将军饮马综合题练习(1)

∵OA=OH，PO⊥AH， ∴PA=PH， ∴PA+PC=PH+PC=HC， ∵AH 是直径， ∴∠ACH=90°，∵∠AOC=60°，OA=OC， ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠HAC=60°， 在 RT△ACH 中，∵∠AHC=30°，AC=2，
∴AH=4，CH= AH 2 - AC 2 =2 3 ．
的．
⑴观察发现
再如图 2，在等腰梯形 ABCD 中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点 E、F 是底边 AD 与
BC 的中点，连接 EF，在线段 EF 上找一点 P，使 BP+AP 最短．
作点 B 关于 EF 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 AC 交 EF 于一点，则这点就是所
求的点 P，故 BP+AP 的最小值为
．
③如图⑷，菱形 ABCD 中 AB=2，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD
上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为
．
④如图⑸，在 R△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点 D 是 BC 边上的点，CD= 3 ，将
△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，
⑶①依题意，有：
ì ï ï ía
b -2a -b+
= c
1 =
0
，解得
ì a =1 ïíb = -2
ï ï
c = -3
ïîc = -3
î
∴抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3；
②取点 C 关于抛物线对称轴 x=1 的对称点 D，根据抛物线的对称性，得：D（2，﹣3）；
连接 AD，交抛物线的对称轴于点 M，如图⑶﹣②；
∴∠BON= 1 ∠AON=30°； 2
∵A、C 关于直径 MN 对称，
∴ C¶N = ¶ AN ，则∠CON=∠AON=60°；
∴∠BOC=∠BON+∠CON=90°，又 OC=OB= 1 MN= 1 ，
2
2
在等腰 Rt△BOC 中，BC= 2 OB= 2 ； 2
即：BP+AP 的最小值为 2 ． 2
如图⑴：若点 A，B 在直线 l 同侧，A，B 到 l 的距离分别是 3 和 2，AB=4．现在直线
l 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做法如下：
作点 A 关于直线 L 的对称点 Aʹ，连接 BAʹ，与直线 l 的交点就是所求的点 P，线段 BAʹ
的长度即为 AP+BP 的最小值．请你求出这个最小值．
2 ∵AC=4 2 ， ∴CM=AC﹣AM= 2 ，
2 ∴BC= BM 2 + CM 2 =5，
∵ 1 BC•AE= 1 BM•AC，
2
2
∴AE= 28 ， 5
∵∠BAC=45°， ∴∠E′AB=∠BAE，∠E″AC=∠CAE，
∴∠E′AE″=90°，AE′=AE=AE″= 28 ， 5
∴E′E″= 2 AE′= 28 2 ， 5
马后再到 B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
做法如下：如图 1，从 B 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 AD 的延长线上，取 B 关
于河岸的对称点 Bʹ，连接 ABʹ，与河岸线相交于 P，则 P 点就是饮马的地方，将军只
要从 A 出发，沿直线走到 P，饮马之后，再由 P 沿直线走到 B，所走的路程就是最短
则此时 C 点符合要求．
⑵作图如下：
⑶①作图如下：
②∵∠BAE=125°， ∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°， ∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°． 【例 2】 【解析】过 B 点作 BM⊥AC 于 M，AE⊥BC 于 E，作 E 关于直线 AB 的对称点 E′，点 E 关于 直线 AC 的对称点 E″，连接 E′E″交 AB 于 D，交 AC 于 F，此时△DEF 周长最小． ∵∠A=45°， ∴AM=BM= 7 2 ，
连接 AC 交 BD 于点 O，由题意： 1 •BD•CO= 1 •BC•KP+ 1 •CD•KQ，
2
2
2
∴KP+KQ= 3 ，
故答案为 3 ． ④如图 5 中，
∵E、C 关于 AD 对称， ∴当点 P 与点 D 重合时，△PEB 周长最小， 在 RT△DEB 中，∵∠DEB=90°，DE=CD= 3 ，∠DBE=60°， ∴BD=2EB，设 EB=x，则 BD=2x， ∴（2x）2=x2+（ 3 ）2， ∴x=±1， ∵x＞0， ∴x=1， ∴EB=1，DB=2， ∴△PEB 周长最小值=3+ 3 ．
故答案为 3+ 3 ． ⑶作点 B 关于 AC 的对称点 B′，连接 DB′并延长交 AC 于点 P，此时∠APB=∠DPA．
【例 4】 【解析】⑴在等腰梯形 ABCD 中，∵AD∥BC，且∠BAD=∠D=120°，
∴∠ABC=60°； 在△ADC 中，AD=CD=2，∠D=120°，所以∠DAC=∠DCA=30°； ∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即△BAC 为直角三角形； 在 Rt△BAC 中，∠ABC=60°，∠BCA=90°﹣60°=30°，AB=2，所以 AC=AB•tan60°=2 3 ； 由于 B、C 关于直线 EF 对称，根据阅读资料可知 BP+AP 的最小值为线段 AC 的长， 即2 3． ⑵如图⑵，作点 A 关于直径 MN 的对称点 C，连接 BC，则 BC 与直径 MN 的交点为 符合条件的点 P，BC 的长为 BP+AP 的最小值； 连接 OA，则∠AON=2∠AMN=60°； ∵点 B 是 ¶ AN 的中点，
故答案为 2 3 ．
②如图 3 中，作点 C 关于直线 OB 的对称点 C′，连接 AC′交 OB 于点 P，此时 PC+PA 最小，最小值=AC′，
∵点 C′坐标（ 1 ， 3 ） 22
∴AC′= ( 3 )2 + ( 5)2 = 7 ，
2
2
故答案为 7 ． ③如图 4 中，当 KP⊥BC，KQ⊥CD 时，KP+KQ 最小，
将军饮马练习
【例 1】⑴如图 1，直线同侧有两点 A、B，在直线上求一点 C，使它到 A、B 之和最小．（保
留作图痕迹不写作法）
⑵知识拓展：如图 2，点 P 在∠AOB 内部，试在 OA、OB 上分别找出两点 E、F，使
△PEF 周长最短（保留作图痕迹不写作法）
⑶解决问题：①如图 3，在五边形 ABCDE 中，在 BC，DE 上分别找一点 M，N，使
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线 x=1 上找到一点 M，使△ACM 周长最小，请求出此时点 M
的坐标与△ACM 周长最小值．（结果保留根号）
将军饮马练习（答案）
【例 1】 【解析】⑴作 A 关于直线 MN 的对称点 E，连接 BE 交直线 MN 于 C，连接 AC，BC，
得△AMN 周长最小（保留作图痕迹不写作法）
②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM 的度数为
．
【例 2】在△ABC 中，∠A=45°，AB=7，AC=4 2 ，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上的动 点．求△DEF 的最小周长．
【例 3】⑴知识再现
则△PEB 的周长的最小值是
．
⑶拓展延伸
如图⑹，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，
不必写出作法．
【例 4】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”
诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣将军饮马问题：
如图 1 所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发，走到河旁边的 P 点饮
∴△EDF 周长=DE+DF+EF=E′D+DF+FE″= 28 2 ． 5
【例 3】 【解析】⑴如图 1 中，作 BM⊥AA′于 M，连接 AB．
在 RT△BMA 中，∵∠BMA=90°，AB=4，AM=1， ∴BM2=AB2﹣AM2=15， 在 RT△BMA′中，∵∠BMA′=90°，MA′=5， ∴BA′= BM 2 + MA '2 = 15 + 25 =2 10 ． ⑵①如图 2 中，延长 AO 交⊙O 于 H，连接 CH 交 OB 于点 P，此时 PA+PC 最小，
⑵实践应用
①如图⑵，⊙O 的半径为 2，点 A、B、C 在⊙O 上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P 是 OB
上一动点，则 PA+PC 的最小值是
；
②如图⑶，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（3， 3 ），点
C 的坐标为（1，0），点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA+PC 的最小值为
．
⑵实践运用
如图 3，已知⊙O 的直径 MN=1，点 A 在圆上，且∠AMN 的度数为 30°，点 B 是弧 AN
的中点，点 P 在直径 MN 上运动，求 BP+AP 的最小值．
⑶拓展迁移 如图 4，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为 x=1，且抛物线经过 A（﹣1，0）、
C（0，﹣3）两点，与 x 轴交于另一点0）、D（2，﹣3），得：
ì -k + b = 0 íî2k + b = -3
，解得
ìk íîb
= =
-1 -1
∴直线 AD：y=﹣x﹣1，M（1，﹣2）；
∴△ACM 的周长最小值：lmin=AC+AD= 10 +3 2 ．