用判别式求解几何最值问题

用”“∆求解几何最值问题 江苏省睢宁县双沟中学赵光朋（221212）通过恰当的途径，构建一元二次方程模型，在其有解的前提下，应用0≥∆或∆＞0去探讨某些几何最值（或不等）问题，有时可收到条理清晰、简捷明快的解题效果.举例说明如下：例1.当斜边一定时，求直角三角形周长的最大值. 分析：.当三角形的斜边c 一定时，两条直角边的和b a +与积ab 都可表示为周长l 与c 的代数式，由此想到以b a 、为实数根构造一元二次方程，再通过判别式∆求解.解：设直角三角形的两条直角边长分别为b a 、，斜边为c ，周长为l .则l c b a =++，c l b a -=+ （1）.所以22)()(c l b a -=+，即222222c cl l b ab a +-=++.又222c b a =+，所以222cl l ab -= （2）.由（1）、（2）知b a 、是方程022)(22=-+--cl l x l c x 的两个实数根.所以0224)]([22≥-⨯---=∆cl l l c .整理，得0222≥--c cl l ,求得c l ）（21+≤，所以周长l 的最大值是c ）（21+. 点评：上述解法中，以三角形的斜边c 和周长l 表示两条直角边b a 和，并利用韦达定理构造一元二次方程，再巧用判别式“∆” 化“相等”为“不等”，为求得周长的最大值疏通了渠道.例2.三角形有一个内角为060，此角所对的边长为1，求证其余两边的和不大于2. 证明：如图1，ABC ∆中，060=∠B ,1=AC .过A 作BC AD ⊥于D ，设x BD =，通过ADC Rt ABD Rt ∆∆和,得x AB 2=，x AD 3=，231x DC -=.令2312x x x BC AB y -++=+=，整理，得关于x 的一元二次方程0161222=-+-y xy x .由)1(1243622-⨯-=∆y y 0≥，得048122≥+-y ，所以，22≤≤-y ，y 的最大值为2，即其余两边的和不大于2.点评：在此解法中，适时地引入变量y x 、，并将他们的关系用一个等式表达出来，为构造一元二次方程明确了目标，为应用”“∆埋下了伏笔.更体现了几何问题代数化的转换思想. 例3.如图2，已知ABC ∆的面积为S ,作一条直线l ∥BC ,且与AC AB 、分别交于E D 、两点。

记BED ∆的面积为k ,证明：S k 41≤.1图l2图证明：因为DE ∥BC ,则可令ACAEAB AD x ==.又ABC ∆和ABE ∆是以B 为顶点的等高三角形，所以x ACAES S ABE ==∆，即Sx S ABE =∆.同理可证x AB AD AB AB BD S S ABE BDE -=-==∆∆1,所以,)1(Sx x k -=整理，得关于x 的方程02=+-k Sx Sx .因为x 是实数，所以042≥-=∆Sk S ，而0>S ,所以04≥-k S ，即S k 41≤. 点评：在上述解法中，以线段比为未知数x ， 并用x 表示三角形的面积比，通过等式变形得一元二次方程，构思巧妙.再应用”“∆，所证的结论则一目了然. 例4.如图3，ABC ∆中，F E D 、、分别是BC AC AB 、、上的点,DE ∥ BC ,DF ∥AC .设S S ABC =∆,1S S DFCE =四边形,求证S S 211≤. 分析：设x DE =，由已知的平行线可得两对相似三角形，再利用相似三角形的性质可找到各个三角形的面积与x 的关系，由此会萌生构造一元二次方程，再应用”“∆探讨证明思路的念头. 证明：设a BC =，x DE =，则x FC =，x a A BF --=.易证ADE ∆∽ABC ∆∽DBF ∆,所以2222a x BC DE S S ADE ==∆，22)(a x a S S DBF -=∆.即22a Sx S ADE=∆,22)(a x a S S DBF -=∆.易得+22a Sx S S ax a S =+-122)(,整理，得关于x 的一元二次方程022122=+-S a aSx Sx .因为x 是实数，所以024)2(122≥⨯--=∆S Sa aS .化简得021≥-S S ,所以S S 211≤. 例5.如图4，四边形ADPE 是一给定矩形m PD =，n PE =n m 、(均不为)0，BC 是过点P 的动直线，与AE AD 、的延长线交于C B 、.求ABC ∆面积的最小值.解：设θ=∠=∠EPC DBP ,则θtan mBD =，θtan n EC =.)tan )(tan (21θθn m n mS ABC ++=∆.即0tan )(2tan 222=+-+m S mn n θθ)0(≠m .因为θtan 为实数，所以3图θθ4图04)4222≥--=∆n m S mn （，得0)2(≥-mn S S .因为0>S ,所以mn S 2≥.即ABC ∆面积的最小值是mn 2.点评：以角度为变量，以正切函数为主元，构造一元二次方程，再应用”“∆，为这道题的快速求解增添了色彩.例6.如图5，过正方形ABCD 的顶点C 作一直线与AD AB 、的延长线交于F E 、，设a AB =，求AF AE +的最小值.解：设x AE =，y AF =，根据面积关系，有a a y a a x xy )(21)(21212-++-=，即)(y x a xy +=.设t y x =+，则at xy =，所以y x 、是方程02=+-at tu u 的两个实数根，所以042≥-=∆at t .因为0>t ，所以a t 4≥.当a y x 2==时a t 4=，故AF AE +的最小值是a 4.注：一般地，在解题过程中，如果能出现b xy a y x ==+,型的关系式，则可考虑利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程.例7.如图6，已知四边形ABCD 的对角线BD AC 与相交于O ,若4=∆AOB S ,9=∆COD S ,则四边形ABCD 面积的最小值为（ ）21)A （ 25)(B 26)(C 36)(D分析：若设1S S AOD =∆,2S S BOC =∆,则问题就转化为求21S S +的最小值.设k S S =+21，再求出21S S ⋅的值，就可构造以21S S 、为两个实数根的一元二次方程，根据0≥∆，可求出k 的取值范围，进而求出k 的最小值. 解：设1S S AOD =∆，2S S BOC =∆，k S S =+21（1）. 因为OBDOS S ==2194,所以3621=⋅S S （2）. 由（1）、（2）知21S S 、是方程0362=+-kt t 的两个实数根.所以0364)(2≥⨯--=∆k ，即1442≥k ，又0>k ，所以12≥k .因此，12949421++≥+++=S S S ABCD 四边形=25.即5图1S 2S 6图ABCD S 四边形的最小值是25.此时，621==S S .例8.如图7，ABC ∆与C B A '''∆是两个直角边都等于a 2，且叠在一起的等腰直角三角形.其中，ABC ∆固定，直角边BC AC 、的中点分别为N M 、,保持斜边B A ''在直线MN 上可使C B A '''∆位置左右移动.求两个三角形重叠部分的六边形面积的最大值.解析：直接求解，难以入手，而由N M 、分别为BC AC 、的中点，可知E D 、也为C B C A ''''、的中点.于是若记多边形MHDEKN 的面积为S ,则EKB AHD MABN S S S S ∆∆--=.再设x AH =，则x AD 2=，a DE 2=，)(2x a EB -=，所以x a EK -=.则有222(212123）x a x a S ---=，变形可得关于x 的方程022=-+-a S ax x .因为x 是实数，所以0)(4)(22≥---=∆a S a ，所以245a S ≤.故2max 45a S =，此时2a x =.由于],0[a x ∈，2ax =符合条件，所以，两个三角形重叠部分面积的最大值是245a .例9.如图8，PT 切⊙O 于点T ，直线PN 交⊙O 于点N M 、,求证PN PM +＞PT 2. 分析：“PN PM +”及2PT PN PM =⋅给出暗示，构造一元二次方程，应用”“∆也许可得巧证. 证明：由割线定理，得2PTPN PM =⋅,于是PN PM ，是方程0)(22=++-PT x PN PM x 的两个根.因为PN PM ≠,所以224)PT PN PM -+=∆（＞0,由此可得PN PM +＞PT 2.例10.当直角三角形ABC 的周长一定时，求其内切圆面积的最大值.解析:设直角三角形ABC 的三边长为c b a 、、（c 为斜边），其周长为p 2，内切圆半径为r ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=++）（32)2()1(2222 r c b a c b a p c b a ，由（1）、（3）得r p c -=，从而r p c r b a +=+=+2 （4）.又=+-+=2)()(222b a b a ab pr r p r p 22)()(22=--+ （5）.由（4）、（5）知b a 、是一元二次方程02)(2=++-pr x r p x 的两个根.要使此方程有实数根，必须7图8图024)(2≥⋅-+=∆pr r p ，即0622≥+-p pr r ，所以228)3(p p r ≥-.因为p r )223(+≥与0>-=r p c 矛盾，故取p r )223(-≤.所以当p r )223(-=时，内切圆半径最大，并推得b a =时内切圆有最大面积π22)223(p -平方单位.注：这一解法中，尽力寻找b a 、两数的和与积，是构造方程、应用""∆求得结果的关键. 例11.如图9，AB 是⊙O 的直径，过B A 、引圆的切线BC AD 、,又过上任意一点E 的切线与BC AD 、交于C D 、,求证CD OE 21≤. 证明：如图，连结OC OD 、，因为BC AD 、、CD 均为⊙O 的切线，且AD ∥BC ,所以，OC OD ⊥,又CD OE ⊥,易证ODE ∆∽COE ∆,可得2OE EC DE =⋅.又CD EC DE =+,可知EC DE 、是关于x 的方程022=+-OE CDx x 的两个根.由04)(22≥--=∆OE CD ，知CD OE 21≤. 例12.如图，半圆O 的半径为1，A AB AC 于⊥,B AB BD 于⊥,且1=AC ,3=BC ,P 是半圆上任意一点，求封闭图形ABDPC 面积的最大值.分析:先添辅助线，把封闭图形ABDPC 分割成规则图形.利用他们的面积关系构造一元二次方程，在应用”“∆将是一个可取的途径. 解：如图10，过P 作E AB AB PE 于交⊥,设x PE =，y AE =，封闭图形ABDPC 面积为S ,则)2(2y y x -=，)2(-=y y x ，)2)(3(21)1(21y x y x S -+++==3+-y x =322+--y y y ，223y y y S -=-+.两边平方、化简得关于y 的一元二次方程096)4(2222=+-+-+S S y S y .由0)96(84(422≥+---=∆S S S ）,得0242≤+-S S ,解得2222+≤≤-S .故封闭图形ABDPC 面积的最大值是22+.例13.有一块圆心角为060，半径长为1米的扇形余料，打算利用此扇形余料锯一个面积最大的矩形，求这个最大面积.9图10图解：为了使矩形的面积尽可能大，此矩形应为扇形的内接矩形.为此，分以下两种情况讨论，如图11（1）、（2），先研究第一种情况，如图11（1），连结OD ,设x CD =米，y S ABCD =矩平方米，则260tan 1x x OB OC BC --=-==x x 3312--，所以(x y =)3312x x --，所以22133x x x y -=+，两边平方，整理得03)332(4224=+-+y x y x .由0344)332(22≥⨯⨯--=∆y y ，得630≤≤y 所以63=y 为最大. 再研究第二种情况，如图11（2）. 作O ∠的平分线交F CD E AB 于、于,连结OC ,设x BE =米，y S ABCD =矩平方米，则0230tan 1xx OE OF EF BC --=-===x x 312--.所以(2x y =)312x x --.所以221232x x x y -=+，两边平方，整理得0)13(416224=+-+y x y x ，由0164)13(1622≥⨯--=∆y y ，得320-≤≤y 所以32-=y 为最大.由-63）（32-=0614414761237>-=-，知所锯矩形的最大面积是63平方米. 综上所述，形与数既是对立的，也是统一的.因此，数形结合思想是一种重要的数学思想，当你潜心研究一道几何中最值或不等问题而又难以入手时，不妨到一元二次方程中去找一找，也许她的判别式∆会助你一臂之力，从而达到柳暗花明的境地.11图。