用判别式求解几何最值问题

用”

“∆求解几何最值问题 江苏省睢宁县双沟中学赵光朋（221212）

通过恰当的途径，构建一元二次方程模型，在其有解的前提下，应用0≥∆或∆＞0去探讨某些几何最值（或不等）问题，有时可收到条理清晰、简捷明快的解题效果.举例说明如下：

例1.当斜边一定时，求直角三角形周长的最大值. 分析：.当三角形的斜边c 一定时，两条直角边的和b a +与积ab 都可表示为周长l 与c 的代数式，由此想到以b a 、为实数根构造一元二次方程，再通过判别式∆求解.

解：设直角三角形的两条直角边长分别为b a 、，斜边为c ，周长为l .则l c b a =++，

c l b a -=+ （1）.所以22)()(c l b a -=+，即222222c cl l b ab a +-=++.又222c b a =+，

所以222cl l ab -= （2）.由（1）、（2）知b a 、是方程022)(22

=-+

--cl l x l c x 的两个实数根.所以02

24)]([22

≥-⨯---=∆cl l l c .整理，得022

2≥--c cl l ,求得c l ）（21+≤，所以周长l 的最大值是

c ）（21+. 点评：上述解法中，以三角形的斜边c 和周长l 表示两条直角边b a 和，并利用韦达定理构造一元二次方程，再巧用判别式“∆” 化“相等”为“不等”，为求得周长的最大值疏通了渠道.

例2.三角形有一个内角为0

60，此角所对的边长为1，求证其余两边的和不大于2. 证明：如图1，ABC ∆中，0

60=∠B ,1=AC .过A 作BC AD ⊥于D ，设x BD =，通过

ADC Rt ABD Rt ∆∆和,得x AB 2=，x AD 3=，231x DC -=.令

2312x x x BC AB y -++=+=，整理，得关于x 的一元二次方程

0161222=-+-y xy x .由)1(1243622-⨯-=∆y y 0≥，得

048122≥+-y ，所以，22≤≤-y ，y 的最大值为2，即其余两边的和不大于2.

点评：在此解法中，适时地引入变量y x 、，并将他们的关系用一个等式表达出来，为构造一元二次方程明确了目标，为应用”“∆埋下了伏笔.更体现了几何问题代数化的转换思想. 例3.如图2，已知ABC ∆的面积为S ,作一条直线l ∥BC ,且与AC AB 、分别交于

E D 、两点。记BED ∆的面积为k ,证明：S k 4

1

≤.

1

图l

2

图

证明：因为DE ∥BC ,则可令AC

AE

AB AD x =

=.又ABC ∆和ABE ∆是以B 为顶点的等高三角形，所以

x AC

AE

S S ABE ==∆，即Sx S ABE =∆.同理可证x AB AD AB AB BD S S ABE BDE -=-==

∆∆1,所以,)1(Sx x k -=整理，得关于x 的方程02=+-k Sx Sx .因为x 是实数，所以042≥-=∆Sk S ，而

0>S ,所以04≥-k S ，即S k 4

1

≤

. 点评：在上述解法中，以线段比为未知数x ， 并用x 表示三角形的面积比，通过等式变形得一元二次方程，构思巧妙.再应用”

“∆，所证的结论则一目了然. 例4.如图3，ABC ∆中，F E D 、、分别是BC AC AB 、、上的点,DE ∥ BC ,DF ∥

AC .设S S ABC =∆,1S S DFCE =四边形,求证S S 2

1

1≤

. 分析：设x DE =，由已知的平行线可得两对相似三角形，再利用相似三角形的性质可找到各个三角形的面积与x 的关系，由此会萌生构造一元二次方程，再应用”

“∆探讨证明思路的念头. 证明：设a BC =，x DE =，则x FC =，x a A BF --=.易证ADE ∆∽ABC ∆∽DBF ∆,

所以2222a x BC DE S S ADE ==∆，22

)(a x a S S DBF -=∆.即22a Sx S ADE

=∆,22)(a x a S S DBF -=∆.易得+22a Sx S S a

x a S =+-12

2)(,整理，得关于x 的一元二次方程02212

2

=+-S a aSx Sx .因为x 是实数，所以024)2(12

2

≥⨯--=∆S Sa aS .化简得021≥-S S ,所以S S 2

1

1≤. 例5.如图4，四边形ADPE 是一给定矩形m PD =，n PE =n m 、(均不为)0，BC 是过点P 的动直线，与AE AD 、的延长线交于C B 、.求

ABC ∆面积的最小值.

解：设θ=∠=∠EPC DBP ,则θ

tan m

BD =，

θtan n EC =.)tan )(tan (

21θθ

n m n m

S ABC ++=∆.即0tan )(2tan 222=+-+m S mn n θθ)0(≠m .因为θtan 为实数，所以

3

图θθ

4

图

04)4222≥--=∆n m S mn （，得0)2(≥-mn S S .因为0>S ,所以mn S 2≥.即ABC ∆面积

的最小值是mn 2.

点评：以角度为变量，以正切函数为主元，构造一元二次方程，再应用”“∆，为这道题的快速求解增添了色彩.

例6.如图5，过正方形ABCD 的顶点C 作一直线与AD AB 、的延长线交于F E 、，设a AB =，求AF AE +的最小值.

解：设x AE =，y AF =，根据面积关系，有

a a y a a x xy )(2

1

)(21212-++-=，即)(y x a xy +=.设t y x =+，则at xy =，所以y x 、是方程02

=+-at tu u 的两个实数根，所以042

≥-=∆at t .因为0>t ，所以a t 4≥.当a y x 2==时a t 4=，故AF AE +的最小值是a 4.

注：一般地，在解题过程中，如果能出现b xy a y x ==+,型的关系式，则可考虑利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程.

例7.如图6，已知四边形ABCD 的对角线BD AC 与相交于O ,若4=∆AOB S ,9=∆COD S ,则四边形ABCD 面积的最小值为（ ）

21)A （ 25)(B 26)(C 36)(D

分析：若设1S S AOD =∆,2S S BOC =∆,则问题就转化为求21S S +的最小值.设k S S =+21，再求出21S S ⋅的值，就可构造以21S S 、为两个实数根的一元二次方程，根据0≥∆，可求出k 的取值范围，进而求出k 的最小值. 解：设1S S AOD =∆，2S S BOC =∆，k S S =+21（1）. 因为

OB

DO

S S ==2194,所以3621=⋅S S （2）. 由（1）、（2）知21S S 、是方程0362

=+-kt t 的两个实数根.所以0364)(2

≥⨯--=∆k ，即

1442≥k ，又0>k ，所以12≥k .因此，12949421++≥+++=S S S ABCD 四边形=25.即

5

图1S 2

S 6

图