《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论.pptx
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固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)
（设为非简并）
T r r + a r ＝1, 2, 3
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。 设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和
N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为
N＝N1N2N3 。
周期性边界条件： r r Na
体系的薛定谔方程：
Hˆ
(r, R)
(r, R)
但这是一个 1023cm量3级的多体问题。
首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子
运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为
离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系
统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问题简化为多电
1反映的是沿a1方向，相邻两个原胞中周期对应的两点 之间电子波函数的位相变化。不同的波矢量 k 表示原胞间
的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态。但是，
如果两个波矢量 k 和 k’ 相差一个倒格矢Gn，可以证明，这
两个波矢所对应的平移算符本征值相同。
对于k： eika
对于k’＝ k+Gn：
1 N1
b1
1 N2
b2
1 N3
b3
b N
在k空间中，波矢k的分布密度为
k
N b
N
va
8
3
V
8 3
在简约区中，波矢k的取值总数为
V Nva 晶体体积
k b N 晶体的原胞数
小结：波矢 k 的意义及取值：
Bloch函数中的实矢量 k 起着标志电子状态量子数的作用， 称作波矢，波函数和能量本征值都和 k 值有关，不同的 k 值表
《固体能带理论》课件
分类
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论共34页文档
孤立原子中电子的 势阱
势垒 电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
2m
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
不满带：未填满电子的能带
E
空带：没有电子占据的能带
禁带：不能填充电子的能区
价带：在0k时能被电子占满的最高能
带，对半导体价带通常是慢带
导带：半导体最外面（能量最高）的
一个能带。
空带
禁带体的能带
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态，所以满带不 导电。
导带： 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
第 四 章 固体的能带
p2 E
能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
第 四 章 固体的能带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的 一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称
为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约
pentium MMX
势垒 电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
2m
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
不满带：未填满电子的能带
E
空带：没有电子占据的能带
禁带：不能填充电子的能区
价带：在0k时能被电子占满的最高能
带，对半导体价带通常是慢带
导带：半导体最外面（能量最高）的
一个能带。
空带
禁带体的能带
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态，所以满带不 导电。
导带： 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
第 四 章 固体的能带
p2 E
能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
第 四 章 固体的能带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的 一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称
为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约
pentium MMX
固体物理-第四章 能带理论
V* , v, V分别是倒易原胞，晶格原胞和整个晶体的 体积, N = N1N2N3是原胞总数。
k-空间中单位体积中的状态密度为V/(2p)3 .每个 布里渊区k的数目为： V*/(V*/N)=N
4.1.基本概念
4.1.4.定态微扰简述 处于定态的粒子体系，受到一个微小的恒定的扰动后体 系的状态和能量等发生微小的变化。对于简并和非简并 情况处理方法不同。 1.非简并微扰 体系的哈密顿算符为 Ĥ=Ĥ0+ĥ (4.1.4.1) Ĥ0的本征值和本征函数是已知的或者可以精确求解的且 不存在简并。Ĥ0的本征方程为： Ĥ0y n (0) = En (0)y n (0) (4.1.4.2) n能级序号，ĥ 微扰项。为便于比较，令ĥ=lĤ’ , l<<1, Ĥ’ 的作用相当于Ĥ0，但Ĥ’不等于Ĥ0。。于是 Ĥ=Ĥ0+ lĤ’
第四章 能带理论
4.1.基本概念 4.2.近自由电子近似 4.3.紧束缚近似 4.4.晶体中电子的速度、准动量及有效质量 4.5.固体导电性能的能带理论解释 4.6.晶体中电子的态密度 4.7.能带理论的局限性
4.1.基本概念
4.1.1.能带理论的基本假定 晶体由离子实（原子核+内层电子）和外层的价电子组成。 价电子的哈密顿量应该考虑：价电子的动能，离子实的动 能，价电子之间，离子实之间，价电子与离子实之间的相 互作用势能。 为了简化用单个电子在静止的周期势场中的运动,来描述 晶体中所有等同电子的状态. 在上述假定下，晶体中价电子的哈密顿算符 Ĥ=-ħ22/2m +V(r) （ 4.1.1.1） 其中, V(r+Rn)=V(r), 它包含代替价电子相互作用的平均势 与离子实的周期势。 格矢,Rn=n1a1+ n2a2 + n3a3, n1, n2, n3为整数, a1,a2 ,a3 为晶胞 的单位矢量. r ，电子的位矢.
4.1能带结构PPT课件
22mk 2 Nhomakorabeak
2
n a
2
包括二级微扰的电子能量为
Ek
2k2 V 2m
n
'
Vn 2
2
2m
k 2
k
2 n
a
18
2
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
(0) k
(
x)
(1) k
(
x)
......
(0) k
(
x)
1 eikx L
'
H (1)
k 'k
k
(0)
(0)
E E k ' k
e / i
k
2
n a
x
， 它们的能量差越小掺
L
21
Brillouin区边界处的发散
一般情况下，各原子产生的散射波影响较小，但如果相邻原子产生 的散射波具有相同的位相时，情况完全不同。
当
E E (0)
(0)
k
k 2n / a
散射波成份的振幅
2k 2 2 (k 2 n / a)2
2m
2m
2mVn
k'
(0) k'
一级微扰波函数
(1) k
n
Vn
2
2m
k 2
k
2
n a
2
1 ei
k
2
n a
x
L
包括一级微扰的电子波函数
k (x)
1 eikx
Vn
L
n
2
2m
k 2
k
2
n a
2
固体物理(2011) - 第4章 能带论 1 布洛赫定理与布洛赫波
2 波动方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
2
两个具体近似方案
• QED！
1. 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可 以看成是对自由电子平面波情况的微扰。
周期方形波怎么构成？ —— F. T.
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意格矢 势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T 2 , T 3
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik R m (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动 9 能带论的局限性
把一个多粒子（电子、离子实）体系问题简化为一 个多电子体系问题。
单光子问题
第二步简化——单电子近似：认为每一个电子都是处于相
固体物理-第四章 能带理论-1(新疆大学李强老师课件)概要
… 禁带
1s
N个钠原子
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
允带
N个
钠晶体
2018/11/27
…
第四章 能带理论
讨论固体中电子的运动，能带理论基于以下近似：
绝热近似：由于原子实的质量是电子质量的103～105倍，所 以原子实的运动要比价电子的运动缓慢得多，于是可以忽略 原子实的运动，把问题简化为n个价电子在N个固定不动周期 排列的原子实的势场中运动。 多体问题 →多电子问题 单电子近似：忽略电子之间的相互作用。晶体中的任一电子 都可视为是处在原子实周期势场和其它(n-1)个电子所产生的 等效势场中。 多电子问题→单电子问题 理想晶体假设：忽略晶体中的缺陷和杂质，认为晶格具有严 格的周期性。 等效势场V(r)具有周期性。
新疆大学
固体物理 Solid State Physics
物理科学与技术学院 李强 2009. 1st term
第四章 能带理论
能带理论：研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的 特点。其主要成就：
说明了导体、半导体和绝缘体的区别； 解释了电子输运过程（电导、传热等）中自由 程远大于原子间距； 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推 动了半导体技术的发展。
2018/11/27
R≫a时两个Na原子体系的势能曲线
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
第四章 能带理论
以Na晶体为例说明组成晶体时的电子共有化
当N个Na原子组成体心立方晶体时，各个原子间距达到a。
第四章 能带理论.ppt
可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。
1 单电子所受的势场为： U (r ) u (r ) e
Rn
Ze 2 4 0 r Rm
无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性（周期场近似）： U (r Rn ) U (r ) 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电子 问题，单电子薛定谔方程为：
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷的离子实，相应地有 NZ 个价电子， 那么该系统的哈密顿量为:
2 2 N 1 1 e ˆ H ' 2 n 2 m 2 4 2 M r r i 1 i, j n 1 0 i j NZ 2 i NZ N 1 1 ( Ze) 2 1 Ze 2 ' 2 m ,n 4 0 Rn Rm i 1 n 1 4 0 ri Rn 2
H ' V ( x) V V
0 (1) ( 2) E E E E 根据微扰理论，电子的能量本征值 k k k k .
一级能量修正
Ek(1) k | H ' | k k | V ( x) V | k
Ek(1)
0 L
1 ikx 1 e [V ( x ) V ] eikx dx L L 1 ikx 1 e V ( x ) eikx dx ] V L L
k r e
ikr
uk r
—— Bloch函数
这里，uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢 Rl 为周期的周期函数。
它确定了波动方程解的基本特点。
4.1
布洛赫定理
二. Bloch 定理的物理证明（定性说明）：
济南大学固体物理(黄昆)课件能带理论.ppt
i 2 l 1
N1 = 1
cos 2 l1
l1 是任意整数
ix i 2l1
又e cosx cos2l1
2 il 1
又 e cos x i sin xe
ix
e cos 2 l 1 N 1
e 1
1 e
l1 2i N1
2 e
l2 2i N2
3 e
l3 2i N3
其中 l1 , l2 , l3 为整数 如果引入矢量:
l l l 3 2 k 1 b b b 1 2 3 N N N 1 2 3
T r a f r a a T T f r
T T T T
2 m 2 2 2 m 22 2 2 2 2 h rr h r 证明：T r ff f r Hf r TT T VV r TT Hf r r r Hf r V r r 2 2 2 2 m 2 2 m 2 m h h r a r a 2 2 h V r a f 2 2 2 2 V r a 2 h 2 r a h r r a f a rr aa a V r 2 m r r VV a f r a a 2 m a f r 2 m 2 m 2 m 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 h h r r r h h rr f r T rr f VV r TT r V r f r V r T f r 2m m 2 V r T f 2 m 2 m 2 m HT HT f f r r HT r f f r HT TT H H HT HT T Hf
固体物理(第4章)
§5-1 布洛赫定理——能带理论
能带理论是单电子近似的理论 —— 把每个电子的运动看成 是独立的在一个等效势场中的运动 单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子__ 哈特里－福 克 自洽场方法 能带理论的出发点 —— 固体中的电子不再束缚于个别的原 子，而是在整个固体内运动 ___ 共有化电子 共有化电子的运动状态 —— 假定原子实处在其平衡位置， 把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰 理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性
3 e
—— 整数
§5-1 布洛赫定理——能带理论
2 i
l3 N3
1 e
2 i
l1 N1 l2 N2 l3 N3
2 e 3 e
2 i
l1 l3 l2 —— 引入矢量 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 倒格子基矢
2 i
满足 a i b j 2 ij
—— 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得 到具体的波函数
§5-1 布洛赫定理——能带理论
§4-1 布洛赫定理
具有晶格周期性时 布洛赫定理 —— 势场 V ( r )
电子的波函数满足薛定谔方程
2 2 பைடு நூலகம்[ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
势场为晶格周期性函数
§5-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似——能带理论
1)
2 k l Na 2 k l Na
2)
§5-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似——能带理论
2 k k n k | V ( x ) | k V (n ) —— V(x)的第n个 a 傅里叶系数 2 k k n k | V ( x ) | k 0 a 2 k k n k | H | k V (n ) a 2 k k n k | H | k 0 a
能带理论是单电子近似的理论 —— 把每个电子的运动看成 是独立的在一个等效势场中的运动 单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子__ 哈特里－福 克 自洽场方法 能带理论的出发点 —— 固体中的电子不再束缚于个别的原 子，而是在整个固体内运动 ___ 共有化电子 共有化电子的运动状态 —— 假定原子实处在其平衡位置， 把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰 理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性
3 e
—— 整数
§5-1 布洛赫定理——能带理论
2 i
l3 N3
1 e
2 i
l1 N1 l2 N2 l3 N3
2 e 3 e
2 i
l1 l3 l2 —— 引入矢量 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 倒格子基矢
2 i
满足 a i b j 2 ij
—— 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得 到具体的波函数
§5-1 布洛赫定理——能带理论
§4-1 布洛赫定理
具有晶格周期性时 布洛赫定理 —— 势场 V ( r )
电子的波函数满足薛定谔方程
2 2 பைடு நூலகம்[ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
势场为晶格周期性函数
§5-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似——能带理论
1)
2 k l Na 2 k l Na
2)
§5-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似——能带理论
2 k k n k | V ( x ) | k V (n ) —— V(x)的第n个 a 傅里叶系数 2 k k n k | V ( x ) | k 0 a 2 k k n k | H | k V (n ) a 2 k k n k | H | k 0 a
固体物理基础第四章能带.
固体按导电性能的高低可以分为
导体
8
10 10 m
半导体 绝缘体
4
7
10 m
它们的导电性能不同， 108 m 是因为它们的能带结构不同。
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
一.导体的能带结构
E
空带 空带 导带 满带
空带
导带
某些一价 金属， 如:Li …
某些二价金属， 如:Be, Ca, Mg, Zn, Ba …
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
1s
Mg原子
2.有关能带被占据情况的几个概念： 满带：填满电子的能带
不满带：未填满电子的能带
空带：没有电子占据的能带 禁带：不能填充电子的能区
E
空带 禁带 不满带 禁带 满带 价带
价带：和价电子能级相应的能带
即最高的充有电子的能带 对半导体，价带通常是满带
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
1962 制成集成电路
1971 intel 4004微处理器芯片 2300晶体管
1982 1989 80286 80486 13.4万 120万
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
1993 1995 1997
pentium pentium MMX pentium2
320万 550万 750万
集成度每 10 年增加 1000 倍 ！
第 四 章 固体的能带结构
§4.1 晶体的结构和结合 §4.2 固体的能带 §4.3 导体和绝缘体
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
前言
固体物理既是一门综合性的理论学科又和
实际应用紧密结合（材料、激光、半导体…）
▲
固体物理是信息技术的物理基础
导体
8
10 10 m
半导体 绝缘体
4
7
10 m
它们的导电性能不同， 108 m 是因为它们的能带结构不同。
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
一.导体的能带结构
E
空带 空带 导带 满带
空带
导带
某些一价 金属， 如:Li …
某些二价金属， 如:Be, Ca, Mg, Zn, Ba …
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
1s
Mg原子
2.有关能带被占据情况的几个概念： 满带：填满电子的能带
不满带：未填满电子的能带
空带：没有电子占据的能带 禁带：不能填充电子的能区
E
空带 禁带 不满带 禁带 满带 价带
价带：和价电子能级相应的能带
即最高的充有电子的能带 对半导体，价带通常是满带
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
1962 制成集成电路
1971 intel 4004微处理器芯片 2300晶体管
1982 1989 80286 80486 13.4万 120万
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
1993 1995 1997
pentium pentium MMX pentium2
320万 550万 750万
集成度每 10 年增加 1000 倍 ！
第 四 章 固体的能带结构
§4.1 晶体的结构和结合 §4.2 固体的能带 §4.3 导体和绝缘体
浙江大学硅材料国家重点实验室 黄靖云
前言
固体物理既是一门综合性的理论学科又和
实际应用紧密结合（材料、激光、半导体…）
▲
固体物理是信息技术的物理基础
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第 四 章 固体的能带
三 . 能带中电子的排布 固体中的一个电子只能处在某个能带中的
某一能级上。
1. 排布原则： （1） 服从泡里不相容原理（费米子）
（2） 服从能量最小原理
对孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能 容纳 2 (2l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N个能级组成的能带， 一个能带最多能容纳 2 (2l+1) N 个电子。
E
从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。
第 四 章 固体的能带
绝缘体的能带结构
E
绝缘体在外电场的作用下，
空带 空带 共有化电子很难接受外电场的能量，
禁 带
ΔEg=3～6eV
所以形不成电流。 从能级图来看，是因为满带
满带 与空带间有一个较宽的禁带
（Eg：3～6 eV）共有化电子很难从低能级（满带）
钠的能带
第 四 章 固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到 周期性势场的作用。
孤立原子中电子的 势阱
势垒 电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
2m
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
先看两个原子的情况
3p
3s
2p
Mg
2s
。 1s
Mg
3p
空带
3s
价带
2p
根据泡利不相容原理，原来的
能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
第 四 章 固体的能带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的 一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称
为能带（energy band）。
跃迁到高能级（空带）上去。
当外电场足够强时，共有化电子还是能越过 禁带跃迁到上面的空带中，使绝缘体的击穿 。
第 四 章 固体的能带结构
能带理论中的主要思想：三大近似
绝热近似：
原子核比电子重得多，考虑子运动时可不考虑原 子核的运动。
单电子近似：
多电子转化为单电子问题
周期性势场近似：
电子在等效周期性势场中运动
不满带：未填满电子的能带
E
空带：没有电子占据的能带
禁带：不能填充电子的能区
价带：在0k时能被电子占满的最高能
带，对半导体价带通常是慢带
导带：半导体最外面（能量最高）的
一个能带。
空带
禁带 不满带
导带 价带
满带
第 四 章 固体的能带
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态，所以满带不 导电。
E
空带
空带
价
导带
带
满带
某些一价 金属， 如:Li …
某些二价金属， 如:Be, Ca, Mg,
Zn, Ba …
空带
导带
如:Na, K, Cu, Al, Ag…
第 四 章 固体的能带
第 四 章 固体的能带
第 四 章 固体的能带
第 四 章 固体的能带
导体在外电场的作用下，大量共有化电子 很易获得能量，集体定向流动形成电流。
1982 1989
80286 80486
13.4万 120万
1993 pentium
320万
1995
pentium MMX
550万
………
集成度每 10 年增加 1000 倍 ！
第 四 章 固体的能带理论
学好能带理论，你可以回答以下问题
金刚石为什么是绝缘体？ 硅为什么是半导体？
金属为什么导电性好？ 为什么能带理论是信息技术的物理基础？
2m
不导电
E
从能带来分析导电性：
E外
空带 导带
p E
满带 价带
导电
p
E外
不满带 导带
第 四 章 导体和绝缘体
固体按导电性能的高低可以分为
导体
108 m
104 107 m
半导体 绝缘体
它们的导电性能不同， 108 m
是因为它们的能带结构不同。
第 四 章 固体的能带
导体的能带结构
技术的发展 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的
普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
第 四 章 固体的能带理论
能带理论是信息技术的物理基础
1928-29 建立能带理论并由实验证实
1947.12 发明晶体管
1962 制成集成电路
1971 Intel 4004微处理器芯片 2300晶体管
第 四 章 固体的能带
大量原子有相互作用构成一个体系时，电 子的能量状态（能级）如何？
可以从两方面来分析： • 孤立原子的能级→固体的能带 • 研究电子在周期势场中的运动
从原子能级到固体能带 ➢ 原子中的电子处于不同的能级。 ➢ 几个原子有相互作用构成一个体系时电子 的能级如何？
第 四 章 固体的能带
第 四 章 固体的能带理论
固体中电子运动遵从的薛定谔方程
第 四 章 固体的能带
例如，1s、2s能带，最多容纳 2Ｎ个电子。
2p、3p能带，最多容纳 6Ｎ个电子。
3p
3s
每个能带最多容
纳 6Ｎ个电子
2p
每个能带最多容
2s
纳 2Ｎ个电子
1s
Mg原子
晶体Mg（N个原子）
电子排布时， 应从最低的能 级排起。
第 四 章 固体的能带
能带被占据情况的几个概念：
满带：填满电子的能带
第 四 章 固体的能带理论
§4.1 能带理论简介 §4.2 固体的能带 §4.3 导体和绝缘体 §4.4 推导能带的近似思想 §4.5 布洛赫定理
第 四 章 固体的能带理论
研究固体中电子运动的主要理论基础 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
导带： 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
第 四 章 固体的能带
p2 E
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约
10-23eV。
第 四 章
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。
点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
第 四 章 固体的能带
能带重叠示意图
金刚石的能带