值域为[b -4,b +4]，由∀x 1,x 2∈R ,f (x 1)-g (x 2) ≤8，得|(b -4)-4|≤8，且|(b +4)-(-4)|≤8，解得b =0，g (x )=4cos ωx -π3 =4sin ωx +π6 ，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，得h (x )=4sin ωx -π3ω =4sin ωx -π3，在同一坐标系内作出函数y =g (x ),y =h (x )的图象，观察图象知，|AC |=2πω，取AC 中点D ，连接BD ，由对称性知|AB |=|BC |，BD ⊥AC ，由BA ⋅BC <0，得∠ABC >π2，即∠ABD >π4，|AD |>|BD |，由h (x )=g (x )，得sin ωx -π3 =sin ωx +π6 ，则ωx -π3+ωx+π6=π+2k π,k ∈Z ，解得ωx =712π+k π,k ∈Z ，于是y =4sin 712π+k π-π3=±22，则|BD |=42，因此πω>42，解得0<ω<2π8，所以ω的取值范围是0,2π8.故答案为：0,2π813在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．【答案】18【解析】如图所示，则△ABC 的面积为12ac sin 2π3=12a ⋅2sin π3+12c ⋅2sin π3，则ac =2a +2c ，所以1a +1c =12，显然a ,c >0，故a +4c =(a +4c )1a +1c ×2=2×5+4c a +a c ≥25+24c a ⋅a c=18，当且仅当4ca =a c 1a +1c =12，即a =6c =3时取等号.所以a +4c 的最小值为18.故答案为：18.14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B；(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)∵2b sin A-3a=0，∴2sin A sin B-3sin A=0，又∵A∈0,π2,∴sin A≠0，∴sin B=32,B∈0,π2，∴B=π3.(2)由(1)可知，B=π3，且△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C=2π3-A<π2，∴A∈π6,π2，则sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=32sin A+32cos A=3sin A+π6，因为π3<A+π6<2π3，∴sin A+sin C∈32,3.15在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【解析】(1)因为2b sin A-3a=0，由正弦定理边化角得：2sin B sin A-3sin A=0，所以2sin B-3sin A=0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B-3=0，即sin B=32，又0<B<π2，所以B=π3.(2)由(1)可知B=π3，所以A+C=2π3，所以cos A+cos C=cos A+cos2π3-A=cos A+cos2π3cos A+sin2π3sin A=cos A-12cos A+32sin A=12cos A+32sin A=sin A+π6由于在锐角△ABC中，0<2π3-A<π2 0<A<π2，所以π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sinπ3<sin A+π6≤sinπ2，所以32<sin A+π6≤1，所以cos A+cos C的取值范围为32,1.16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．【解析】(1)∵b2+c2-b cos C+c cos B2=bc，由余弦定理可得b2+c2-b⋅a2+b2-c22ab+c⋅a2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bc cos A，∴cos A=12，又0<A<π2，所以A=π3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=23sin B，c=23sin C，∴bc=12sin B sin C，由(1)得B+C=2π3，所以bc=12sin B sin C=12sin B sin2π3-B=12sin B32cos B+12sin B=63sin B cos B+6sin2B=33sin2B+31-cos2B=632sin2B-12cos2B+3 =6sin2B-π6+3，因为△ABC是锐角三角形，且B+C=2π3，所以π6<B<π2，∴π6<2B-π6<5π6，∴12<sin2B-π6≤1，∴6<6sin2B-π6+3≤9，即6<bc≤9.所以bc的取值范围为6,9.17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cos B=±12，又0<B<π，所以B=π3或2π3.当B=π3时，sin B+π6=sinπ2=1；当B=2π3时，sin B+π6=sin5π6=12.(2)若△ABC为锐角三角形，则B=π3，有0<C<π20<A=2π3-C<π2，解得π6<C<π2.由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=332=2，则a=2sin A,c=2sin C，所以a+2c=2sin A+4sin C=2sin2π3-C+4sin C=232cos C+12sin C+4sin C=5sin C+3cos C=27sin(C+φ)，其中tanφ=35，又tanφ=35<33=tanπ6，所以0<φ<π6，则π3<C+φ<2π3，故当C+φ=π2时，sin(C+φ)取到最大值1，所以a+2c的最大值为27.18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【解析】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos2θ-1=2cosθ，AB=12+32 2-2×1×32⋅cosπ-2θ=134+3cos2θ=134+32cos2θ-1=6cos2θ+1 4，在△ABD中，因为θ∈0,π2，所以由正弦定理可知：ABsin∠ADB =ADsin B⇒sin∠ADBsin B=ABAD=6cos2θ+142cosθ=14×24cos2θ+1cos2θ=14×24+1cos2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B 的取值范围为54,+∞ ..19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求c b的取值范围.【解析】(1)证明：由2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B ，得2sin B sin C +1-2sin 2C =1+1-2sin 2A -1+2sin 2B ，即sin B sin C -sin 2C =-sin 2A +sin 2B ，由正弦定理可得bc -c 2=-a 2+b 2，即a 2=b 2+c 2-bc ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，故cos A =12，又A ∈0,π2 ，故A =π3，由A +B +C =π，故B +C =π-A =2π3=2A ；(2)由正弦定理可得：c b=sin C sin B =sin π-A -B sin B =sin π3+B sin B =12sin B +32cos B sin B =12+32tan B ，又锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<π-π3-B <π2，解得π6<B <π2，即tan B ∈33,+∞，即1tan B ∈0,3 ，故c b=12+32tan B ∈12,2 .20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.【解析】(1)∵a +b +c a +b -c =3，∴3=(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab 结合余弦定理得3=2ab cos C +2ab =2ab 1+cos C ，∴ab =321+cos C ，∵S △ABC =12ab sin C =334，∴sin C 1+cos C =3，即2sin C 2cos C 2cos 2C 2=tan C 2=3，又∵C 2∈0,π2 ，∴C 2=π3，故C =2π3；(2)由(1)知：C =2π3,ab =321+cos C=3，∵AD =2DB ，∴CD =13CA +23CB ，∴CD 2=13CA +23CB 2=19b 2+49a 2+49ab cos C =19b 2+49a 2-23，又19b 2+49a 2-23≥219b 2⋅49a 2-23=2×23-23=23，当且仅当b =2a =6时，CD 长取最小值，此时CD =23=63，∴CD 长的最小值为63.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.【解析】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12-1-cos2ωx 2+32sin2ωx =32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6.因为T =2π2ω=4π,所以ω=14,故f x =sin 12x +π6.由-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得4k π-4π3≤x ≤4k π+2π3,k ∈Z ,当k =0时,-4π3≤x ≤2π3,又x ∈0,π ,所以f x 在0,π 上的单调递增区间为0,2π3.(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C ,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin B +C =sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,又B ∈0,π ,所以B =π3,又三角形为锐角三角形，则0<A <π20<2π3-A <π2，则π6<A <π2，所以π4<A 2+π6<5π12，又f A =sin A 2+π6，sin 5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=2+64，则22<sin A 2+π6 <2+64，所以f A 的取值范围为22,2+64.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.【解析】(1)因为1-cos A 2-sin A =0，所以sin 2A 2=sin A ， 因为0<A 2<π2，sin A 2>0，则sin A 2=2sin A 2cos A 2，故cos A 2=12， 所以A 2=π3，A =2π3，(2)因为BD =2DC ，则BD =2DC ，所以AD -AB =2AC -AD ，故AD =13AB +23AC ， 因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A =3，所以bc =4|AD |2=13AB +23AC 2=19c 2+49b 2+49AB ⋅AC =19c 2+49b 2-29bc ≥49bc -29bc =89上式当且仅当c =2b ，即c =22，b =2时取得“=”号，所以AD 的最小值是223.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由题意得2sin B cos A -sin C cos A =sin A cos C ，即2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin B ，∵sin B ≠0，∴2cos A =1，∴cos A =12，又0<A <π,∴A =π3；(2)解法一：令DC =t ，则BD =3t ，∵cos ∠ADC =-cos ∠ADB ，∴AD 2+DC 2-AC 22AD ⋅DC =-AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD ，即9+t 2-b 26t =-9+9t 2-c 218t ，∴12t 2=-36+3b 2+c 2①，又∵cos ∠BAC =12=b 2+c 2-16t 22bc ，∴16t 2=b 2+c 2-bc ②，∵联立①②，得144-3bc =9b 2+c 2≥6bc (当且仅当c =3b 时取等号)，即bc ≤16，∴S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc ≤43，∴△ABC 面积的最大值为43.解法二：依题意AD =14AB+34AC，∴AD 2=14AB+34AC 2=116AB 2+9AC 2+6AB ⋅AC，即9=116AB 2+9AC 2+6AB AC cos π3=116AB 2+9AC 2+3AB AC，∵AB 2+9AC 2≥6AB AC (当且仅当AB =3AC 时取等号)，∴AB AC ≤16，∴S △ABC =12AB ACsin ∠BAC ≤34×16=43，∴△ABC 面积的最大值为43．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．【解析】(1)因为m ⎳n ，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b2a2+c2=a2+c2-aca2+c2=1-aca2+c2,1-aca2+c2≥1-ac2ac=1-12=12，当且仅当a=c时等号成立，故b2a2+c2的最小值为12.25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．【解析】(1)因为sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B=sin2B+12sinπ2+2B+sinπ6=sin2B+12cos2B+12=sin2B+121-2sin2B+14=34，因为sin C>0，所以sin C=3 2，由△ABC为钝角三角形且a<c，b<c知，C为钝角，所以cos C=-12，即tan C=-3，所以tan(A+B)=tanπ-C=-tan C=3.(2)因为S△ABC=12ab sin C=34ab=123，所以ab=48，由余弦定理，c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab≥3ab=144，当且仅当a=b=43时，等号成立，此时c2的最小值为144，所以c的最小值为12.。
2023-2024学年山西省运城市高中数学人教B版 必修四第九章-解三角形章节测试-11-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山西省运城市高中数学人教B 版 必修四第九章-解三角形章节测试(11)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）等边三角形有一个内角为的直角三角形等腰直角三角形有一个内角为 的等腰三角形1. 若满足，则为（ ）A.B. C.D. 2. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度是60，则此时气球的高度等于（ ）A. B. C. D.3. 在 中，内角的对边分别为 ，若 ，则的外接圆面积为A.B.C.D.4. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b+c=2a ，3sinA=5sinB ，则角C=（ ）A.B.C.D.5. 以下结论正确的个数是（ ）1个2个3个4个①若数列中的最大项是第项，则 .②在中，若，则为等腰直角三角形.③设、分别为等差数列与的前n项和，若，则 .④的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 .⑤在中，a、b、c分别是、、所对边，，则的取值范围为 .A. B. C. D.6. 在直线坐标系中，设，，沿轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，的长为（）A. B. C. D.（1）（2）（3）（1）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（3）（5）7. 设的内角所对边的长分别为，则下列命题正确的是（）⑴若，则；⑵若，则；⑶若，则；⑷若，则；⑸若，则 .A. B. C. D.无解一解两解解的个数不能确定8. 在△ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是（ ）A. B. C. D.9. 在中，已知，则边等于（）A. B. C. D.31210. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，若，则的值为（）A. B. C. D.11. 已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，且双曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.12. 椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（）A. B. C. D.阅卷人得分二、填空题（共4题，共20分）13. 已知的三内角，，的对边分别为，，，若， , ，则边．14. 甲船在岛A处南偏西50°的B处，且的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为海里．15. 椭圆 + =1与双曲线 - =1有公共的焦点F1， F2， P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2= ．16. 在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，则边的长为．17. 在中，内角的对边分别为，且满足 .(1) 求角；(2) 若，求面积的最大值.18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且________．(1) 求角；(2) 若是内一点，，，，，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．20. 在平面四边形中，，，， .(1) 求；(2) 若，求 .21. 如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.(1) 求；(2) 若，求长.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)。
高中数学专题讲义：三角形中的范围问题你处理好了吗
高中数学专题讲义:三角形中的范围问题你处理好了吗考纲要求:1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. 2.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解.3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围. 基础知识回顾: 1、正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如:（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理:2222cos a b c bc A =+-变式:()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式:（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高）（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和:A B C π++=，从而可得到:（1）正余弦关系式:()()sin sin sin A B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos cos A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式:()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=±()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=6、辅助角公式:()22sin cos sin a A b B a b A ϕ+=++，其中tan baϕ= 应用举例:类型一、与边长有关的范围问题【例1】【海南省海南中学高三第五次月考】设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,（Ⅰ）求B 的大小; （Ⅱ）若,求的取值范围. 【答案】（1）（2）即:即:又的取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题．【例2】【黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)】在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）)若角是钝角，且，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .∴，①∵，∴，∴，②由①②得的范围是.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步:定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步:求结果.类型二、与周长有关的范围问题【例3】【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知函数.（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为，，对称中心为，（2）由，∴，∴的对称中心为，（2）∵，∴，∴，∴，得:，，∴又，∴，∴点睛:第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得:解:∵，∴，∵，∴∴，∴由正弦定理得:∴，∴∵，∴∴的周长范围为【例4】【四川省2015级高三全国Ⅲ卷冲刺演练（一）】在中，，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.∴∴.∵∴.由等面积法可得，则.（2）设.∵∴角必为锐角.∵为锐角三角形∴角，均为锐角，则，，于是，解得.故的周长的取值范围为.点睛:本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是:第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步:定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步:求结果.类型三、与面积有关的范围问题【例5】【5月高三第三次全国大联考（新课标Ⅲ卷）】在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，求的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）由正弦定理可得，即，∵，∴，∴，∵，∴，即.又，可得.【例6】【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足．（1）证明:；（2）若，设，，，求四边形面积的最大值．【答案】（1）见解析;（2）.方法、规律归纳:1、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系:sin sin cos cos>⇔>⇔>⇒<a b A B A B A B其中由cos cos>⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin>⇔>仅在一个三角A B A BA B A B形内有效.2、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数:通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（2）利用均值不等式求得最值实战演练:1．【山东省济南省高三第二次模拟考试】在中, ,.(1)求的长;(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）设，则.在中，由余弦定理知:.，又，，的取值范围为.点睛:（1）本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出的表达式，再结合的范围求函数的值域.2．【辽宁省大连市高三第二次模拟考试】在中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得.的周长为 .点睛:（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.3．【云南省昆明市高三5月适应性检测】在中，内角所对的边分别是，已知（Ⅰ）求；（Ⅱ）当时，求的取值范围．【答案】(1)；(2).，，所以，因为，所以（Ⅱ）由正弦定理:得:，所以，因为，，所以.点睛:（1）知的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；（2）求的取值范围，应将角的个数转化为一个，如，然后用辅助角公式化成一个角的三角函数，用三角函数的性质求取值范围.4．【湖南省岳阳市第一中学高三第一次模拟考试】已知，，设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角所对的边分别为，且成等比数列，求的取值范围.【答案】(1), ;(2).令，则，，所以函数的单调递增区间为，.（2）由可知，（当且仅当时取等号），所以，，，综上，的取值范围为.点睛:此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.5．【重庆市綦江区高三5月预测调研考试】已知，，函数.（Ⅰ）求函数零点；（Ⅱ）若锐角的三内角、、的对边分别是、、，且,求的取值范围.【答案】（1）（2）所以函数零点满足,由，解得,．6．【四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析:（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解:(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.综上所述，.点睛:本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.7．【四川省资阳市高三4月模拟考试（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-． （1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围． 【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.（2）根据余弦定理， 2222cos3a b c bc π=+-，所以222216162b c b c bc ++=+≤+，则有2232b c +≤，又221616b c bc +=+>， 所以22b c +的取值范围是(]16,32．【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.8．【衡水金卷 普通高校招生全国卷 I A 信息卷】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos a C c A =.（1）求角A 的大小； （2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 2,31⎡⎤+⎣⎦.9．【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值； （2）若4Bπ=， S 为ABC ∆的面积，求82cos cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b = (2) ()8,82（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin 4S bc A A C A C π==⋅⋅=()382cos 82cos 82cos 24S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由3040{202A A C A Cπππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭， 32cos 2,142A π⎛⎫⎛⎫∴-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(82cos 8,82S AcosC ∴+∈.10．【吉林省吉林市高三第三次调研考试】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin 3cos ba cB C ac A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b ca+的取值范围. 【答案】（1）3π（2）32b c a+<≤ 试题解析:（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+， ∴()()2cos sin 3cos ac B B C ac A C -+=+ ， ∴()()2cos sin 3,B A B ππ--=- ∴2cos sin 3cos B A B -=， 又ABC ∆是锐角三角形， ∴cos 0B ≠， ∴3sin A = ∴锐角3A π=．（2）由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==， ∴sin sin ,sin sin a B a Cb c A A==∴233sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B Cππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+< ∴3sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．∴32b ca+<≤． 故代数式b ca+的取值范围(3,2⎤⎦．11．【甘肃省西北师范大学附属中学高三冲刺诊断考试】已知函数（1）求函数的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合； （2）已知中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2, .(2) a ∈[1,2).【解析】分析:（1）由三角恒等变换的公式，化简得,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果． (2)由，求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边的取值范围．详解:（1）,，可得f (x )递增区间为, 函数f (x )最大值为2，当且仅当，即，即取到∴.12．【衡水金卷信息卷 全国卷 I A 】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n . （1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为23，求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6【解析】试题分析:（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围. 试题解析:（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（. 由正弦定理，得2sin sin cos 0sinBcosA CcosA A B -+=， 即()2sin CcosA sin A B sinC =+=. 在ABC ∆中，由0sinC >， 得1cos 2A =. 又()0,A π∈，所以3A π=.13．【天津市部分区高三质量调查（二）】已知函数（）的图象上相邻的最高点的距离是. （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，内角满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）由得，即∴，又，∴∵是锐角三角形，∴，∴，∴∴点睛:本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．14．【普通高校招生全国卷 一（A ） 衡水金卷】三信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若3a =ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π=(2) (33,33⎤+⎦ 【解析】试题分析:（1）将所给的三角恒等式整理变形可得28210cos A cosA --=，结合△ABC 为锐角三角形可得12cosA =， 3A π=. （2）设ABC ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理可得1r =.则()2b c r sinB sinC +=+236sin B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用△ABC 为锐角三角形可求得62B ππ<<，则3,162sin B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ABC ∆周长的取值范围是(33,33⎤+⎦.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r ， 则3223ar sinA===，∴ 1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 236sin B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意02{2032B B πππ<<<-<，∴62B ππ<<，∴2363B πππ<+<，∴3,16sin B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴(3,23b c ⎤+∈⎦，∴ABC ∆周长的取值范围是(33,33⎤+⎦.15．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）】在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1) . (2).（2）由向量， ，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．。
三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［ ， ），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋ ）在［ ，1）上单调递减，
2
3
所以 的取值范围为（
2，
6＋ 2
］.
2
＝
高中总复习·数学
2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝ ＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0， ］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值
解三角形中的范围(最值)问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：解三角形中的范围(最值)问题教学设计一、教学内容分析在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。
在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。
解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。
近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。
主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。
试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。
而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。
二、学情诊断分析授课对象为高三平行班学生。
本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。
题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。
但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，具有一定的基础。
本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。
三、教学目标分析1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用；2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。
四．教学重难点分析重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。
解三角形的最值和范围问题 (学生版)-高中数学
解三角形的最值和范围问题【新高考专用】【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】【题型2三角形边长的最值或范围问题】【题型3三角形周长的最值或范围问题】【题型4三角形的角(角的三角函数值)的最值或范围问题】【题型5利用基本不等式求最值(范围)】【题型6转化为三角函数求最值(范围)】【题型7转化为其他函数求最值(范围)】【题型8“坐标法”求最值(范围)】【题型9与平面向量有关的最值(范围)问题】1、解三角形的最值和范围问题解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.【知识点1三角形中的最值和范围问题】1．三角形中的最值(范围)问题的常见解题方法：(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值(范围)；(2)利用基本不等式求最值(范围)；(3)转化为三角函数求最值(范围)；(4)转化为其他函数求最值(范围)；(5)坐标法求最值(范围).2．三角形中的最值(范围)问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值(范围)问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值(范围)．(2)转化为三角函数求最值(范围)问题的解题策略三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.(3)坐标法求最值(范围)求最值(范围)问题的解题策略“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】1.(2024·河北石家庄·三模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9．(1)若sin C=23，求sin A⋅sin B的值；(2)求△ABC面积的最大值．2.(2024·全国·模拟预测)记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A=3-a cos B，2a sin C=3.(1)求A.(2)求△ABC面积的取值范围.3.(2024·辽宁·模拟预测)如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D点在AC的两侧，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，设∠ABC=α.(1)当α=π3时，求AC；(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.4.(2024·上海·三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=2c sin A．(1)求sin C的值；(2)若c=3，求△ABC面积S的最大值．【题型2三角形边长的最值或范围问题】1.(2024·四川·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2c sin B cos A=b sin A cos B+cos A sin B.(1)求A；(2)若△ABC的面积为163，D为AC的中点，求BD的最小值.2.(2024·江西·模拟预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan A=cos B-sin Ccos C+sin B．(1)若B=π6，求C的大小．(2)若a=2，求b+c的取值范围．3.(2024·广东广州·三模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=b sin A2+a cos B．(1)求A；(2)若D是边BC上一点(不包括端点)，且∠ABD=∠BAD，求CDBD的取值范围．4.(2024·江西鹰潭·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足1-sin Acos A =sin B cos B.(1)求证：A+2B=π2；(2)求a2+b2c2的最小值.【题型3三角形周长的最值或范围问题】1.(2024·安徽淮北·二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c-b=2c sin2A2(1)试判断△ABC的形状；(2)若c=1，求△ABC周长的最大值.2.(2024·四川绵阳·模拟预测)已知在△ABC中，D为BC边的中点，且AD=5．(1)若△ABC的面积为2，cos∠ADC=55，求B；(2)若AB2+AC2=18，求△ABC的周长的最大值．3.(2024·云南曲靖·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a cos C+3c sin A=b+c.(1)求角B的取值范围；(2)已知△ABC内切圆的半径等于32，求△ABC周长的取值范围.=2b.4.(2024·湖南常德·一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且acos C(1)判断△ABC的形状；(2)若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值.【题型4三角形的角(角的三角函数值)的最值或范围问题】1.(2024·内蒙古呼和浩特·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=3,b=2，则B+C的取值范围是()A.2π3,5π6B.2π3,πC.5π6,πD.π2,5π62.(2024·内蒙古呼和浩特·二模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1b2+54a2=c2a2b2，则tan A-1tan C的最小值为()A.13B.23C.29D.193.(2024·陕西宝鸡·二模)△ABC中，D为BC边的中点，AD=1.(1)若△ABC的面积为23，且∠ADC=2π3，求sin C的值；(2)若BC=4，求cos∠BAC的取值范围．4.(2024·北京石景山·一模)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【题型5利用基本不等式求最值(范围)】1.(2024·山西太原·三模)已知△ABC中，A=120°，D是BC的中点，且AD=1，则△ABC面积的最大值()A.3B.23C.1D.22.(2024·黑龙江哈尔滨·三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,BC边上中线AD长为1，则bc最大值为()A.74B.72C.3D.233.(2024·安徽合肥·二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2,1tan A +1tan B+1tan A tan B=1．则△ABC面积的最大值为()A.1+2B.1+3C.22D.234.(2024·浙江台州·二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C=2c cos A，则bca2的最大值为()A.3B.32C.32D.3【题型6转化为三角函数求最值(范围)】1.(2024·辽宁沈阳·模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2C-sin C sin Bcos2B-cos2A=1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，AF=6，求CF+BF的取值范围.2.(2024·辽宁·模拟预测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c-3bsin C= a-bsin A+sin B．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6，求△ABC的周长l的取值范围．3.(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.4.(2024·福建漳州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π6，且△ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=42，AD=22，求△ACD的面积；(2)若D=2π3，求BC-AD的最大值.【题型7转化为其他函数求最值(范围)】1.(2024·四川成都·模拟预测)设锐角△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c =2,B =2C ，则a +b 的取值范围为()A.2,10B.2+22,10C.2+22,4+23D.4+23,102.(2024·全国·模拟预测)已知△ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若a 2-b 2=bc ，则b a +c的取值范围是()A.33,22B.2-3,1C.2-3,2-1D.2+1,3+23.(2023·全国·模拟预测)已知△ABC 为锐角三角形，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B =cos2A .(1)求ba的取值范围；(2)若a =1，求△ABC 周长的取值范围.4.(2024·全国·模拟预测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S △ABC =b 2-c 2+164⋅tan C .(1)求a 的值；(2)若D 为线段BC 上一点且满足BD =1,DA 平分∠BAC ，求△ABC 的面积的取值范围.【题型8“坐标法”求最值(范围)】1.(23-24高一下·四川宜宾·期末)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BCD =60°，∠ADC =150°，BE =3EC ，CD =233，BE =3，若点F 为边AD 上的动点，则EF ⋅BF 的最小值为()A.1B.1516C.3132D.22.(2023·安徽马鞍山·模拟预测)已知平行四边形ABCD 中，∠ADC =60°，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，若DE ⋅DF=13，则四边形ABCD 面积的最大值为()A.2B.23C.4D.433.(2023·全国·模拟预测)在等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ，B =C =π6，a =23，P 是△ABC 外接圆上一点，则P A ⋅PB +PB ⋅PC +PC ⋅P A的取值范围是()A.-3,23B.-1,33C.-2,30D.-4,204.(2024·江西南昌·三模)如图，在扇形OAB 中，半径OA =4，∠AOB =90°，C 在半径OB 上，D 在半径OA 上，E 是扇形弧上的动点(不包含端点)，则平行四边形BCDE 的周长的取值范围是()A.8,12B.82,12C.8,82D.4,82【题型9与平面向量有关的最值(范围)问题】1.(2023·河南开封·三模)已知e 1 、e 2 为单位向量，e 1 -e 2 =3，非零向量a 满足a-2e 2 =1，则e 1 -a 的最小值为()A.7B.7-1C.3D.3-12.(23-24高三上·北京通州·期末)在菱形ABCD 中，AB =2,∠BAD =60°,E 是BC 的中点，F 是CD 上一点(不与C ，D 重合)，DE 与AF 交于G ，则AG ⋅DG的取值范围是()A.0,23B.0,43C.0,2D.0,33.(2024·福建泉州·模拟预测)已知平行四边形ABCD 中，AB =2，BC =4，B =2π3，若以C 为圆心的圆与对角线BD 相切，P 是圆C 上的一点，则BD ⋅CP -CB的最小值是()A.8-23B.4+23C.12-43D.6+234.(2023·福建厦门·二模)在△AOB 中，已知OB =2，AB=1，∠AOB =45°，若OP =λOA +μOB，且λ+2μ=2，μ∈0,1 ，则OA 在OP 上的投影向量为me (e为与OP 同向的单位向量)，则m 的取值范围是()A.-22,1B.22,1C.-22,1D.22,1一、单选题1.(2024·江苏连云港·模拟预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1，b cos A =1+cos B ，则边b 的取值范围为()A.0,1B.1,2C.0,2D.2,32.(2024·安徽合肥·模拟预测)已知△ABC 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 满足2b a -c =sin A +sin Csin B ，则角B 的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π33.(2024·广东东莞·模拟预测)已知在同一平面内的三个点A ，B ，C 满足AB =2，CA CA -CBCB≥1，则AC +BC的取值范围是()A.0,1 B.0,2 C.0,3 D.0,234.(2024·河南·三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a cos A+b cos B =3ccos C ，则tan A +tan C 的最小值是()A.43B.83C.23D.45.(2024·河南·模拟预测)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足b 3+c 3b +c=a 2．若a =23，则b 2+c 2的取值范围为()A.12,24B.20,24C.12,24D.20,246.(2024·江西·二模)在△ABC 中，若sin A =2cos B cos C ，则cos 2B +cos 2C 的取值范围为()A.1,65B.1,2+12C.65,2D.2+12,2 7.(2024·全国·二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a cos A =b cos C +c cos B ，且a =4sin A ，则△ABC 周长的最大值为()A.42B.62C.43D.638.(2024·陕西咸阳·三模)为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ 中，准备修一条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径OP =3，圆心角∠POQ =π3，A 是扇形弧上的动点，B 是半径OQ 上的动点，AB ⎳OP ，则△OAB 面积的最大值为()A.334B.34C.335D.35二、多选题9.(2024·江苏南京·二模)已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，O 为△ABC 的重心，cos A =15，AO =2，则()A.AO =13AB +13ACB.AB ⋅AC ≤3C.△ABC 的面积的最大值为36D.a 的最小值为2510.(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b 2cos A +1 ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.若a =3b ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 为锐角三角形，1tan B -1tan A 的最小值为1D.若△ABC 为锐角三角形，则c a 的取值范围为22,23311.(2024·河北邯郸·三模)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为34a 2+c 2-b 2，则下列说法正确的是()A.cos A cos C 的取值范围是-12,14B.若D 为边AC 的中点，且BD =1，则△ABC 的面积的最大值为33C.若△ABC 是锐角三角形，则a c 的取值范围是12,2 D.若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E ，且BE =3，则a +4c 的最小值为10三、填空题12.(2024·北京·三模)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且a +c =2b ，则角B 的取值范围为0,π3 ．13.(2024·陕西安康·模拟预测)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若b =2，2a cos C=2cos B +c cos C ，则2a +c 的最大值为4213.14.(2024·江苏盐城·一模)在△ABC 中，已知AB =2，BC =3，点P 在△ABC 内，且满足CP =2，∠APC +∠ABC =π，则四边形ABCP 面积的最大值为.四、解答题15.(2024·山东菏泽·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知AB ⋅AC -BA ⋅BC =λAB 2(1)若λ=1，判断△ABC 的形状；(2)若λ=12，求tan B -A 的最大值.16.(2024·江苏盐城·模拟预测)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B 2+b sin 2A 2=3ab2a +b +c．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求a +bc的取值范围．17.(2024·重庆渝中·模拟预测)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足3ca-sin B =tan A ⋅cos B .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形且a =26，求△ABC 面积的取值范围.18.(2024·四川南充·模拟预测)在△ABC中，sin Csin A+sin B =sin A-sin B sin B+sin C.(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.19.(2024·陕西商洛·模拟预测)在锐角△ABC中.内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a-2c cos B=c.(1)求证：B=2C；(2)求sin B+23cos2C的取值范围.。
【高中数学】解三角形范围与最值问题
8.15作业解三角形范围与最值问题1. 在△ABC中，∠A、∠B、C∠的对边分别为a、b、c，其中边c最长，并且sin2A+sin2B=1．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）当c=1时，求△ABC面积的最大值．2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c−a=2b cos A，b=3.（1）求B的大小；（2）若a=√3，求△ABC的面积；（3）求aca c+的最大值.3. 某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE其中三角形ABE区域为球类活动场所；四边形BCDE为文艺活动场所．其中AB，BC，CD，DE，EA为运动小道（不考虑宽度），∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=2BC=2CD=6千米．（1）求小道BE的长度；（2）设∠ABE=x，试用x表示△ABE的面积，并求x为何值时，球类活动场所△ABE的面积最大值，并求出最大值．4. 在锐角△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，且满足：2a sin A =(2b −c )sin B +(2c −b )sin C . （1）求角A 的大小；（2）若a =3，求△ABC 的周长l 的最大值5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b cos A =2c +a ．（1）求角B 的大小；（2）若b =a +c 的范围．6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且22cos cos 22C A a c ⎫⎛+ ⎪⎝⎭(a +c −b)=32ac . （1）求角B 的大小；（2）若b =c =x(x >0)，当△ABC 仅有一解时，写出x 的范围，并求a −c 的取值范围.7. 在ΔABC 中，a,b,c 分别是角,,A B C 的对边(a +b +c)(a +b −c)=3ab .（1）求角C 的值；（2）若c =2，且ΔABC 为锐角三角形，求2a −b 的范围.8. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示OA ，OC 就是一个合页的抽象图，∠AOC 可以在[0,π]变化，其中28cm OC OA ==，正常把合页安装在家具上时，∠AOC 的变化范围是[π2,π].根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC 为边长的正三角形ABC 区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC ∠=时，求OB 的长； （2）当∠AOC 是多大时，求△OBC 面积的最大值.。
高中数学《解三角形复习(最值问题)》PPT教学课件
例1 (1)锐角ABC中，b 1, c 2,
则边a的取值范围是__3_，__5_ .
(2)若2a 1, a,2a 1为钝角三角形的三边长，
则实数a的取值范围是_(_2_,8_)__ .
(3)锐角ABC中，若C＝2B,
则
c
2, 3
的取值范围是____
.
b
(4ห้องสมุดไป่ตู้在ABC中，若 b c 1,
解三角形复习
（最值问题）
你对三角形知多少？
A
1、 内角和定理: A B C
c
b
B
sin( A B) sinC,cos(A B) cos C
aC
sin A B cos C ,cos A B sin C
2
2
2
2
2、 大边对大角: a b A B sin A sin B
(1)求 cos C的值； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业的参考答案
2 3
1.(1)A 6
(2)Smax
16
2.(1)A (2) 2 2,2 2 4
3.(1)A (2)b c 3,2 3 3
3
32
4.(1)cosC 5
(2)Smax 25
(1)求角A的大小； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业：
2.在锐角ABC 中，内角A，B，C所对的边分别
为a, b, c， 且 b2
a2
c2
cos(A C ) ,
ac
sin Acos A
(1)求 角A;
(2)若a 2,求bc的取值范围.
高中数学解题方法系列⑨——解三角形中的范围问题
解题方法系列⑨——解三角形中的范围问题素养解读：任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围(或最值)问题也不例外．三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一种是用函数求解；另一种是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．1．与边角有关的范围问题【典例1】 (2019·兰州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 3cos A＝c sin C . (1)求A 的大小；(2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．[切入点] 由正弦定理求出角A .[关键点] 把b ＋c 表示成B 或C 的三角函数．[规范答题] (1)∵a 3cos A＝c sin C ＝a sin A ， ∴3cos A ＝sin A ，∵tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝6sin π3＝43，∴b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，∴b ＋c ＝43sin B ＋43sin C＝43[sin B ＋sin(π－A －B )]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. ∵π6<B ＋π6<5π6，∴6<12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤12，即b ＋c ∈(6,12]．求与三角形中边、角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A、B、C<π，b－c<a<b＋c，三角形中大边对大角等．2．与面积有关的最值问题【典例2】(2019·郑州市高三第三次质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3a cos C＝(2b－3c)cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．[切入点]由正弦定理求角A的大小．[关键点]由余弦定理和基本不等式求出bc的最大值．[规范解答](1)由正弦定理可得，3sin A cos C＝2sin B cos A－3sin C cos A，从而可得3sin(A＋C)＝2sin B cos A，即3sin B＝2sin B cos A.又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝32，又A为三角形的内角，所以A＝π6.(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A得4＝b2＋c2－2bc32≥2bc－3bc，当且仅当b＝c时等号成立．所以bc≤4(2＋3)．所以S＝12bc sin A≤2＋ 3.故当a＝2时，△ABC面积的最大值为2＋ 3.与面积有关的最值问题一般通过正、余弦定理进行转化，借助三角形的面积公式，结合基本不等式求解．1．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．[解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32. 2．(2020·北京四中月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．[解] (1)证明：由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .从而sin A ＋sin B ＝2sin C .由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝ 38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立．故cos C 的最小值为12.。
2023年人教A版新教材高中数学必修第二册解三角形中周长最大值及取值范围问题 同步讲义
14、解三角形中周长最大值及取值范围问题【考点分析】考点一：解三角形中角的最值及范围问题①利用锐角三角形，⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<πππC B A 000，求出角的范围②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：bca bc bc a cb A 222cos 2222-≥-+=考点一：解三角形中周长的最值及范围问题①利用基本不等式：()bca bc cb bc a c b A 222cos 22222--+=-+=，再利用bc c b 2≥+及a c b >+，求出c b +的取值范围②利用三角函数思想：()B A R B R C R B R c b ++=+=+sin 2sin 2sin 2sin 2，结合辅助角公式及三角函数求最值 【题型目录】题型一：三角形角的最值及范围问题 题型二：三角形边周长的最值问题题型三：三角形边周长的最值范围问题 【典型例题】题型一：三角形角的最值问题【例1】在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=，则A 的最大值为（ ） A ．2π3B ．π6C ．π2 D ．π3值是（ ）A ．1 BCDA ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C =D ．2ca的取值范围是 因为ABC 是锐角三角形，所以2sin 2sin sin C A =【例4】已知在锐角ABC 中，tan 1cos A B=+.(1)证明：2B A =； (2)求tan tan 1tan tan B AA B-+⋅的取值范围.，从而根据ABC 是锐角三角形，得到，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到因为ABC 是锐角三角形，π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x 在π2⎛- 由锐角ABC 知：ππ,64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan B A-1．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos b b A a B +=，则（ ） A ．2A B = B ．64B ππ<<C ．(ab∈D ．22a b bc =+【答案】ABD【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A ，结合内角和定理和条件及余弦函数的又ABC 为锐角三角形，所以所以2πA -<所以A B -=因为ABC 为锐角三角形，所以022B π<<B ππ<<2．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若22sin()A C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．⎫+∞⎪⎣⎭B ．43⎤⎥⎣⎦ C ．43⎫⎪⎪⎝⎭D ．43⎫⎪⎪⎣⎭【详解】在ABC 中，故题干条件可化为2bABC为锐角三角形，故tan A+题型二：三角形边周长的最值问题【例1】已知ABC的内角,,A B C的对应边分别为,,a b c，6c=，60B=︒，则b的最小值为（）A．3 B．C．D．6)0,120求解即可sin33B),120，sin3c B=论中正确的是（）A．b aa b+取不到最小值2B．b aa b+的最大值为4C．角C的最大值为2π3D．23b a ca b ab+-的最小值为-ABCS=2cos +-b a()()()2sin sin 2sin sin a A B c b B C -=-+，若2AD DB =，1CD =，求： (1)求()cos A B +的值； (2)求2b a +的最大值.32CD CA CB =+，利用平面向量数量积的运算可得出）解：法一：ADC ∠+∠cos 0BDC ∠=22492c b c -=又ABC 中cos 从而(2322a +()22b a +=5法二：由()2232B A D CA CB CD C B D C D A C C D -=-⇒==⇒+ 2222294444cos CD CA CB CB CA b a ab ACB =++⋅=++∠， 24a ab ++， )()2339392922a ab a b ⎛=+=+⋅≤+ ⎝1+cos2C ．(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为CD 的最小值. 又()12CD CA CB =+，故2211222CD CA CB CA CB a =++⋅=22113322CD a b ab ab =++≥⨯=，当且仅当23a b ==时取得等号例5】ABC (1)求C ∠；(2)已知6c =，求ABC 周长的最大值． 故ABC 周长【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c+的最大值为______，此时内角A 的值为______。
解三角形中的范围问题
解三角形中的范围问题作者：乔晓林来源：《中学课程辅导·教学研究》2014年第25期摘要：在近几年的高考中，解三角形经常考查范围问题。
为了使学生能够更好地解决此类问题，本文在正余弦定理、面积公式及三角函数相关知识的基础上，结合具体的例题，归纳了解决此类问题常用的两种方法。
关键词：解三角形；范围；减少变量；三角函数；不等式中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0130一、减少变量，转化为求函数的值域问题1. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c设向量■=（c-a，b-a），■=（a+b，c）若■∥ ■，①求角B的大小；②求sinA+sinC的取值范围。
分析：由向量共线可得两边平方和减第三边的平方，可知要用到余弦定理；第二问中A 和C有关，一个用另一个表示，减少变量进而求范围。
解析：①∵■∥■，∴c（c-a）-（b-a）（a+b），∴c2-ac=b2-a2，∴■=1由余弦定理，得cosB=■，B=■。
②∵A+B+C=π，∴ A+C=■，∴sinA+sinC=sinA+sin（■-A）=sinA+sin■cosA-cos■sinA=■sinA+■cosA=■sin（A+■）∵0∴■注意本题考查：①向量共线的坐标表示；②余弦定理、两角差的正弦公式、辅助角公式；③第二问中通过减少变量，转化为关于角A的三角函数求范围。
变式1：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a（cosB+cosC）=b+c①证明：A=■；②若△ABC外接圆的半径为1，求△ABC周长的取值范围。
分析：已知边和角的表达式可以化简为：边化角或角化边；第二问涉及外接圆的半径考虑正弦定理，表示出周长后减少变量求范围。
解析：①∵a（cosB+cosC）=b+c由余弦定理得：a（■+■）=b+c整理得：（b+c）（a2-b2-c2）=0又b+c>0∴a2=b2+c2 即A=■②由△ABC外接圆的半径为1，A=■可得a=2∴b+c=2（sinB+cosB）=2■sin（B+■）∵0∴2∴△ABC的周长的取值范围是（4，+2■]注意本题考查：①正余弦定理、辅助角公式；②第二问中通过减少变量，转化为关于角B 的三角函数求范围。
高中数学同步教学课件 培优点 与三角形有关的最值(范围)问题
故12<a<2，从而
3 8 <S△ABC<
3 2.
因此△ABC 面积的取值范围是 83， 23.
例2
已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(cos B，sin B－2sin C)，n＝ (2cos C＋cos B，sin B)，且m⊥n. (1)求A；
由m⊥n，得m·n＝0， 即cos B(2cos C＋cos B)＋(sin B－2sin C)·sin B＝0， 则2(cos Bcos C－sin Bsin C)＋(cos2B＋sin2B)＝0， 即2cos(B＋C)＋1＝0，
(2)若 BC＝3，求△ABC 周长的最大值.
由(1)得 A＝23π，由题意可得 a＝3， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2bccos 23π， 可得 9＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc， ∴(b＋c)2－9＝bc≤（b＋4 c）2，∴3（b＋4 c）2≤9，(b＋c)2≤12， ∴b＋c≤2 3，∴a＋b＋c≤3＋2 3. 当且仅当 b＝c＝ 3时等号成立，△ABC 的周长取得最大值 3＋2 3.
类型二 化角为边求最值、范围
例3
在△ABC中，sin2 A－sin2 B－sin2 C＝sin Bsin C. (1)求A；
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ∵sin2 A－sin2 B－sin2 C＝sin Bsin C， 由正弦定理可得 a2－b2－c2＝bc， 即为 b2＋c2－a2＝－bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－2bbcc＝－12， 由 0<A<π，可得 A＝23π.
第九章 解三角形
解决与三角形有关的最值、范围问题的方法. (1)先根据条件选择正弦或余弦定理将边角混合式转化，将所求量表达为角 的三角函数式，再利用三角函数图象求最值或范围. (2)先根据条件选择正弦或余弦定理将边角混合式转化，将所求量表达为边 的形式，再利用函数法、基本不等式法求最值或范围.
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解三角形中的取值范围问题
1、已知a ,b ,c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。
（1）求角B 的大小；
（2）若ABC ∆
b 的长度的取值范围。
解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ∆中，
sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。
又因为0,sin 0C C π<<>，所以1cos 2B =，而0B π<<，所以3
B π
= （2
）因为1
sin 2ABC S ac B ∆=
= 所以4ac = 由余弦定理得222222scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2
4b ≥，所以2b ≥
2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,
已知cos (cos )cos 0C A A B +=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围
【答案】解:(1)
由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++-=
即有sin sin cos 0A B A B =
因为sin 0A ≠,
所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,
所以tan B =又0B π<<,所以3
B π
=.
(2)由余弦定理,有2
2
2
2cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有2211
3()24
b a =-+. 又01a <<,于是有
2114b ≤<,即有1
12
b ≤<. 3、已知，满足． （I ）将表示为的函数，并求的最小正周期； （II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．
(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-0m n ⋅=y x ()f x ()f x ,,a b c ABC ∆,,
A B C 3)2
A
(
=f 2a =b c +
4、已知向量，， (1)若，求的值；
(2)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围. 【解析】 解：（1）
而
（2）即
又
又 5、已知锐角中内角、、的对边分别为、、，，且. （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取
值范围.
解：（Ⅰ）因为,由余弦定理知所以.
又因为,则由正弦定理得:,
所以,所以. （Ⅱ） 由已知
,则
因为,,由于, 所以, .
根据正弦函数图象,所以
(3sin
,1)4x m =2(cos ,cos )44
x x
n =()f x m n =()1f x =cos()3
x π
+
ABC ∆A B C 、、a b c 、、1
cos 2
a C c
b +=()f B ()2111
cos cos cos sin ,4442222262
x x x x x x f x m n π⎛⎫=⋅=+++=++ ⎪⎝⎭()1
1,sin .262
x f x π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭21
cos cos 212sin .326262
x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22211cos ,,222a b c a C c b a c b ab +-+=∴⋅+=2221
,cos .2
b c a bc A +-=∴=()0,,3
A A π
π∈∴=
20,,36262B B ππππ<<
∴<+<()31,.2f B ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
ABC ∆A B C a b c 226cos a b ab C +=2sin 2sin sin C A B =C ()sin()cos (0)6
f x x x π
ωωω=-->()f x 且π()f A C ab b a cos 62
2
=+C ab c b a cos 22
2
2
+=+ab
c C 4cos 2
=B A C sin sin 2sin 2=ab c 22
=21424cos 2===
ab ab ab c C 3
π
=C 3()sin()cos cos )6
23
f x x x x x x π
π
ωωωωω=--=
-=-2,2==ωπωπ()),3f A A π
=-3C π=23B A π=
-0,022A B ππ
<<<<62A ππ<<20233
A ππ<-<0()f A <≤
6、在中，内角、、的对边分别为、、，
,3
2
C π
π
<<
且
sin 2sin sin 2b C
a b A C
=
--。
（1）判断的形状；（2）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围。
答案：（1）
sin sin 2,sin sin 2,22sin sin sin sin 2B C
B C B C B C A B A C
π=∴=∴=+=--或，若2B C =，因为
2,,()323
C B B C πππππ<<∴<<∴+>舍2,,B C A C ABC π∴+=∴=∴∆为等腰三角形。
（2）2
2
2
2
2||2,2cos 4,cos a
BA BC a c ac B B a
-+=∴++=∴=，
而2
142cos cos 2,cos 1,1,,1233B C B a BA BC ⎛⎫
=-∴<<∴<<∴⋅∈ ⎪⎝⎭
，
ABC ∆A B C a b c。