基于 LMI 的时滞切换系统的稳定性分析

x 3 ( t - d)
ATdm P
-S
x 3 ( t) x 3 ( t - d)
≥0 ,
第 2 期
卢建宁等 :基于 L M I 的时滞切换系统的稳定性分析
173
则以δi 为加权系数对各不等式求加权和 ,
∑ x 3 ( t)
x 3 ( t - d)
Tm
δi
i =1
AiT P + PAi + S ATdi P
d > 0 是滞后时间.
定义 1 对于单值正定标量函数 V ( x ( t) , t) 而言 ,
若对 i ∈M = { 1 ,2 , …, m} ,存在区域Ωi Α Rn ,使得
∑ Π x ∈Ωi , x ( t) 在系统 i 的作用下 V ( x ( t) , t) 对
∑ 时间的导数 V ( x ( t) , t) < 0 , 则称 Ωi 为子系统 i
其中 : d = 1 ; A1 =
-5 0
- 0. 5 ; Ad1 =
1
- 0. 5 0
0. 5 0
- 0. 2 0
A2 =
; Ad2 =
.
- 1 - 5. 5
0 -1
0
; -1
取 x0 = 5 ,δ1 =δ2 = 0. 5 ,由 Matlab6. 5 中 -3
的 L M I 工具箱求得 P =
对 V ( x ( t) , t) 的能量递减域.
引理 1 如果可以找到单值正定标量函数 V ( x ( t) ,
t) ,V ( x ( t) , t) 沿着各个子系统的导数存在 , 且各子
m
系统对 V ( x ( t) , t) 的能量递减域的并 ∪Ωi 覆盖整 i =1 m
个状态空间 ,即有 Rn Α ∪Ωi ,则存在切换方案 s ,保 i =1
稳定性理论 ,系统式 (1) 是渐近稳定的.
定理 2 对于系统式 (1) ,若存在δi ∈ R , 对称正定 矩阵 P , S ∈ Rn×n 满足条件
1) δi ≥0 ;
m
∑ 2) δi = 1 ;
i =1
∑ 3)
m
δi
i =1
AiT P + PAi + S AdTi P
PA di -S
< 0.
则存在切换方案 s 可保证系统渐近稳定.
m
3) ∪Ωi = Rn . i =1
构造切换方案 s :如果系统状态 x ∈Ωi ,则选择子系
统 i = arg{Ωi } . 由于各子系统对 V ( x ( t) , t) 的能量
m
递减域的并 Байду номын сангаасΩi 覆盖整个状态空间 ,因此对任意的 i =1
x ( t) ∈Rn ,都有 x ( t) ∈Ωi ΑΩi . 由能量递减域的定
x ( t - d)
采用反证法 ,假设存在某个
x 3 ( t) x 3 ( t - d)
∈ R2n 满足
以下不等式 :
x 3 ( t) T A1T P + PA1 + S PA d1
x 3 ( t - d)
ATd1 P
-S
x 3 ( t) x 3 ( t - d)
≥0 ,
x 3 ( t) T AmT P + PA m + S PA dm
x ( t - d)
A
T di
P
-S
x ( t) .
x ( t - d)
∑ 定义子系统 i 对 V ( x ( t) , t) 的能量递减域 Ωi 为
Ωi =
x ( t) |
x ( t)
T
·
x ( t - d) x ( t - d)
AiT P + PAi + S PA di
ATdi P
-S
x ( t) <0
混杂系统是一类同时按照连续时间动力学和 离散事件动力学演化并相互作用的复杂系统. 这类 系统有着广泛的现实背景和重要的应用意义 ,很多 系统本质上是混杂系统. 切换系统是混杂系统中形 式上较为简单但又比较典型的一类系统 ,它包含几 个子系统和一个决定某一时刻活动子系统的切换 规则. 当系统的状态或时间满足某种条件时 ,子系 统就发生变化 ,由一个子系统切换到另一个子系 统. 切换系统的一个主要特征是切换时状态变量没 有跳变.
义可知 , V ( x ( t) , t) < 0 ,那么系统在切换方案 s 的作
用下是渐近稳定的.
2 主要结果
定理 1 对于系统式 (1) , 若存在对称正定矩阵 P ,
S ∈Rn×n 满足条件
AiT P + PAi + S ATdi P
PA di -S
< 0 i = 1 , …, m (2)
(College of Elect rical Engineering , Zhejiang U niversity , Hangzho u 310027 ,China)
Abstract :The asymptotic stabilit y of switched systems who se subsystems are time delay systems is st udied in t his paper . The sufficient co nditio n is firstly derived via L M I app roach for t he asymp totic stabilit y of such system under arbit rary switching. Seco ndly , t he paper develop s t he co nvex co mbinatio n co nditio ns for asymptotic stabilit y of such system and how to choo se switching st rategy. The simulatio n result shows t he validit y of t he designed switching st rategy. Key words : switched systems ; time delay ; linear mat rix inequalities (L M I) ; stabilit y
基于 LMI 的时滞切换系统的稳定性分析
卢建宁 , 赵光宙 3
(浙江大学 电气工程学院 浙江 杭州 310027)
摘 要 : 研究一类子系统为时滞系统的切换系统渐近稳定性问题. 以线性矩阵不等式的形式提出
了在任意切换信号作用下系统渐近稳定的充分性条件 ,给出了系统渐近稳定的凸组合条件以及切
换信号的选取. 仿真实例证明了所设计的切换方案的有效性.
理等方面的研究. Email :zhaogz @zju. edu. cn
172
江 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) 第 5 卷
如通信系统 、电力系统 、化工过程系统等 ,均存在着 物质或信息的传输延迟 ,这些系统都是典型的时滞 系统. 切换系统的稳定性已有许多非常好的结论和 研究成果[8Ο12 ] ,但当切换系统的子系统是时滞系统 时 ,这方面的研究成果却很少. 文中尝试从 L M I 的 角度 ,在前人的基础上探索时滞切换系统稳定性的 一些性质.
证系统渐近稳定.
证 由假设条件 ,首先对能量递减域进行变换 :
1) Ω1 = Ω1 ;
i
2) Ωi+1 = Ωi+1 ∩( Rn\ ∪Ωj ) ; i ∈1 ,2 , …, m - 1. j =1
显然 ,新的能量递减域具有如下性质 :
1) Ωi Α Ωi i ∈{ 1 , 2 , …, m} ; 2) Ωi ∩Ωj = i ∈{ 1 ,2 , …, m} i ≠ j ;
证 取
∫t
V ( x ( t) , t) = x T ( t) P ·x ( t) + x T (τ) S ·x (τ) dτ, t- d
∑ 则 V ( x ( t) , t) 沿着子系统
的导数为
i
V ( x ( t) , t) =
x ( t) T AiT P + PA i + S PA di
则对于任意切换方案 ,均可保证系统渐近稳定.
证 定义
∫t
V ( x ( t) , t) = x T ( t) Px ( t) + x T (τ) S ·x (τ) dτ t- d
其中 : P , S 为正定矩阵 , 故 V ( x ( t) , t) 是正定的. 由 于切换系统的状态轨迹连续 ,所以 V ( x ( t) , t) 连续. 沿系统式 (1) 的任意轨线 ,V ( x ( t) , t) 关于时间的导 数是
PA di ·
-S
x 3 ( t) x 3 ( t - d)
≥0
m
m
显然与式 (3) 矛盾. 即有 R2n Α ∩ΩiC C = ∪Ωi , 由
i =1
i =1
引理 1 可知存在切换方案 s 使系统式 (1) 渐近稳定.
3 仿真算例
考虑如下由两个不稳定时滞子系统构成的切 换系统 , x ( t) = Ai x ( t) + Adi x ( t - d) i ∈{ 1 , 2} ,
第20056卷年第4
2期 月
Journal
of
江 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) Southern Yangtze University( Natural Science
Edition)
Vol .
Ap
5 r.
No . 2 2006
文章编号 :1671 - 7147 (2006) 02 - 0171 - 03
ATdi P
- S x ( t - d)
由于式 (2) 对于所有 i = 1 ,2 , …, m 都成立 , 那么对
于 任 意 切 换 方 案 , 都 有 V ( x ( t) , t) < 0. 因 此
V ( x ( t) , t) 是一个 L yap unov 泛函数 ,根据 L yap unov
22. 26 - 3. 02
- 3. 02 19. 58 , S =
47. 61 0. 586 . 按引理 1 求取切换方案 , 仿真结 0. 586 44. 09 果如图 1 、图 2 所示. 图 1 为切换系统的状态曲线图 , 图 2 为系统的切换信号. 可以看出 ,系统状态变量的 轨迹在切换信号的作用下逐渐趋于原点.
近年 来 , 线性 矩阵不 等式 ( linear mat rix ineΟ
qualities ,L M I) 方法引起了控制理论学者的广泛重 视 ,许多控制理论问题可以转换为相应的 L M I 问 题[1] ,L M I 已经成为了一种重要的分析方法. 目前 , L M I 在切换系统理论中也有所应用. Petter sso n 等 将 LMI 应用于混杂系统的稳定性和鲁棒性分 析[2Ο3 ] ,Daafo uz 等从 L M I 的角度分析了切换系统 渐近稳定的条件和反馈镇定[4] ,Migno ne 等从 L M I 的角度分析了混杂系统渐近稳定的条件和状态反 馈镇定[5Ο6] ,张霓等用 L M I 的方法研究了参数不确 定线性混杂系统的鲁棒控制[7] .
在许多实际工程系统中 ,时滞现象极其普遍 ,
收稿日期 :2004 - 12 - 03 ; 修订日期 :2005 - 03 - 07. 作者简介 : 卢建宁 (1978 - ) ,男 ,浙江永康人 ,控制理论与控制工程专业博士研究生. 3 通讯联系人 : 赵光宙 (1946 - ) ,男 ,浙江义乌人 ,教授 ,工学博士 ,博士生导师. 主要从事非线性系统控制 、信号处
V ( x ( t) , t) = 2 x T ( t) P[ Ai x ( t) + Adi x ( t d) ] + x T S ·x ( t) - x T ( t - d) S ·x ( t - d) =
x ( t) T AiT P + PA i + S PA di
x ( t)
x ( t - d)
关键词 : 切换系统 ;时滞 ;线性矩阵不等式 ;稳定性
中图分类号 : TP 13
文献标识码 : A
Stability Analysis Based on LMI f or Switched Systems with Time Delay
L U J ian2ning , ZHAO Guang2zho u 3
1 预备知识
考虑如下时滞切换系统
x ( t) = Ai x ( t) + Adi x ( t - d)
i ( t) = s ( x ( t) , i ( t- ) )
(1)
其中 : i ∈M = { 1 ,2 , …, m} 表示系统式 (1) 的第 i 个
子系统 ; s 为切换方案 ; x ∈Rn 为系统的连续状态变 量 ; Ai , Adi ∈ Rn×n 为对应第 i 个子系统的常数矩阵 ;