电子科技大学离散数学课程组国家精品课程
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第三篇 二元关系特殊关系
2018/10/4
10
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例7.2.3
证明 设n为正整数，考虑整数集合 (1) 对xZ，有n|(x-x) Z上的整除关系如下： ，所以<x,x>R， 即R是自反的。 R={<x,y>|{x,y∈Z}∧(n|(x-y))} (2) 证明对 R是一个等价关系。 x,yZ，若<x,y>R，即n|(x-y)，所以 m|(y-x)，所以，<y,x>R，即R是对称的。 (3) 对x,y,zZ，若<x,y>R且<y,z>R，有 n|(x-y)且n|(y-z)，所以由(x-z)=(x-y)+(y-z) 得n|(x-z)， 所以，<x,z>R，即R是传递的。 由(1)、(2)、(3)知，R是Z上的等价关系。 ■
2018/10/4
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以n为模的同余关系(CongruenceRelation)
上述R称为Z上以n为模的同余关系，记xRy为 x＝y(mod n) 称为同余式。如用resn(x)表示x除以n的余数，则 x＝y(mod n) resn(x)＝resn(y)。 此时，R将Z分成了如下n个子集： {…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…} {…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…} {…, -3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…} … {…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…}
2018/10/4
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例7.2.3
证明 设n为正整数，考虑整数集合 (1) 对xZ，有n|(x-x) Z上的整除关系如下： ，所以<x,x>R， 即R是自反的。 R={<x,y>|{x,y∈Z}∧(n|(x-y))} (2) 证明对 R是一个等价关系。 x,yZ，若<x,y>R，即n|(x-y)，所以 m|(y-x)，所以，<y,x>R，即R是对称的。 (3) 对x,y,zZ，若<x,y>R且<y,z>R，有 n|(x-y)且n|(y-z)，所以由(x-z)=(x-y)+(y-z) 得n|(x-z)， 所以，<x,z>R，即R是传递的。 由(1)、(2)、(3)知，R是Z上的等价关系。 ■
2018/10/4
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以n为模的同余关系(CongruenceRelation)
上述R称为Z上以n为模的同余关系，记xRy为 x＝y(mod n) 称为同余式。如用resn(x)表示x除以n的余数，则 x＝y(mod n) resn(x)＝resn(y)。 此时，R将Z分成了如下n个子集： {…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…} {…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…} {…, -3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…} … {…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…}
2018/10/4
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离散数学实验第14章格与布尔代数
定理15.2.1（续）
对任意a, b, c∈L，因为(a*b)*c ≤ a*b ≤ b， (a*b)*c ≤ c，所以
(a*b)*c ≤ b*c
又因为(a*b)*c ≤ a*b ≤ a，于是有
(a*b)*c ≤ a*(b*c)
同样有，a*(b*c) ≤ (a*b)*c。故
(a*b)*c = a*(b*c)
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对偶格
对于集合L的任何偏序关系“ ≤ ”，其逆关系 “≥”也是集合L上的偏序关系； 对L的任意子集T，T在偏序集<L, ≤ >中的最大下 界和最小上界分别是<L, ≥>中的最小上界和最大 下界。 因此偏序集<L, ≤ >是格当且仅当<L, ≥>是格， 我们称此两个格为对偶格； 格<L, ≤ >的保联运算与保交运算分别是对偶格<L, ≥>的保交运算和保联运算。
（2）反对称性：a ≤ b且b ≤ aa = b
a≥b且b≥a a = b
（3）传递性：a ≤ b且b ≤ c a ≤ c；
a≥b且b≥ca≥c
（4）a*b ≤ a； ab≥a
（5）c ≤ a且c ≤ bc ≤ a*b；
c≥a且c≥bc≥ab
2020/12/22
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事实上，若有a∧b = a，则由吸收律 a∨b = (a∧b)∨b = b
反之，若a∨b = b，再由吸收律 a∧b = a∧(a∨b) = a
因此，a ≤ b a∧b = a a∨b = b。
2020/12/22
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离散数学PPT+课后答案第0章 引言 - 副本
➢ 学生作业要求：独立地完成作业，按时保质保 量交作业。
➢ 上课学习要求：积极思考问题，踊跃发言，配 合教师完成课堂内容。
➢ 课程考试要求：闭卷笔试。
2020/3/6
10-9
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http://222.197.183.243/wlxt/ncourse/ lsxx/web/default.aspx
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离散数学
电子科技大学信息与软件工程学院
2020年3月6日星期五
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
离散数学的研究对象
离散数学是研究各种各样的 离散量的结构及离散量之间的关 系的一门学科，是计算机科学中 基础理论的核心课程。
第二,当今通过计算机运算的绝大多数课题，都是基于 若干离散对象之间的种种联系，即使是诸如求某一连续 函数的积分这样的问题，由计算机来处理时，仍然要将 连续函数做离散化处理，即所谓数值分析方法。
第三,计算机系统本身就是一个有限结构或有限离散结构。
10-4
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
▪ 作业15次（收作业：5次） ▪ 课堂测验3次（包括期中考试） ▪ 期末考试（平时作业占20％＋半期考试（含课堂
测试）10％＋期末考试70％）
2020/3/6
10-7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
教材与参考书
教材：
离散数学及其应用（第2版） 傅彦,顾小丰,王庆先, 刘启和.高等教育出版社，2013.06 离散数学实验及习题解析. 傅彦,王丽杰,顾小丰,尚 明生.高等教育出版社,2007.11
➢ 上课学习要求：积极思考问题，踊跃发言，配 合教师完成课堂内容。
➢ 课程考试要求：闭卷笔试。
2020/3/6
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离散数学
电子科技大学信息与软件工程学院
2020年3月6日星期五
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离散数学的研究对象
离散数学是研究各种各样的 离散量的结构及离散量之间的关 系的一门学科，是计算机科学中 基础理论的核心课程。
第二,当今通过计算机运算的绝大多数课题，都是基于 若干离散对象之间的种种联系，即使是诸如求某一连续 函数的积分这样的问题，由计算机来处理时，仍然要将 连续函数做离散化处理，即所谓数值分析方法。
第三,计算机系统本身就是一个有限结构或有限离散结构。
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▪ 作业15次（收作业：5次） ▪ 课堂测验3次（包括期中考试） ▪ 期末考试（平时作业占20％＋半期考试（含课堂
测试）10％＋期末考试70％）
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教材与参考书
教材：
离散数学及其应用（第2版） 傅彦,顾小丰,王庆先, 刘启和.高等教育出版社，2013.06 离散数学实验及习题解析. 傅彦,王丽杰,顾小丰,尚 明生.高等教育出版社,2007.11
离散数学PPT教学课件 数理逻辑ppt8
2018/7/1
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例4.3.3（续）
（2）构造解释I2为
P(a) = 0，P(b) = 1，Q(a) = 0，Q(b) = 1，
则(P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))在此解释I2 下真值为1，(P(a)∨P(b))→(Q(a)∧Q(b))在此解 释I2下真值为0，即I2使得等价联结词前面的 (x)(P(x)→Q(x))为真，而使得等价联结词后面的 ((x)P(x)→(x)Q(x))为假，因此，这样的解释使 得公式(x)(P(x)→Q(x))((x)P(x)→(x)Q(x)) 的真值为假。
2018/7/1 84-8
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课定义4.3.4 给定一个合适公式G，若变元x出现在使 用变元的量词的辖域之内，则称变元x的出现为约束 出现(Bound Occurrence)，此时的变元x称为约束 变元(Bound Variable)。若x的出现不是约束出现， 则称它为自由出现 (Free Occurrence) ，此时的变 量词辖域的确定方法： 元x 称为自由变元(Free Variable)。 （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
规则2(自由变元的代入规则)：
（1）将公式中出现该自由变元的每一处都用新的个 体变元替换； （2）新变元不允许在原公式中以任何约束形式出现
2018/7/1 84-12
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例4.3.2
（1）将公式(x)(P(x)→Q(x, y))∧R(x, y)中的 约束变元x进行改名； （2）将公式(x)(P(x)→Q(x, y))∧R(x, y)中的 自由变元y进行代入。
二元关系 (3)
150-3
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例6.4.2
设A={a,b}，试计算A上所有具有自反性的关系R的 个数。 解 因为A2={<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>}，所以A上 具有自反性的关系R的个数为：
C(2,0) + C(2,1) + C(2,2) = 4。
2020/1/12
2020/1/12
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150-5
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例6.4.2
设A={1,2,3,4}， 定义A上的关系R,S,T和V如下： （1）R={<1,1>,<1,3>,<3,1>,<4,4>}； （2）S={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,4>}； （3）T={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,1>,<1,4>}； （4）V={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}。 试判定它们是否具有对称性和反对称性
(a)
a
b
c
(b)
a
b
c
(c)
a
b
c
(d)
a
b
c
(e)
(f)
(g)
(h)
2020/1/12
150-15
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例6.4.9
设R={<1,1>,<2,2>}，试判断R在集合A和B上具备的 特殊性质，其中A={1,2}，B={1,2,3}。 解 当R是定义在集合A上的关系时，R是自反、对称、 反对称和传递的； 当R是定义在集合B上的关系时，R是对称、反对称 和传递的。 注意：绝对不能脱离基集（即定义关系的集合）来 谈论关系的性质。
第1章 集合论
2015-1-3
30
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例1.2.3
集合A按如下方式定义：
（1）0和1都是A中的元素；
（2）如果a, b是A中的元素，则ab, ba也是A中的 元素；
（3）有限次使用(1)、(2)后所得到的字符串都是A 中的元素。 试指出其定义方式。并举出集合A中的3个元素
2015-1-3
学生没有适当的离散数学基础，在学习上述课程时就会感到很
困难。
2015-1-3
9
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学习离散数学的目的
学生不仅学会一些特定的数学知识并知道怎样应用；更重要的是要教 会学生怎样进行数学思维。学会处理你以前没有见过的问题。为此， 在本课程讲授的过程中主要从如下几个重要的主题进行介绍：
2015-1-3
3
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Discrete Structures
2015-1-3
4
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课程概述
离散数学是研究各种各样的离散量的结构及离 散量之间的关系的一门学科，是计算机科学和其它 相关学科中基础理论的核心课程（专业基础课）。
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离散数学
电子科技大学
计算机科学与工程学院
示 范 性 软 件 学 院
2015年1月3日星期六
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
IEEE&ACM Computing Curricula
2015-1-3
2
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CC2013 Knowledge Areas
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
2013-7-14
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例13.2.7（续）
解 由于存在元素1∈N，使得对任意n∈N，都有：
n = (n1)+1 = 1+（n1）
= 1+1+1+„„+1 = 1n， 特别对幺元0∈N，有0 = 10。 所以，“1”是生成元。 因此，该半群一定是循环含幺半群。
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离散数学
电子科技大学示 范 性 软 件 学 院
计算机科学与工程学院
2013年7月14日星期日
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第十三章 群
1 2
3
半群与含幺半群 集合的概念 群及其性质 特殊群
4 陪集与拉格朗日定理 5
正规子群
2013-7-14
2013-7-14
8
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课程
例13.2.3（续）
结合律：x, y, z∈n, 有
(x＋n y)＋n z＝x＋y+z (mod n)＝x＋n (y＋n z)
所以结合律成立。 单位元： x∈n, 显然有 0＋nx＝x＋n0=x 所以0是单位元。故<n, ＋n>是含么半群。
2013-7-14
9
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子半群和子含幺半群
将子代数应用于半群，可得下面的定义： 定义13.2.3 如果<S, >是半群，T是S的非空子集， 且运算“” 对T封闭，则称<T，>是半群<S, > 的子半群； 如果<S, , e>是含幺半群，T是S的非空子集， e∈T。且运算“”对T封闭，则称<T, , e>是含 幺半群<S, , e>的子含幺半群。
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例13.2.7（续）
解 由于存在元素1∈N，使得对任意n∈N，都有：
n = (n1)+1 = 1+（n1）
= 1+1+1+„„+1 = 1n， 特别对幺元0∈N，有0 = 10。 所以，“1”是生成元。 因此，该半群一定是循环含幺半群。
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2013年7月14日星期日
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第十三章 群
1 2
3
半群与含幺半群 集合的概念 群及其性质 特殊群
4 陪集与拉格朗日定理 5
正规子群
2013-7-14
2013-7-14
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例13.2.3（续）
结合律：x, y, z∈n, 有
(x＋n y)＋n z＝x＋y+z (mod n)＝x＋n (y＋n z)
所以结合律成立。 单位元： x∈n, 显然有 0＋nx＝x＋n0=x 所以0是单位元。故<n, ＋n>是含么半群。
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子半群和子含幺半群
将子代数应用于半群，可得下面的定义： 定义13.2.3 如果<S, >是半群，T是S的非空子集， 且运算“” 对T封闭，则称<T，>是半群<S, > 的子半群； 如果<S, , e>是含幺半群，T是S的非空子集， e∈T。且运算“”对T封闭，则称<T, , e>是含 幺半群<S, , e>的子含幺半群。
第02讲 集合的运算与分类
离散数学课程组—国家级精品课程，国家双语教学∩Ａ=Ａ；
交换律:Ａ∪Ｂ=Ｂ∪Ａ;Ａ∩Ｂ=Ｂ∩Ａ
结合律:Ａ∪(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∪Ｃ；
Ａ∩(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∩Ｃ；
恒等律:Ａ∪Φ=Ａ； Ａ∩Ｕ=Ａ；
零 律:Ａ∪Ｕ=Ｕ； Ａ∩Φ=Φ；
分配律:Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)
x A∪B
x A∩B
x A∪B
A∪B A∩B
A∩B A∪B
2020/7/14
由①、②知， A∪B = A∩B
29-12
离散数学课程组—国家级精品课程，国家双语教学示范课程
证明（b）：
在 A∪B = A∩B 中，用 A 和 B 分别取代A和B，则有 A∪B = A∩B = A∩B
A∪B = A∩B A∩B = A∪B
2020/7/14
29-4
离散数学课程组—国家级精品课程，国家双语教学示范课程
幂集
定义1.2.7 设A为任意集合，把A的所有不同子集 构成的集合叫做A的幂集(power set)，记为P(A)或 2A。
其符号化表示为 P(A)＝{x|一切xA}
该集合又称为集族(family of set)。
对集族的研究在数学方面、知识库和表处理 语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。
2020/7/14
29-13
离散数学课程组—国家级精品课程，国家双语教学示范课程
1.3 无限集
有限集
无限集
量变
质变
无限集合无法用确切的个数来描述，因此，无 限集合有许多有限集合所没有的一些特征，而有限 集合的一些特征也不能任意推广到无限集合中去， 即使有的能推广，也要做某些意义上的修改。
Ａ∪(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪Ｃ)
第一章力学
（7）小园只能拿一个苹果或一个梨；
（8）张静只能挑选202或203房间。
2018/10/12
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例4 解
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
2018/10/12
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例5
设命题 P：明天上午七点下雨； Q：明天上午七点下雪；
R ：我将去学校。 可符号化为： 符号化下述语句： (P∧Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨ 1) 如果明天上午七点不是雨夹雪，则我将去学校 (P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)。 2) 如果明天上午七点不下雨并且不下雪，则我将去 或 ((P∧Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q) 可符号化为:(P∨Q)→┐R。 可符号化为：┐(P∧Q)→R。 学校 ∨(┐P∧┐Q))∧R。 3) 如果明天上午七点下雨或下雪，则我将不去学校 可符号化为:(┐P∧┐Q)→R。 4) 明天上午我将雨雪无阻一定去学校
15
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例3
1) 今天天气很冷。
2) 今天天气很冷并且刮风。 3) 今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。
简单命题符号化：
1、通常用大写的带或不带下标的英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ、...P、 Q、R、... Ai、Bi 、Ci、...Pi、Qi、Ri、...等表示简单命 题 2、用”1“表示真，用”0“表示假。
则命题（2）可表Βιβλιοθήκη 为Ｐ∧Ｑ∧R。（3）设Ｐ：教室的灯不亮可能是灯管坏了
Ｑ：教室的灯不亮可能是停电了 则命题（3）可表示为Ｐ∨Ｑ。
电子科技大学离散数学课程组国家精品课程汇总
13
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函数与关系的差别
函数是一种特殊的关系，它与一般关系比较具备 如下差别： 1) 从A到B的不同的关系有2|A||B|个；但从A到B的 不同的函数却仅有|B||A|个。 (个数差别) 2) 关系的第一个元素可以相同；函数的第一元素 一定是互不相同的。 (集合元素的第一个元素存在差别) 3) 每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关 系的基数却为从零一直到|A|×|B|。 (集合基数的差别) 2018/9/25
2018/9/25
8
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例8.2.1 解
（1）在f1中，因为A中每个元素都有唯一的象和它对 应，所以f1是函数。其值域是A中每个元素的象的集 合，即ranf1={a,c,d}； （2）在f2中，因为元素2有两个不同的象a和d，与象 的唯一性矛盾，所以f2不是函数； （3）在f3中，因为A中每个元素都有唯一的象和它对 应，所以f3是函数。其值域是A中每个元素的象的集 合，即ranf3={a,b,c,d}； （4）在f4中，因为元素1没有象，所以f4不是函数。
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例8.2.2 解
显然，fp是一个函数。因为，任意一个特殊的输入 对应唯一的输出。 可用任意一个可能的输入集合A对应输出集合B而推 广到一般情形的程序。所以，通常把函数看做输入 －输出的关系。
2018/9/25
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14
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离散数学
电子科技大学
计算机科学与工程学院
示 范 性 软 件 学 院
图论 (2)
2013-7-10 143-7
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例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度 和入度，指出悬挂结点和为悬挂 边。 解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
2013-7-10
143-22
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例9.3.1
判 断 下 图 G1 中 的 回 路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、 基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪 动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件 下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是 同构的。
2013-7-10 143-15
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两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
2013-7-10
143-20
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例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度 和入度，指出悬挂结点和为悬挂 边。 解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
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143-22
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例9.3.1
判 断 下 图 G1 中 的 回 路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、 基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪 动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件 下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是 同构的。
2013-7-10 143-15
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两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
2013-7-10
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2Байду номын сангаас3.1 排列问题
定义2.3.1 从含n个不同元素的集合S中有序选取 的r个元素叫做S的一个r -排列，不同的排列总数 记为P(n, r)。如果r = n，则称这个排列为S的一 个全排列，简称为S的排列。 显然，当r>n时，P(n, r) = 0。
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例2.3.1
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶 0.85
(S)
(M)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
啤酒(B) 0.75
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2.2.1 乘法原理
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
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定理2.3.4
对满足0< r ≤n的正整数n和r有，即
证明 先从n个不同元素中选出r个元素，有 C(n, r)种选法，再把每一种选法选出的r个 元素做全排列，有r！种排法。
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定理2.3.4（续）
根据乘法原理，n个元素的r排列数为： 即
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定理2.3.3
含n个不同元素的集合的环形r-排列数Pc(n,r)是
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例2.3.4
求满足下列条件的排列数。 (1)10个男孩和5个女孩站成一排，无两个女孩相邻。 (2)10个男孩和5个女孩站成一圆圈，无两个女孩相邻. 解 (1)根据推论2.3.2，10个男孩的全排列为10!，5 个女孩插入到10个男孩形成的11个空格中的插入方法 数为P(11, 5)。根据乘法原理，10个男孩和5个女孩 站成一排，没有两个女孩相邻的排列数为：
数理逻辑 (3)
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证明（续1）
若合取范式的某一个子句中缺少该命题公式中所 规定的命题变元，则可用公式：
(Ｐ∧ Ｐ)∨Q = Q
将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合并 相同的子句，此时得到的子句将是标准的极大项. （3）整理与合并。
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主析取范式和主合取范式
定义3.5.4
① 在给定的析取范式中，每一个短语都是极小项， 则称该范式为主析取范式 ② 在给定的合取范式中，每一个子句都是极大项， 则称该范式为主合取范式
③ 如果一个主析取范式不包含任何极小项，则称该 主析取范式为“空”；如果一个主合取范式不包 含任何极大项，则称主合取范式为“空”。
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3.5.2 主析取范式和主合取范式
1. 极小项和极大项
定义 3.5.3 在含有n个命题变元P1、P2、P3、…、 Pn 的短语或子句中，若每个命题变元与其否定不同 时存在，但二者之一恰好出现一次且仅一次，则称 此短语或子句为关于P1、P2、P3、…、Pn的一个极小 项或极大项。 对于n个命题变元，可构成2n个极小项和2n个极大项
=(Ｐ∧Ｑ∧(Ｒ∨Ｒ))∨(Ｐ∧(Ｑ∨Ｑ)∧Ｒ)
∨(Ｐ∨Ｐ)∧Ｑ∧Ｒ)， = (Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ) ∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ) = (Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)
∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)
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证明（续1）
若合取范式的某一个子句中缺少该命题公式中所 规定的命题变元，则可用公式：
(Ｐ∧ Ｐ)∨Q = Q
将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合并 相同的子句，此时得到的子句将是标准的极大项. （3）整理与合并。
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主析取范式和主合取范式
定义3.5.4
① 在给定的析取范式中，每一个短语都是极小项， 则称该范式为主析取范式 ② 在给定的合取范式中，每一个子句都是极大项， 则称该范式为主合取范式
③ 如果一个主析取范式不包含任何极小项，则称该 主析取范式为“空”；如果一个主合取范式不包 含任何极大项，则称主合取范式为“空”。
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3.5.2 主析取范式和主合取范式
1. 极小项和极大项
定义 3.5.3 在含有n个命题变元P1、P2、P3、…、 Pn 的短语或子句中，若每个命题变元与其否定不同 时存在，但二者之一恰好出现一次且仅一次，则称 此短语或子句为关于P1、P2、P3、…、Pn的一个极小 项或极大项。 对于n个命题变元，可构成2n个极小项和2n个极大项
=(Ｐ∧Ｑ∧(Ｒ∨Ｒ))∨(Ｐ∧(Ｑ∨Ｑ)∧Ｒ)
∨(Ｐ∨Ｐ)∧Ｑ∧Ｒ)， = (Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ) ∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ) = (Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)
∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)∨(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)
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例2.2.4
由 Alice 、 Ben 、 Connie 、 Dolph 、 Egbert 和 Francisco六个人组成的委员会，要选出一个主席、 一个秘书和一个出纳员。 （1）共有多少种选法？ （2）若主席必须从Alice和Ben种选出，共有多少 种选法？ （3）若Egbert必须有职位，共有多少种选法？ （4）若Dolph和Francisco都有职位，共有多少种 选法？
2.2.1 乘法原理
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
n1×n2××nt
例2.2.2 Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前50个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病
3
1 离散概率 2 离散概念的计 算公式及性质
表2.2.1
开胃食品
种类
价格 (元)
玉米片 2.15 (Co)
色拉(Sa) 1.90
主食
饮料
种类 价格 种类 价格
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶 0.85
(S)
(M)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
啤酒(B) 0.75
例2.3.1
从含3个不同元素的集合S中有序选取2个元素的排 列总数。 解 从含3个元素的不同集合S中有序选取2个元素 的排列总数为6种。 如果将这3个元素记为A、B和C，则6个排列为
AB, AC, BA, BC, CB, CA。
例2.2.4 解(续)
(3)[法一] 将确定职位分为3步：确定Egbert的职 位,有3种方法；确定余下的较高职位人选, 有5个 人选；确定最后一个职位的人选, 有4个人选。根 据乘法原理，共有3×5×4 = 60种选法； [法二] 根据(1)的结论，如果Egbert为主席，有20 种方法确定余下的职位；若Egbert为秘书，有20种 方法确定余下的职位；若Egbert为出纳员，也有20 种方法确定余下的职位。由于三种选法得到的集合 不相交，根据加法原理，共有
例2.2.4 解
（1）根据乘法原理，可能的选法种数为6×5×4= 120；
（2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有4个人选。根据乘法 原理，可能的选法种数为2×5×4 = 40；
[法二]若Alice被选为主席，共有5×4 = 20种方法 确定其他职位；若Ben为主席，同样有20种方法确 定其他职位。由于两种选法得到的集合不相交，所 以根据加法原理，共有20＋20 = 40种选法；
离散数学
示范性软件学院
2020年12月31日星期四
第2章 计数问题
计数问题是组合数学研究的主要问题之一。西 班 牙 数 学 家 Abraham ben Meir ibn Ezra(1092 ～ 1167)和法国数学家、哲学家、天文学家Levi ben Gerson(1288～1344)是排列与组合领域的两位早期 研究者。另外，法国数学家Blaise Pascal还发明 了一种机械计算器，这种计算器非常类似于20世纪 40年代在数字电子计算机发明之前使用的一种机械 计算器。同时，计数技术在数学和计算机科学中是 很重要的，特别是在《数据结构》、《算法分析与 设计》等后续课程中有非常重要的应用。
2.0 内容提要
1 乘法原理和加法原理
2
排列与组合
3 容斥原理与鸽笼原理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
离散概率
5
递归关系
1.1 本章学习要求
重点掌握
1
1乘法原理和加 法原理 2排列组合的计 算 3利用容斥原理 计算有限集合的 交与并
一般掌握
2
1 鸽笼原理 2 鸽笼原理的简 单应用 3 递归关系 4 递归关系的建 立和计算
了解
2.3 排列与组合
Zeke、Yung、Xeno和Wilma四个候选人竞选同一 职位。为了使选票上人名的次序不对投票者产生影 响，有必要将每一种可能的人名次序打印在选票上。 会有多少种不同的选票呢？
从某个集合中有序的选取若干个元素的问题，称为 排列问题。
2.3.1 排列问题
定义2.3.1 从含n个不同元素的集合S中有序选取 的r个元素叫做S的一个r -排列，不同的排列总数 记为P(n, r)。如果r = n，则称这个排列为S的一 个全排列，简称为S的排列。 显然，当r>n时，P(n, r) = 0。
2.2.2 加法原理
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有 ni个元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集 合，则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt。
即集合X1∪X2∪…∪Xt含有n1 + n2 + … + nt个元素。
20＋20＋20 = 60种选法；
例2.2.4 解(续)
（4）将给Dolph、Francisco和另一个人指定职位 分为3步：
给Dolph指定职位，有3个职位可选； 给Francisco指定职位，有2个职位可选； 确定最后一个职位的人选，有4个人选。 根据乘法原理，共有3×2×4 = 24种选法。
毒解非常根快据速Me地l转is发sa邮病件毒，的将扩被散转原发理的，邮经件过临四时次存转储发在， 某共 50个有×磁50盘×上50，×当5磁0+盘50占×满50后×，50系+5统0×将5会0死+ 锁50甚+至1 崩溃。 问= 经63过77四5次51转个发接，收共者有。多少个接收者？
例2.2.3
在一幅数字图像中，若每个像素点用8位进行编码， 问每个点有多少种不同的取值。 分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位，… ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。 解 每个点有256( = 28) 种不同的取值。