几个准则(数)概念
函数极限的性质和收敛准则
函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。
在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。
一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。
2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。
也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。
也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。
二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
那么函数f(x)在x→a时收敛。
传热学bi、fo、nu、re、pr、gr准则数的定义式及其物理意义
传热学bi、fo、nu、re、pr、gr准则数的定义式及其物理意义摘要：一、传热学基本概念介绍二、Bi准则数的定义及物理意义三、Fo准则数的定义及物理意义四、Nu准则数的定义及物理意义五、Re准则数的定义及物理意义六、Pr准则数的定义及物理意义七、Gr准则数的定义及物理意义八、总结正文：传热学是研究物体间热量传递规律的一门学科，其中Bi、Fo、Nu、Re、Pr、Gr准则数是传热学中重要的无量纲数，它们在描述热传递过程有着重要的应用。
一、Bi准则数（毕托管数）：Bi = q/(kA)，其中q为热流密度，k为导热系数，A为传热面积。
Bi数描述了热流在物体内部分布的均匀性，当Bi数远小于1时，热流在物体内部分布均匀，传热过程可视为稳态；当Bi数远大于1时，热流在物体内部分布不均匀，传热过程趋向于非稳态。
二、Fo准则数（福克数）：Fo = Re/(Pr)，其中Re为雷诺数，Pr为普朗特数。
Fo数描述了流体流动对传热的影响，当Fo数远小于1时，流体流动对传热的影响较小；当Fo数远大于1时，流体流动对传热的影响较大。
三、Nu准则数（努塞尔数）：Nu = q/(kA)，其中q为热流密度，k为导热系数，A为传热面积。
Nu数描述了热传导过程的特性，当Nu数远小于1时，热传导过程可视为稳态；当Nu数远大于1时，热传导过程趋向于非稳态。
四、Re准则数（雷诺数）：Re = ul/(kρ)，其中u为流体速度，l为特征长度，k为导热系数，ρ为流体密度。
Re数描述了流体流动的特性，当Re数远小于1时，流体流动呈层流状态；当Re数远大于1时，流体流动呈湍流状态。
五、Pr准则数（普朗特数）：Pr = k/(ρcp)，其中k为导热系数，ρ为流体密度，cp为流体比热容。
Pr数描述了流体热传导与对流换热的相对重要性，当Pr数远小于1时，热传导作用占主导地位；当Pr数远大于1时，对流换热作用占主导地位。
六、Gr准则数（格拉特数）：Gr = q/(kA)，其中q为热流密度，k为导热系数，A为传热面积。
高数重要知识点汇总
高数重要知识点汇总第一章 函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0,称f (x )是比g (x )高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0,称f (x )与g (x )是同阶无穷小。
（3）l = 1,称f (x )与g (x )是等价无穷小,记以f (x ) ~ g (x )2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x , x e −1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二 求极限的方法1．两个准则准则1高数重要知识点汇总准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．高数重要知识点汇总4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→例1计算极限0e 1lim x x x→-. 解 该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 0e 1lim x x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x ax bx→． 解 该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''二、∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则,对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)n x x x n e→+∞>． 解 所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有 lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
《高等数学》课程教学大纲
《高等数学》课程教学大纲一、课程基本信息课程编码：课程名称：《高等数学》总学时：112学时适用专业：长春大学旅游学院商学院、旅游管理学院、工学院相关专业开课单位：基础部计算机与数学教研室课程类别：公共基础课课程性质：必修课二、课程性质、目的与任务高等数学课程的教学内容由3个数学分支的内容组成，即《微积分》（52学时）、《线性代数》（30学时）、《概率论及数理统计》（30学时）。
本课程是一门培养学生具有一定的抽象概括问题能力、逻辑推理能力、熟练的运算能力，综合运用所学知识去分析问题，解决问题能力的公共基础课，是商学院、旅游管理学院、工学院相关专业一门必修的课程。
通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本知识、基本理论和基本方法，为学生解决实际问题提供有效的数学方法，以及将高等数学的知识在自然科学和工程技术中的广泛应用奠定良好的数学基础。
本课程的主要任务是为专业课提供必不可少的数学基础知识，在传授知识的同时，努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力，以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。
三、课程的内容及要求、教学重点与难点（一）函数、极限、连续1.主要教学内容函数的概念；数列的极限；函数的极限；无穷小量与无穷大量；极限运算法则；极限存在准则、两个重要极限；函数的连续性与间断点；连续函数的运算、初等函数的连续性；闭区间上的连续函数的性质。
2.知识点与能力点（1）知识点：加深对函数概念的理解，了解函数性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性)；理解复合函数的概念，了解反函数的概念；理解极限的概念，了解极限的,Nεεδ--定义、理解左、右极限的定义；掌握极限的四则运算法则；了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性)和两个存在准则(夹逼准则与单调有界准则)；掌握两个重要极限；了解无穷小、无穷大，理解高阶无穷小和等价无穷小的概念；理解函数在一点连续和在区间上连续的概念；了解函数间断点的概念；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理，最大值、最小值定理。
高数夹逼准则与两个重要极限
高数夹逼准则与两个重要极限高数中的夹逼准则和两个重要极限是数学中非常基础而重要的概念。
夹逼准则可以帮助我们求解函数在其中一区间上的极限，而两个重要极限则可以简化我们在计算极限时的计算过程。
下面将详细介绍夹逼准则和两个重要极限。
一、夹逼准则夹逼准则是数学中一种求函数极限的方法。
它适用于其中一区间上的函数。
夹逼准则的基本思想是，如果一个函数在其中一区间内被两个函数夹住，而这两个函数恰好有相同的极限，那么被夹住的函数也会有相同的极限。
具体地说，设函数f(x)在其中一区间[a, b]上有定义。
如果存在两个函数g(x)和h(x)，满足对于所有的x∈(a, b)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim[x→a]g(x) = lim[x→a]h(x) = L，则有lim[x→a]f(x) = L。
夹逼准则的应用非常广泛，特别是可以用来求解一些比较复杂的极限。
1.正无穷大与无穷小之间的比较设函数f(x)在x→a时，当x趋于a时，f(x)的极限为正无穷大∞，即lim[x→a]f(x) = ∞。
那么对于任意的正数M，存在一个正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，<δ的x，有f(x)>M，即f(x)比任意的正数M都要大。
同样地，如果函数g(x)在x→a时，当x趋于a时，g(x)的极限为0，即lim[x→a]g(x) = 0。
那么对于任意的正数ε，存在一个正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，<δ的x，有，g(x)，<ε，即g(x)比任意的正数ε都要小。
这个极限的意义是，在计算极限时，如果我们发现函数f(x)在x→a时可以无限增大而无限接近正无穷大，那么我们可以将它近似地看作一个无穷大，这样可以简化计算过程。
同样地，如果函数g(x)在x→a时可以无限接近0，那么我们可以将它近似地看作一个无穷小。
2.正无穷大与负无穷大之间的关系如果两个函数f(x)和g(x)满足lim[x→a]f(x) = +∞，lim[x→a]g(x) = -∞，那么它们之间的关系为：当x→a时，f(x)比g(x)大无穷小。
偶数准则的名词解释是什么
偶数准则的名词解释是什么在数学领域中，偶数准则是一种基于数的性质的规则，它关于数字的特性以及其与其他数字之间的关系有所描述。
简言之，偶数准则帮助我们判断一个数字是否为偶数。
1. 引言在数学中，数是一种抽象的概念，它帮助我们理解和描述现实世界中的事物。
而偶数则是数的一种分类，它在我们日常生活和学术研究中都有广泛的应用。
本文将探讨偶数准则的名词解释，揭示其背后的数学原理和应用。
2. 偶数的定义在数学中，偶数定义为能够被2整除的整数。
换句话说，如果一个整数除以2的余数为0，那么它就是偶数。
根据这个定义，我们可以列举出一系列的偶数，如2、4、6、8等。
3. 偶数准则的应用偶数准则在数学和计算中有着广泛的应用。
首先，在算术运算中，偶数准则帮助我们判断两个数字的和、差、积是否为偶数。
例如，两个偶数的和仍然是偶数，而一个偶数与一个奇数的差是奇数。
这种准则帮助我们更快地计算数学问题。
4. 偶数的特性除了能够被2整除外，偶数还有其他特性。
首先，偶数可以被2整除的性质决定了它们的末位数字只能为0、2、4、6或8。
这种特点帮助我们快速判断一个数字是否为偶数，只需要观察它的末位数字即可。
另外，偶数的倍数也是偶数。
例如，4的倍数2*2、6的倍数2*3等也都是偶数。
5. 偶数与奇数的关系在数学中，偶数和奇数是两种不同的数的分类。
与偶数相比，奇数不满足被2整除的性质。
这种对立关系不仅存在于数学中，也存在于我们生活的方方面面。
太极的阴阳理念中也包含了偶数和奇数的概念，它们相辅相成，共同构成世界的平衡与和谐。
6. 偶数的应用举例偶数准则在实际生活和学科领域中有着广泛的应用。
例如，在编程中，偶数准则可以帮助我们设计算法，判断一个数字是否为偶数，从而实现不同的功能。
另外，在统计学中，偶数准则可以辅助我们分析和解读数据，发现其中的规律和趋势。
在经济学中，偶数准则也可以用于分析市场行为，预测未来的趋势等。
7. 结论通过对偶数准则的名词解释，我们可以了解到它的定义和应用。
四分位距准则
四分位距准则四分位距准则是统计学中常用的一种测量方式，用以描述数据集中的离散程度和分布情况。
它是通过将数据集分为四个等分来计算的，每个等分称为一个四分位数。
四分位距是指第三个四分位数与第一个四分位数之间的差值，它可以帮助我们了解数据的分布是否集中或分散，以及数据中存在的异常值。
我们需要了解四分位数的概念。
四分位数是将一个数据集分为四个等分的值，分别是第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2，也就是中位数）和第三四分位数（Q3）。
其中，中位数是将数据集按从小到大的顺序排列后，位于中间位置的数值。
第一四分位数是将数据集的前一半数据再次按从小到大的顺序排列后，位于中间位置的数值。
第三四分位数是将数据集的后一半数据再次按从小到大的顺序排列后，位于中间位置的数值。
四分位距是通过计算第三四分位数和第一四分位数之间的差值得到的。
它可以用来衡量数据的离散程度和分布情况。
如果四分位距较小，说明数据集中的数据比较集中，分布较为均匀；如果四分位距较大，说明数据集中的数据比较分散，分布不均匀。
因此，四分位距可以帮助我们快速判断数据的分布情况。
除了四分位距，还有其他一些常用的描述数据离散程度的指标，如极差、方差和标准差。
极差是指数据集中最大值与最小值之间的差值，它可以简单地反映数据的离散程度。
方差和标准差则是通过计算每个数据点与平均值的差值的平方的平均值来度量数据的离散程度，它们更加准确地描述了数据的分布情况。
那么，为什么我们要使用四分位距来度量数据的离散程度呢？相比于极差、方差和标准差，四分位距有以下几个优点。
首先，四分位距对异常值不敏感。
由于四分位数是将数据集分为四个等分，它们对数据集中的离群值有一定的免疫力，不会因为一个或少数几个异常值而产生较大的偏差。
其次，四分位距可以帮助我们快速判断数据集的分布情况，特别是是否存在较大的离群值。
通过比较第三四分位数和第一四分位数的差值，我们可以判断数据集中是否存在与其他数据相差较大的异常值。
谈谈数学分析中的几类柯西准则
谈谈数学分析中的几类柯西准则【摘要】本文主要论述了数列的柯西收敛准则，函数极限存在的柯西准则，级数收敛的柯西准则，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数一致收敛的柯西准则，平面点列的柯西准则，含参量反常积分一致收敛的柯西准则的应用并进行了总结和证明，并通过大量的例题体现了它们的地位和作用.柯西收敛准则是证明收敛与发散的基本方法，并且通过此种方法还推出了很多简单的方法，由此可见柯西准则的重要地位，此种方法的优越性也是显而易见的，就是通过本身的特征来判断是否收敛，这就给证明带来了方便，本文将这几种准则作了以下总结，并且探讨了它们之间的一些关系.【关键词】柯西准则，一致收敛，级数Some Canchy criteria in the Mathematical Analysis【Abstract】This passeage discusses the sequence of cauchy criterion function limit, the convergence of cauchy criterion, the convergence of the series, the function of cauchy criterion listed uniform convergence of cauchy criterion function series, uniform convergence of cauchy criterion, plane of cauchy criterion, some abnormal integral parameter uniform convergence of cauchy criterion and summarized and proof, and through a lot of sample reflected their status and role. Cauchy convergence criteria is proved the convergence and spread the basic method and through this method also launched many simple method, thus the important position of cauchy criterion, this kind of method is obvious superiority of the characteristics of itself, through to judge whether to prove the convergence, and this will bring convenience to the standards for the following summary, and probes into some of the relationship between them.【Key words】cauchy criterion, uniform convergence, series目录1 引言 (1)2数列的柯西收敛准则 (1)3函数极限存在的柯西准则 (2)4级数收敛的柯西准则 (3)4.1 级数的定义 (3)4.2 级数收敛的柯西准则及其应用 (3)5函数列一致收敛的柯西准则 (5)5.1 函数列的定义 (5)5.2 函数列的一致收敛及其应用 (5)6函数项级数一致收敛的柯西准则 (7)6.1 函数项级数定义 (7)6.2 函数项级数的一致收敛 (7)7含参量反常积分的一致收敛的柯西准则 (8)7.1 含参量反常积分的定义 (8)7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则 (8)8 柯西准则在数学分析中的作用 (11)9参考文献 (13)1 引言柯西准则是数学分析的基础理论，贯穿于整个数学分析内容之中.在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念的，都有与内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大优点是不需要借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的特点，它具有整齐完美的形式，在分析中有很重要的理论价值．由于柯西准则的内容多，又分布在教材的不同地方，在学习时感到空洞，抓不住实质，更不能很好地应用它们，下面根据自己的学习经验，谈点体会．2 数列的柯西准则定理2.1 (柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有 n m a a ε-<. 例1 证明：任一无限十进小数120.na bb b =的n 位不足近似(1,2,)n =所组成的数列1121222,,,,101010101010nn b b b b b b ++++ (1) 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为0,1,2,,9中的一个数，k=1,2，.证 记122101010nn n b b b a =+++.不妨设n m >,则有 1212101010m m nn m m m nb b b a a ++++-=+++ 11911(1)101010m n m +--≤+++1111(1)101010m n m mm -=-<<. 对任给的0ε>，取1N ε=，则对一切n m N >>有n m a a ε-<. 这就证明了数列(1)满足柯西条件. 例2 已知1sin 2nn k k kx ==∑，求证lim n n x →∞存在. 证明：设n m >，11sin 122nnn m k k k m k m k x x =+=+-=≤∑∑11111(1)222m n m +--=+++1111112212m m m +≤⋅=<-.所以10,{}N εε∀>∃=，当n m N >>时，1n m x x mε-<<，由柯西收敛准则，所以lim n n x →∞存在.3 函数极限存在的柯西准则定理 3.1(柯西准则) 设函数f 在00(;')U x δ内有定义.0lim ()x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")f x f x ε-<.证 必要性 设0lim ()x x f x A →=，则对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00(;)x U x δ∈有()2f x A ε-<.于是对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")(')(")22f x f x f x A f x A εεε-≤-+-<+=.充分性 设数列00{}(;)n x U x δ⊂且0lim n n x x →∞=.按假设，对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈，有(')(")f x f x ε-<.对上述的0δ>，存在0N >，使得当,n m N >时有00,(;)n m x x U x δ∈，从而有 ()()n m f x f x ε-<.于是，按数列的柯西准则，数列{()}n f x 的极限存在，记为A ，即lim ()n n f x A →∞=.按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在00ε>，对任何0δ>(无论δ多么小)，总可以找到00',"(;)x x U x δ∈，使得0(')(")f x f x ε-≥.例3 证明极限01lim sin x x→不存在.证 取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令11',"2x x n n πππ==+ 则有00',"(;)x x U x δ∈，而011sin sin 1'"x x ε-==.于是按柯西准则，极限01lim sin x x →不存在.4 级数收敛的柯西准则4.1 级数的定义给定一个数列{n u }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++(2)称为数项级数或无穷级数(也常称级数)，其中n u 称为数项级数(2)的通项 4.2 级数收敛的柯西准则及其应用定理4.2 级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m>N 以及对任意的正整数p ，都有 12m m m p u u u ++++++<ε根据定理4.2，我们立刻可写出级数发散的充要条件：存在某正数0ε，对任何正整数N ，总存在正整数0m (>N)和0p ，有 0000120m m m p u u u ε++++++≥ (3)由定理4.2立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件.推论 若级数(2)收敛，则l i mn n u →∞=0. 例4讨论调和级数1+11123n++++的敛散性解 这里调和级数显然满足推论的结论，即1l i m l i m 0n n n u n→∞→∞==. 但令p=m 时，有 122111122m m m u u u m m m+++++=+++++ ≥111222m mm+++=12.因此，取0ε=12，对任何正整数N ，只要m>N 和p=m 就有(5)式成立.所以调和级数是发散的.例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n∑收敛.证 由于12m m m p u u u ++++++=222111(1)(2)()m m m p ++++++ <111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p +++++++-+=11m m p -+ <1m. 因此，对任给正数ε，取N=1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使当m>N 及对任意正整数p ，由上式就有12m m m p u u u ++++++<1m<ε. 依定理4.2推得级数21n∑是收敛的. 例6 设11111!2!!n x n =++++，证明{}n x 收敛.证明 ,n p N ∀∈，111111(1)!(2)!()!(1)(1)(2)(1)()n p n x x n n n p n n n n n p n p +-=+++<++++++++++-+ 1111111111121n n n n n p n p n np n=-+-++-=-<++++-++. 0ε∀>，11,n n εε<>，取1[]N ε=，于是0ε∀>，1[]N ε∃=，,n N p N ∀>∀∈，有n p n x x ε+-<，故{}n x 收敛.5函数列一致收敛的柯西准则5.1 函数列收敛的定义设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有 ()()n f x f x ε-<， 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.由定义看到，如果函数列{}n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的()N ε(即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关)，只要n>N ，都有|()()n f x f x ε-<.由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的数列{}n f ，在D 上不一定收敛. 5.2 函数列的一致收敛及其应用定理5.2 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列{n f }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N ，使得当n ，m>N 时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<. (4)证 [必要性] 设()()n f x f x ⇒ (n →∞)，x D ∈，即对任给0ε>，存在正数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有()()2n f x f x ε-<. (5)于是当n ，m>N ，由(5)就有()()()()()()n m n m f x f x f x f x f x f x -≤-+-<22εε+=ε.[充分性] 若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，{}n f 在D 上任一点都收敛，记其极限函数为()f x ，x D ∈.现固定式中的n ，让m →∞，于是当n>N 时，对一切x D ∈都有()()n f x f x ε-≤. 由定义可得，()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈. 根据一致收敛定义可推出下述定理：函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：l i m s u p ()()0n n x Df x f x →∞∈-=. (6) 证 [必要性] 若()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.则对任给的正数ε，存在不依赖于x 的正整数N ，当n>N 时，有 ()()n f x f x ε-<，x D ∈. 由上确界的定义，亦有sup ()()n x Df x f x ε∈-≤.这就证得(6)式成立.[充分性] 由假设，对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n>N 时，有s u p ()()n x Df x f x ε∈-<. (7)因为对一切x D ∈，总有 ()()s u p ()()n n x Df x f x f x f x ∈-≤-. 故由(7)式得()()n f x f x ε-<.于是{}n f 在D 上一致收敛于f .在判断函数列是否一致收敛上定理 5.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数)，由, 所以在(,)-∞+∞上，sin 0nxn ⇒()n →∞. 例7 证明：若对,0,n n N a x I ∀∈∃>∀∈，有1()()n n n f x f x a +-≤，且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{()}n f x 在区间I 上一致收敛. 证明： ,,n p N x I ∀∈∀∈，111()()()()()()n p n n p n p n n n p n f x f x f x f x f x f x a a +++-++--≤-++-≤++(,)sin 1lim sup 0lim 0n n x nx nn →∞→∞∈-∞+∞-==因为1n n a ∞=∑收敛，故0,,n N p N ε∀>∃∈∀∈，有1n p n a a ε+-++<.于是，0,,,n N p N x I ε∀>∃∈∀∈∀∈，有 11()()n p n n p n n p n f x f x a a a a ε++-+--≤++=++<.所以{()}n f x 在区间I 上一致收敛.6 函数项级数一致收敛的柯西准则6.1 函数项级数定义定义1 设{()}n u x 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 12()()()n u x u x u x ++++，x E ∈ (8)称为定义在E 上的函数项级数，简记为1()nn k u x =∑或()n u x ∑.称1()()nn k k S x u x ==∑， x E ∈，n=1，2，(9)为函数项级数(10)的部分和函数列定义2 设{()}n S x 是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列.若{()}n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛于函数()S x ，或称()n u x ∑在D 上一致收敛. 6.2 函数项级数的一致收敛定理6.2（一致收敛的柯西准则） 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的充要条件为：对任给的正数ε，总存在某正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈和一切正整数p ，都有()()n p n S x S x ε+-<,或 12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<.此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件.推论 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{()}n u x 在D 上一致收敛于零.设函数项级数()n u x ∑在D 上的和函数为()S x ，称()()()n n R x S x S x =- 为函数项级数()n u x ∑的余项.7 含参量反常积分的一致收敛的柯西准则7.1 含参量反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,),}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，无穷积分(,)cf x y dy +∞⎰(10)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当记这个函数为()I x 时，则有 ()(,)cI x f x y d y +∞=⎰，[,]x a b ∈， (11)称(10)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限无穷积分，或简称含参量无穷积分. 如同无穷积分与数项级数的关系那样，含参量无穷积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似.7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则定义 若含参量无穷积分(10)与函数()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N>c ，使得当M>N 时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y d yI x ε-<⎰，即(,)Mf x y d y ε+∞<⎰，则称含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛于()I x ，或简单地说含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.定理7.3 (一致收敛的柯西准则) 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,A A M >时，对一切[,]x a b ∈，都有21(,)A A f x y d y ε<⎰. (12)例8 证明含参量无穷积分s i n xydy y+∞⎰(13) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>)，但在(0,)+∞内不一致收敛. 证 作变量代换u xy =，得s i n s i n AA x x y u d y d u yu +∞+∞=⎰⎰， (14)其中A>0.由于0sin udu u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，当'A M >时，就有's i n A udu uε+∞<⎰. 取A M δ>，则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由(14)式有s i n Axydy yε+∞<⎰， 所以(13)在0x δ≥>上一致收敛.现在证明(13)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数M(>c)，总相应地存在某个A M >及某个[,]x a b ∈，使得0(,)Af x y d y ε+∞≥⎰.由于非正常积分0sin udu u+∞⎰收敛，故对任何正数0ε与M ，总存在某个(0)x >，使得00s i n s i n Mxu u du du u uε+∞+∞-<⎰⎰，即0000sin sin sin Mx uu u du du du u u uεε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (15) 现令001sin 2udu uε+∞=⎰，由(14)及不等式(15)的左端就有000s i n s i n 2MM x x y u d y d u yu εεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(13)在(0,)+∞内不一致收敛.关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理.定理 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A (其中1A c =)，函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰(16)在[,]a b 上一致收敛.证 [必要性]由(10)在[,]a b 上一致收敛，故对任给的0ε>，必存在M c >，使当m n A A M >>时，对一切[,]x a b ∈，总有"'(,)A A f x y d y ε<⎰. (17)又由()n A n →+∞→∞，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m n M >>时，就有m n A A M >>.由(17)对一切[,]x a b ∈，就有 11()()(,)(,)m n mnA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰=1(,)m nA A f x y dy ε+<⎰.这就证明了级数(16)在[,]a b 上一致收敛.[充分性] 用反证法.假如(10)在[,]a b 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数M c >，存在相应的"'A A M >>和'[,]x a b ∈，使得"0'(',)A A f x y d y ε≥⎰.现取1max{1,}M c =，则存在211A A M >>及1[,]x a b ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰.一般地，取2(1)max{,}(2)n n M n A n -=≥，则有221n n n A A M ->>及[,]n x a b ∈，使得2210(,)n n A n A f x y dy ε-≥⎰. (18)由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且lim n n A →∞=+∞.现考察级数111()(,)n nA n A n n u x f x y dy +∞∞===∑∑⎰.由(18)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n M >，就有某个[,]n x a b ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰.这与级数(16)在[,]a b 上一致收敛的假设矛盾.故含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.例9 若无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，函数()f x 在[,)a +∞单调，则lim ()0x xf x →+∞=.证 不妨设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，已知无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，我们有()0f x ≥，[,)x a ∈+∞.由已知条件无穷积分()a f x dx ∞⎰收敛，根据柯西收敛准则0,ε∀>..1p A ∀>和2p A >，有12()p p f x dx ε<⎰.于是122,,2xx A p p x ∀>==取，因为()f x 单调递减，得到2122()()()()02p xxx x p xf x dx f t dt f x dt f x ε>=≥=≥⎰⎰⎰. 即lim ()0x xf x →+∞=.8 柯西准则在数学分析中的作用8.1 柯西准则在实数完备性理论中的作用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架.作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则人手，可依次推出其它五个定理.由广义积分收敛的柯西准则易推出广义积分的绝对收敛判别法及比较判别法. 8.2 用柯西准则判断敛散性的优越性作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点.其一，条件的充分必要性决定其适用范围更广，更普遍；其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果，以下举两个例子说明之.例10 若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 必收敛. 证 0ε∀>{}n a 收敛，由柯西准则',,N N m n N ∴∃∈∀>，有m n a a ε-< 从而m n m n a a a a ε-<-<，由柯西准则数列{}n a 收敛.例11 设函数列{()}n f x 在D 上一致收敛，则函数级数11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛.证 设1()()()n n n u x f x f x +=- 0ε∀>因为 {()}n f x 在D 上一致收敛，由函数列一致收敛的柯西准则： 所以 'N N ∃∈，当n N >时，',p N x D ∀∈∀∈，有()()n p n f x f x ε+-< 从而 11()()()()()n n n p n p n u x u x u x f x f x ε++-++++=-<.由函数级数的柯西一致收敛准则得：11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛 。
2024年小学一年级教学计划模版（三篇）
2024年小学一年级教学计划模版一、班级现状评估：新生刚踏入校园，对于学校的规章制度及日常行为准则尚不熟悉，加之年龄较小，自律能力尚需培养。
尽管如此，学生们普遍具备良好的礼貌习惯，能够主动向教师问好。
部分学生已有使用普通话的自觉，能够与教师及同学进行基础交流。
但也有个别学生尚未掌握正确的执笔方法，需要教师持续地进行指导和监督。
学生的学业成绩将在未来的学习过程中逐步了解。
二、教材结构与内容分析：本册教材涵盖“入学教育、汉语拼音、识字、课文、语文园地、口语交际”六个部分。
入学教育旨在帮助新生熟悉校园生活，掌握学习的基本规范。
继之以汉语拼音的学习，在此过程中认识若干常用汉字。
随后是识字（一）和识字（二），分别包含若干篇课文。
每个识字单元包含四课，每课学习12至若干个汉字。
课文部分分为若干单元，按照由浅入深的顺序编排，各单元课文内容相互关联。
每个单元后设语文园地，以丰富的内容和多样的形式，巩固语文知识，提升语文能力。
全书设有若干个口语交际话题，安排在每个单元之后，以便学生在设定的情境中练习口语交际。
汉字的编排采用认写分离原则，注重多认少写。
教材编写遵循课程标准，体现了课程标准所提出的基本理念和基本精神，内容兼具综合性、科学性、时代性、趣味性及广泛适用性等特点。
三、学期教学目标：1. 汉语拼音：掌握汉语拼音，能准确拼读声母、韵母、声调及整体认读音节。
能够准确地拼读音节，正确书写声母、韵母和音节，并能借助汉语拼音认读汉字。
2. 识字与写字：认识若干个常用汉字，其中若干个会写。
培养学生对汉字学习的兴趣，激发主动识字的动力。
掌握汉字的基本笔画，按照笔顺规则书写汉字。
逐步养成正确的书写姿势和良好的书写习惯。
3. 阅读：学会用普通话正确朗读课文，享受阅读的乐趣，并借助插图辅助阅读。
4. 口语交际：认真聆听他人讲话，努力理解讲话内容。
与他人交流时，态度自然、礼貌，积极参与讨论，对感兴趣的话题表达自己的见解。
四、教学重点与难点：（一）重点：1. 汉语拼音的教学。
传热学知识点
传热学主要知识点1.热量传递的三种基本方式。
热量传递的三种基本方式：导热（热传导）、对流（热对流）和热辐射。
2.导热的特点。
a必须有温差；b物体直接接触；c依靠分子、原子及自山电子等微观粒子热运动而传递热量；d在引力场下单纯的导热一般只发生在密实的固体中。
3.对流（热对流）（Convection）的概念。
流体中（气体或液体）温度不同的各部分之间，山于发生相对的宏观运动而把热量由一处传递到另一处的现象。
4对流换热的特点。
半流体流过一个物体表面时的热量传递过程，它与单纯的对流不同，具有如下特点：;导热与热对流同时存在的复杂热传递过程b必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差C壁面处会形成速度梯度很大的边界层5.牛顿冷却公式的基本表达式及其中各物理量的定义。
= （w）0 = q"A = Ah（t w -t x） w/m2h是对流换热系数单位w/（m:-k）g”是热流密度（导热速率），单位（W/m‘）0是导热量W&热辐射的特点。
a任何物体，只要温度高于0K,就会不停地向周围空间发出热辐射；b可以在真空中传播；c伴随能量形式的转变；d具有强烈的方向性；e辐射能与温度和波长均有关；f发射辐射取决于温度的4次方。
7.导热系数，表面传热系数和传热系数之间的区别。
导热系数：表征材料导热能力的大小，是一种物性参数，与材料种类和温度关。
表面传热系数：、流体与壁面温度相差1度时、每单位壁面面积上、单位时间内所传递的热量。
影响力因素：流速、流体物性、壁面形状大小等传热系数：是表征传热过程强烈程度的标尺，不是物性参数，与过程有关。
T （x, y, z ）为标量温度场圆筒壁表面的导热速率①= -kA — = -k(27rrL) — dr dr垂直导过导热微分方程式的理论基础。
傅里叶定律+热力学第一定律导热与导出净热量（使用傅里叶定律）+微元产生的热量二微元的内能变化量。
导热微分方程（热 ' 2伙—）+-伙兰）+2伙岂）+厂兀, ■ ox ox dy dy oz ozdT ~d （k 是导热率一一导热系数）d 2Td 2T（可以用热扩散率的概第一章导热理论基础1傅立叶定律的基本表达式及其中各物理量的意义。
《高等数学》 详细上册答案(一--七)
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
柯西准则内容
柯西准则内容一、柯西准则的概念柯西准则是由法国数学家柯西在19世纪提出的。
柯西准则是指，对于任意给定的正实数ε，如果数列{an}满足对于任意的正整数N，都存在一个正整数n>N，使得|an - am| < ε成立，那么数列{an}就是一个柯西数列。
二、柯西准则的性质1. 柯西准则是数列收敛的一个必要条件，但并不是充分条件。
2. 如果数列{an}是一个柯西数列，并且它的子数列{an_k}也是柯西数列，那么{an}就是收敛的。
3. 对于柯西数列，其极限是唯一确定的。
三、柯西准则在数学中的应用1. 数列的收敛性判断：通过柯西准则，我们可以判断一个数列是否收敛。
如果一个数列满足柯西准则，那么它就是收敛的。
2. 实数完备性的证明：柯西准则是证明实数完备性的基础。
实数完备性指的是任何柯西数列都有极限，并且极限也是实数。
3. 级数的收敛性判断：对于一个级数，如果其部分和数列满足柯西准则，那么该级数就是收敛的。
四、柯西准则在物理中的应用1. 波动方程的解析解：在物理中，波动方程是一种常见的偏微分方程。
对于一维波动方程，如果初始条件满足柯西准则，那么方程的解就是解析解。
2. 光的相干性：在光学中，柯西准则被用来描述光的相干性。
如果两个光源的相位差小于某一临界值，那么它们就是相干的；反之，如果相位差大于该临界值，它们就是不相干的。
柯西准则是数学中一个重要的概念，它用来判断数列的收敛性，并在实数完备性和级数收敛性的证明中发挥着重要作用。
在物理中，柯西准则被应用于波动方程的解析解和光的相干性的描述。
通过深入理解柯西准则的概念和性质，我们可以更好地理解数学和物理中的相关问题，并应用于实际的科学研究和工程应用中。
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限1.两个极限存在准则(1) 夹逼准则：设a, b, c为实数，如果函数f(x)在a的一些左邻域内对于一切x都有h(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]g(x)=L，则必有lim[x→a]f(x)=L。
夹逼准则的本质是通过构造两个函数作为边界来确定原函数的极限。
(2) 单调有界准则：设函数f(x)在(a, b)上单调递增(递减)，且在(a, b)上有界，则必有lim[x→a]f(x)=sup{f(x)}(或lim[x→a]f(x)=inf{f(x)})。
单调有界准则的基本思想是通过函数的单调性和有界性来确定极限。
(1) 无穷小极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=0，如果对于任意正数ε，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有，f(x)，<ε，那么称函数f(x)在x=a处的极限为0。
无穷小极限的重要性在于它在微积分中有广泛应用。
例如，微分定义中的导数可以看作是函数在其中一点的极限，这也符合函数在该点的变化趋势比较明显。
无穷小极限的概念使得我们能够更好地描述和理解函数在其中一点的变化情况。
(2) 无穷大极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=∞，如果对于任意正数M，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有f(x) > M，那么称函数f(x)在x=a处的极限为无穷大。
无穷大极限的重要性在于它可以帮助我们研究函数在其中一点的增长速度和趋势。
例如，在极限定义中，我们可以通过无穷大极限来刻画函数在其中一点的无限增长或无限逼近的情况。
此外，无穷大极限也在微积分中的积分定义中有重要的应用，帮助我们理解函数的积分和面积的概念。
综上所述，极限的存在准则和重要的极限是微积分中的重要概念。
了解它们的定义和应用可以帮助我们更好地理解和分析函数在其中一点的变化情况，为进一步研究微积分和数学分析打下坚实的基础。
数学分析(二)知识点总结
于是
b
b
a f ( x)dx a dU U
(2)
这表明连续函数的定积分就是 (1) 的微分的
定积分.
2、名称释译
由理论依据(2) 知,所求总量 A 就是其微分 dU f ( x)dx 从 a 到 b 的无限积累(积分) :
b
U f ( x)dx a
这种取微元 f ( x)dx 计算积分或原函数的 方法称微元法.
几个概念：
区间套（闭区间套），
聚点（3个等价定义及其等价性的证明），
开覆盖（有限开覆盖）。
举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间 结论不成立。
如 （{ 0，1）}是前一个包含后一个，且 lim(1 0) 0,
n
n n
但不存在属于所有开区间的公共点。
举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区 间结论不成立。
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 的积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”的积分法。
注：检验积分结果正确与否的基本方法。
凑微分时常用到：
2xdx dx2; e xdx de x;
sec2 xdx d tan x;
1 dx d 2 x; x
xndx dxn1 , n -1; n1
1 dx d ln( x c); xc
cos xdx d sin x;
1 1 x2 dx d arctan x;
dx 1 d(ax b), a 0. a
如开区间集合{( 1 ,1)}，n 1,2, n1
(完整版)流体力学
第1章绪论一、概念在任何微小剪切力持续作用下连续变形的物质叫做流体（易流动性是命名的由来）宏观尺寸非常小，微观尺寸非常大的任意一个物理实体宏观体积极限为零，微观体积大于流体分子尺寸的数量级假设组成流体的最小物质是流体质点，流体是由无限多个流体质点连绵不断组成，质点之间不存在间隙。
分子平均自由程远远小于流动问题特征尺寸作用在一定量的流体上的压强增加时，体积减小Ev=-dp/（dV/V）压强的改变量和体积的相对改变量之比Ev=1/Kt体积弹性模量越大，流体可压缩性越小等温Ev=p等嫡Ev=kpk二Cp/Cv作用在一定量的流体上的压强增加时，体积不变Ev=dp/（dp/p）（低速流动气体不可压缩）流体抵抗剪切变形的一种属性动力粘度：|1,单位速度梯度下的切应力U=T/（dv/dy）运动粘度：V,动力粘度与密度之比，v=u/pV=|!=0的流体T=+-|idv/dy（T大于零）、T=^V/8切应力和速度梯度成正比粘性产生的机理，粘性、粘性系数同温度的关系；液体：液体分子间的距离和分子间的吸引力,温度升高粘性下降气体：气体分子热运动所产生的动量交换,温度升高粘性增大牛顿流体的定义；符合牛顿内摩擦定律的流体质量力：与流体微团质量大小有关的并且集中在微团质量中心上的力表面力：大小与表面面积有关而且分布在流体表面上的力二、计算1、牛顿内摩擦定律的应用－间隙很小的无限大平板或圆筒之间的流动.第2章流体静力学一、概念流体内任意点的压强大小都与都与其作用面的方位无关微元平衡流体的质量力和表面力无论在任何方向上都保持平衡欧拉方程=0流体平衡微分方程重力场下的简化：dp二一pdW二一pgdz不可压缩流体静压强基本公式z+p/pg二C不可压缩流体静压强分布规律p=p0+pgh平衡流体中各点的总势能是一定的静止流体中的某一面上的压强变化会瞬间传至静止流体内部各点4、绝对压强、计示压强（表压）、真空压强的定义及相互之间的关系；绝对压强：以绝对真空为起点计算压强大小记示压强：比当地大气压大多少的压强真空压强：比当地大气压小多少的压强绝对压强二当地大气压+表压表压二绝对压强一当地大气压真空压强=当地大气压-绝对压强单管式：简单准确；缺点：只能用来测量液体压强，且容器内压强必须大于大气压强，同时被测压强又要相对较小，保证玻璃管内液柱不会太高U：可测液体压强也可测气体压强；缺：复杂倾斜管：精度高;缺点：?？F=pS+pgsinayS当p二大气压强，F=pgsinayS压力中心：二、计算1、U型管测压计的计算；2、绝对压强、计示压强及真空压强的换算3、平壁面上静压力大小的计算。
级数的概念及其性质
级数的概念及其性质我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。
下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项.取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，…这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数：的和是1.证明：当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.级数的性质1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即：注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。
正项级数的收敛问题对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。
下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。
再论Grice合作原则“四个准则”及其发展
再论Grice合作原则“四个准则”及其发展作者：阿斯罕来源：《内蒙古教育·职教版》2013年第09期英国著名哲学家Hebert Paul Grice1975年发表《逻辑与会话》，在哲学、认知学，以及语言学等诸多领域受到了普遍关注。
尤其是文章中提出的合作原则，更是被视为语用学的经典著作之一。
Grice提出制约会话的普遍条件的探索，认为每个理性的会话都遵循合作原则及其“四个准则”，即量的准则、质的准则、相关准则及方式准则。
一、Grice合作原则“四个准则”的发展后格赖斯原则指Grice原则后发展的各种原则，提出对Grice理论的质疑，以取代Grice理论为最终目的，并认为Grice合作原则有根本性的问题。
后格赖斯原则是在Grice原则基础上加以修正和改造的一种新式理论，以Horn和Levinson为代表，认可Grice理论的哲学框架，对Grice理论有继承性，并尝试进一步阐释和发展Grice理论。
二、Grice合作原则发展的两大理论体系1.后格赖斯原则后格赖斯原则包括Kasher（1976）的理性原则、Leech （1983）的礼貌原则及Sperber & Wilson（1986）的关联原则。
Kasher（1976）指出合作原则是基于一种假设，即参与对话双方都明确知道会话目标及其发展方向。
但他认为，现实中有不少缺少共同目标的对话，也会不明确对话发展方向。
Kasher认为合作原则中单个的准则与合作原则并不相关，而是遵循另外一个原则，即人应当选择最有效的活动来达到预期的目的。
因此他提出了“理性原则”，也叫“有效手段原则”，其内容为“在有明确结果要求的情况下，人会选择有效且成本最低的手段去达到目的，在任何条件下都是如此”（封宗信 2008：2）。
不难看出，Kasher把握了Grice合作原则最基本的前提条件，即Grice所说的对话是作为理性动物的人所作的理性行为。
正如在Grice后期哲学思想中所体现的对于理性的关注，合作原则中所谓合作其实就是普通理性认知的一种表现（Chapman 2005：167）。
企业会计准则基本准则
企业会计准则基本准则企业会计准则基本准则导语：企业会计准则体系包括《企业会计准则——基本准则》(以下简称基本准则)、具体准则和会计准则应用指南和解释等，基本准则是企业会计准则体系的概念基础，是具体准则、应用指南和解释等的制定依据，地位十分重要。
(一)基本准则的地位国际会计准则理事会、美国等国家或者地区在其会计准则制定中，通常都制定有“财务会计概念框架”，它既是制定国际财务报告准则和有关国家或地区会计准则的概念基础，也是会计准则制定应当遵循的基本法则。
我国基本准则类似于国际会计准则理事会的《编报财务报表的框架》，在企业会计准则体系建设中扮演着同样的角色，在整个企业会计准则体系中具有统驭地位。
同时，我国会计准则属于法规体系的组成部分。
根据《立法法》规定，我国的法规体系通常由四个部分构成：一是法律;二是行政法规;三是部门规章;四是规范性文件。
其中，法律是由全国人民代表大会常务委员会通过，由国家主席签发。
行政法规由国务院常务委员会通过，由国务院总理签发。
部门规章由国务院主管部门部长以部长令签发。
我国企业会计准则体系中，基本准则属于部门规章，是由财政部于2006年2月15日以第33号部长令签发的;具体准则、应用指南和解释属于规范性文件;2007年11月16日和2008年8月7日财政部又分别印发了第1号和第2号企业会计准则解释。
二)基本准则的作用基本准则在企业会计准则体系中具有重要地位，其作用主要如下：一是统驭具体准则的制定。
基本准则规范了包括财务报告目标、会计基本假设、会计信息质量要求、会计要素的定义及其确认、计量原则、财务报告等在内的基本问题，是制定具体准则的基础，对各具体准则的制定起着统驭作用，可以确保各具体准则的内在一致性。
我国基本准则第三条明确规定，“企业会计准则包括基本准则和具体准则，具体准则的制定应当遵循本准则(即基本准则)”。
在企业会计准则体系的建设中，各项具体准则也都明确规定按照基本准则的要求进行制定和完善。
柯西准则及其应用 (1)
柯西准则及其应用摘 要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用．关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，即设函数()f x 在00(;)U x δ'内有定义，00()lim x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数δ(<δ')，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ，都有()()f x f x '''-<ε．事实上，当0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞，x →∞五种情形函数极限存在的柯西准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处．1 柯西准则的其它五种形式定理1.1 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义．00()lim x x f x +→存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，均有()()f x f x '''-<ε．证 必要性 设0()lim x x f x A +→=，则对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，使得对00(;)x U x δ+∀∈，有()2f x A ε-<．于是对00(;)x x U x δ+'''∀∈，，有充分性 设数列{}00(;)n x U x δ+⊂且0lim n n x x →∞=，按假设，对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，有()()f x f x ε'''-<．由于0()n x x n →→∞，对上述的δ>0，存在N >0，使得当n m ，>N 时有00(;)n m x x U x δ+∈， 从而有()()n m f x f x ε-<．于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列{}()n f x 的极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞=．设另一数列{}00(;)n y U x δ+'⊂且0lim n n y x →∞=，则如上所证，()lim n n f y →∞存在，记为B ．现证B A =，为此，考虑数列易见{}n z ⊂00(;)U x δ+'且0lim n n z x →∞=，故仍如上面所证，{}()n f z 也收敛．于是，作为{}()n f z 的两个子列，{}()n f x 与{}()n f y 必有相同的极限，所以由归结原则推得0()lim x x f x A +→=．证毕定理1.2 设函数f 在00(;)U x δ-'内有定义．00()lim x x f x -→存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ-，均有()()f x f x '''-<ε．以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性．证 充分性 设数列{}n a 满足柯西条件，先证明{}n a 是有界的．为此，取ε=1，则存 正整数N ，当1m N =+及n N >时有 由此得111111n n N N n N N N a a a a a a a a +++++=-+≤-+<+．令则对一切正整数n 均有n a M ≤．于是，由致密性定理可知，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设lim k n k a A →∞=．对任给的0ε>，存在0K >，当m n k K >，，时，同时有2n m a a ε-<(由柯西条件)，2k n a A ε-<（由lim k n k a A →∞=）．因而当取()k m n k K =≥>时，得到22k k n n n n a A a a a A εεε-≤-+-<+=．这就证明了lim n n a A →∞=．有归结原则：0lim ()x x f x A -→=⇔对任何0()n x x n →→∞有lim ()n n f x A →∞=．充分性即证．必要性 设lim n n a A →∞=．有数列极限定义，对任给的0ε>，存在0N >当m n N >，时有因而22m n m n a a a A a A εεε-≤-+-<+=．由归结原理知，即可证得．证毕注 归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题．定理1.3 充分大的M >0，设函数f 在()U +∞内有定义．()lim x f x →+∞存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何x '>1M ，x ''>1M ，均有()()f x f x '''-<ε．证 先证必要性．设()lim x f x A →+∞=，按照定义，0ε∀>，110M M M ∃>>，，1x x M '''∀>，()2f x A ε'-<，()2f x A ε''-<．于是()()f x f x '''-≤()f x A '-+()f x A ''-<ε．再证充分性．设0ε∀>，110M M M ∃>>，，1x x M '''∀>，()()f x f x '''-<ε．任意选取数列{}n x ，lim n n x →∞=+∞．则对上述10M >，10n m N n m N x x M ∃>∀>>，，，，．有()()n m f x f x ε-<．这说明函数值数列{}()n f x 是基本数列，因而必定收敛．根据相应的归结原则，可知()lim x f x →+∞存在而且有极限．证毕注 上述证明过程中用到了基本数列，下面介绍基本数列的定义 如果数列{}n x 具有以下特征：0ε∀>，0N n m N ∃>∀>，， 则称数列是一个基本数列．定理1.4 充分大的M >0，设函数f 在()U -∞内有定义．()lim x f x →-∞存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何x '<1M -，x ''<1M -，均有()()f x f x '''-<ε．证 必要性 设()lim x f x A →-∞=，则对任给的0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何1x M <-有()2f x A ε-<．于是对任何1x x M '''<-，有充分性 设数列{}n x (]1,M ⊂-∞-且lim n n x →∞=-∞．按假设，对任给的0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何1x x M '''<-，，有()()f x f x ε'''-<．由于()n x n →-∞→∞，对上述的10M >，存在0N >使得当n m N >，时有1n m x x M <-，，从而有于是，按数列的柯西收敛准则，数列{}()n f x 的极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞=．设另一数列{}(],n y M ⊂-∞-且lim n n y →∞=-∞，则如上所证，()lim n n f y →∞存在，记为B ．现证B A =，为此，考虑数列易见{}(],n z M ⊂-∞-且lim n n z →∞=-∞，故仍如上面所证，()lim n n f z →∞也收敛．于是，作为{}()n f z 的两个子列，{}()n f x 与{}()n f y 必有相同的极限，所以由归结原则推得()limx f x A →-∞=． 证毕定理1.5 充分大的M >0，设函数f 在()U ∞内有定义．()lim x f x →∞存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何1x x M '''>，，均有()()f x f x '''-<ε．定理1.5的证明可以类似前面4个定理的证明． 2 归纳柯西准则在数学分析中的应用． 2.1柯西准则在实数完备性理论中的应用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架．作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五个定理．2.1.1 用数列的柯西收敛准则证明确界原理．证 设S 为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数ακ，使得ααλκα=为S 的上界，而(1)ααλακα-=-不是S 的上界，即存在S α'∈，使得(1)αακα'>-．分别取112n nα==，，，，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界，故存在a S '∈，使得1n a nλ'>-． （1）又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有m a λ'≥．结合（1）式得1n m n λλ-<；同理有1m n mλλ-<．从而得11max(,)m n m nλλ-<．于是，对任给的0ε>，存在0N >，使得当m n N >，时有m n λλ-<ε．由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛．记lim n n λλ→∞=． （2）现在证明λ就是S 的上确界．首先，对任何a S ∈和正整数n 有n a λ≤，由(2)式得a λ≤，即λ是S 的一个上界．其次，对任何0δ>，由10()n n→→∞及(2)式，对充分大的n 同时有 122n n δδλλ<>-，． 又因1n nλ-不是S 的上界，故存在a S '∈，使得1n a n λ'>-．结合上式得22a δδλλδ'>--=-．这说明λ为S 的上确界．同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界． 2.1.2 用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理证 在闭域套{}n D 的每一个闭域n D 内任取一点n P ，构成一个各点各不相同的平面点列{}n P ，则对一切自然数P ，由于n p n D D +⊂，以1,,0(,)0()n n p n n n n P P D P P d n ρ++∈<≤→→∞，因此(,)0lim n n p n p p ρ+→∞=．由定义任给0ε>，存在正整数N ，使得当n N >时，对一切自然数P ，都有(,)n n p p p ρε+<，根据柯西准则{}n P 收敛，记0lim n n P P →∞=．现证012n P D n ∈=，，，，为此任意取定n ，则因为对一切自然数12p =，，，都有0lim n p n p n n p p P D D P P +++→∞∈⊂=，，由定义知0P 是n D 的聚点，而闭域n D 必为闭集，所以它的聚点012n P D n ∈=，，，，最后证明0P 的唯一性，若还有012n P D n '∈=，，，，则由于10(,)0()n n n P P d n ρ+≤≤→→∞．，所以0000(,)0P P P P ρ''==，．2.2 柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出． 2.2.1 柯西准则在数列收敛性判定中的应用数列{}n a 收敛0N N m n N ε'⇔∀>∃∈∀>，，，有m n a a ε-<． 数列{}n a 发散00N N m n N ε'''⇔∃>∀∈∃>，，，，使得0m n a a ε''-≥．例1 应用柯西收敛准则，证明数列{}n a 收敛证 对0ε∀>，取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则对n m N ∀≥>，有而由2m ε>知2mε<，故n m a a ε-<，由柯西收敛准则知数列{}n a 收敛． 2.2.2 柯西准则在函数极限存在性判定中的应用0()lim x x f x →不存在的充要条件是：00ε∃>，对0δ∀>，都存在x '，x ''∈00(;)U x δ，使得0()()f x f x ε'''-≥．例2 证明极限01sin lim x x→不存在．证 可取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令则有0(0;)x x U δ'''∈，，而011sinsin 1x x ε-=='''．于是按照柯西准则，极限01sin lim x x→不存在．2.2.3 柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用 因为无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性是由变上限函数()lim ta t f t dt →+∞⎰存在与否确定的．因此，可由函数极限()lim x f x →+∞存在的柯西准则导出无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的柯西准则：无穷积分()af x dx +∞⎰收敛120G a u u G ε⇔∀>∃≥∀>，，，有同理，由函数极限0()lim t t f x →存在的柯西准则可直接推出瑕积分()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛的柯西准则：瑕积分()ba f x dx ⎰（a 为瑕点）收敛()1200,u u a a εδδ⇔∀>∃>∀∈+，，，有例3 设()f x 在[)0,+∞上连续可微，并且20()f x dx +∞<+∞⎰．如果()f x C '≤(当0x >时)，其中C 为一常数．试证：()0lim x f x →+∞=．证 （反证）假设()0lim x f x →+∞≠，则00ε∃>，使对0G ∀>，总有A x G >，()A f x ε≥０因为()f x 在[)0,+∞上连续可微，()f x c '≤．故f 在[)0,+∞上一致连续，于是0δ∃>，使当[)0,x x x x δ''''''∈+∞-<，，时，又因20()f x dx +∞⎰收敛，故0M ∃>时，当12x x M >，时，2120()2x x f x dx εδ<⎰，对该M ，存在0x ，故00(,)(,)x x M δδ-+⊂+∞，0()f x ε≥０当00(,)x x x δδ∈-+时 0()()f x f x ε-<０． 20()4f x ε∴≥．00200()242x x f x dx δδεεδδ+-∴≥⋅=⎰矛盾．()0lim x f x →+∞∴=．2.2.4 柯西准则在级数收敛性判定中的应用因为级数1n n u =∑的敛散性是由其前n 项和数列{}1n n k k S u =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑的敛散性确定的．所以，由{}n S 收敛的柯西准则直接可得级数1n n u ∞=∑收敛的柯西准则：1nn u∞=∑收敛0N N m N p N ε''⇔∀>∃∈>∀∈，，，有例 4 级数1nn a∞=∑收敛的充要条件是：对任意的正整数序列12n r r r ，，，，都有12()0lim n n n n r n a a a +++→∞+++=．证 必要性 因为1n n a ∞=∑收敛，所以对当,N N n N '∃∈>及p N '∀∈有特别地12n n n n r a a a ε++++++<．所以12()0lim n n n n r n a a a +++→+∞+++=．充分性 用反证法．若1n n a ∞=∑发散，则000N n N ε∃>∀>∃>，，及自然数p ，使特别1111N n =∃>，及自然数1r 使{}2122max 2N n n N =∃>，，，及自然数2r ，使 这与12()0lim n n n n r n a a a +++→+∞+++=矛盾．所以级数1n n a ∞=∑是收敛的．例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n ∑收敛．证 由于因此，对任给0ε>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，使当m N >及对任意正整数p ，由上式就有121m m m p u u u mε++++++<<． 依级数收敛的柯西准则推得级数21n∑是收敛的． 2.2.5 柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛性判定中的应用 由数列收敛的柯西准则易推得函数列{}()n f x 一致收敛的柯西准则： 函数列{}()n f x 在D 上一致收敛0N N m n N x D ε'∀>∃∈∀>∀∈，，，，有又因为函数项级数1()n n f x ∞=∑的一致收敛性是由其部分和函数列{}1()()n n k k S x f x =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑的一致收敛性确定的．所以，可用函数列一致收敛的柯西准则直接推出函数项级数一致收敛的柯西准则：1()nn fx ∞=∑在D 上一致收敛0N N ε'⇔∀>∃∈，， 当n N >时，p N x D '∀∈∀∈，有12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<．进一步易推出判断函数项级数一致收敛常用的魏尔斯特拉斯判别法．例6 证明：若对0n n N a x I '∀∈∃>∀∈，，，有1()()n n n f x f x a +-≤且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{}()n f x 在区间上一致收敛．证 n p N x I '∀∈∀∈，，，因为1n n a ∞=∑收敛，故有0N N n N p N ε''∀>∃∈∀>∀∈，，，0N N n N p N x I ε''∀>∃∈∀>∀∈∀∈，，，，有1n p n a a ε+-=++<．所以函数列{}()n f x 在区间上一致收敛．例7 设()(1,2,)n u x n =是[],a b 上的单调函数，证明：若()n u a ∑与()n u b ∑都绝对收敛，则()n u x ∑在[],a b 上绝对且一致收敛．证 因为()n u a ∑与()n u b ∑绝对收敛⇒对0N N ε+∀>∃∈，，当n N >时，对p N +∀∈有12()()()n n n p u a u a u a ε++++++<． 12()()()n n n p u b u b u b ε++++++<．又因为()(1,2,)n u x n =是[],a b 上的单调函数，所以对[],x a b ∀∈．有()()()n n n u a u x u b ≤≤ 或()()()n n n u a u x u b ≥≥．由一致收敛的柯西准则可推出函数项级数()n u x ∑在[],a b 上绝对且一致收敛．柯西准则的优越性柯西准则的优越性是显然的，在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念都有内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大的优点是不需借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的具体特点来解决相应的问题，使得看似复杂的问题变的简单易懂．它具有整齐完美的形式，充分体现了数学美，使得许多抽象的数学理论形象可见．在数学分析中有非常重要的理论价值，所以深刻理解柯西准则很重要．参考文献[1] 责任编辑高尚华，华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社，2001年，第三版 [2] 崔万臣，谈柯西准则在数学分析中的作用，唐山师专学报，1993年，第21卷，第2期 [3] 王安斌、宾红华，用柯西准则证明几个相关命题，数学理论与应用，2004年，第24卷，第4期 [4] 陈祥平，对柯西准则教学的体会，济宁师专学报，1998年，第19卷，第6期[5] 薛怀玉，2R 上完备性定理的等价，咸阳师范专科学校学报（自然学版），1998年，第13卷，第6期[6] 钱吉林，数学分析题解精粹，湘北长江出版集团，2009年，第二版[7] 刘玉链、傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社，2003年，第三版 [8] 陈纪修、於崇华、金路，数学分析，高等教育出版社，2004年，第二版Cauchy criterion and its applicationAbstract: The Cauchy criterion is one of the six theorems which is about the completeness of real numbers. it isthe foundation of the limit. Throughout the course of mathematical analysis,its applicationhas always been. In general, During the curriculum materials of themathematical analysis, when it discusses the Cauchy criterion, only asituation that 0x x is discussed.This article will supply proofs of the other five cases of the Cauchy criterion of the limits of function. At the same time, it will discuss and sum the flexibility application of Cauchy criterion in the limits, the series , Points and so on.Keywords:Cauchy criterion; applications; limit exists; superiority。
几个准则(数)概念
关于几个常用“标准数”的概念为方便工程计算和学习，现将关于几个常用“标准数”的概念摘编如下，供参考。
1）雷诺数（Reynolds number）一种可用来表征流体流动情况的无量纲数，为纪念O.雷诺而命名，记作Re。
流体力学中，雷诺数是流体惯性力与黏性力比值的量度，它是一个无量纲量。
雷诺数较小时，黏滞力对流场的影响大于惯性力，流场中流速的扰动会因黏滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性力对流场的影响大于黏滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化容易发展、增强，形成紊乱、不规则的紊流流场。
Re=ρvd/μ其中v、ρ、μ分别为流体的流速、密度与动力粘度，d为一特征长度。
例如流体流过圆形管道，则d为管道直径。
利用雷诺数可区分流体的流动是层流或湍流，也可用来确定物体在流体中流动所受到的阻力。
厚度之比，计算式为：其中：为热对流系数，为特征长度，为流体的热导率。
3）普朗特数（Prandtl number）由流体物性参数组成的一个无因次数（即无量纲参数）群，表明温度边界层和流动边界层的关系，反映流体物理性质对对流传热过程的影响，它的表达式为：Pr=ν/α=cpμ/k 式中，μ为动力粘度，单位为牛·秒/米2或公斤/（秒·米）；cp为等压比热容，位为焦/（公斤·开）；k为热导率，单位为瓦/（米·开）；α为导温系数（见热传导），v为运动粘度。
其中v和α分别表示分子传递过程中动量传递和热量传递的特性。
当几何尺寸和流速一定时，流体粘度大，流动边界层厚度也大；流体导温系数大，温度传递速度快，温度边界层厚度发展得快,使温度边界层厚度增加。
因此,普朗特数的大小可直接用来衡量两种边界层厚度的比值。
不同流体的普朗特数相差很大：空气的普朗特数约为0.7；水的普朗特数在20℃时约为7，在100℃时约为1.75；油的普朗特数的数量级为10;液态金属的普朗特数很小，如汞在20℃时为0.0266。
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关于几个常用“标准数”的概念
为方便工程计算和学习，现将关于几个常用“标准数”的概念摘编如下，供参考。
1）雷诺数（Reynolds number）一种可用来表征流体流动情况的无量纲数，为纪念O.雷诺而命名，记作Re。
流体力学中，雷诺数是流体惯性力与黏性力比值的量度，它是一个无量纲量。
雷诺数较小时，黏滞力对流场的影响大于惯性力，流场中流速的扰动会因黏滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性力对流场的影响大于黏滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化容易发展、增强，形成紊乱、不规则的紊流流场。
Re=ρvd/μ
其中v、ρ、μ分别为流体的流速、密度与动力粘度，d为一特征长度。
例如流体流过圆形管道，则d为管道直径。
利用雷诺数可区分流体的流动是层流或湍流，也可用来确定物体在流体中流动所受到的阻力。
厚度之比，计算式为：
其中：为热对流系数，为特征长度，为流体的热导率。
3）普朗特数（Prandtl number）由流体物性参数组成的一个无因次数（即无量纲参数）群，表明温度边界层和流动边界层的关系，反映流体物理性质对对流传热过程的影响，它的表达式为：
Pr=ν/α=cpμ/k 式中，μ为动力粘度，单位为牛·秒/米2或公斤/（秒·米）；cp为等压比热容，位为焦/（公斤·开）；k为热导率，单位为瓦/（米·开）；α为导温系数（见热传导），v为运动粘度。
其中v和α分别表示分子传递过程中动量传递和热量传递的特性。
当几何尺寸和流速一定时，流体粘度大，流动边界层厚度也大；流体导温系数大，温度传递速度快，温度边界层厚度发展得快,使温度边界层厚度增加。
因此,普朗特数的大小可直接用来衡量两种边界层厚度的比值。
不同流体的普朗特数相差很大：空气的普朗特数约为0.7；水的普朗特数在20℃时约为7，在100℃时约为1.75；油的普朗特数的数量级为10;液态金属的普朗特数很小，如汞在20℃时为0.0266。
4）施密特数（Schmidt number, Sc）是一个无量纲的标量，定义为动黏滞系数和扩散系数的比值，用来描述同时有动量扩散及质量扩散的流体。
施密特数的命名是为了纪念德国工程师Ernst Heinrich Wilhelm Schmidt (1892-1975)。
施密特数可定义为:
式中：ν 为动黏滞系数；D 为扩散系数；μ 为黏滞系数；ρ 为密度。
施密特数和速度边界层和质传边界层的相对厚度有关。
5）欧拉数（在”传热学”上）：Eu=ΔP/ρu2，其中：Eu定义为欧拉数，ρ为密度，u为速度；它反映了流场压力降ΔP与其动压头ρu2之间的相对关系，体现了在流动过程中动量损失率的相对大小。
————摘编自“流体力学”和“传热学”。