第三章非惯性参考系

v r t ( d d x t 'i r ' d d y t 'r j ' d d z t 'k r ') [ x '( r i r ') y '( r r j ') z '( r k r ') ]
vrt
d*rr dt
'
r rr
'
式中
drr' d*rr' rrr' ，
dt dt
绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度 (质点的速度合成原理) 原则上，质点与动系不在同一物体上。
静系和动系具有相对性。动系看静系时，静系成为动系
［例3.0］甲、乙、丙三个芭蕾演员同时从边长l的正三角形顶点
A、B、C出发，以相同的速率u运动，运动中始终保持
甲朝着乙、乙朝着丙、丙朝着甲，试问经过多少时间
故 x x ' 3u t
2x
ur
甲
2
A
丙 ur C
三人最终在正三角形中心相聚，此时x’=0，t=0时，x=l
所以 tl/(3 u/2)2l/3 u
sut2l/3
采用相对运动知识求解则甚为简捷。
运动中三人始终形成正三角形。若以乙为参照物，则甲
相对乙运动的速度为： vr甲 乙vr甲vr乙故 v甲乙 3u
r v甲
乙
沿甲乙方向的分量为
v甲 乙cos3003u/2
所以用时为：tl/(3 u/2)2l/3 u，跑的路程为：sut2l/3
［例3.1］ 一长为l的棒，两端点A和B分别沿十字槽滑动，A端的 速率为常数c，棒上有一质点M沿棒以恒定的相对速率 u向B端移动，如图所示。已知初始时，A端与O点相距 为d，M点位于A端处。求M点的速度(以θ角为参数)。
分析： 取十字槽为静系，棒为动系 要求动系中质点的速度，需求相对 速度和牵连速度。相对速度已知， c
y y'
A
l
u
只需求出牵连速度，包括动系的平
M
B
x
O
动速度和转动速度。
x'
解：建立如图所示的静直角系O-xyz
y y'
和固着在棒上的动直角系A-x’y’z’ A
由动系和静系速度变换关系： c l u
三人相聚？每个演员跑了多少路程？
乙
解： 如图，设t时刻，三角形边长为x x ut
x'
则经历极短时间 t后边长为x’ u t
如图，据余弦定理得：
甲
C' 丙
x'2(ut)2(xut)22ut(xut)cos600 x23xut3u2t2 x23xut
即 x' x(13ut)1/2 x
乙
B
ur
作泰勒展开有： x' x(13ut)
本章重点：
绝对运动、 牵连运动和相对运动的概念以及非惯性 系(平动、旋转或它们的组合)与惯性系之间位移 、 速度和加速度的关系。 Inertia force的概念和Coriolis force产生的原因。 非惯性系中质点(组)力学问题的分析和处理手法。
本章难点：
Coriolis force产生的原因；非惯性系(平动、旋转或 它们的组合)与惯性系之间位移 、速度和加速度的关 系；非惯性系中质点(组)力学问题的分析和处理手法
M
B
x
v rv r'v rt rr r'
据题意：
vr '
r ui
'，
vrt
vrAcrj ，
Baidu Nhomakorabea
O
r r r' & k r' u ti r' x& u ' tr j'
又 仅需v rA 求 出d d r r O &tA , t 以d d 及t( 把lc o 结s 果r j化) 为 l 同& s 一in 坐标r j 系 c r j
d*rr'dx'ir'dy'rj'dz'kr' dt dt dt dt
d rr ' 称为 rr ' 的绝对微商 dt
d
* rr dt
'
称为
rr
'
的相对微商
r rr 称为 rr ' 的牵连微商，
对于任意旋转矢量
r A
，总有其绝对微商=相对微商+牵连微商
如果旋转矢量
A rA xirA yrjA zk r，那么有：
r rr
c
A
l
u
i'sini co sj
M
B
x
rj'cosirsinrj
O
x'
于是求出了M点在静系中的速度为：
dAr d*Ar rAr
dt dt
于是我们得到了非惯性系和静系中速度的变换关系：
或写成
drr
r drt
d*rr'
rrr'
dt dt dt
v r v r' v r e v r' ( v r t r r r')
式中 vr 是在静系中观察者看到P的速度，称为绝对速度
vr ' 是在静系中观察者认为相对动系P的速度，称为相对速度 vr e 是在静系中观察者看到动系的平动速度与转动速度矢量和，称为牵连速度
第三章 非惯性参考系
教学基本要求：
掌握 绝对运动、 牵连运动和相对运动的概念以及 非惯性系(平动、旋转或它们的组合)与惯性系 之间位移 、速度和加速度的关系
掌握 Inertia force和Coriolis acceleration 的概念 以及Coriolis force产生的原因
掌握非惯性系中质点(组)力学问题的分析和处理手法 了解地球自转效应。
z
rr
z
'
P
rr
'
S' y'
O'
rr t x ' S
xO
y
据速度定义有：v r d d r r t d d r r t t d d r r t' v r t d d t( x 'i r' y 'r j' z 'k r')
由于在活动坐标系中，方向矢量
r i
',
r j
r ', k
'
，随着时间而变化
所以速度可以写作： v r v r t ( d d x t 'i r ' d d y t 'r j' d d z t 'k r ') ( x 'd d i r t ' y 'd d r j t ' z 'd d k r t ')
(一)绝对速度、相对速度和牵连速度
如图，设有两个参考系，分别用固定坐标系O-xyz (S系，静系)
和运动坐标系O’-x’y’z’ (S’系，动系)
质点P在空间中运动，则：rr rrt rr '
式中 rrxiryrjzkr (绝对位矢) rrt xtirytrjztk r (牵连位矢) r r'x'ir'y'rj'z'k r' (相对位矢)
故 & c l sin
因 & c ，所以有 dt l sind
l sin
c
积分可得：t 0 td tc l0sin d c l(c o s0 c o s)
由于初始时刻，A端与O点相距为d，所以c o s 0
d l
从而求出时间为： t d l cos
y y'
c
为化同一坐标系，由图中几何关系有：