高考数学专题复习与策略专题平面解析几何突破点圆锥曲线中的综合问题教师用书理

突破点15圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)

(对应学生用书第167页)

提炼1

解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握

(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．

(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.

提炼2

用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手

(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解．

(3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围． (4)利用基本不等式求最值与范围． (5)利用函数值域的方法求最值与范围.

提炼3

与圆锥曲线有关的探索性问题

常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．

(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在．

回访1 圆锥曲线的定值、定点问题

1．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22

，点(2，2)在C 上．

(1)求C 的方程；

(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为

M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．

[解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2

b

2＝1，2分

解得a 2

＝8，b 2

＝4.3分 所以C 的方程为x 28＋y 2

4

＝1.4分 (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 2

4＝1，得

(2k 2

＋1)x 2

＋4kbx ＋2b 2

－8＝0.6分 故x M ＝

x 1＋x 2

2＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b

2k 2＋1

.8分 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－1

2k

，

即k OM ·k ＝－1

2

.11分

所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.12分 回访2 圆锥曲线中的最值与范围问题

2．(2016·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.

(1)求椭圆C 的方程．

(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .

①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′

k

为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．

图15­1

[解] (1)设椭圆的半焦距为c .

由题意知2a ＝4,2c ＝22，所以a ＝2，b ＝a 2

－c 2

＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

2＝1.2分

(2)①证明：设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)． 由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m ).3分

所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m

x 0

，4分

直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0

.5分

此时

k ′k ＝－3.所以k ′

k

为定值－3.6分 ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由①知直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，则直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋m ，x 24＋y

2

2

＝1，

整理得(2k 2

＋1)x 2

＋4mkx ＋2m 2

－4＝0.8分 由x 0x 1＝2m 2

－42k 2＋1，可得x 1＝2m 2

－2

2k 2

＋1x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k m 2

－2

2k 2

＋1x 0

＋m .9分 同理x 2＝2m 2

－218k 2＋1x 0，y 2＝－6k m 2

－2

18k 2

＋1x 0＋m .10分 所以x 2－x 1＝2m 2

－218k 2＋1x 0－2m 2

－2

2k 2

＋1x 0

＝－32k

2

m 2－2

18k 2

＋1

2k 2

＋1x 0

，11分 y 2－y 1＝－6k m 2

－218k 2＋1x 0＋m －2k m 2

－22k 2＋1x 0－m ＝－8k 6k 2

＋1m 2

－2

18k 2＋12k 2

＋1x 0，12分 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛

⎭⎪⎫6k ＋1k .

由m >0，x 0>0，可知k >0，

所以6k ＋1k ≥26，等号当且仅当k ＝6

6时取得．

此时

m

4－8m

2

＝

66，即m ＝14

7

，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为

6

2

.14分 回访3 与圆锥曲线有关的探索性问题

3．(2015·四川高考)如图15­2，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是2

2

，点P (0,1)

在短轴CD 上，且PC →·PD →

＝－1.

(1)求椭圆E 的方程；