高中数学必修四《解三角形中的取值范围问题》

解三角形中的取值范围问题

1、已知a ,b ,c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。 （1）求角B 的大小；

（2）若ABC ∆

b 的长度的取值范围。

解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ∆中，

sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。

又因为0,sin 0C C π<<>，所以1cos 2B =，而0B π<<，所以3

B π

= （2

）因为1

sin 2ABC S ac B ∆=

= 所以4ac = 由余弦定理得222222scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2

4b ≥，所以2b ≥

2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,

已知cos (cos )cos 0C A A B +=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围

【答案】解:(1)

由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++-=

即有sin sin cos 0A B A B =

因为sin 0A ≠,

所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,

所以tan B =又0B π<<,所以3

B π

=.

(2)由余弦定理,有2

2

2

2cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有2211

3()24

b a =-+. 又01a <<,于是有

2114b ≤<,即有1

12

b ≤<. 3、已知，满足． （I ）将表示为的函数，并求的最小正周期； （II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．

(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-0m n ⋅=y x ()f x ()f x ,,a b c ABC ∆,,

A B C 3)2

A

(

=f 2a =b c +

4、已知向量，， (1)若，求的值；

(2)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围. 【解析】 解：（1）

而

（2）即

又

又 5、已知锐角中内角、、的对边分别为、、，，且. （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取

值范围.

解：（Ⅰ）因为,由余弦定理知所以.

又因为,则由正弦定理得:,

所以,所以. （Ⅱ） 由已知

,则

因为,,由于, 所以, .

根据正弦函数图象,所以

(3sin

,1)4x m =2(cos ,cos )44

x x

n =()f x m n =()1f x =cos()3

x π

+

ABC ∆A B C 、、a b c 、、1

cos 2

a C c

b +=()f B ()2111

cos cos cos sin ,4442222262

x x x x x x f x m n π⎛⎫=⋅=+++=++ ⎪⎝⎭()1

1,sin .262

x f x π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭21

cos cos 212sin .326262

x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22211cos ,,222a b c a C c b a c b ab +-+=∴⋅+=2221

,cos .2

b c a bc A +-=∴=()0,,3

A A π

π∈∴=

20,,36262B B ππππ<<

∴<+<()31,.2f B ⎛⎫

∴∈ ⎪⎝⎭

ABC ∆A B C a b c 226cos a b ab C +=2sin 2sin sin C A B =C ()sin()cos (0)6

f x x x π

ωωω=-->()f x 且π()f A C ab b a cos 62

2

=+C ab c b a cos 22

2

2

+=+ab

c C 4cos 2

=B A C sin sin 2sin 2=ab c 22

=21424cos 2===

ab ab ab c C 3

π

=C 3()sin()cos cos )6

23

f x x x x x x π

π

ωωωωω=--=

-=-2,2==ωπωπ()),3f A A π

=-3C π=23B A π=

-0,022A B ππ

<<<<62A ππ<<20233

A ππ<-<0()f A <≤

6、在中，内角、、的对边分别为、、，

,3

2

C π

π

<<

且

sin 2sin sin 2b C

a b A C

=

--。 （1）判断的形状；（2）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围。

答案：（1）

sin sin 2,sin sin 2,22sin sin sin sin 2B C

B C B C B C A B A C

π=∴=∴=+=--或，若2B C =，因为

2,,()323

C B B C πππππ<<∴<<∴+>舍2,,B C A C ABC π∴+=∴=∴∆为等腰三角形。 （2）2

2

2

2

2||2,2cos 4,cos a

BA BC a c ac B B a

-+=∴++=∴=，

而2

142cos cos 2,cos 1,1,,1233B C B a BA BC ⎛⎫

=-∴<<∴<<∴⋅∈ ⎪⎝⎭

，

ABC ∆A B C a b c