大学物理薛定谔方程(老师课件)
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大学物理薛定谔方程(老师课件)
2 2 2 2 2 推广到三维： x 2 x 2 y 2 z 2
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
大学物理课件第20章 薛定谔方程yh201411
Z 也 有 2l + 1 种不同值。
Z
Ag N
B0 B0
用 s 态（l = 0）银原子无论有无磁场应该都只有一条！
实验结果 有磁场时，底板上是呈对称分布的两条纹。
？
2014-12-11
23
斯特恩正在观测
2014-12-11
银原子束通过非均 匀的磁场时，分裂 成了两束
24
2.电子自旋理论（1924年）
A sin 0 0
( ax ) A sin kx
A sin ka = 0
ka = n
En
n2π22 2m a2
k nπ a
n = 1, 2, 3……
2 mEn 2
kn22 π 2 a2
2014-12-11
12
讨论
En
n2π22 2ma2
基态
1(x)
2 sin πx aa
E1
π22 2m a 2
日常生活中豆子总是首 先待在锅底，不加热、 不撞击不会自行出来。
原子核势阱中的核子以很高 的概率位于“底部”，但也有 一定的概率到势阱边缘，甚 至离开势阱———核辐射！
射线
射线
2014-12-11
中子射线
射线
16
扫描隧道显微镜(STM) 1981年IBM公司 ScanningTunnelingMicroscopy
率，不能确定一个粒子一定在什么地方：只能作某种可
能性的判断，不能做绝对确定性的断言
例如：中子的平均半衰期 616秒 ,即N个中子在 616 秒内
有50% 衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前，我们
不能断定哪几个中子会衰变，只能说，每个中子在616
秒内都有 50% 的衰变机会
Z
Ag N
B0 B0
用 s 态（l = 0）银原子无论有无磁场应该都只有一条！
实验结果 有磁场时，底板上是呈对称分布的两条纹。
？
2014-12-11
23
斯特恩正在观测
2014-12-11
银原子束通过非均 匀的磁场时，分裂 成了两束
24
2.电子自旋理论（1924年）
A sin 0 0
( ax ) A sin kx
A sin ka = 0
ka = n
En
n2π22 2m a2
k nπ a
n = 1, 2, 3……
2 mEn 2
kn22 π 2 a2
2014-12-11
12
讨论
En
n2π22 2ma2
基态
1(x)
2 sin πx aa
E1
π22 2m a 2
日常生活中豆子总是首 先待在锅底，不加热、 不撞击不会自行出来。
原子核势阱中的核子以很高 的概率位于“底部”，但也有 一定的概率到势阱边缘，甚 至离开势阱———核辐射！
射线
射线
2014-12-11
中子射线
射线
16
扫描隧道显微镜(STM) 1981年IBM公司 ScanningTunnelingMicroscopy
率，不能确定一个粒子一定在什么地方：只能作某种可
能性的判断，不能做绝对确定性的断言
例如：中子的平均半衰期 616秒 ,即N个中子在 616 秒内
有50% 衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前，我们
不能断定哪几个中子会衰变，只能说，每个中子在616
秒内都有 50% 的衰变机会
大学物理教程12.3 薛定谔方程
12.3 薛定谔方程
按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形 式的波动方程：
y y 2 V 2 2 t x
2 2
V 为波速
物质波的波动方程是什么？ 薛定谔方程
——量子力学中的基本动力学方程。
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
一 薛定谔方程的建立 自由粒子波函数 对波函数微分得
( x, t ) 0e
i
t
ˆ (r , t ) (r , t ) H
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
说明 薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和 基本假定“建立”的，是否正确则由实验结果检验。
薛定谔方程——描述非相对论实物粒子在势场中的 状态 x
( x, t ) i E ( x, t ) t
2 px E＝ 2m
2 px 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) 2 x
2 2 i ( x, t) ( x, t ) 2 t 2m x
其解 Φ(x,y,z) 与粒子所处的外力场U 和边界条件有关。
12.3 薛定谔方程
3）波函数是以上两部分的乘积
( r , t ) ( r ) e
粒子出现在空间的几率：
i Et
i 2 Et 2 (r , t ) (r , t ) | (r ) e | 2 (r )
2
2 U ( x, t ) ˆ 令 H 2m x 2
称为哈密顿算符，则 含时薛定谔方程
ˆ i ( x, t ) H ( x, t ) t
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
2 2 2 px p y pz
按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形 式的波动方程：
y y 2 V 2 2 t x
2 2
V 为波速
物质波的波动方程是什么？ 薛定谔方程
——量子力学中的基本动力学方程。
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
一 薛定谔方程的建立 自由粒子波函数 对波函数微分得
( x, t ) 0e
i
t
ˆ (r , t ) (r , t ) H
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
说明 薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和 基本假定“建立”的，是否正确则由实验结果检验。
薛定谔方程——描述非相对论实物粒子在势场中的 状态 x
( x, t ) i E ( x, t ) t
2 px E＝ 2m
2 px 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) 2 x
2 2 i ( x, t) ( x, t ) 2 t 2m x
其解 Φ(x,y,z) 与粒子所处的外力场U 和边界条件有关。
12.3 薛定谔方程
3）波函数是以上两部分的乘积
( r , t ) ( r ) e
粒子出现在空间的几率：
i Et
i 2 Et 2 (r , t ) (r , t ) | (r ) e | 2 (r )
2
2 U ( x, t ) ˆ 令 H 2m x 2
称为哈密顿算符，则 含时薛定谔方程
ˆ i ( x, t ) H ( x, t ) t
第12章 量子力学
12.3 薛定谔方程
2 2 2 px p y pz
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
大学物理课件：23-2波函数与薛定谔方程
2
2m
2
U
r
,t
Ψ
r
,
t
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算符
i j k x y z
称为梯度算符
2
2m
d2 dx2
U
x
x
E
x
2
2m
2
U
r
r
E
r
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
1 r2
r
r 2
r
1
r 2 sin
sin
一般粒子： 在某一时刻，在空间某处发现粒子的概率正比于 该时、该处波函数模的平方。
在 dV 空间内发现粒子的概率： dP 2 dV *dV
概率密度 表示在某处单位体积内发现粒子的概率. Ψ 2 *
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为:
Ψ
2
dV
1
归一化条件
波函数的标准化条件
1）波函数具有有限性
n 3
E3 9E1
3 (x)
2 sin 3x
aa
(x) 2 sin n π x
aa
n
n4
(x) 2 2 sin2 n π x aa
n 2
16 E1
n3
9 E1
n2 n 1
x0 a 2
a x0 a 2
4 E1
a E1
Ep 0
当量子数n很大时， 量子概率分布就接近经典分布
例：粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为
有限空间内：
Ψ
2
dV
1
2）波函数是连续的
3）波函数是单值的
大学物理量子物理4课件
§16.8 薛定谔方程
薛定谔（Erwin Schrodinger，1887— —1961）奥地利理论物理学家。在德布罗 意物质波思想的基础上，引入波函数来描 述微观客体，提出以薛定谔方程为基础的 波动力学，并建立了微扰的量子理论—— 量子力学的近似方法。他是量子力学的创 始人之一。
• 薛定谔方程的引入
，Py2
h2
2 y 2
，Pz2
h2
2 z 2
即 ih r t h2 2r t
t
2m
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
i
j
k
— —梯度算符
x y z
可以看出：作如下变换即
E
ih
，P
ih
作用到波函数上
t
（二）处于势场中的非自由粒子
它的总能量为 E P2 V r
两边乘以 r，t 2m
Er，t P2 r，tV rr，t
罗意假设，常数 E即为能量。
方程右边
E
1r
h2 2m
2
V
r
r
即
h2 2m
2
V
r
r
E
r
当 V 不显含时间 t 时，能量具有确定值， 能量不随时间变化的状态称为定态。波函数 为定态波函数。上述方程即为定态薛定谔方 程：
Hˆ r E r
求出波函数 r，可得波函数
r，t
r
e
iEt h
r要满足波函数的条件，E不能任意取值， 可以取的E值，称为能量的本征值， r称为
V
E
1x0，xa
h2 2m
d2
dx2
V
E
令
2
V
E
薛定谔（Erwin Schrodinger，1887— —1961）奥地利理论物理学家。在德布罗 意物质波思想的基础上，引入波函数来描 述微观客体，提出以薛定谔方程为基础的 波动力学，并建立了微扰的量子理论—— 量子力学的近似方法。他是量子力学的创 始人之一。
• 薛定谔方程的引入
，Py2
h2
2 y 2
，Pz2
h2
2 z 2
即 ih r t h2 2r t
t
2m
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
i
j
k
— —梯度算符
x y z
可以看出：作如下变换即
E
ih
，P
ih
作用到波函数上
t
（二）处于势场中的非自由粒子
它的总能量为 E P2 V r
两边乘以 r，t 2m
Er，t P2 r，tV rr，t
罗意假设，常数 E即为能量。
方程右边
E
1r
h2 2m
2
V
r
r
即
h2 2m
2
V
r
r
E
r
当 V 不显含时间 t 时，能量具有确定值， 能量不随时间变化的状态称为定态。波函数 为定态波函数。上述方程即为定态薛定谔方 程：
Hˆ r E r
求出波函数 r，可得波函数
r，t
r
e
iEt h
r要满足波函数的条件，E不能任意取值， 可以取的E值，称为能量的本征值， r称为
V
E
1x0，xa
h2 2m
d2
dx2
V
E
令
2
V
E
大学物理13.3波函数薛定谔方程
2 y2
2 z 2
( x,
y, z)
2m 2
(
E
V
)
(
x,
y,
z)
0
若粒子在一维空间运动，则
d2 dx2
(
x)
2m 2
(
E
V
)
(
x)
0
1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发 现了量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电 子的波动性，支持了薛定谔波动力学.
13.3.3 一维无限深方势阱中运动的粒子
假设粒子只能沿x 轴作一维运动，且势能 函数具有如下形式
V ( x) 0 V ( x)
0 xa x 0和x a
V ( x)
o
a
x
由于 V与( x时) 间无关，因此在势阱中运动的 粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔方程 求解.
在区域内 x 0和，x a ，V具( x有) 有限能量 的粒子不可能出现.
因此 (x) 0
在区域内 0 x ， a V (因x)此 有0.
薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子光 谱等一系列重大问题.
波动力学与矩阵力学是完全等价的，是 同一种力学规律的两种不同表述，而且它们 都属于非相对论性的量子力学.
下面用一类比较简单的问题即粒子在恒定 力场中的运动，由于这种问题中势能函数V 和粒子能量E 与时间无关，这时粒子处于定 态，则粒子的定态波函数可以写成
则 4B3 2xe2Bx 2Bx2e2Bx 0
所以 x， 0 x， 1 B时x，概率密度 有 极值 .( x) 2
而只有二阶导数
d2 dx 2
(x)2
x 1 B
0
所以在 x 处1，B概率密度有最大值，即粒 子在该位置处出现的概率最大.
第二十七章薛定谔方程ppt课件
粒子在x距离内的动量不确定度为
p 2x
2m(U0 E)
粒子进入该区域的速度为
xpx 2
v v p 2(U0 E)
m
m
则粒子进入的时间不确定度为
x
m
t
v 2 2m(U0 E) 2(U0 E) 4(U0 E)
根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为
E 2t 2(U0 E)
En
pn2 2m
,
k
n
a
x0 a 2
16E1
9E1 4E1 E1
ax
粒子的德布罗意波长
k n
n
h pn
2a n
2
k
a
, n 1, 2,...
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一
n与两端固定弦的驻波波 长形式相同（见P158式n=2L/n）
n
n (x) 2
En
L
4 a 2
1 2L 1 2
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
2
2m
2
x2
U x
E
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子
存在，则
0 , x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程
2
x2
2mE
2
0
令
k2
2mE
2
k
2mE
2
x2
k 2
0
2
x2
k 2
0
与简谐运动方程
d2x dt 2
用波函数来描述微观粒子的运动
经典波的波函数:
机械波 y(x,t) Acos 2π( t x )
p 2x
2m(U0 E)
粒子进入该区域的速度为
xpx 2
v v p 2(U0 E)
m
m
则粒子进入的时间不确定度为
x
m
t
v 2 2m(U0 E) 2(U0 E) 4(U0 E)
根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为
E 2t 2(U0 E)
En
pn2 2m
,
k
n
a
x0 a 2
16E1
9E1 4E1 E1
ax
粒子的德布罗意波长
k n
n
h pn
2a n
2
k
a
, n 1, 2,...
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一
n与两端固定弦的驻波波 长形式相同（见P158式n=2L/n）
n
n (x) 2
En
L
4 a 2
1 2L 1 2
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
2
2m
2
x2
U x
E
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子
存在，则
0 , x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程
2
x2
2mE
2
0
令
k2
2mE
2
k
2mE
2
x2
k 2
0
2
x2
k 2
0
与简谐运动方程
d2x dt 2
用波函数来描述微观粒子的运动
经典波的波函数:
机械波 y(x,t) Acos 2π( t x )
大学物理：第12章-量子力学5-薛定谔方程
旧量子论
Niels Bohr (1885-1962)
Nobel Prize 1922
matrix formulation of quantum mechanics
1925 at Göttingen (Germany) M. Born (age 43) W. Heisenberg (age 23) P. Jordan (age 22)
2 2 (x, y, z) U (x, y, z) i f (t) / f (t)
2m (x, y, z)
t
等式两边相互无关， 故应等于与r,t都无 关的常数
设此常数=E
两个独立的方程：
2
2
2
U
(r)
(r)
E
(r)
i df Ef (t) dt
二阶微分方程 一阶微分方程
先解相对简单的一阶微分方程
Schrödinger's wave mechanics eventually became the method of choice, because it is less abstract and easier to understand than Heisenberg's matrix mechanics
Planck (age 42) suggests that radiation is quantized E = hn h = 6.626x10-34 J•s
Max Planck (1858-1947)
Nobel Prize 1918
Status of physics
1897 Thompson (age 41) Nobel Prize 1906
i
t
p i
大学普通物理课件 第27章 - 薛定谔方程
O
[例1] 一维无限深势阱（0 < x < a）中粒子的定态波函数为
n 2 a sin( nx a)
试求：（1）粒子处于基态时;（2）粒子处于 n = 2 ;（2）粒子处于 n = 3 的
状态时，在 x = 0 到a/3之间找到粒子的概率。
解：（1）基态 n = 1
a3
0
1 dx
继续求解波函数：
0 , x a 2 C coskx D sin kx, x a 2
(1) D 0, (2) C 0,
cos(ka 2) 0 ka (2m 1) sin(ka 2) 0 ka 2m
n kn a
将以上两组解依次代入通解： C coskx D sin kx 得到两种形式的波函数（奇/偶函数）：
even C cos kn x n 1, 3, 5, odd D sin kn x n 2, 4, 6,
如何求系数 C 和 D ?
n kn a
能量本征函数 eigenfunction
用归一化条件求解积分常数C、D：
n even dx a 2 C cos a xdx 1 C 2 a 2 同理，由 odd dx 1 得 D 2 a
xa 2
按照经典理论， k 0 是不 E 可能的。但由不确定关系可证明 有 Ek U 0 E ，这正是粒子波 动性所致。
A sin(ka 2 ) Ce
k a 2
kAcos(ka 2 ) k Ceka 2
2. 一维方势垒
一维方势垒的势函数：
U
U0
§27-1 Schrö dinger方程
薛定谔方程课件.ppt
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t 的方程 i d f E d t
f 可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿 过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x,t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
定态的薛定谔方程.ppt
德国物理学家W.Heisenberg 1932诺贝尔物理学奖
1927年海森伯（ W.Heisenberg ）提出了测不准 关系（不确定性原理）
x px h
x
电子束
px
p
py
屏
a缝
2
衍射图样 幕
电子的单逢衍射实验
一级极小值位置和缝宽 a 之间的关系为：
asin
X方向电子的位置不准确量为： x a
tx
)
利用 h p , E h
(x,t)
e i(Et px)
0
如果是自由粒子沿
r
方向传播的三维情况，
波函数可写为：
(r, t )
e i(Et p r)
0
其中波函数模的平方为：
2
e e
i
(
Et
p r
)
0
i
(
Et
p r
)
0
02
波函数有什么物理意义呢？
德国物理学玻恩 1954诺贝尔物理学奖
1 波函数
单色平面简谐波波动方程为：
y(x,t) Acos 2 (t x ) Acos 2 (x t)
用指数形式表示：
y(x,t) Aei2 ( tx )
微观粒子具有波动性，其运动状态应该用 波函数来描写。
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面
波来描写，其波函数为：
(x,t)
ei2 ( 0
又有粒子性，
那么实物粒子呢？
一、德布罗意波
德布罗意: 既然光具有波粒 二象性，实物粒子也应当具 有波粒二象性。
E h h / p
（德布罗意关系式，1924）
法国物理学家Louis de Broglie 获得1929诺贝尔物理学奖
1927年海森伯（ W.Heisenberg ）提出了测不准 关系（不确定性原理）
x px h
x
电子束
px
p
py
屏
a缝
2
衍射图样 幕
电子的单逢衍射实验
一级极小值位置和缝宽 a 之间的关系为：
asin
X方向电子的位置不准确量为： x a
tx
)
利用 h p , E h
(x,t)
e i(Et px)
0
如果是自由粒子沿
r
方向传播的三维情况，
波函数可写为：
(r, t )
e i(Et p r)
0
其中波函数模的平方为：
2
e e
i
(
Et
p r
)
0
i
(
Et
p r
)
0
02
波函数有什么物理意义呢？
德国物理学玻恩 1954诺贝尔物理学奖
1 波函数
单色平面简谐波波动方程为：
y(x,t) Acos 2 (t x ) Acos 2 (x t)
用指数形式表示：
y(x,t) Aei2 ( tx )
微观粒子具有波动性，其运动状态应该用 波函数来描写。
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面
波来描写，其波函数为：
(x,t)
ei2 ( 0
又有粒子性，
那么实物粒子呢？
一、德布罗意波
德布罗意: 既然光具有波粒 二象性，实物粒子也应当具 有波粒二象性。
E h h / p
（德布罗意关系式，1924）
法国物理学家Louis de Broglie 获得1929诺贝尔物理学奖
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e
i En t
n n
2 nπ n sin x a a
i Ent ( x )e
i Ent e
0 x a , x 0
5. 概率密度
* *
( n 1,2,3,) 0 x a 是以x = 0 和x = a为 节点的一系列驻波解。
U0
Ψ1
Ψ2 Ψ3
隧道效应
E
Ⅰ区
0Ⅱ区a
Ⅲ区
x
★ 如何理解？
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的
p2 量子物理：粒子有波动性遵从不确 经典: E 2m 定原理只要势垒宽度x = a不是无 2 p p 限大粒子能量就有不确定量E 量子: E 2m x = a很小时 P和E很大 E U0 E
量子力学解题的一般思路： 1.由粒子运动的实际情况
正确地写出势函数 U(x)
2.代入定态薛定谔方程
3.解方程
4.解出能量本征值和相应的本征函数
5.求出概率密度分布及其他力学量
§ 2 无限深方势阱中的粒子 一、一维无限深方形势阱 势函数
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
第27章
薛定谔方程
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖
目
§1 薛定谔方程
录
§2 无限深方势阱中的粒子 Δ §3 量子隧穿效应 Δ §4 一维谐振子 • 有了德布洛意提出的物质波， 就应有一 个与之对应波动方程。薛定谔对此提出了一 个波方程，这就是后来在量子力学中著名的 薛定谔方程。
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
( x , t ) 微分，得 i E ( x, t ) t 2 2 p ( x,t) p Ψ ( x , t ) i x ( x,t) 2 Ψ( x, t ) 2 x x 由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子
x0
处应
已有A=0，要求 即
B 0，只能 sinka 等于零
(n 1,2,3,) 又
2 2
ka nπ,
k2
π 2 能量为：En n 2 2ma
2mE 2
(n 1,2,3,)
讨论
π 2 能量：En n 2 2ma
能量量子化
2 2
(n 1,2,3,)
通解为
(x ) A cos kx B sin kx
3. 由波函数的标准化条件定特解
单值、有限条件已满足；由连续条件定特解：
(0) 0 A 0 解的形式成为 ( x ) B sin kx (2) x a ( a ) 0 Bsin ka 0
(1)
2 2 2 2 2 推广到三维： x 2 x 2 y 2 z 2
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
“扫描隧道绘画”
CO分子竖 在铂片上 分子人高 5nm
一氧化碳“分子人”
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 P.151 图7-8
用STM得到的神经细胞象 硅表面STM扫描图象
§4 谐振子
谐振子不仅是经典物理的重要模型,也是量子物理 的重要模型,如固体中原子的振动即可用此模型。
1 2 1 1. 势函数 U ( x ) kx m 2 x 2 2 2 m 振子质量， 固有频率，x 位移 2. 定态薛定谔方程
p2 E＝ 2m
Ψ Ψ 得 i 2 2 m x t
2 2
这就是一维自由粒子(无势场)的薛定谔方程。
？推广到粒子在势场U(x, t) 中运动
三、定态薛定谔方程 用分离变量法： 当势能与时间无关， 即U U ( r )时， 将波函数写成 ( r , t ) ( r ) f ( t )
2 ψ Uψ E ψ 2m
数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E只有取一些特定值,才能使方程的解 满足波函数的物理条件（单值、有限、连续）。
2
•这些特定的E值称为能量本征值
•各E值对应的 E ( r )
叫能量本征函数 本征波
函数 •故该方程又称为：能量本征值方程 i Et •定态波函数: E (r , t ) E (r ) f (t ) C E (r ) e
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
U0
E
U ( x)
0, x 0, x a
U0 , 0 x a
U0
Ψ1 Ψ2
o
E U0
a x
两块金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒
粒子从x = - 处以确定能量E入射
2.隧道效应 从势垒左方 射入的粒子， 在各区域内的 波函数：
Ψ3
隧道效应
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a Ⅲ区
x
粒子的能量虽不足以超 越势垒 ,但在势垒中似乎有 一个隧道,能使少量粒子穿 过而进入 x a 的区域 , 所以形象地称之为势垒穿透 或隧道效应 。
U= U(x)=0 U=
0
a
x
粒子在0 < x < a范围内自由运动，但不能到达x 0或x a范围。
是实际情况的极端化和简化
U( x )
例：金属内部自由电 子的运动。
U( x ) 0
方势阱
2 二、薛定谔方程和波函数 2 U (r ) 2m ( r ) E( r ) 1. 定态薛定谔方程
2
2 得 B a
于是，波函数(空间部分)
2 nπ 阱内 n ( x ) sin x a a
0
B sin
kxdx 1
( n 1,2,3, ) 0 x a
阱外 ( x ) 0空间、时间部分)
考虑到振动因子
( x, y, z, t ) ( x, y, z ) f (t )
代入薛定谔方程可得：
2
i Et f (t ) e
振动因子
2 ψ Uψ E ψ 2m
该方程不含时间，称为定态薛定谔方程。 定态波函数 Ψ ( x, y, z, t ) ψ
i Et ( x, y, z) e
1 ) 粒子能量只能取特定的分立值 (能级)
2 )最低能量不为零
波粒二象性的必然结果 零点能
π2 2 E1 2 2ma
3 )当n趋于无穷时 能量趋于连续
(3)定常数 B
•由波函数的归一化性质
* ( x ) ( x )dx 1 a
nπ k a
a 2 0
(n 1,2,3,)
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米 “原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 插页彩图13
1991年 恩格勒等用STM在镍单晶表面遂个移 动氙原子拚成了字母IBM，每个字母长5纳米，
镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。 Fe原子间距：0.95 nm， 圆圈平均半径：7.13 nm
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
d 2 ψ 2m 1 2 x 2 )ψ ( x ) 0 ( E m ω 2 d x2 2
3. 能量本征值
1 1 En (n )ω (n )hν 2 2
(n 0,1,2,)
4.能量特点：
(1)量子化 等间 距 E h En (2)有零点能
1 E0 ω 0 2
波函数的物理条件 用来描写实物粒子的波函数应满足的物理条件 1.标准条件：单值、有限、连续 因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值； 不可能无限大；不可能在某处发生突变。 2.归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为l
*在量子力学中用 薛定谔方程式加上波函数的物理条件 求解微观粒子在一定的势场中的运动问题 (求波函数，状态能量， 概率密度 等)
( x , t ) 微分，得 i E ( x, t ) t 2 2 p ( x,t) p Ψ ( x , t ) i x ( x,t) 2 Ψ( x, t ) 2 x x 由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子