人教新课标版数学高二选修2-1 作业 1.4.3含有一个量词的命题和否定

1．已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则() A．綈p：∃x0∈R，cos x0≥1

B．綈p：∀x∈R，cos x≥1

C．綈p：∃x0∈R，cos x0>1

D．綈p：∀x∈R，cos x>1

解析：全称命题的否定为特称命题，

∴∀x∈R，cos x≤1的否定为：∃x0∈R，cos x0>1.

答案：C

2．下列命题中，真命题是() A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数

D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数

解析：只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B不正确．

答案：A

3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是() A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)

B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)

C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)

D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)

解析：由题意知：x0＝－b

2a

为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．答案：C

4．已知命题p：对∀x∈R，∃m∈R,使4x＋2x m＋1＝0．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是() A．[－2,2]B．[2，＋∞)

C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)

解析：因为綈p 为假，故p 为真，即求原命题为真时m 的取值范围．

由4x ＋2x m ＋1＝0

得－m ＝4x ＋12x ＝2x ＋12x ≥2. ∴m ≤－2.

答案：C

5．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋4>0”的否定是________．

解析：“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”，

∴其否定为：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋4≤0.

答案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋4≤0

6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．

解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题 “有的向量与零向量不共线”．

答案：有的向量与零向量不共线

7．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)二次函数的图象是抛物线．

(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图像．

(3)有些四边形存在外接圆．

(4)∃a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解．

解：(1) ∃f (x )∈{二次函数}，f (x )的图象不是抛物线．它是假命题．

(2)在直角坐标系中，∃l ∈{直线}，l 不是一次函数的图象．它是真命题．

(3) ∀x ∈{四边形}，x 不存在外接圆．它是假命题．

(4) ∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0至少有一解．它是假命题．

8．已知命题p ： ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ： ∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0

＋2－a ＝0．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．

解：对于命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0恒成立，只需12－a ≥0恒成立，即a ≤1； 对于命题q ：∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0成立，

则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，得a ≤－2或a ≥1.

若p 且q 为真，则a ≤－2或a ＝1.

故a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ＝1}．