最新考研数学高分导学班讲义(汤家凤)汇总

2013考研数学高分导学班讲义(汤家凤)

课程配套讲义说明

1、配套课程名称

2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）

2、课程内容

此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。

3、主讲师资

汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！

主讲：高等数学、线性代数。

4、讲义

20页（电子版）

文都网校 2011年9月15日

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2013考研数学高分导学班讲义

线性代数部分—矩阵理论

一、矩阵基本概念

1、矩阵的定义—形如«Skip Record If...»，称为矩阵«Skip Record If...»，记为«Skip Record If...»。

特殊矩阵有

（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。

（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。

（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。

2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、矩阵运算

（1）矩阵加、减法：

«Skip Record If...»，则

«Skip Record If...»。

（2）数与矩阵之积：

«Skip Record If...»。

（3）矩阵与矩阵之积：

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设«Skip Record If...»，则

«Skip Record If...»，

其中«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）

【注解】

（1）«Skip Record If...»不一定有«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。

（2）矩阵乘法没有交换律。

（3）含方阵«Skip Record If...»的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是«Skip Record If...»。

（4）设«Skip Record If...»，则定义«Skip Record If...»，且关于矩阵«Skip Record If...»的矩阵多项式可因式分解。

二、方程组的矩阵形式及解的概况

方程组的基本形式为

«Skip Record If...»（1）

称（1）为齐次线性方程组。

«Skip Record If...»（2）

称（2）为非齐线性方程组。

令 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则（1）、（2）可分别表示为矩阵形式：

«Skip Record If...»（1）

及

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«Skip Record If...»（2）

对方程组（1）：

【例题1】讨论方程组«Skip Record If...»解的情况，并分析原因。

【例题2】讨论方程组«Skip Record If...»解的情况，并分析原因。

对方程组（2）：

【例题1】讨论方程组«Skip Record If...»解的情况，并分析原因。

【例题2】讨论方程组«Skip Record If...»解的情况，并分析原因。

【例题3】讨论方程组«Skip Record If...»解的情况，并分析原因。

三、矩阵问题的产生

初一数学问题：解一元一次方程«Skip Record If...»

情形一：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»两边同时乘以«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»；

情形二：当«Skip Record If...»时，方程«Skip Record If...»无解；

情形三：当«Skip Record If...»时，方程«Skip Record If...»有无数个解。

线性方程组的类似问题：讨论方程组«Skip Record If...»的解

情形一：«Skip Record If...»是«Skip Record If...»阶方阵，且存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»

由«Skip Record If...»两边左乘«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»；

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情形二：«Skip Record If...»虽然是«Skip Record If...»阶矩阵，但不存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»

方程组«Skip Record If...»是否有解及解的情况；

情形三：«Skip Record If...»是«Skip Record If...»矩阵，且«Skip Record If...»

方程组«Skip Record If...»是否有解及解的情况。

【注解】

（1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。

（2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。

四、矩阵两大核心为题

（一）逆阵

1、定义—设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»阶矩阵，若存在«Skip Record If...»阶矩阵«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»为可逆矩阵，«Skip Record If...»称为«Skip Record If...»的逆矩阵，记为«Skip Record If...»。

2、两个问题

【问题1】给定一个«Skip Record If...»阶矩阵«Skip Record If...»，是否存在可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？

【问题2】若«Skip Record If...»阶矩阵«Skip Record If...»可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？

3、矩阵可逆充分必要条件

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